Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра теоретичної радіотехніки та радіовимірювання (ТРР)
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Індивідуальні завдання та методичні вказівки
Предмет:
Сигнали та процеси в радіоелектроніці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХHІКА"
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
для виконання контрольних та розрахункових з предмету
"Сигнали та процеси в радіоелектроніці"
для студентів базового напрямку "Радіотехніка"
ЛЬВІВ – 2003
Індивідуальні завдання та методичні вказівки для виконання контрольних та розрахункових робіт з предмету "Сигнали та процеси в радіоелектроніці" для студентів базового напрямку "Радіотехніка"/ Укл. Р.І. Желяк, М.В. Мелень. - Львів: Національний університет “Львівська політехніка, 2003. - 42 с.
Укладачі: Р.І. Желяк, к.т.н., доцент
М.В. Мелень, к.т.н., доцент
Відповідальний за випуск: Б.А. Мандзій, д.т.н, проф.
Рецензенти: Мандзій Б.А. д.т.н., проф.
Недоступ Л.А. д.т.н., проф.
ВСТУП
Згідно з навчальним планом виконання розрахункових та контрольних робіт з предме ту "Сигнали та про цеси в радіотехніці” (СПР) студентами базового напряму "Радіотехніка" передбачено в двох семестрах.
Мета виконання згаданих завдань полягає у цьому, щоб:
1. Дати студентам основні знання, необхідні для розуміння принципів побудови та роботи радіоелектронних кіл, пристроїв та сис тем.
2. Виробити навики інженерного аналізу та синтезу радіоелектронних кіл, пристроїв та систем.
3. Виробити навики математичного моделювання радіоелектронних кіл та сигналів, у тому числі з використанням ПЕОМ.
В результаті виконання розрахункових та контрольних робіт студент повинен:
Знати:
- класифікацію та основні характеристики сигналів;
- методи аналізу та синтезу сигналів із заданими параметрами;
- основні перетворення сигналів в радіоелектронних колах та системах;
- ефекти, які виникають при проходженні сигналів через радіоелектронні кола;
- методи аналізу та розрахунку перетворення сигналів в лінійних, нелінійних та параметричних радіоелектронних колах;
- методи оптимальної та цифрової обробки сигналів;
Вміти:
- розраховувати спектральні та часові характеристики сигналів на вході та виході радіоелектронного кола;
- синтезувати сигнали, радіоелектронні кола, структурні і фукціональні схеми радіоелектронних пристроїв із заданими властивостями.
Зміст індивідуальних розрахункових та контрольних робіт охоплює наступні теми предмету: cпектральний аналіз періодичних сигналів( спектральний аналіз неперіо дич них сигналів( застосування перетворення Лапласа( енергетичний спектр та авто коре ля цій на функція детермінованих сигналів( спектральний аналіз модульованих сигналів( дискретизація неперервних сигналів( математичні моделі вузькосмугових сигналів( спектральний та часовий методи аналізу проходження детермінованих сигналів через лінійні стаціонарні кола( методи апроксимації характеристик нелінійних елементів( розрахунок спектра струму в колі з нелінійним неінерційним елементом при дії на нього одного і двох гармонічних коливань; побудова математичних (статистичних) моделей випадкових сигналів та визначення їх параметрів( визначення кореляційної та спектральної характеристик випадкових сигналів( перетворення випадкового сигналу в нелінійному неінерційному колі (за результатами лабораторної роботи)( проектування радіоелектронних схем на основі перетворення спектра одного і двох гармонічних коливань при наявності нелінійного елемента (помножувачі та перетворювачі частоти, модулятор, детектор)( стійкість електричних кіл( автогенератори гармонічних коливань( синтез сигналів в базисі функцій Хаара.
Програмою підготовки передбачено виконання двох контрольних (КР) або розрахункових робіт (РР) (по одній у кожному семестрі). Номер варіанта КЗ однозначно визначають шифром - трьома останніми цифрами залікової книжки. Більшість задач є взаємопов'язаними між собою і їх результати студенти використовують у курсовій робот, яка присв’ячена “Оптимальній, квазіоптимальній та цифровій фільтрації сигналу відомої форми із адитивної суміші сигналу та шуму”. Для студентів денної форми навчання студенти розв'язують задачі на практичних заняттях.
1. ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ РОЗРАХУНКОВИХ ТА КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ
Контрольні та розрахункові роботи з предмету СПР є однією з форм самостій ної роботи студентів усіх форм навчання над предметом, в процесі виконання яких систематизуються, поглиблюються і розширюються теоретичні знання з основних розділів предмету, виробляється вміння застосовувати загальні теоретичні поло ження і загальні методи розв’язку конкретних інженерно-технічних задач; розвиваються і вдосконалюються розрахунково-пояснювальні навики та інженерна інтуїція.
Закінчена і оформлена робота має містити: формулювання і умови задач; розрахунковi формули i необхідні пояснення; результати розрахунків у вигляді таблиць і графіків розрахованих залежностей. КР або РР студент оформляє в зошиті або на стандартних листках паперу формату А4. Рекомендується залишати поля для зауважень викладача. При оформленні потрібно керуватися вимогами і правилами оформлення звiту з науково-дослідної роботи.
Всі алгебраїчні перетворення, пов'язані з виведенням математичних співвідношень, потрібно робити в загальному вигляді, а числові значення підставляти в кінцеві розрахункові формули. Не потрібно приводити в тексті КР виведення формул і рівнянь, які є в літературі.
Розрахунки записують в такому порядку: формула в загальному вигляді - підстановка числових даних - результат обчислень з зазначенням одиниць фізичних величин. Фізичні величини необхідно приводити в одиницях СІ. Результати розрахунків, які багаторазово виконуються по однакових формулах, потрібно подавати у вигляді таблиці. Усі таблиці згори мусять мати слово “Таблиця” і її порядковий номер, а у наступному рядку – назву таблиці.
Графіки бажано виконувати на міліметровому папері з зазначенням масштабу і одиниць величин. Кожен етап розв'язку повинен мати пояснення, а результати обчислень треба записувати з чотирма значущими цифрами. Всі рисунки треба пронумерувати і назвати, а в тексті дати на них посилання.
В КР має бути поданий список використаної літератури, в якому слід вказати прізвище та ініціали автора, назву книжки, місце видання, видавництво, рік видання. Інформацію про джерела, вміщені в список літератури, необхідно давати в квадратних дужках.
На титульному аркуші контрольної роботи треба вказати назву навчального закладу закладу, кафедри, навчальної предмету, індекс групи, прізвище, ініціали та номер залікової книжки студента. В кінці роботи потрібно поставити дату закінчення роботи і свій підпис.
2. ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНИХ (РОЗРАХУН КОВИХ) РОБІТ
2.1. Завдання № 1
Задача 1.*) Математичні моделі та енергетичні характеристики детермінованих періодичних сигналів
Згідно трьох останніх цифр залікової книжки студента (N1, N2, N3) потрібно:
1. З рис.2.1 вибрати і намалювати часову залежність (осцилограму) з номером N3 та записати математичну модель цього сигналу, у якого A=(1+N2) мілівольт, а період повторення T=(1+N1+N2+N3) мілісекунд.
2. Визначити середню за період Т потужність заданого сигналу.
Задача 2.*) Спектральний аналіз періодичних сигналів в базисі гармонічних функцій
Для заданого в задачі 1 періодичного сигналу:
Визначити коефіцієнти розкладу сигналу у ряд Фур’є, розрахувати та зобразити спектральні діаграми сигналу.
2. Визначити практичну ширину спектра і записати математичну модель сигналу у вигляді вкороченого ряду Фур'є.
3. Розрахувати миттєве значення сигналу, апроксимованого вкороченим рядом Фур'є та визначити похибку апроксимації заданого сигналу вкороченим рядом Фур'є.
Задача 3.*) Спектральний аналіз неперіодичних сигналів в базисі гармонічних функцій
Для неперіодичного сигналу, форма якого збігається з заданим в задачі 1 сигналом потрібно:
1. Записати вираз для спектральної густини S(j() неперіодичного сигналу.
Розрахувати і зобразити амплітудну та фазову спектральні діаграми спектральної густини цього сигналу. Особливу увагу звернути на частотні точки, де виконується рівність (=2k(/T (k=0, 1, 2, ... 10).
*) Результати розв’язку цієї задачі далі будуть використані в курсовій роботі з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”.
Рис.2.1 Осцилограми періодичних сигналів
3. Визначити графічним або розрахунковим шляхом практичну ширину та верхню граничну частоту спектра сигналу.
4. Порівняти результати розрахунків з результатами задачі 1.
Задача 4.*) Застосування перетворення Лапласа для визначення спектральних і кореляційних характеристик сигналів
Для заданого в задачі 3 неперіодичного сигналу визначте зображення Лапласа для спектральної густини S(p) та його енергетичного спектра W(p).
2. Використовуючи заміну p = j(, отримайте формули для спектральної густини сигналу S(j() та його енергетичного спектра W((), зобразіть відповідні амплітудні та фазові спектральні діаграми.
3. Визначте та намалюйте автокореляційну функцію сигналу B(().
Задача 5 *) Спектральний аналіз дискретизованих сигналів
Використовуючи результати, отримані в задачах 1 та 2, для заданого періодичного сигналу потрібно:
1. У відповідності з теоремою Котєльнікова вибрати інтервал дискретизації (t та записати ряд Котєльнікова.
Нарисувати часові залежності і спектральні діаграми заданого періодичного та дискретизованого сигналів.
Рис..2.2. Графіки функцій Хаара.
*) Результати розв’язку цієї задачі далі будуть використані в курсовій роботі з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”.
Задача 6. Спектральний аналіз періодичних сигналів в базисі розривних функцій
Для заданого в задачі 1 періодичного сигналу потрібно:
Розрахувати значення перших восьми коефіцієнтів ряду Фур'є-Хаара та записати математичну модель заданого сигналу у вигляді вкороченого ряду Фур'є-Хаара.
2. Нарисувати спектральну діаграму заданого сигналу у базисі функцій Хаара.
Зобразити часові залежності перших восьми функцій Хаара (рис. 2.2.) та миттєвого значення сигналу, апроксимованого вкороченим рядом Фур'є-Хаара.
Задача 7. Спектральний аналіз модульованих сигналів
Вважаючи, що заданий в задачі 1 періодичний сигнал є модулюючим потрібно:
1. Записати математичну модель та нарисувати осцилограму амплітудно-модульованого коливання, якщо амплітуда, частота та початкова фаза несучого гармонічного коливання відповідно дорівнює: В; рад/с; . Вважати коефіцієнт пропорційності к=0.5.
2. Визначити та нарисувати спектральні діаграми АМ коливання і розрахувати практичну ширину його спектра.
3. Якісно нарисувати осцилограму частотно-модульованого коливання.
Беручи до уваги лише основну гармонічну складову (першу гармоніку) спектра заданого модулюючого сигналу, записати математичну модель ЧМ сигналу, у якого параметри несучого коливання такі, як у пункті 1, а девіація частоти рівна ((= (номер групи*10)/(1+N2+N3) рад./с.
Нарисувати спектральні діаграми ЧМ коливання та визначити практичну ширину його спектра.
Задача 8. Визначення характеристик випадкових сигналів
1. Розрахуйте середнє значення , дисперсію , середньоквадратичне відхилення для випадкового сигналу , вибіркові значення якого наведені в табл.2.1, а період вибірки в табл.2.2.
За заданими вибірковими значеннями зобразіть реалізацію випадкового сигналу , покажіть рівні середнього значення випадкового сигналу і .
3. Розрахуйте та нарисуйте гістограми інтегральної та диференціальної функцій розподілу імовірності заданого випадкового сигналу.
4. Розрахуйте та нарисуйте графіки нормованої автокореляційної функції та енергетичного спектра потужності заданого випадкового сигналу.
Таблиця 2.1.
Вибіркові значення випадкового процесу
№
ви-бірки
Значення випадкового сигналу для варіанта N4
(N4 – остання цифра в сумі N2+N3)
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
7.992
9.698
14.52
2.141
9.537
8.821
2.947
1.648
-0.86
0.309
2
12.17
5.661
5.495
-4.31
10.17
5.194
15.41
2.863
-3.97
1.005
3
11.18
1.398
6.530
-7.95
10.08
7.038
3.586
-0.08
0.004
0.690
4
6.945
8.591
1.181
13.99
11.73
-1.92
15.43
-1.07
-4.35
-1.78
5
11.47
8.269
12.08
-4.95
8.336
-4.47
8.362
0.625
0.147
0.032
6
6.383
2.488
10.00
3.496
7.704
-3.37
8.089
8.072
2.809
4.360
7
6.150
1.905
16.41
12.78
5.018
-0.75
8.007
-1.19
-1.34
2.121
8
4.324
-2.73
1.026
0.040
8.646
1.167
5.011
3.524
1.653
-6.01
9
6.318
12.38
17.29
5.094
10.27
10.40
10.48
1.740
-1.37
-5.99
10
6.453
-2.48
11.61
2.020
11.02
-4.41
2.771
4.828
3.870
0.709
11
5.074
3.514
8.063
-8.29
6.347
4.672
6.540
4.769
3.940
-0.98
12
6.657
-4.34
5.446
-2.00
9.344
-1.70
6.672
-0.51
-2.50
-1.96
13
11.18
2.765
4.824
3.886
9.868
7.523
5.223
6.153
-1.37
-1.91
14
7.717
5.050
-0.48
3.714
8.493
12.90
7.278
6.569
-1.34
3.45
Продовження таблиці 2.1.
№
ви-бірки
Значення випадкового сигналу для варіанта (N4) в вольтах
(N4 – остання цифра в сумі N2+N3)
15
9.022
-3.59
-3.19
10.63
9.823
4.572
12.38
4.401
3.146
-3.80
16
12.87
5.588
9.674
8.575
8.888
7,427
6.397
2.621
3.946
-5.07
17
5.093
7.171
4.753
-3.00
8.401
7.310
12.53
4.262
0.912
1.573
18
9.209
2.647
-5.13
-0.33
9.849
-2.53
11.44
7.155
2.552
-1.55
19
9.283
5.972
10.97
20.41
7.042
9.420
7.027
8.913
-0.67
-0.28
20
6.588
2.961
9.866
-5.86
12.10
1.889
3.121
6.227
-1.28
-2.28
21
9.741
-5.38
-0.29
5.870
8.201
-3.19
4.781
5.524
-0.02
2.974
22
10.98
5.210
14.89
-13.2
7.102
3.410
12.09
7.225
2.274
-2.08
23
4.811
4.262
17.13
9.655
8.475
-0.12
7.534
1.199
2.797
-3.90
24
11.10
0.561
14.47
-6.39
10.19
3.181
9.620
5.200
0.882
-0.47
25
2.432
6.239
-0.83
1.656
9.291
3.176
10.28
6.563
0.330
5.338
26
6.317
4.970
12.59
6.567
12.76
3.117
11.56
2.008
1.656
-5.73
27
13.05
0.972
8,788
7.544
9.281
-0.09
6.030
4.944
-0.49
2.515
28
4.670
10.42
-3.34
6,711
6.531
11.03
9.571
-2.33
-1.84
0.687
29
7.325
4.419
3.267
-6.03
7.539
-0.65
8.195
8.810
0.595
2.632
30
4.861
2.669
14.57
3.137
13.00
7.178
4.030
11.29
3.933
-2.34
31
11.04
1.575
11.50
7.828
10.79
1.210
7.284
0.866
0.621
-3.75
32
8.199
7.546
-0.79
-9.13
11.05
-1.12
6.223
2.844
7.963
3.357
33
8.172
3.054
16.66
0.358
7.790
0.323
5.538
4.142
3.651
-0.91
34
8.563
6.287
-2.63
6.117
7.155
3.574
8.910
1.194
-2.34
1.036
35
12.19
7.243
8.249
4.112
10.04
5.246
5.756
1.229
5.886
-7.99
36
5.446
4.016
3.848
6.014
6.778
9.336
0.871
1.712
3.437
1.74
37
9.146
8.430
9.092
3.793
6.399
13.71
13.55
5.746
0.189
-9.3
38
10.12
-0.72
2.029
3.734
5.386
-1.28
7.890
4.810
-3.19
4.62
39
3.753
1.165
4.925
4.795
8.218
-6.66
9.992
3.435
4,771
-1.2
Продовження таблиці 2.1.
№
ви-бірки
Значення випадкового сигналу для варіанта (N4) в вольтах
(N4 – остання цифра в сумі N2+N3)
40
7.420
-0.89
1.637
14.19
8.013
1.321
2.992
4.900
6.099
-0.9
41
5.074
10.20
6.153
-10.1
10.54
-0.16
8.959
3.000
3.836
2.68
42
3.624
2.027
3.422
5.618
5.619
15.35
9.403
2.608
1.960
4.34
43
8.757
3.827
6.016
-19.5
3.029
-0.40
7.778
4.607
2.722
3.48
44
8.056
11.45
10.12
-0.46
9.497
4.270
7.257
-0.67
3.456
2.41
45
8.721
5.254
7.111
-0.87
5.482
2.452
10.97
11.09
0.252
0.94
46
5.957
7.69
3.255
5.241
8.458
-2.66
10.19
8.268
1.815
-6.1
47
8.243
12.66
5.904
-10.2
11.91
-1.26
8.865
3.932
1.171
3.47
48
3.432
1.098
7.309
4.35
9.292
-2.67
10.0
3.633
4.407
0.34
49
4.177
1.11
-0.16
16.49
6.955
9.339
8.586
7.207
4.774
-1.9
50
8.856
10.45
-4.61
9.898
6.286
2.225
5.405
8.465
3.166
-5.5
51
7.476
12.18
7.602
-4.15
11.08
-6.5
6.229
1.313
-0.58
5.28
52
13.08
1.097
10.43
-3.29
7.816
0.46
4.716
2.078
4.162
4.87
53
7.65
-8.59
0.321
-0.78
9.694
6.228
4.881
7.132
2.093
-2.3
54
11.06
10.57
-0.11
5.284
5.916
7.673
8.355
8.263
1.21
8.64
55
6.16
11.97
4.593
-1.75
11.62
-2.44
13.01
3.908
-1.26
-1.1
56
4.824
-1.24
2.975
-2.51
8.729
-8.16
3.878
-3.39
1.576
-1.0
57
8.761
6.994
10.99
1.507
9.584
5.147
10.04
5.743
2.608
-5.3
58
7.96
13.16
-2.04
6.645
8.04
-1.19
17.17
-0.28
2.574
-3.4
59
7.438
3.514
2.203
7.732
7.307
9.083
9.909
4.318
0.564
1.67
60
6.515
1.399
-3.86
14.24
6.833
7.357
12.27
6.944
4.348
4.13
Таблиця 2.2
Значення періодів вибірок
№ варіанта = N3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Період вибірки, мкС
50
110
150
200
250
300
350
400
450
500
Методичні вказівки до контрольної (розрахункової) роботи № 1
Для розв'язку першої задачі рекомендується ознайомитись з матеріалом, поданим в: [1], c. 16-37; [2], c.16-19, c.42-44. , 135-139.
Для того, щоб зробити сигнали об'єктами теоретичного вивчення і розрахунків, необхідно вказати спосіб їх математичного описання - створити математичну модель (ММ) досліджуваного сигналу. Часто для запису ММ сигналу використовують функції вмикання. Наприклад ММ синусоїдного коливання з амплітудою А і частотою (, котре існує на проміжку часу [0,(I] можна записати у вигляді:
(1)
або
(2)
де - функції вмикання Хевісайда, значення котрих в залежності від аргументу рівні:
. (3)
Енергію сигналу прийнято визначати, виходячи із квадрату його норми:
. (4)
Вона відповідає енергії, яку виділяє цей сигнал на одиничному опорі.
Для періодичного сигналу s(t)=s(t+nT), (n = ( 1,2..; T - період сигналу) вико рис товують поняття середньої за період потужності та енергії сигналу, яку виділяє цей сигнал на одиничному опорі. Їх і визначають із співвідношень:
Дж, (5)
Вт, (6)
Для розв'язку другої задачі рекомендується ознайомитись з матеріалом, по да ним в: [1], c.38-42; [2], c.23-26.
Спектральний склад періодичного сигналу в базисі гармонічних функцій отри мують за допомогою ряду Фур'є в тригонометричній формі:
, (7)
коефіцієнти якого визначають з формул:
; , (8)
де (1=2(/T - частота першої гармоніки; n - номер гармонічної складової.
Інша еквівалентна форма ряду Фур'є записується у вигляді:
, (9)
для якого амплітуду косинусоїдальної складової n-ої гармоніки та її початкову фазу отримують з формул:
. (10)
Зручнішим для розв’язку задач є ряд Фур'є в комплексній формі:
(11)
Комплексну амплітуду n-ої гармоніки сигналу визначають з виразу:
(12)
Зауважимо, що між коефіцієнтами Аn, (n та ряду (9) та (11) існує такий зв'язок:
; ;
На основі значень коефіцієнтів Аn та (n або (Cn( та (n можна побудувати амплітудні (АЧС) і фазові (ФЧС) спектральні діаграми сигналу. Для цього на осі ординат відповідних діаграм відкладають значення коефіцієнтів Аn ((Cn() або (n, а на осі абсцис частоти n(1 відповідних спектральних складових (рис.2.3).
Рис. 2.3 Амплітудна - а) та фазова - б) спектральні діаграми періодичного сигналу
Для періодичних сигналів s(t) cередня потужність за період сигналу може бути визначена також через спектральні коефіцієнти Аn та (Cn( з формули:
(13)
Таким чином середня за період потужність сигналу дорівнює сумі середніх за період потужностей, які виділяються постійною складовою і кожною гармонікою зокрема.
Введення поняття потужності РN, яка зумовлена N гармоніками спектра сигналу, дозволяє знайти практичну ширину спектра. Вона охоплює область частот , де зосереджено не менше 90% середньої енергії або потужності сигналу. Це дозволяє наближено описати (апроксимувати) заданий сигнал у вигляді вкороченого N членами ряду Фур'є:
(14)
Для визначення числа гармонік сигналу N, які знаходяться в практичній ширині спектра спочатку з формули (6) визначаємо середню потужність сигналу і далі з формули
(15)
визначаємо мінімальне значення числа гармонік N, яке задовольняє виконання нерівності .
Оскільки для періодичних сигналів нижня частота спектра дорівнює нулеві, то верхня гранична частота і практична ширина спектра є однаковими, тобто:
(16)
Для визначення миттєвого значення сигналу, апроксимованого вкороченим N членами рядом Фур'є, розраховуємо значення виразу (14) у фіксовані моменти часу в межах одного періода зміни сигналу, наприклад ; (k=0,1,….20).
Похибку апроксимації сигналу вкороченим рядом Фур’є знаходимо за такими формулами:
- абсолютна похибка;
- середньоквадратична похибка, (17)
- відносна похибка;
де s(ti), - дійсне і апроксимоване значення сигналу в момент часу ti; (ti=i(T/k);
di= s(ti) - - абсолютна похибка в точці ti;
k - кількість точок на періоді (10 < k < 30).
Для розв'язку третьої задачі рекомендується ознайомитись з матеріалом, поданим в: [1], c.43-67, c.68-83; [2], c.27-55., c.67-71.
У випадку гармонічного аналізу неперіодичного сигналу, заданого на проміжку часу (ti, t2), його спектральну густину визначаємо за допомогою прямого перетворення Фур'є:
, (18)
яке для функції s(t) існує при виконанні умови абсолютного інтегрування сигналу:
(19)
Своєю чергою миттєве значення сигналу пов'язане з його спектральною густиною оберненим перетворенням Фур'є:
(20)
При розв’язку задачі доцільно використовувати властивості перетворень Фур’є подані в додатку 4.
За умови, що інтервал часу [t1, t2] є меншим періоду повторення сигналу T значення коефіцієнтів комплексного ряду Фур'є можна отримати із спектральної густини S(j() для неперіодичного сигналу такої ж форми з формули:
(21)
Для неперіодичного сигналу за практичну ширину спектра приймають частотний інтервал, в межах якого модуль спектральної густини сигналу перевищує наперед задане значення (звичайно (Smax(/10). Часто також викори стовують наближене співвідношення між верхньою частотою спектра і тривалістю імпульсу fв((i (1.
Точно практичну ширину спектра можна визначити з нерівності:
(22)
Для розв'язку четвертої задачі рекомендується ознайомитись з матеріалом, поданим в: [1], c.43-67; [2], c.27-55.
Перетворення Лапласа S(p) сигналу s(t) задається інтегралом:
, (23)
де сигнал s(t) називають оригіналом, а функцію S(p) - його зображенням за Лапласом.
Формула оберненого перетворення Лапласа має вигляд:
(24)
При розв’язку задач відповідність між оригіналами і зображеннями рекомендується знаходити у таблицях перетворення Лапласа, поданих у додатку 5.
Спектральну густину енергії W(() сигналу s(t), яку називають також енергетичним спектром сигналу, визначає формула:
W(() = (S(j()(2
Для якісного визначення ступені відмінності сигналу s(t) і його зміщеною в часі копією s(t-() вводять автокореляційну функцію сигналу Bs ((), яка дорівнює:
(25)
Із (25) видно, що при ( = 0, автокореляційна функція дорівнює енергії сигналу, яку виділяє цей сигнал на одиничному опорі (BS (0) = E). Важливою властивістю функції ВS (() є її парність ( ВS (() = ВS (-()).
Для розв'язку п’ятої задачі рекомендується вивчити формулювання, доведення і особливості використання теореми Котєльнікова [1], c.74-79;[3],c.66-74. Особливу увагу зверніть на спектральне пояснення теореми Котєльнікова.
Слід врахувати, що згідно теореми Котєльнікова (теореми відліків), сигнал s(t), який не містить складових з частотами вище fB, повністю визначається своїми відліками (миттєвими значеннями) s(n(t), взятими через інтервали часу (t ( 1/(2fB), і може бути записаним у вигляді ряду Котєльникова:
(26)
Дискретизований сигнал та його спектр описують формули:
(27)
(28)
З виразу (28) випливає, що спектр дискретизованого (вибіркового) сигналу являє собою суму зміщених на осі частот копій спектра неперервного сигналу s(t), з центральними частотами 0, ((Д, (2(Д, (3(Д..... Таким чином спектр дискретизованого сигналу є періодичним, з періодом повторення (Д.
Якщо інтервал дискретизації сигналу задовольняє умову (t ( 1/(2fВ), то виконується умова (Д ( 2(В () , при якій пелюстки сусідніх копій спектра неперервного сигналу s(t) не перетинаються. У цьому випадку можна відновити первинний сигнал з дискретизованого, пропустивши дискретизований сигнал через ідеальний фільтр нижніх частот (ФНЧ) з комплексним коефіцієнтом передавання:
.
Саме за таких умов імпульсна характеристика такого фільтра
(29)
з точністю до постійного множника збігається з функцією відліків (0(t):
Якщо ж умова (t ( 1/(2fB) не виконується, то (Д < (B , сусідні копії спектра перетинаються і відновлення первинного сигналу s(t) неможливе. Максимальний інтервал (період) дискретизації догрівнює (t = 1/(2fB), що і стверджує теорема Котєльнікова.
Перед розв'язуванням задачі 6 рекомендується познайомитися із властивостя ми функцій Хаара, описаними в додатку 1 [5], c.47-48.
Систему ортонормованих функцій Хаара можна використовувати як ортогональну базисну систему при розкладі в рівномірно збіжний ряд Фур'є-Хаара будь-якої неперервної на відрізку [0,1] функції f(x):
(30)
з коефіцієнтами
(31)
При використанні функцій Хаара (графіки деяких з них зображені на рис.2.2) в якості базисних для апроксимації заданого сигналу s(t) на відрізку [0,T] безрозмірний аргумент х функції Хаара необхідно подати у вигляді добутку , де коефіцієнт a = 1/T задає необхідний часовий масштаб функцій.
Перед розв'язуванням задачі 7 ознайомтесь з матеріалом, поданим у [1], c.88 -104; [2], c.72-88.
Для амплітудної модуляції (АМ) змінюється за заданим законом амплітуда переносника і ММ такого коливання при використанні гармонічного переносника описується виразом:
,
де s(t) - модулюючий сигнал; k - коефіцієнт пропорційності; Um - амплітуда переносника; (н( (н - частота та початкова фаза переносника.
При АМ складним періодичним сигналом, поданим у вигляді ряду Фур'є
, (32)
ММ АМ коливання описується виразом:
(33)
де Мi=Ai/Um - і-ий парціальний коефіцієнт модуляції; (i, (i - частота та початкова фаза і-ої гармоніки модулюючого коливання.
Для визначення спектральних складових АМ коливання вираз (33) слід переписати у вигляді:
(34)
Для модулюючих сигналів з обмеженим спектром у формулах (33, 34) в сумах враховують лише N членів, для яких Mn(0.
Середню потужність АМ сигналу можна знайти за формулою:
(35)
де Рн.сер, Рвб.i, Рнб.i - відповідно середні потужності переносника та верхніх і нижніх бокових спектральних складових з частотами (н ( n(1.
Практичну ширину спектра АМ коливання можна визначити використовуючи
середню потужність АМ сигналу із нерівності, аналогічній (15), а також з формули:
((пр=2(max , (36)
де (max - верхня гранична частота спектра модулюючого коливання.
Рис.2.4. Амплітудні спектральні діаграми модулюючого - а) і АМ - б) коливань.
При частотній модуляції (ЧМ) пропорційно зміні модулюючого коливання змінюється частота:
,
а для фазомодульованих коливань (ФМ) повна фаза:
де k-коефіцієнт пропорційності, - частота переносника, - початкова фаза переносника.
Основними параметрами ЧМ та ФМ сигналів загального вигляду є девіація частоти ((= k(smax(t), девіація фази ((= k(smax(t) та індекс модуляції М.
Миттєва частота ((t) сигналу зв’язана з повною фазою коливання ((t) формулою:
. (37)
Тому для модулюючих сигналів, ММ яких представлено сумою гармонічних коливань виду:
(38)
ММ ЧМ та ФМ коливань має майже однаковий вигляд:
(39)
(40)
де MЧМn=((n/n(1, MФМn=((n парціальні індекси модуляції для ЧМ та ФМ коливань.
В зв'язку з подібністю ММ ЧМ та ФМ коливань їх називають сигналами з кутовою модуляцією (КМ).
Визначення спектральних характеристик КМ сигналів для довільного модулюючого сигналу є складною задачею. Для простішого випадку - модуляції одним гармонічним коливанням (однотональна модуляція) спектральні складові КМ сигналу для довільного індексу модуляції визначаються з ряду:
(41)
де Jk(M)- функція Бесселя k-того індексу від аргументу MKM;
MKM - індекс модуляції.
Значення функцій Бесселя подані у додатку 2.
Практичну ширину спектра КМ коливання можна визначити з формули:
((практ(2(1+MKM)((в, (42)
де (в- верхня частота спектра модулюючого коливання.
При розв'язанні задачі 8 рекомендуємо познайомитись з матеріалом, викладеним в [5], c. 95-96.
Для визначення середнього значення , дисперсії та середньо квадратичного відхилення реалізації випадкового сигналу, заданого N відліками x(tn) = x(n(t) = xn через інтервал часу (t скористаємось формулами:
для часового середнього
, (43)
для дисперсії
, (44)
для середньоквадратичного відхилення
(45)
Для визначення гістограм інтегральної функції розподілу та густини розподілу імовірності випадкового сигналу інтервал зміни його відліків [xmin ... xmax] потрібно розбити на 10...20 однакових відрізків (x і визначити частоту попадання (i згаданих відліків у кожен відрізок [xmin+(i-1) (x, xmin+i(x] зокрема. Тоді значення функції густини розподілу та інтегральної функції розподілу імовірності у вказаних інтервалах визначимо з формул:
; ; , (46)
де ni - число відліків випадкового сигналу , які попали у і-тий інтервал;
.
Відліки нормованої автокореляційної функції та спектру потужності N(j) випадкового сигналу (j=0,1,….,N-1) визначимо з формул:
, (47)
, (48)
де j=(/(t, , ;
(, - аргументи нормованої автокореляційної функції R(() та спектра потужності N(() неперервного випадкового сигналу x(t);
N-кількість вибіркових значень випадкового процесу.
2.3. Завдання № 2
2.3.1. Зміст завдання
Задача 1.*) Часові та частотні моделі лінійних радіоелектронних кіл
Згідно трьох останніх цифр залікової книжки студента (N1, N2, N3) потрібно:
1. З рис.2.5 вибрати і накреслити задане лінійне радіоелектронне коло з номером N4, (N4 дорівнює останній цифрі суми N2 + N3). Значення параметрів компонентів схеми (крім заданого викладачем компонента) дорівнюють: R=1 кОм; R1= R; R2=2R; R3=R/2. Значення індуктивності L та ємності С вибираються так, щоб постійна часу ( кола визначалась рівнянням =0.2Т.
2. Записати вирази, розрахувати і зобразити амплітудну та фазову частотні характеристики коефіцієнта передавання, якщо вхідною дією є напруга (струм), а вихідною реакцією - напруга.
3. Записати вираз, розрахувати і зобразити часові діаграми імпульсної та перехідної характеристик цього кола, якщо вхідною дією.
4. На підставі виразу для КПФ записати ММ радіоелектронного кола у вигляді звичайного диференційного рівняння та перевірити коло на стійкість.
Задача 2.*) Перетворення детермінованих сигналів в лінійних
радіоелектронних колах
На підставі результатів, отриманих в задачах 3 КР № 1 та 1 КР № 2 для заданого лінійного радіоелектронного кола записати вирази для спектральної густини і енергетичного спектра сигналу на виході кола.
Розрахувати та нарисувати спектральні діаграми спектральної густини і енергетичного спектра сигналу на виході кола.
Записати вираз, розрахувати та зобразити часову залежність сигналу на виході кола.
Якісно зобразити спектр вихідного сигналу, вважаючи, що на вході кола діє періодичне коливання, форма якого задана в задачі 2 КР № 1.
*) Результати розв’язку цієї задачі далі будуть використані в курсовій роботі з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”.
Рис. 2.5. Схеми лінійних радіоелектронних кіл.
Задача 3. Апроксимація характеристик нелінійних елементів
Прохідна вольт-амперна характеристика польового транзистора задана таблицею:
Таблиця 2.3. Динамічна характеристика транзистора КП 325А
Uз , B
-3
-2.5
-2
-1.0
-0.5
0
0.5
ic, мА
0
0.4
1.0
5.1
5.2
7.5
10
У відповідності до трьох останніх цифр залікової книжки студента N1N2N3 потрібно:
1. Апроксимувати задану ВАХ поліномом третього степеня
ic=b0+b1(U3-U0)+b2(U3-U0)2+b3(U3-U0)3
відносно робочої точки U0 = -1.5 + 0.3((N3- 5) В.
2. Побудувати апроксимовану та задану ВАХ, визначити: похибку апроксимації ВАХ, статичний та динамічний опір, крутість нелінійного елемента на обидвох характеристиках аналітичним та графічним способом при U3= - 1.5 В, та при U3=U0
3. Апроксимувати задану характеристику ломаною прямою:
Задача 4. Перетворення сигналів в нелінійних електричних
колах при дії гармонічного коливання
Резонансний підсилювач, утворений під’єднанням до стоку польо вого транзистора попередньої задачі паралельного резонансного кон ту ра з неповним ввімкненням і настроєним в резонанс з частотою прикла дених коливань f0= (N2+1) МГц, з параметрами L = 100 мкГн, r =3 Ом, к = 0.2 (к - коефіцієнт вмикання контура).
1. Вважаючи, що до входу підсилювача (затвор транзистора) прикладена напруга:
u(t)=U0+U( cos((0t),
де U(=0.5((N2+1) B; U0=-1.5+0.3((N3-5) B,
визначте амплітуди спектральних складових струму стоку транзистора та напруг на затискачах коливального контура при апроксимації ВАХ степеневим поліномом та ломаною прямою. Поясніть причини розходжень отриманих значень спектральних складових при різних методах апроксимації. Запишіть вираз для напруги на виході резонансного підсилювача.
2. Для отримання із резонансного підсилювача схеми автогенератора гармонічних коливань введіть додатний трансформаторний зв’язок та визначте мінімальне значення взаємоіндуктивності Мкр, при якому наступає cамозбудження коливань в автогенераторі. Побудуйте характеристику середньої крутості та коливальну характеристику транзистора. Для взаємозв’язку М=2(Мкр визначте амплітуду стаціонарних коливань та зробіть висновок про режим збудження автогенератора.
Задача 5. Перетворення сигналів в нелінійних колах при дії полігармонічного коливання
1. На основі резонансного підсилювача задачі 2 реалізуйте схему модулятора АМ-коливань. Визначте коефіцієнт глибини модуляції першої гармоніки струму та амплітуду складових несучого та бокових коливань, якщо до входу АМ-модулятора прикладена адитивна суміш двох гармо ніч них коливань і напруга зміщення:
u(t)=U0+U(cos((0t)+U(cos((t) ,
де U0 = 0.1*(N1+1) B; ( = (0/100 ; U(= -1.5+0.3*(N3-5) B ,
U(= 0.5*(N2+1) B.
Запишить вираз для напруги на виході АМ-модулятора.
Шляхом під’єднання до стоку транзистора низькочастотного RC-фільтра, утворіть схему детектора АМ-коливань та виберіть значення елементів фільтра детектора при яких забезпечуються найменші спотворення вихідного низькочастотного сигналу. Визначте, яка повинна бути амплітуда несучого коливання, що подається на вхід детектора для отримання на виході детектора коливання звукової частоти з амплітудою 0.1 В, при коефіцієнті глибини модуляції вхідного сигналу М = (N2+N3)/50. ВАХ транзистора апроксимована ламаною прямою в задачі 1 завдання 2.
Опір навантаження R=5 кОм; f0=(N2+1) МГц; (= (0/100.
Одноконтурний параметричний підсилювач забезпечує підсилення сигналів з частотою f0. Індуктивність контура L=120 мкГн, власна добротність Q= 80. Визначте з якою частотою і в яких межах потрібно міняти ємність конденсатора С для одержання коефіцієнта підсилення потужності сигналу Кп=(N2 + N3)/10. Визначте мінімальне значення модуляції ємності С, при якому підсилювач може втратити стійкість.
Задача 6. Перетворення харатеристик випадкових сигналів у лінійних електричних колах
На вхід лінійного кола діє стаціонарний випадковий сигнал X(t) із заданими характеристиками та автокореляційною функцією.
1. Визначте енергетичний спектр і кореляційну функцію вихідного сигналу в усталеному режимі.
2. Побудуйте графіки енергетичних спектрів і кореляційних функцій вхідного і вихідного сигналів.
3. Визначте інтервал кореляції сигналу на виході лінійного радіоелектронного кола, вхідний сигнал і коло є такими, як і у задачі 7 завдання 1 та задачі 4 завдання 2.
Задача 7. Перетворення харатеристик випадкових сигналів у нелінійних електричних колах.
До нелінійного елемента, ВАХ якого задана в задачі 1 завдання 2 прикладена шумова напруга, вибіркові значення реалізацій якої подані в табл. 2.1.
1. Розрахуйте закон розподілу, математичне сподівання та дисперсію струму стоку транзистора.
2. Зобразіть графіки законів розподілу сигналів на затворі та стоці транзистора і його ВАХ.
2.3.2. Методичні вказівки до контрольного завдання 2
Перед розв'язуванням задачі 1 ознайомтесь з матеріалом, поданим у [1], c.184-246; [2], c.142-155., c.174-179.,188-200.
Сигнал на виході лінійного радіотехнічного кола в часовій області можна визначити на основі ММ сигналу в часовій області та імпульсної характеристики h(t) цього кола за допомогою інтеграла Дюамеля:
(49)
Ця формула показує, що сигнал на виході лінійного кола чи системи є згорткою двох функцій - вхідного сигналу та імпульсної характеристики.
Частотний коефіцієнт передавання лінійного радіотехнічного кола пов'язаний з імпульсною характеристикою перетвореннями Фур'є:
, (50)
тому сигнал на виході може також бути визначений у частотній області на основі спектрального методу. Так, якщо на вході лінійного кола діє детермінований сигнал sвх(t) із спектральною густиною Sвх(j() і відомий частотний коефіцієнт передавання H(j() кола, то спектральна густина і миттєве значення сигналу на виході кола будуть відповідно:
; (51)
. (52)
Енергію вихідного сигналу можна знайти за формулою Релея:
(53)
де Wвх((), Wвих(() - енергетичний спектр сигналу на вході та виході електричного кола.
Величину (H(j()(2 = Hp(() називають частотним коефіцієнтом пере да вання потужості.
Автокореляційну функцію сигналу можна визначити, використав ши зворотне перетворення Фур'є від енергетичного спектра сигналу:
. (54)
Для розв'язку задач 2, 3 та 4 необхідно ознайомитись з методами аналізу коливань в нелінійних радіоелектронних колах, які можна знайти в [1], c.227 - 293; [2], c.322 - 340; [3], c.174 - 194; [6], c.58 -70; [7], c.59 - 76, та вивчити умови самозбудження і квазілінійну теорію LC- автоге не ратора [1], c.323 -338, 345 347; [2], c. 439 -444, 446, 450 -454; [3], c.321 -334; [6], c.119 123, 143 -160, 176 - 182; [7], c.186 -191, 201 - 221. Також необхідно розглянути процеси, які відбуваються в параметричних ко лах [1], c.378 -408; [2], c.355 - 376; [3], c.368 - 387; [6], c.225 - 252; [7], c.341 -380.
При розв’язанні задачі 2 необхідно вибрати на ВАХ нелінійного еле мен та в межах дії на його вході сигналу та постійної складової вузлові точки, в яких задана та апроксимована ВАХ збігаються. Їх кількість виз на чається ступенем апроксимуючого полінома. Далі для вибраних точок запи сується система лінійних ал...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора