Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
СИНТЕЗ І АНАЛІЗ СИГНАЛІВ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ УОЛША, РАДАМАХЕРА ТА ХААРА.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Інші
Група:
РТ-31
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство науки та освіти України
НУ „Львівська політехніка”
Лабораторна робота
СИНТЕЗ І АНАЛІЗ СИГНАЛІВ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ УОЛША,
РАДАМАХЕРА ТА ХААРА
Виконав: студент гр.31-рт
Перевірив: Колодій О.З.
Львів 2007р.
Тема: Синтез і аналіз сигналів в базисі функцій Уолша, Радамахера та Хаара.
Мета: Вивчення методів аналізу і синтезу складних сигналів за допомогою систем ортогональних функцій Уолша, Радамахера та Хаара. Теоретичні відомості
Вибір виду ортогональних функцій, за якими проводиться розклад складного сигналу на суму елементарних сигналів залежить від форми і властивостей складного сигналу. Так для періо-дичних сигналів, миттєве значення яких стрибко-подібно змінюється в часі найчастіше використо-вуються системи ортогональних функцій Уолша, Радамахера, Хаара. Це системи прямокутних функцій, які легко формуються за допомогою сучасних інтегральних цифрових мікросхем.
Найбільш простими для практичної реаліза-ції є функції Радамахера (рис. 1), які утворю-ються з синусоїдальних функцій за допомогою співвідношення
(7)
де аргумент - безрозмірний час, тобто час, нормований до інтервалу T= t2 -t1, в межах якого розглядається поведінка функцій, а ціле додатнє число k - порядок функції. Символ siqn (сигнум - функція) - означає функцію
. (8)
Відповідно до (7) і (8) функції Радамахера приймають одне з двох значень: + 1 або -1 і мають вигляд меандру.
Оскільки функції Радамахера задовольняють умови (2) і (3), то вони утворюють систему ортонормованих функцій. Проте усі функції Радамахера є непарними відносно середини інтервалу визначення і тому їх не можна використовувати для апроксимації сигналів s(((, симетричних відносно моменту . Це означає, що система функцій Радамахера є неповною системою ортонормованих функцій.
Найбільш простий спосіб формування повної ортонормованої системи функцій Уолша базується на взаємозв’язку функцій Уолша з функціями Радамахера. У цьому випадку їх формують утворюючи добутки степенів відповідних функцій Радамахера. Позначаються функції Уолша як wal((,(), де ( - аргумент – нормований час, який в межах заданого інтервалу T = t2 - t1 змінюється від 0 до 1, а ( - порядковий номер функції.
Перші вісім функцій Уолша приведені на рис. 2.
Рис. 2. Перші вісім функцій Уолша.
Кожна функція Уолша, wal((,(), яка входить в систему N = 2n функцій, є добутком степенів перших n функцій Радамахера.
Функції Уолша можна використати як систему функцій для спектрального (негармонічного) подання сигналу. Якщо довільний сигнал s(() є інтегрованим в межах інтервалу 0 ( ( ( 1, то його можна подати рядом Фур’є в системі функцій Уолша (або просто рядом Фур’є – Уолша)
(11)
з коефіцієнтами
. (12)
Поза границями інтервалу [0, 1] ряд (11) описує періодичну функцію s(((k(, де k - довільне ціле число. Результати розкладу сигналу s(() за допомогою співвідношень (11) і (12) можна зобразити на спектральній діаграмі, відкладаючи на горизонтальній осі порядкові номери функцій Уолша, а на вертикальній - значення коефіцієнтів Ai. Таку діаграму називають спектром сигналів в базисі функцій Уолша.
З можливості подання довільного сигналу s(() рядом Фур’є - Уолша випливає можливість синтезу (утворення) довільного сигналу на інтервалі [0, 1], форма якого залежить від співвідношення коефіцієнтів Ai. Так, гармонічне коливання s(()=sin(() описується за допомогою перших 16 функцій Уолша виразом:
, (13)
а cпектр цього сигналу в базисі функцій Уолша приведений на рис. 3, а.
Рис. 3. Спектр сигналу s(()=sin(() в базисі функцій Уолша – а) та його часові діаграми – б).
Сума функцій Уолша з цими ваговими коефіцієнтами дає ступінчастий сигнал (рис. 3, б), який досить добре наближається до синусоїдного сигналу.
При розкладі на відрізку [0, 1] довільної неперервної функції в рівномірно збіжний ряд може бути використана як базисна система ортогональних функцій Хаара {}. При цьому необхідно безрозмірний аргумент функцій Хаара замінити на (t, де коефіцієнт (=1/T задає необхідний часовий масштаб функцій і має розмірність часу в мінус першій степені. Графіки деяких функцій Хаара зображені на рис. 4.
При визначенні функцій Хаара використовується поняття двійкових відрізків - відрізки, які можуть бути отримані шляхом ділення відрізку [0, 1] на 2m-1 рівних частин. Ці відрізки вважаються замкнутими зліва і відкритими справа, якщо їх пра-
вий кінець відрізняється від 1. Якщо правий кінець дорівнює 1, то відрізок вважа ється замкнутим також справа. Таким чином, двійкові відрізки - це відрізки [0, 1],
Рис. 4. Графіки перших восьми функцій Хаара.
[0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/8], Відрізки [1/4, 3/4] або [5/8, 7/8] двійковими не вважаються.
Для двійкових відрізків введемо таке позначення:
де j змінюється від 1 до 2m-1, a m = 1,2,... .
Звичайно, у випадку j = 2 m-1 треба вважати l замкнутим також справа. При цьому для кожного m виконується рівність
lm1 + lm2 + lm3 +..... + lm2m-1 = [0, 1].
Поряд з двійковою нумерацією використовують також просту нумерацію, поклавши lmj = ln , де n = 2m-1 + j. Проте, при такій нумерації n = 2, 3, ... відрізок з n= 1 буде відсутнім.
Ліву і праву половини lmj будемо позначати l-mj і l+mj , так що l-mj + l+mj =lmj.
Систему функцій Хаара {} зручно будувати групами: група номер m міс-тить 2m-1 функцій {}, j=1, 2, ... , 2m-1; m=1, 2, ... , причому перша функція = 1 залишається поза групами.
Функції Хаара описуються виразом:
Для кращого розуміння розглянемо приклад розклад у ряд Фур”є-Хаара періо-дичного коливання стрибкоподібної форми, часова залежність якого показана на рис. 5, а.
Рис. 5. Часові діаграми – б) та спектр сигналу s(t) – а) в базисі функцій Хаара.
Порівнюючи часову діаграму сигналу s(t) та показані на рис. 4. графіки перших восьми функцій Хаара отримаємо наступні значення коефіцієнтів ряду Фур”є-Хаара:
;
;
;
;
.
Отже задане періодичне коливання стрибкоподібної форми описується за допомогою перших 8 функцій Хаара виразом:
. (14)
Сума функцій Хаара з розрахованими ваговими коефіцієнтами дає ступінчастий сигнал, форма якого показана на рис. 5, а.
Вхідні дані
Математична модель
Табл. 1
Um (B)
T (мс)
0,3
0,6
Розрахункові дані
Висновок: В даній лабораторній роботі я виконав розклад заданої функції у базисі Уолша , та виявив, що при виборі 7-ми гармоніках виходить дуже велика похибка між заданим та утвореним сигналом.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора