Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Системи автоматизованого проектуваня
Інформація про роботу
Рік:
1999
Тип роботи:
Інструкція та методичні настанови
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи N 4
з курсу " Чисельні методи в інформатиці "
для студентів базового напрямку 6.08.04
"Комп'ютерні науки"
Затверджено
на засіданні кафедри
"Системи автоматизованого
проектування"
Протокол N 14 від 03.04.1997 р.
Львів 1999
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБ РАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи N 4 з дисципліни "Теоретичні основи САПР" для студентів базового напрямку 6.08.04 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І., Чура І.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 10 с.
Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц.
Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц.
Чура І.І., канд. техн. наук, доц.
Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц.
Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц.
Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи – ознайомитись із чисельними методами розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь та їх практичним застосуванням.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Методи розв'язування систем лінійних рівнянь можна поділити на два типи: прямі, або точні, та ітераційні. Прямі методи дають можливість дістати розв'язок, виконавши скінченну апріорі відому кількість операцій. Якщо всі проміжні обчислення виконувати точно (без заокруглень), то отримаємо точ ний розв'язок. Ітераційні методи дають нескінченну послідовність наближе них розв'язків, границі яких є розв'язком системи.
2.1. Прямі методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Із точних методів розв'язування систем лінійних рівнянь відомий з курсу лінійної алгебри метод Гаусса, реалізація якого за схемою єдиного ді лення вимагає виконання n(4n2-3n-4)/6 арифметичних операцій. Розглянемо розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса за схемою Халецького, для реалізації якої необхідно n(2n-1) арифметичних операцій.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь в матричному представленні має вигляд:
EMBED Equation.3 (1)
Матрицю коефіцієнтів А подаємо у вигляді добутку двох трикутних матриць, тобто:
А=СВ. (2)
Матриця С – нижня трикутна, В – верхня трикутна, причому діагональ ні коефіцієнти матриці В дорівнюють одиниці.
Підставимо (2) в (1):
CBx=d. (3)
Позначимо Bx=y і перепишемо (3) у вигляді:
Cy=d (4)
Розв'язок (4) називається прямим ходом методу Гаусса, розв'язок (3) – зворотним ходом.
Отже, першим кроком при розв'язуванні сформульованої задачі є роз биття матриці А на дві трикутні матриці С і В.
Коефіцієнти матриць С і В обчислюються послідовно. Спочатку обчи слюється перший стовпець матриці С:
EMBED Equation.2 ,
тоді обчислюється перший рядок матриці В:
EMBED Equation.2
і елемент EMBED Equation.2 , після чого – елементи другого стовпця матриці С:
EMBED Equation.2
тоді обчислюються елементи другого рядка матриці В:
EMBED Equation.2
і елемент:
EMBED Equation.2
і т.д.
Після того, як будуть обчислені елементи матриць С і В, а також вектор y, знаходять невідомі EMBED Equation.2 :
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 .
Алгоритм методу Гаусса за схемою Халецького має такий компактний вигляд:
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
2.2. Ітераційні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
2.2.1. Метод простої ітерації
Найпростішим ітераційним методом розв'язування систем лінійних рівнянь
ах=d (5)
є метод простої ітерації. Система рівнянь (5) перетворюється до вигляду:
x=вx+e, (6)
де
EMBED Equation.2 ,
EMBED Equation.2 . (7)
Ітераційний процес записується у вигляді:
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . (8)
Для збіжності методу простих ітерацій при довільному початковому наближенні EMBED Equation.2 ітераційного процесу (8) необхідно і достатньо, щоб всі власні значення матриці B були за модулем менші від одиниці.
Обчислювальна схема методу простої ітерації:
1. Обчислюємо елементи матриці B і вектора e за (7).
2. Обчислюємо EMBED Equation.2 . Позначаємо:
EMBED Equation.2 ,
EMBED Equation.2 .
Якщо C<1, то ітераційний процес збігається.
3. Як початкове наближення EMBED Equation.2 вибираємо вектор e: EMBED Equation.2 =e. Позначимо EMBED Equation.2 .
Розв'язуємо систему рівнянь: EMBED Equation.2 .
Тоді: EMBED Equation.2 .
4. Обчислюємо необхідну кількість ітерацій для досягнення потрібної точності EMBED Equation.2 розв'язку:
EMBED Equation.2 .
Звідси
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 . (9)
5. Реалізуємо згідно з обчисленим значенням К необхідне число ітерацій.
2.2.2. Метод Зейделя
Ітераційний метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що на (k+1)-й ітерації при обчисленні і-ї компоненти вектора EMBED Equation.2 використовуються значення EMBED Equation.2 , обчислені на цій ітерації.
Обчислювальна схема методу Зейделя:
Для реалізації методу Зейделя необхідно:
1. Перевірити достатню умову збіжності:
EMBED Equation.2 . (10)
Якщо умова (10) виконується для всіх і, то обчислюємо елементи матриці B і вектора e за (7).
2. Обчислити норму матриці В:
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 .
3. Вибрати як початкове наближення EMBED Equation.2 .
Визначити необхідну для досягнення потрібної точності EMBED Equation.2 кількість ітерацій К за (9).
4. Представити ітераційний процес у вигляді:
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2
і реалізувати його К разів.
3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Які існують типи методів розв'язання систем лінійних алгебраїч них рівнянь (СЛАР) і чим вони відрізняються один від одного?
2. Які методи належать до прямих методів розв'язування СЛАР?
3. Який алгоритм розв'язування СЛАР методом Гаусса за схемою Халецького?
4. Які методи належать до ітераційних методів розв'язування СЛАР?
5. Як записується ітераційний процес методу простої ітерації?
6. Як оцінюється необхідна кількість ітерацій для досягнення потрібної точності методу простої ітерації?
7. Яка обчислювальна схема методу простої ітерації?
8. Чим відрізняється метод Зейделя від методу простої ітерації розв'язування СЛАР?
9. Яка умова збіжності методу Зейделя?
10. Яка обчислювальна схема методу Зейделя розв'язування СЛАР?
4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
1. Ознайомитись із методами розв'язування СЛАР.
2. Одержати індивідуальне завдання.
3. Знайти розв'язки заданої СЛАР методом Гаусса, простої ітерації та методом Зейделя.
4. Порівняти ефективність і точність даних методів.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ
1. Мета роботи.
2. Порівняльна характеристика методів розв'язування СЛАР.
3. Результати обчислень за кожним із методів.
4. Аналіз результатів, висновки.
6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бахвалов И.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –М.: Наука, 1987. – 600 с.
2. Демидович Б.П., Mарон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970.- 664 с.
3. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. - К.: Рад.шк., 1984. – 206 с.
4. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях. – К.: Вища школа, 1986.– 263 с.
5. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Вища школа. – 1989. – 216 с.
6. Хейгеман Л., Янг Я. Прикладные итерационные методы. – М.: Мир, 1986. – 448 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ
ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 4
з курсу “Теоретичні основи САПР”
для базового напрямку 6.0804
“Комп’ютерні науки”
Укладачі Ігор Іванович Мотика
Володимир Іванович Каркульовський
Ігор Іванович Чура
Редактор О.М.Губарєва
Видавництво Державного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф.Колесси, 2
Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.
Умовн.-друк.арк. 0,7. Умовн.фарбо-відб. 0,52.
Тираж 15 прим. Зам.364.
Тиражування здійснене на кафедрі САПР.
Відповідальний за тиражування
доц. Каркульовський Володимир Іванович.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора