Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Інструкція та методичні настанови
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.
Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну.
Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю.
2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь.
2.2.1. Метод половинного ділення.
В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 мають протилежні знаки, то знаходять
EMBED Equation.2 та EMBED Equation.2
Якщо знак EMBED Equation.2 співпадає із знаком EMBED Equation.2 , то в дальшому замість EMBED Equation.2 використовується EMBED Equation.2 . Якщо ж EMBED Equation.2 має знак, протилежний знаку EMBED Equation.2 , тобто співпадає зі знаком EMBED Equation.2 , то на EMBED Equation.2 заміняється це значення.
Якщо EMBED Equation.2 достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується.
Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову:
EMBED Equation.2 (1)
де EMBED Equation.2 - задана похибка знаходження кореня.
Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз:
EMBED Equation.2 (2)
Похибка знайденого рішення знаходиться в межах
EMBED Equation.2 (3)
Ефективність даного методу:
EMBED Equation.2 (4)
де n - кількість обчислень функції.
2.2.2. Метод золотого перерізу
Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення:
EMBED Equation.2 (5)
Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням:
EMBED Equation.2 (6)
2.3. Метод хорд
В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 не будуть мати різних знаків.
Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні:
EMBED Equation.2 (7)
Далі визначають EMBED Equation.2 і порівнюють його з EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 . В подальшому користуються EMBED Equation.2 замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо EMBED Equation.2 дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку.
При EMBED Equation.2 можна вважати, що EMBED Equation.2 . Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази).
Похибка розв'язку оцінюється по формулі:
EMBED Equation.2 (8)
де M1 і m1 - відповідно найбільше і найменше значення модуля похідної на відрізку EMBED Equation.2 .
2.4. Метод Ньютона (дотичних)
Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, на відміну від двох попередніх методів, для визначення інтервалу, в якому знаходиться корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двох значеннях функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція (передбачення) за допомогою дотичної до кривої в даній точці.
Структура алгоритму представлена на рис. 3.
В основі методу лежить розклад функції в ряд Тейлора:
EMBED Equation.2 (9)
члени, які містять h у другій і більших степенях відкидаються.
Використовується співвідношення: EMBED Equation.2 . Допускається, що перехід від xn до xn+1 наближує значення функції до нуля.
Тоді:
EMBED Equation.2 (10)
Це значення відповідає точці, в якій дотична до кривої перетинає вісь x. Після чого процедура повторюється, причому замість xn використовується xn+1. Обчислення припиняється при досягненні достатньо малого значення EMBED Equation.2 .
Швидкість збіжності у великій мірі залежить від вдалого вибору початкової точки.
Початкове наближення x0 вибирається із умови:
EMBED Equation.2 (11)
Похибка методу визначається порядком відкинутих членів при розкладі в ряд Тейлора і оцінюється як
EMBED Equation.2 (12)
де M2 - найбільше значення модуля другої похідної на відрізку EMBED Equation.2 .
2.5. Метод січних
Один із недоліків методу Ньютона - необхідність знаходження похідної EMBED Equation.2 . Якщо знаходження EMBED Equation.2 утруднене, то можна використати деяке наближення, що складає основу методу січних. Замінивши EMBED Equation.2 в методі Ньютона в рівнянні (10) на:
EMBED Equation.2 (13)
Одержимо
EMBED Equation.2 (14)
Структура алгоритму має цей же самий вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Метод січних представляє собою комбінацію методів інтерполяції і екстраполяції. В інтерполяцій-ній частині він еквівалентний методу хорд, а в екстраполяційній - методу Ньютона. Як і в методі Ньютона, обчислення закінчуються при досягненні необхідної точності послідовних значень x або коли EMBED Equation.2 близьке до 0.
2.6. Метод простої ітерації
Для використання даного методу рівняння EMBED Equation.2 представляється у вигляді:
EMBED Equation.2 (15)
Відповідна ітераційна формула має вигляд:
EMBED Equation.2 (16)
Структура алгоритму даного методу має також такий же вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі).
Цей метод простий, але не завжди забезпечує збіжність. Тому для програми, яка використовує цей алгоритм необхідний контроль збіжності і припинення обчислень, якщо збіжність не забезпечується.
Похибка методу:
EMBED Equation.2 (17)
де q - максимальне значення першої похідної функції на відрізку EMBED Equation.2 ,
якщо q<1, то ітераційний процес збігається незалежно від вибору початкового значення EMBED Equation.2 .
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
2.1. Задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь та методи її розв'язування.
Задача Коші ставиться так - необхідно знайти на відрізку EMBED Equation.2 розв'язок EMBED Equation.2 диференціальнного рівняння:
EMBED Equation.2 (1)
який задовільняє початкову умову:
EMBED Equation.2 (2)
Знайти точний розв'язок задачі (1)-(2), тобто виразити його через елементарні чи спеціальні функції, або подати через квадратури від елемен-тарних чи спеціальних функцій вдається лише в небагатьох практичнних задачах. Інколи, якщо навіть і вдається знайти точний розв'язок, він має досить складний вигляд і користуватись ним практично неможливо. Тому для розв'язування задачі доводиться застосовувати наближені методи. Наближені методи можна поділити на два типи: аналітичні (які дають наближений розв'язок диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу) і чисельні (які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці значень).
До аналітичних наближених методів відносяться: ітераційний метод Пікара, метод, який грунтується на розкладі розв'язку задачі Коші в ряд Тейлора. Відомі й інші аналітичні методи розв'язування задачі, наприклад, асимптотичні, (1)-(2), але ми не розглядатимемо їх.
Для розв'язування задачі Коші широко застосовуються чисельні методи. Вони дають можливість знаходити наближені значення (а інколи й точні) шуканого розв'язку EMBED Equation.2 в деяких фіксованих точках (вузлах):
EMBED Equation.2
Слід пам'ятати, що чисельні методи можна застосовувати лише для конкретно поставлених задач. Причому для успішного застосування чи-сельних методів задача має бути не тільки формально стійкою, а й добре обумовленою. Інакше незначні похибки в початкових умовах чи в проміж-них обчисленннях можуть призвести до великої похибки результату. Звичайно для розв'язування задачі Коші треба брати стійкі чисельні методи (алгоритми).
2.1.1. Методи типу Ейлера.
Побудуємо формули, які дають можливість знайти наближене значення шуканого розв'язку EMBED Equation.2 задачі Коші в точці EMBED Equation.2 , якщо значення цього розв'язку відоме в попередній точці EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . Оскільки розв'язок в початковій точці відомий з початкових умов задачі, то за цими формулами послідовно можна обчислити значення розв'язку в точках EMBED Equation.2
Проінтегруємо рівняння (1) від EMBED Equation.2 до EMBED Equation.2 , де EMBED Equation.2 .
EMBED Equation.2 (3)
де: EMBED Equation.2 .
Для наближеного обчислення інтегралу в (2) можна використати квадратурні формули. Використавши ту чи іншу квадратурну структуру, можна дістати різні формули чисельного інтегрування задачі Коші.
Якщо, наприклад, інтеграл в (3) обчислити за формулою лівих прямокутників, то матимемо:
EMBED Equation.2 (4)
Відкинувши член порядку EMBED Equation.2 , з останьої рівності дістанемо:
EMBED Equation.2 (5)
де через EMBED Equation.2 позначено наближене значення розв'язку EMBED Equation.2 .
Формула (5) називається формулою Ейлера. Починаючи з EMBED Equation.2 , за формулою (5) можна знайти послідовно в точках EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , і т.д. наближені значення розв'язку y(x) задачі (1)-(2). Похибка методу Ейлера на кожному кроці має порядок EMBED Equation.2 .
Метод Ейлера не застосовується в обчислювальній практиці, оскіль-ки має невелику точність, і, крім того, досить часто виявляється нестійким (приводить до систематичного нагромадження похибок).
Якщо для обчислення інтегралу в (3) використати формулу середніх прямокутників, то для чисельного інтегрування задачі Коші можна побу-дувати формули, похибка яких на кожному кроці матиме порядок EMBED Equation.2 .
За формулою середніх прямокутників:
EMBED Equation.2 (6)
З формули (6) після деяких перетворень отримаємо:
EMBED Equation.2 (7)
Формула (7) визначає модифікований метод Ейлера. За цим методом значення розв'язку в точці EMBED Equation.2 знаходять двома кроками: спочатку методом Ейлера з кроком EMBED Equation.2 обчислюють проміжне значення EMBED Equation.2 , а потім вже знаходять значення EMBED Equation.2 .
Якщо для обчислення інтегралу в (3) використати формулу трапе-цій, то можна отримати ще один метод для чисельного розв'язування задачі Коші (удосконалений метод Ейлера-Коші), похибка якого на кожному кроці має також порядок EMBED Equation.2 :
EMBED Equation.2 (8)
2.1.2. Метод Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта дає набір формул для розрахунку внутрішніх точок. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кута об'єднує сімейство методів для розв'язування диференціальних рів-нянь першого порядку. Найчастіше використовується класичний метод - метод Рунге-Кутта четвертого порядку:
EMBED Equation.2 (9)
де:
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 (10)
Метод Ейлера і його модифікації по суті є методами Рунге-Кутта першого і другого порядків. Метод Рунге-Кутта має значно більшу точ-ність, дозволяє збільшити крок інтегрування. Його максимальну величину визначає допустима похибка. Такий вибір часто здійснюється автоматично і включається як складова частина в алгоритм, побудований по методу Рунге-Кутта.
Кожну із формул Рунге-Кутта можна використати для розв'язування диференціальних рівнянь більш високих порядків, а тому і для розв'язуван-ня систем диференціальних рівнянь, оскільки рівняння більш високого по-рядку (n) можна звести до n диференціальних рівнянь першого порядку.
2.2. ”Жорсткі” задачі.
Існують звичайні диференціальні рівняння, для яких важко одер-жати задовільні розв'язки із використанням раніше розглянутих методів. Визначення таких задач пов'язане із поняттям постійної часу диферен-ціального рівняння, яке вводиться стосовно до аналітичного розв'язку. Для рівнянь першого порядку - це проміжок часу, коли змінна частина розв'язку зменшується в e раз. Рівняння порядку n має n постійних часу; якщо довіль-ні із них дуже (на практиці в сто і більше разів) відрізняються по величині або яка-небудь із них достатньо мала у порівнянні з інтервалом часу, на якому шукається розв'язок, то задача незивається ”жорсткою” і її практич-но неможливо розв'язувати звичайними методами. Коефіцієнти в таких рівняннях відрізняються один від одного на декілька порядків. Наприклад, жорсткими є системи диференціальних рівнянь, що описують керований рух робота-маніпулятора, оскільки перехідні процеси в системі керування при-водом затухають швидше, ніж перехідні процеси в механічній частині робота.
При розв'язуванні ”жорстких” задач звичайними методами крок повинен бути достатньо малим, щоб можна було б враховувати приріст складових розв'язку, що найшвидше змінюються навіть після того, коли їхній внесок стане практично непомітним. Але зменшення кроку приводить до збільшення затрат часу ЕОМ, накопичення похибок заокруглення і дискретизації.
”Жорсткі” задачі часто зустрічаються в теорії автоматичного керування, наприклад при аналізі перехідних процесів у системі, що містить ланки високих порядків, коефіцієнти яких значно відрізняються один від одного.
2.2.1. Неявні методи чисельного розв'язування задачі Коші.
Найпростішим шляхом розв'язування ”жорстких” задач є так званий неявний метод Ейлера, в якому розв'язок знаходиться із такого рівняння, що вміщує EMBED Equation.2 в неявному вигляді:
EMBED Equation.2 (11)
Для розв'язування задач Коші, що мають властивості “жорсткості” більш доцільними є неявні схеми методу Рунге-Кутта. Ці схеми будуються як і явні, але у даному випадку коефіцієнти kn визначаються із системи r неявних рівнянь, в загальному випадку нелінійних.
Використовуються неявні методи Рунге-Кутта другого порядку [7]:
EMBED Equation.2 (12)
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
або
EMBED Equation.2 (13)
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
третього порядку:
EMBED Equation.2 (14)
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
четвертого порядку:
EMBED Equation.2 (15)
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
2.3. Вибір методу розв'язування задачі Коші.
Перед початком розв'язування задачі необхідно провести перевірку на ”жорсткість” і у випадку позитивного результату використати спеціальні методи. Якщо задача Коші дуже складна, то звичайно перевага надається багатокроковому методу прогнозу і корекції, який має крім того високу швидкодію. Початок розв'язування задачі при цьому проводиться за допо-могою однокрокових методів.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора