Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Класичне означення ймовірності.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2000
Тип роботи:
Тестові завдання
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Завдання 1. Класичне означення ймовірності
1. Знайти ймовірність того, що серед 5 вибраних навмання цифр: а) немає цифри 0;
б) немає цифри 1.
2. Знайти ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадуть на різні місяці року.
3. У ліфті 6 пасажирів. Ліфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовірність того, що всі пасажири вийдуть на різних поверхах?
4. Визначити, що ймовірніше: при підкиданні чотирьох гральних кісток отримати принаймні одну одиницю чи при 24 підкиданнях двох кісток отримати принаймні один раз дві одиниці.
5. В лотереї є 100 білетів, серед яких 10 виграшних. Обчислити ймовірність виграшу для того, хто купив 20 білетів.
6. В Андрія в кишені 5 ключів, з яких тільки один підходить до його дверей. Він послідовно без повернення витягує ключі до тих пір, поки не з’явиться потрібний ключ. Знайти ймовірність того, що потрібний ключ з’явиться при 3-му витягуванні.
7. Кинуто 6 гральних кісток. Знайти ймовірність того, що: а) на всіх кістках випаде різна кількість очок; б) сума всіх очок, що випали, дорівнює 7.
8. Знайти ймовірність того, що серед 7 вибраних навмання цифр: а) немає цифр 5 і 1; б) немає цифри 5 або немає цифри 1.
9. Гральну кісточку кидають 4 рази. Яка ймовірність того, що: а) хоча б 1 раз випаде 6,
б) шестірка випаде точно один раз?
10. В урні 3 чорних і 7 білих кульок. З урни без повернення навмання витягнули дві кульки. Знайти ймовірність того, що: а) витягнули кульки одного кольору; б) витягнули кульки різного кольору.
11. Учаснику лотереї «Спортлото» з 36 видів спорту (позначених числами від 1 до 36) потрібно назвати 5. Повний виграш отримає той, хто правильно вкаже всі 5 назв. Виграші отримають і ті, хто вгадає не менше трьох назв. Обчислити ймовірність того, що учасник «Спортлото» відгадає 5, 4, 3 назви. Яка ймовірність отримати виграш у «Спортлото»?
12. 10 осіб, серед є особи А та В, шикуються в шеренгу в довільному порядку. Яка ймовірність того, що між особами А та В стане рівно 3 особи?
13. Написано 10 листів, але адреси на конвертах написані навмання. Яка ймовірність того, що принаймні один із адресатів отримає призначений для нього лист?
14. Для зменшення загальної кількості ігор 20 команд розбили на дві підгрупи по 10 команд в кожній. Яка ймовірність того, що дві найсильніші команди виявляться:
а) в різних підгрупах; б) в одній підгрупі?
15. Яка ймовірність того, що вісім тур, які навмання розміщені на шаховій дошці, не зможуть бити одна одну?
16. У три вагони поїзда заходять 9 пасажирів. Яка ймовірність того, що а) у перший вагон зайде 3 пасажири; б) в кожен вагон зайде по три пасажири; в) в один вагон зайде 4, в другий — 3, а в третій — 2 пасажири?
17. В групі є 25 студентів. Яка ймовірність того, що принаймні у двох з них збігаються дні народження?
18. Для зменшення загальної кількості ігор 20 команд розбили на дві підгрупи по 10 команд в кожній. Яка ймовірність того, що чотири найсильніші команди попадуть по дві в різні підгрупи?
19. 15 студентів і 15 студенток довільним чином займають місця в ряду з 30 місць. Яка ймовірність того, що: а) жодні дві студентки не сидітимуть поруч; б) всі студентки сидітимуть поруч?
20. На шахову дошку поставили навмання дві тури (білу і чорну). Що ймовірніше: битимуть чи не битимуть вони одна одну?
21. На іспиті може бути запропоновано 30 питань. Студент знає відповіді на 20. Екзаменатор задає студенту 10 питань. Для того, щоб скласти іспит, треба відповісти не менше, ніж на 5 питань. Яка ймовірність того, що студент складе іспит?
22. На поличці у випадковому порядку розташовано 40 книжок, серед яких — трьохтомник. Знайти ймовірність того, що ці томи будуть стояти в порядку зростання зліва направо, але не обов’язково поруч.
23. 10 осіб, серед є особи А та В, займають місця за круглим столом в довільному порядку. Яка ймовірність того, що особи А та В будуть сидіти поруч?
24. З колоди 36 карт довільним чином витягують дві карти. Яка ймовірність того, що:
а) хоча б одна карта є тузом; б) обидві карти одної і тої ж масті?
25. З колоди 36 карт довільним чином витягується одна карта, після чого вона кладеться назад. Потім з колоди витягують дві карти. Знайти ймовірність того, що всі три карти однієї і тої ж масті.
Завдання 2. Геометрична ймовірність
1. Стержень довжиною L навмання розламали на дві частини. Яка ймовірність того, що довжина меншої частини не перевищує L/3?
2. В круг вписано квадрат. Точку навмання кидають в круг. Яка ймовірність того, що вона попаде в квадрат?
3. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що задано напрямок хорди, а її середина з однаковою ймовірністю може попасти в будь-яку точку на діаметрі, що перпендикулярний їх напрямку. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.
4. На відрізок, який розділений на три рівні частини, навмання кинуто три точки. Знайти ймовірність того, що на кожну з частин відрізку попаде по одній точці.
5. Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжиною на більше L можна побудувати трикутник?
6. На відрізок довжиною L навмання кинуто дві точки A і B. Яка ймовірність того, що довжина відрізку АВ менша L/2?
7. В лінійному рівнянні EMBED Equation.3 коефіцієнт EMBED Equation.3 навмання вибирається із замкнутого проміжку EMBED Equation.3 , а вільний член EMBED Equation.3 — з проміжку EMBED Equation.3 . Визначити ймовірність того, що корінь даного рівняння не менший одиниці.
8. Після бурі між 30-м і 80-м кілометрами телефонної лінії обірвався провід. Яка ймовірність того, що розрив відбувся між 50-м і 65-м кілометрами лінії?
9. Якої товщини повинна бути монета, щоб ймовірність падіння її на ребро дорівнювала 1/3?
10. На відрізок навмання кидають три точки, одну за одною. Яка ймовірність того, що третя по рахунку точка впаде між двома першими?
11. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що один кінець хорди закріплено, а другий з однаковою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку кола. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.
12. На площині проведено паралельні прямі на однаковій відстані d одна від одної. На площину навмання кидають монету радіуса R (R<d/2). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодну з прямих.
13. Навмання взято два додатні числа х та у, кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток не більший 1, а частка не більша 2.
14. Коефіцієнти p і q квадратного рівняння EMBED Equation.3 вибираються навмання з проміжку EMBED Equation.3 . Яка ймовірність того, що корені рівняння будуть дійсними числами?
15. На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими рівна 2а. На площину навмання кидають голку довжиною 2L (L<a). Яка ймовірність того, що вона перетне одну з прямих?
16. В сигналізатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного із сигналів рівноможливе в будь-який момент проміжку часу тривалістю Т. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналу менша t (t<T). Знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацює за час Т, якщо кожен з пристроїв надішле по одному сигналу.
17. На паркетну підлогу навмання кидають монету діаметром d. Паркет має форму квадратів зі стороною b (b>d). Яка ймовірність того, що: а) монета не перетне жодної зі сторін квадратів паркету; б) монета перетне не більше однієї зі сторін квадратів паркету?
18. Два пароплави мають підійти до однієї пристані. Поява пароплавів — незалежна випадкова подія і однаково ймовірна протягом доби. Знайти ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення пристані, якщо час стоянки першого пароплаву — одна година, а другого — дві години.
19. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що середина хорди з однаковою ймовірність може потрапити в будь-яку точку круга. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.
20. На відрізок ОА довжиною L числової осі ОХ навмання поставлено дві точки В(х) та С(у), причому EMBED Equation.3 . Знайти ймовірність того, що: а) довжина відрізка ВС менша L/2;
б) довжина відрізка ВС буде меншою від довжини відрізка ОВ.
21. В кулю радіуса R навмання кидають N точок. Знайти ймовірність того, що відстань від центру кулі до найближчої точки не менша b, 0 < b < R.
22. На колі навмання взято три точки А, В, С. Знайти ймовірність того, що трикутник АВС гострокутний.
23. Дві особи А та В домовилися зустрітися в проміжку часу від 10 до 12 години ранку. Обидві особи приходять в довільний момент часу з цього проміжку не залежно одна від одної і чекають 20 і 10 хвилин відповідно. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться?
24. На відрізок довжиною EMBED Equation.3 довільним чином ставлять дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не буде перевищувати EMBED Equation.3 ?
25. Сфера EMBED Equation.3 розміщена в еліпсоїді EMBED Equation.3 . Знайти ймовірність того, що кинута навмання всередину еліпсоїда точка виявиться всередині сфери?
Завдання 3. Умовна ймовірність. Незалежні події
1. З множини всіх родин, які мають двох дітей, обрано одну родину. Всі елементарні події однаково ймовірні. Яка ймовірність того, що: а) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один хлопчик; б) в родині два хлопчики, якщо відоме, що старша дитина хлопчик?
2. Підкидають два симетричних гральних кубики. Яка ймовірність того, що випаде принаймні одна шістка, якщо відомо, що сума очок дорівнює 8?
3. Підкидають три симетричних гральних кубики. Яка ймовірність того, що принаймні один раз випаде шістка, якщо відомо, що на всіх трьох кубиках випали різні грані?
4. З урни, яка містить 5 білих та 4 чорні кулі, довільним чином витягують послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла. Яка ймовірність того, що друга куля виявиться також білою?
5. Відомо, що при підкиданні 10 гральних кубиків випала принаймні одна одиниця. Яка ймовірність того, що випаде дві або більше одиниць?
6. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінок — дальтоніки. Навмання обрана особа — дальтонік. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що кількість чоловіків і жінок однакова).
7. Дано EMBED Equation.3 . Обчислити EMBED Equation.3 .
8. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А — в родині є хлопчик і дівчинка, В — в родині не більше однієї дівчинки. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити EMBED Equation.3 і довести, що події А і В залежні.
9. Нехай EMBED Equation.3 і виконується рівність EMBED Equation.3 . Що можна сказати про події А та В?
10. Довести, що коли події А і В несумісні з додатними ймовірностями, то А і В залежні.
11. Події А і В несумісні і EMBED Equation.3 . Обчислити EMBED Equation.3 .
12. В двох урнах знаходяться кулі, які відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 3 білі, 4 чорні і 5 червоних куль, а в другій 5 білих, 3 чорні та 6 червоних. З двох урн навмання вибирають по одній кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі будуть однакового кольору?
13. Підкидають два гральних кубики. Розглянемо випадкові події: EMBED Equation.3 — на першому кубику випала парна кількість очок; EMBED Equation.3 — на другому кубику випала непарна кількість очок; EMBED Equation.3 — сума очок на кубиках непарна. Довести, що події EMBED Equation.3 попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності.
14. Довести, що коли А і В незалежні події і EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
15. Серед усіх родин з трьома дітьми обрали одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А — в родині є хлопчик і дівчинка, В — в родині не більше однієї дівчинки. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити EMBED Equation.3 і довести, що події А і В незалежні.
16. Довести, що коли подія А не залежить сама від себе, то EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
17. Довести, що коли EMBED Equation.3 , то події А і В незалежні.
18. Довести, що коли події А, В, С незалежні в сукупності, то події EMBED Equation.3 а також EMBED Equation.3 незалежні.
19. При одному циклі огляду радіолокаційної станції, що стежить за космічним об’єктом, об’єкт буде виявлено з ймовірністю 0,1. Виявлення об’єкту в кожному циклі відбувається незалежно від інших. Проведено 10 циклів огляду. Яка ймовірність того, що об’єкт буде виявлено?
20. Скільки разів потрібно підкинути дві гральні кісточки, щоб ймовірність принаймні однієї появи шестірки була більшою за EMBED Equation.3 ?
21. Два стрільці роблять по два постріли по мішені, причому ймовірність попадання в ціль при одному пострілі для кожного рівні EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно. Яка ймовірність того, що буде принаймні одне влучення в ціль?
22. Довести, що коли А і В незалежні, то EMBED Equation.3 теж незалежні.
23. Події А і EMBED Equation.3 , А і EMBED Equation.3 незалежні, причому EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 — несумісні. Довести, що події А та EMBED Equation.3 незалежні.
24. На площину кидають тетраедр, три грані якого пофарбовані відповідно червоним, жовтим і блакитним кольорами, а четверту — всіма трьома кольорами. Події Ч, Б, Ж полягають в тому, що випаде грань червоного, блакитного і жовтого кольору відповідно. Довести, що ці події попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.
25. 4 рази кидають монету. Відомо, що випали герб і решка. Обчислити ймовірність того, що випаде 2 герби.
Завдання 4. Формула повної ймовірності. Формули Байєса
1. В урні знаходиться одна куля, про яку відомо, що вона або біла, або чорна. В урну поклали білу кулю, а потім після ретельного перемішування взяли навмання одну кулю, яка виявилась білою. Яка ймовірність того, що після цього з урни візьмуть білу кулю?
2. Деталі виготовляються на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу в 3 рази перевищує об’єм продукції першого заводу. Доля браку на першому заводі — EMBED Equation.3 , на другому — EMBED Equation.3 . Навмання взята деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона випущена на другому заводі?
3. Кожна з 4 урн містить 4 білі і 3 чорні кулі. З першої урни взяли одну кулю і переклали в другу, з другої урни взяли одну кулю і переклали в третю, і т.д. Обчислити, яка ймовірність взяття білої кулі з останньої урни.
4. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у ведмедя. Ведмедя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що ведмедя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірність влучення для них відповідно EMBED Equation.3
5. В першій урні знаходиться 5 куль, з яких 3 кулі білі. В другій урні є 7 куль, з яких 5 білих. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої не відомий. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?
6. Радіолокаційна станція веде спостереження за об’єктом, який може створювати перешкоди. Якщо об’єкт не створює перешкоди, то за один цикл огляду станція виявляє його з ймовірністю EMBED Equation.3 , якщо створює — з ймовірністю EMBED Equation.3 . Ймовірність того, що під час циклу огляду будуть створюватись перешкоди, дорівнює 0,25 і не залежить від того, як і коли створювались перешкоди в інших циклах. Знайти ймовірність виявлення об’єкту принаймні один раз за 10 циклів огляду.
7. Прилад складається з 5 блоків, які дублюють один одного, і може працювати в одному з двох режимів — сприятливому і несприятливому. В сприятливому режимі надійність роботи кожного блоку рівна EMBED Equation.3 , а в несприятливому — EMBED Equation.3 . Ймовірність того, що прилад працюватиме в сприятливому режимі — 0,8, в несприятливому — 0,1. Обчислити надійність приладу.
8. В урні 4 кулі. Усі можливі припущення про кількість білих куль в урні рівно можлива. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля буде білою?
9. В урну, яка містить 3 кулі, поклали білу кулю. Яка ймовірність того, що взята навмання з урни куля буде білою, якщо всі припущення про початковий вміст урни рівноможливі?
10. З урни, яка містить 4 кулі невідомого кольору, взяли навмання кулю, яка виявилась білою. Після цього знову вийняли кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла? (Всі припущення про початковий вміст урни однаково можливі).
11. Стрілець А влучає в мішень з ймовірністю EMBED Equation.3 , стрілець В — з ймовірністю EMBED Equation.3 , а стрілець С — з ймовірністю EMBED Equation.3 . Стрільці зробили залп по мішені. Відомо, що є два влучення. Що ймовірніше: попав С в мішень чи ні?
12. На вхід радіолокаційного пристрою надходять з ймовірністю 0,8 сигнали з шумом і з ймовірністю 0,2 — тільки шум. Якщо надходить сигнал з шумом, то пристрій реєструє наявність сигналу з ймовірністю EMBED Equation.3 , якщо надходить тільки шум, то пристрій реєструє наявність сигналу з ймовірністю EMBED Equation.3 . Відомо, що пристрій зареєстрував сигнал. Яка ймовірність того, що надійшов сигнал?
13. На фабриці, що виготовляє гвинти, перша машина продукує 25%, друга — 35%, третя — 40% всіх виробів. Брак в їх продукції складає відповідно 5%, 4% і 2%. Яка ймовірність того, що навмання вибраний гвинт виявиться дефектним?
14. З урни, яка містить 3 білі і 4 чорні кулі, загублено одну кулю. Яка ймовірність взяти навмання з урни білу кулю?
15. Три партії персональних комп’ютерів, що виготовлені різними заводами, нараховують відповідно 20, 30 і 50 штук. Ймовірність того, що комп’ютери працюватимуть без ремонту заданий час для цих партій відповідно дорівнюють 0,7; 0,8 і 0,9. Яка ймовірність того, що вибраний навмання комп’ютер пропрацює без ремонту заданий час?
16. В сітці лежать 20 футбольних м’ячів, серед яких 12 нових і 8 граних. З цієї сітки навмання вибирають два м’ячі і після гри повертають їх в сітку. Після цього з сітки знов виймають два м’ячі для наступної гри. Знайти ймовірність того, що обидва ці м’ячі будуть новими?
17. Проводяться 5 пострілів запалювальними снарядами по резервуару з пальним. Кожен снаряд попадає в резервуар з ймовірністю 0,6. Якщо в резервуар попав один снаряд, то паливо займеться з ймовірністю 0,5, якщо два, то з повною достовірністю. Знайти ймовірність того, що при 5 пострілах паливо займеться.
18. На фабриці, що виготовляє гвинти, перша машина продукує 25%, друга — 35%, третя — 40% всіх виробів. Брак в їх продукції складає відповідно 5%, 4% і 2%. Яка ймовірність того, що навмання вибраний гвинт вироблений першою, другою і третьою машинами відповідно, якщо він виявиться дефектним?
19. Три стрільці роблять по одному пострілу в одну і ту ж мішень. Ймовірність влучення в мішень для першого, другого і третього стільця при одному пострілі відповідно дорівнюють EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Яка ймовірність того, що другий стрілець промахнувся, якщо відомо, що є два влучення?
20. Кожна з 3-ох урн містить 4 білі і 3 чорні кулі, а кожна з 5-ти урн містить 2 білі і 4 чорні кулі. З навмання взятої урни вийняли кулю. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?
21. На шахівницю навмання поставлено два офіцери — білий і чорний. Яка ймовірність того, що вони не битимуть один одного?
22. Нехай в урні є дві монети: симетрична монета з ймовірністю «появи герба» рівною EMBED Equation.3 і несиметрична монета з ймовірністю «появи герба» рівною EMBED Equation.3 . Навмання виймають і підкидають одну з монет. Припустимо, що випав герб. Яка ймовірність того, що вибрана монета симетрична?
23. З урни, яка містить 3 білі і 2 чорні кулі, перекладають дві кулі до урни, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Яка ймовірність взяття білої кулі з другої урни після такого перекладання?
24. Завод випускає за три декади місяця відповідно 20%, 30% і 50% запланованої продукції, причому ймовірність браку дорівнює відповідно 0,01; 0,012 і 0,015. Знайти ймовірність того, що виріб випущено в першій декаді, якщо виявилося, що він має дефект?
25. В двох ящиках знаходяться радіолампи. В першому є 12 ламп, з яких одна нестандартна, в другому — 10 ламп, з яких дві нестандартні. З першого ящика в другий перекладають одну лампу. Після цього з другого ящика довільним чином витягують одну лампу. Знайти ймовірність того, що лампа, яку витягнули з другого ящика буде нестандартною?
Завдання 5. Знайти функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення випадкової величини EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Побудувати графік функції розподілу випадкової величини EMBED Equation.3 , яка задана законом розподілу:
Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Завдання 6. Нехай EMBED Equation.3 – функція щільності розподілу випадкової величини EMBED Equation.3 . Обчислити: число А, функцію розподілу, математичне сподівання і дисперсію випадкової величини EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 .
1. EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3
3. EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3
5. EMBED Equation.3
6. EMBED Equation.3
7. EMBED Equation.3
8. EMBED Equation.3
9. EMBED Equation.3
10. EMBED Equation.3
11. EMBED Equation.3
12. EMBED Equation.3
13. EMBED Equation.3
14. EMBED Equation.3
15. EMBED Equation.3
16. EMBED Equation.3
17. EMBED Equation.3
18. EMBED Equation.3
19. EMBED Equation.3
20. EMBED Equation.3
21. EMBED Equation.3
22. EMBED Equation.3
23. EMBED Equation.3
24. EMBED Equation.3
25. EMBED Equation.3
Завдання 7
Знайти:
невідому константу EMBED Equation.3 , розподіли компонент, математичне сподівання і коваріаційну матрицю випадкового вектора EMBED Equation.3 ;
умовний розподіл компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , умовний розподіл компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , умовне математичне сподівання компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , умовне математичне сподівання компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 набуває значень EMBED Equation.3 ;
перевірити, чи компоненти вектора EMBED Equation.3 є незалежними;
обчислити розподіл суми (для варіантів №1-6), різниці (для варіантів №7-12), добутку (для варіантів №13-18), частки (для варіантів №19-25) випадкових величин EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
Розподіл ймовірностей випадкового вектора EMBED Equation.3 має такий вигляд:
Варіант 1 Варіант 2
Варіант 3 Варіант 4
Варіант 5 Варіант 6
Варіант 7 Варіант 8
Варіант 9 Варіант 10
Варіант 11 Варіант 12
Варіант 13 Варіант 14
Варіант 15 Варіант 16
Варіант 17 Варіант 18
Варіант 19 Варіант 20
Варіант 21 Варіант 22
Варіант 23 Варіант 24
Варіант 25
Завдання 8
Знайти:
розподіли компонент випадкового вектора EMBED Equation.3 ;
умовну щільність розподілу компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , умовну щільність розподілу компоненти EMBED Equation.3 за умови, що EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 ;
математичне сподівання і коваріаційну матрицю вектора EMBED Equation.3 ;
умовні математичні сподівання EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 ;
перевірити, чи компоненти вектора EMBED Equation.3 є незалежними;
Щільність EMBED Equation.3 розподілу вектора EMBED Equation.3 має такий вигляд:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 R .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 R .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Завдання 9. Перевірка статистичних гіпотез
1. В експериментах спостерігалася невід’ємна неперервна випадкова величина EMBED Equation.3 . Її значення (упорядковані за величиною і округлені з точністю до 0,01) для EMBED Equation.3 експериментів дорівнюють:
0,01; 0,04; 0,17; 0,18; 0,22; 0,25; 0,25; 0,29; 0,42; 0,46; 0,47; 0,56; 0,59; 0,67; 0,70; 0,72; 0,76; 0,78; 0,83; 0,85; 0,87; 0,93; 1,00; 1,01; 1,01; 1,02; 1,03; 1,05; 1,32; 1,34; 1,37; 1,47; 1,50; 1,52; 1,54; 1,58; 1,71; 1,90; 2,10; 2,35; 2,46; 2,46; 2,50; 3,73; 4,07; 6,03; 6,21; 7,02.
Перевірити гіпотезу про те, що ці дані є реалізацією вибірки з показникового розподілу з функцією розподілу EMBED Equation.3 .
2. Дві монети підкинули 100 разів, причому два герби випали 23 рази, а дві решки випали 20 разів. Перевірити гіпотезу про те, що кількість підкидань ξ двох монет має біноміальний розподіл.
3. Чотири монети були підкинуті 20160 разів, при цьому комбінації: чотири герби, три герби і решка, два герби і дві решки, один герб і три решки, чотири решки – з’я ви ли ся відповідно таку кількість разів: 1181, 4909, 7583, 5085, 1402 .
Чи свідчать ці дані про те, що кількість гербів, що з’явилися на чотирьох монетах, є бі ном іаль но розподіленою випадковою величиною? Вважати, що всі монети є симетричними. Сформулювати поставлену задачу як задачу перевірки статистичних гіпотез.
4. 1871 по 1900 р. у Швейцарії народилося 1359671 хлопчик і 1285086 дівчаток. Чи погоджується з цими даними гіпотеза H0: ймовірність народження хлопчика становить 0,5?
5. Гральний кубик підкидають 120 разів. Числа від 1 до 6 випали відповідно 18, 23, 15, 21, 25, 18 разів. Чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,01 з гіпотезою про симетричність кубика?
6. При 80 незалежних випробуваннях подія А відбулася 16 разів. Перевірити уз го дже ність цих даних при рівні значущості 0,05 з гіпотезою H0 про те, що EMBED Equation.3 у кожному випробуванні. При якому рівні значущості гіпотеза H0 відхиляється?
7. При 12000 підкиданнях монети Пірсон отримав 6019 появ герба. Чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,05 з гіпотезою про те, що монета була симетричною?
8. При 2000 підкиданнях монети отримано 1474 появи герба. Перевірити узгодженість цих даних при рівні значущості 0,05 з гіпотезою H0:
а) монета симетрична;
б) ймовірність появи герба дорівнює EMBED Equation.3 .
9. У таблиці випадкових чисел серед 1000 знаків цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 зустрілися таку кількість разів:
Перевірте гіпотезу про те, що всі цифри в таблиці випадкових чисел зустрічаються з однаковою ймовірністю.
10. Цифри в десятковому записі числа EMBED Equation.3 . У таблиці наведена кількість появ кожної з цифр у десятковому записі числа EMBED Equation.3 з 800 десятковими знаками.
Чи погоджується гіпотеза про однакові ймовірності появи цифр у десятковому записі числа EMBED Equation.3 з наведеними даними?
11. Поява цифр у розвиненні числа EMBED Equation.3 . Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 серед перших 800 десяткових знаків числа EMBED Equation.3 з’явилися:
Чи погоджується гіпотеза про однакову ймовірність появ кожної цифри в розвиненні числа
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 з наведеними даними?
12. Проводилися досліди з киданням одночасно 12 гральних кубиків. Позначимо через EMBED Equation.3 випадкову величину — кількість кубиків, на яких випало 4, 5 або 6 очок. Нехай EMBED Equation.3 – кількість дослідів, в яких спостерігалося значення EMBED Equation.3 , випадкової величини EMBED Equation.3 . Дані для EMBED Equation.3 дослідів наведені в таблиці:
Чи узгоджуються ці дані з гіпотезою про симетричність кубиків?
13. У дослідах спостерігалася невід’ємна неперервна випадкова величина EMBED Equation.3 . Її значення (впорядковані за величиною і заокруглені з точністю до 0,01) для EMBED Equation.3 дослідів виявилися рівними:
Групуючи дані по EMBED Equation.3 однаково ймовірних (при гіпотезі EMBED Equation.3 ) інтервалах, перевірити гіпотезу EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 (рівень значущості прийняти рівним 0,1).
14. Серед EMBED Equation.3 “випадкових цифр” EMBED Equation.3 цифри, не більші від 4, зустрілися EMBED Equation.3 разів. Перевірити гіпотезу EMBED Equation.3 про випадковість цифр. При якому рівні значущості гіпотеза EMBED Equation.3 відхиляється?
15. При EMBED Equation.3 незалежних випробувань події EMBED Equation.3 , які складають повну групу, здійснились відповідно 1905, 1015 і 1080 разів. Перевірити, чи узгоджуються ці дані при рівні значущості 0,05 з гіпотезою EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 .
16. Метод отримання випадкових чисел був застосований 250 разів, при цьому отримані такі результати:
Чи можна вважати, що застосований метод дійсно дає випадкові числа? Прийняти EMBED Equation.3 .
17. На екзамені студент відповідає лише на одне питання по одній із трьох частин курсу. Аналіз питань, заданих 60 студентам, показав, що 23 студенти отримали питання з першої, 15 – з другої і 22 – з третьої частини курсу.
Чи можна вважати, що студент, який іде на екзамен, з однаковою ймовірністю отримає питання по будь-якій з трьох частин курсу? Прийняти EMBED Equation.3 .
18. Нижче наводяться дані про фактичні об’єми збуту (в умовних одиницях) в п’яти районах:
Чи узгоджуються ці результати з припущенням про те, що збут продукції в цих районах повинен бути однаковим? Прийняти EMBED Equation.3 .
19. За таблицею випадкових чисел отримати вибірку об’єму EMBED Equation.3 з рівномірного розподілу на EMBED Equation.3 . Перевірити, чи ця вибірка дійсно є вибіркою зі згаданого розподілу.
20. При 24000 підкидань монети К.Пірсон одержав 12012 випадань герба. Чи погоджується гіпотеза про симетричність монети з цими даними?
21. В одному з експериментів із гральними кубиками Уелдон підкинув кубик 49152 рази. При цьому в 25145 випадках з’явилися 4, 5 або 6. Чи погоджується з цими даними гіпотеза про симетричність кубика?
22. У кожну зі 100 мішеней зроблено по 10 незалежних пострілів зі спортивного пістолета, причому фіксувалися лише влучення і промахи. Результати наведені в таблиці:
Перевірити чи підпорядковуються результати бі но мі аль но му закону розподілу з ймовірністю влучення 0,5. Прийняти EMBED Equation.3 .
23. Сім монет підкидалися одночасно 1536 разів, причому щоразу відмічалася кількість гербів, що випали. У таблиці наведені кількості EMBED Equation.3 дослідів, в яких випало EMBED Equation.3 гербів.
Перевірити, чи узгоджується гіпотеза про бі но мі аль ний закон розподілу випадкової величини – кількості гербів, що випадають на семи монетах, з дослідними даними. Врахувати, що ймовірність випадання герба при киданні кожної з монет дорівнює 0,5. Прийняти EMBED Equation.3 .
24. Серед 2020 родин з двома дітьми 527 родин мають двох хлопчиків і 476 – дві дівчинки, у решти (1017 родин) – діти різної статі.
Чи можна вважати, що кількість хлопчиків у родині, яка має двоє дітей, є біноміально розподіленою випадковою величиною в припущенні, що ймовірність народження хлопчика становить 0,51?
25. У 50 матерів, які народжували по п’ять разів, кількість синів становила:
4; 1; 4; 2; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 3; 3; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 3; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 2; 5; 4; 4; 2; 4; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4.
Перевірити при рівні значущості 0,01 гіпотезу про біноміальний закон розподілу випадкової величини – кількості синів у матері, яка має п’ятеро дітей, вважаючи, що ймовірність народження сина становить 0,51.
Завдання 10. Задано статистичний ряд частот. Знайти розмах вибірки, емпіричну функцію розподілу, вибіркове середнє та вибіркову дисперсію. Побудувати статистичний ряд відносних частот, графіки емпіричної функції розподілу та полігону відносних частот.
Варіант 1
Варіант 2
Варіант 3
Варіант 4
Варіант 5
Варіант 6
Варіант 7
Варіант 8
Варіант 9
Варіант 10
Варіант 11
Варіант 12
Варіант 13
Варіант 14
Варіант 15
Варіант 16
Варіант 17
Варіант 18
Варіант 19
Варіант 20
Варіант 21
Варіант 22
Варіант 23
Варіант 24
Варіант 25
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора