ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ\'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ.. Інструкція та методичні настанови з Чисельні методи в інформатиці. Робота № 400390

Перехід до торгівельного партнера Binance

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ.

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Системи автоматизованого проектуваня

Інформація про роботу

Рік:

1999

Тип роботи:

Інструкція та методичні настанови

Предмет:

Чисельні методи в інформатиці

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи № 5 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри "Системи автоматизованого проектування" Протокол N 14 від 03.04.1997 р. Львів 1999 ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи № 5 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 12 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц. 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки. Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну. Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю. 2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь. 2.2.1. Метод половинного ділення. В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 мають протилежні знаки, то знаходять EMBED Equation.2 та EMBED Equation.2 Якщо знак EMBED Equation.2 співпадає із знаком EMBED Equation.2 , то в дальшому замість EMBED Equation.2 використовується EMBED Equation.2 . Якщо ж EMBED Equation.2 має знак, протилежний знаку EMBED Equation.2 , тобто співпадає зі знаком EMBED Equation.2 , то на EMBED Equation.2 заміняється це значення. Якщо EMBED Equation.2 достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується. Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову: EMBED Equation.2 (1) де EMBED Equation.2 - задана похибка знаходження кореня. Cтруктура алгоритму представлена на рис.1. Початок xn+1 = xсерf(xn+1) = f(xсер) Ні Так xn = xсерf(xn) = f(xсер) Ні Кінець xn+1 - xn   Так Обчислення xсер і f(xсер) Обчислення функції до зміни знака при переході відf(xn) до f(xn+1) f(xсер)f(xn) > 0 Ðèñ. 1. Ìåòîä ïîëîâèííîãî ä³ëåííÿ Рис. 1. Метод половинного ділення Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз: EMBED Equation.2 (2) Похибка знайденого рішення знаходиться в межах EMBED Equation.2 (3) Ефективність даного методу: EMBED Equation.2 (4) де n - кількість обчислень функції. 2.2.2. Метод золотого перерізу Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення: EMBED Equation.2 (5) Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням: EMBED Equation.2 (6) 2.3. Метод хорд В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 не будуть мати різних знаків. Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні: EMBED Equation.2 (7) Початок Xn+1 = x*f(xn+1) = f(x*) xn = x*f(xn) = f(x*) Так Так Ні Ні | xn+1 - xn |   Обчислення x* і f(x*) f(x*)f(xn)0 Кінець Ðèñ. 1. Ìåòîä ïîëîâèííîãî ä³ëåííÿ Обчислення функції до зміни знака при переході від f(xn) до f(xn+1) Рис. 2. Метод хорд Далі визначають EMBED Equation.2 і порівнюють його з EMBED Equation.2 і EMBED Equation.2 . В подальшому користуються EMBED Equation.2 замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо EMBED Equation.2 дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку. При EMBED Equation.2 можна вважати, що EMBED Equation.2 . Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази). Похибка розв'язку оцінюється по формулі: EMBED Equation.2 (8) де M1 і m1 - відповідно найбільше і найменше значення модуля похідної на відрізку EMBED Equation.2 . 2.4. Метод Ньютона (дотичних) Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, на відміну від двох попередніх методів, для визначення інтервалу, в якому знаходиться корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двох значеннях функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція (передбачення) за допомогою дотичної до кривої в даній точці. Структура алгоритму представлена на рис. 3. В основі методу лежить розклад функції в ряд Тейлора: EMBED Equation.2 (9) члени, які містять h у другій і більших степенях відкидаються. Використовується співвідношення: EMBED Equation.2 . Допускається, що перехід від xn до xn+1 наближує значення функції до нуля. Тоді: EMBED Equation.2 (10) Це значення відповідає точці, в якій дотична до кривої перетинає вісь x. Після чого процедура повторюється, причому замість xn використовується xn+1. Обчислення припиняється при досягненні достатньо малого значення EMBED Equation.2 . Швидкість збіжності у великій мірі залежить від вдалого вибору початкової точки. Початкове наближення x0 вибирається із умови: EMBED Equation.2 (11) Похибка методу визначається порядком відкинутих членів при розкладі в ряд Тейлора і оцінюється як EMBED Equation.2 (12) Початок де M2 - найбільше значення модуля другої похідної на відрізку EMBED Equation.2 . Ðèñ. 1. Ìåòîä ïîëîâèííîãî ä³ëåííÿ Вибір початкового значенняxn Обчислення xn+1 і f(xn+1) | xn+1 - xn |   Так Кінець Ні xn = xn+1 Рис. 3. Метод Ньютона 2.5. Метод січних Один із недоліків методу Ньютона - необхідність знаходження похідної EMBED Equation.2 . Якщо знаходження EMBED Equation.2 утруднене, то можна використати деяке наближення, що складає основу методу січних. Замінивши EMBED Equation.2 в методі Ньютона в рівнянні (10) на: EMBED Equation.2 (13) Одержимо EMBED Equation.2 (14) Структура алгоритму має цей же самий вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Метод січних представляє собою комбінацію методів інтерполяції і екстраполяції. В інтерполяцій-ній частині він еквівалентний методу хорд, а в екстраполяційній - методу Ньютона. Як і в методі Ньютона, обчислення закінчуються при досягненні необхідної точності послідовних значень x або коли EMBED Equation.2 близьке до 0. 2.6. Метод простої ітерації Для використання даного методу рівняння EMBED Equation.2 представляється у вигляді: EMBED Equation.2 (15) Відповідна ітераційна формула має вигляд: EMBED Equation.2 (16) Структура алгоритму даного методу має також такий же вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Цей метод простий, але не завжди забезпечує збіжність. Тому для програми, яка використовує цей алгоритм необхідний контроль збіжності і припинення обчислень, якщо збіжність не забезпечується. Похибка методу: EMBED Equation.2 (17) де q - максимальне значення першої похідної функції на відрізку EMBED Equation.2 , якщо q<1, то ітераційний процес збігається незалежно від вибору початкового значення EMBED Equation.2 . Початок Вибір початкового значенняxn Ðèñ. 1. Ìåòîä ïîëîâèííîãî ä³ëåííÿ Обчислення xn+1 = g(xn+1) і f(xn+1) | xn+1 - xn |   Так Кінець Ні xn = xn+1 Рис. 3. Метод простої ітерації 3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ Що таке трансцендентне рівняння? Які чисельні методи використовуються для розв'язання трансцендентних рівнянь? Які методи відносяться до методів бісекції? Як побудований алгоритм методу половинного ділення? Як оцінюється точність методу половинного ділення? Чим відрізняється і які особливості методу золотого січення у порівнянні з методом половинного ділення? Як побудований алгоритм методу хорд? Як оцінюється похибка методу хорд? Як працює метод Ньютона? Як побудований алгоритм методу простої ітерації? 4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Ознайомитись із методами чисельного розв'язування трасцендентних рівнянь. Одержати індивідуальне завдання. Знайти розв'язки заданого рівняння методом бісекції, хорд, Ньютона і простої ітерації для заданої точності . Порівняти ефективність і точність даних методів. 5. ЗМІСТ ЗВІТУ Мета роботи. Порівняльна характеристика чисельних методів розв'язування трансцендентних рівнянь. Результати обчислень по кожному із методів. Аналіз результатів, висновки. 6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ Бахвалов И.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.:Наука,1987 - 600 с. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.-М.: Наука, 1970.- 664 с. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. К.: Рад. шк., 1984.- 206 с. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях.- К.: Вища школа, 1986.- 263 с. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ.- К.: Вища школа.- 1989.- 216 с. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ.- М.: Мир, 1982.- 235 с. НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи № 5 з курсу “ Чисельні методи в інформатиці” для базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки” Укладачі Ігор Іванович Мотика Володимир Іванович Каркульовський Редактор О.М.Губарєва Видавництво Державного університету "Львівська політехніка" Львів, вул. Ф.Колесси, 2 Формат 60х84 1/16. Папір офсетний. Умовн.-друк.арк. 0,93. Умовн.фарбо-відб. 0,56. Тираж 15 прим. Зам.365. Тиражування здійснене на кафедрі САПР. Відповідальний за тиражування доц. Каркульовський Володимир Іванович.

Інструкція та методичні настанови Чисельні методи в інформатиці

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись