Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Електронні апарати
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2007
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Інформатика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Національний університет "Львівська політехніка"
МАТЕМАТИЧНИЙ ПРАКТИКУМ В СЕРЕДОВИЩІ MATHCAD.
СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт
з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем”
для студентів базового напрямку 6.0910 „Електронні апарати”
Затверджено
на засіданні кафедри
"Електронні засоби інформаційно-комп’ютерних технологій"
Протокол № ....
від „.....” .............. 2007р.
Львів - 2007
Математичний практикум в середовищі MathCAD. Символьні обчислення. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем” для студентів базового напряму 6.0910 „Електронні апарати”. Укл. І.В. Атаманова, К.І. Янгурський. - Львів: НУ "ЛП", 2007. - 28 с.
Укладачі І.В. Атаманова, к.т.н., доц.
К.І. Янгурський, к.т.н., доц.
Відповідальний за випуск Т.А. Смердова, к.т.н., доц.
Рецензент Є.В. Сторчун, д.т.н., проф.
МЕТА РОБОТИ: набути навички у проведені математичних обрахунків
в середовищі MathCAD
І. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
1.1 Активні символьні обчислення SmartMath
Застосування оператора символьного виводу
На попередньому занятті ви вже познайомилися з символьним знаком рівності, який часто називають оператором символьного виводу.
Починаючи з версії MATHCAD PLUS 5.0 для активних символьних обчислень (так називаються розрахунки, виведення результатів яких здійснює символьний знак рівності) уживається термін SmartMath. SmartMath - це комбінація слів smart і Math, яку можна інтерпретувати або як розумний Mathcad, або як Кмітлива Математика.
Символьний знак рівності ( вводиться після виразу, який необхідно обчислити, за допомогою комбінації клавіш <Ctrl> або кнопкою панелі Symbolic.
Панель Symbolic
викликається опцією View\Toolbars\Symbolic меню головного вікна MATHCAD
або кнопкою
панелі Math, яку, у свою чергу, можна викликати опцією View\Toolbars\Math
меню головного вікна MATHCAD.
Розглянемо приклади застосування символьного знаку рівності.
1. Символьні перетворення дійсних і комплексних дробів (), а потім чисельні:
2. Транспонування, обернення і знаходження визначника матриці:
Для заданих матриць:
Знаходимо транспоновані матриці:
Шаблони для введення символьних операторів транспонування , обернення матриці , визначника зручно вводити наступними кнопками панелі Symbolic.
Обернені матриці:
Визначники матриць:
Формула трикутників для визначника матриці третього порядку:
3. Скалярний добуток векторів (стовпців довільної розмірності і векторний добуток (тільки для тривимірних вектор-стовпців):
4. Використання в конструкції розв’язуючих блоків (Solve Blocks) для аналітичного розв’язання систем рівнянь і нерівностей.
Для того, щоб розв’язати систему рівнянь за допомогою розв’язуючого блоку Given - Find (Дано - Знайти) побудуйте цей блок наступним чином:
1) Наберіть ввідне слово Given.
2) Нижче за ввідне слово введіть рівняння системи, використовуючи для знаку рівність в рівняннях знак логічної рівності, який вводиться комбінацією клавіш <Ctrl => або відповідною кнопкою панелі Boolean.
3) Введіть або з клавіатури, або із списку діалогового вікна Insert Function, функцію рішення систем рівнянь find(x1,x2...). У дужках через кому задайте змінні в тому порядку, в якому повинні бути розташовані відповідні ним коріння.
Діалогове вікно вставки функції
викликається комбінацією клавіш <Ctrl + E> або опцією View\Function.меню активного вікна MATHCAD.
Ім'я функції, що вставляється, виділяється в списку правого віконця Function Name і натискається кнопка OK.
4) Як оператор виведення результату роботи функції find(x1,x2...) використовуйте оператора символьного виводу. У такій комбінації функція find повертає матрицю, стовпцями якої є рішення системи
В якості прикладу розглянемо аналітичне рішення системи нелінійних рівнянь методом розв’язуючого блоку.
Таким чином, MathCAD знайшов два розв’язки системи:
x = -3 x = 1
y = -2 y = 0
z = -4 z = 2
Зауваження. Рядки між Given і Find по всій ширині робочого листа є зоною розв’язуючого блоку і для коректної роботи програми не повинні містити ніяких записів, окрім рівнянь системи і обмежень на змінні у вигляді нерівностей
5. Обчислення границь за допомогою символьного знаку рівності
(комбінація клавіш <Ctrl .>):
Введення шаблону знаку границі і заповнення міток введення в нім здійснюється за допомогою кнопок панелей Calculus і Calculator
Панель Calculus
викликається опцією View\Toolbars\Calculus меню головного вікна MATHCAD
або кнопкою
панелі Math, яку, у свою чергу, можна викликати опцією View\Toolbars\Math
меню головного вікна MATHCAD.
Панель Calculator
Відкриття панелі Calculator
У разі, коли панель Calculator не відкрита, наступні дії з меню основного робочого вікна MATHCAD (головного меню) приведуть до її відкриття:
Виберіть Toolbars => Calculator з опції View головного меню:
Отримаєте це:
або
виберіть Toolbars => Math з опції View головного меню, а потім на панелі Math, що відкрилася
натисніть кнопку
Перетягніть мишею панель Calculator в ту частину основного вікна, де вона не буде повністю затулена вікном Ресурсів, яке необхідно знов включити і зробити активним, клацаючи по його ярлику на панелі завдань Windows.
6. Символьне диференціювання за допомогою символьного знаку рівності (комбінація клавіш <Ctrl .>):
Приклади безпосереднього символьного диференціювання:
Знаки похідної і другої похідної вводиться кнопками панелі Calculus або комбінаціями клавіш <Shift+/> і <Ctrl+Shift+/> відповідно.
Приклад символьного диференціювання наперед заданої функції:
Попереднє завдання функції.
Визначення похідної заданої функції.
Відкладене обчислення похідної заздалегідь заданої функції.
Безпосереднє символьне диференціювання.
7. Символьне інтегрування (знаходження первісної).
Приклади знаходження первісної:
Знак невизначеного інтеграла вводиться відповідною кнопкою панелі Calculus або комбінацією клавіш <Ctrl+i>
Перевірка:
Перевірка:
Перевірка:
8. Символьне підсумовування і певні інтеграли
Приклад обчислення суми ступенів чисел відрізка натурального ряду.
Надаючи k різні цілі значення, можна отримати звідси багато корисних формул.
Як інший приклад застосування символьного підсумовування розглянемо обчислення визначеного інтеграла на інтервалі [а, b] від функції
f(x):= x2
як границі послідовності інтегральних сум при необмеженому подрібненні розбиття відрізка інтегрування. Якщо розбивати відрізок [а, b] на N рівних частин і обчислювати значення функції в лівих кінцях часткових відрізків, то N-а інтегральна сума матиме вигляд:
Визначений інтеграл I(a, b) рівний границі при N, що наближається до ( послідовності інтегральних сум:
Якщо застосувати оператора символьного обчислення визначеного інтеграла для функції x2 (шаблон введення визначеного інтеграла викликається відповідною кнопкою панелі Calculus), то отримаємо той же результат.
Використання ключових слів з оператором символьного виводу
За допомогою символьного процесора MATHCAD можна проводити всі основні перетворення алгебри, такі як спрощення виразів, розкладання на множники, приведення подібних доданків. Існує також можливість аналітичного рішення рівнянь і нерівностей, що допускають таке рішення.
Для того, щоб вказати символьному процесору, яку дію необхідно виконувати, використовуються ключові слова, які вставляються між виразом, до якого застосовується дія, і оператором символьного виводу.
Для введення ключових слів використовуються кнопки панелі Symbolic. При цьому ключові слова вводяться в мітку введення після обчислюваного виразу. Символьний знак рівності з міткою введення для ключового слова можна ввести за допомогою комбінації клавіш <Ctrl+Shift+. > або кнопкою панелі Symbolic.
Ключове слово float. Якщо за обчислюваним символьним виразом слідує ключове слово float, Mathcad представляє обчислені символьні множники у вигляді чисел з плаваючою комою. Кількість розрядів, що виводяться, задає ціле число, яке вводиться після ключового слова:
Ключове слово complex вказує Mathcad, що символьні обчислення повинні проводитися в комплексних числах, а результат повинен мати вигляд .
За допомогою ключового слова complex можна задати комплекснозначний логарифм.
Зокрема, дуже просто отримаємо точне символьне значення натурального логарифма числа, а потім наближене значення з п'ятьма десятковими розрядами для дійсної і уявної частини:
Перевірка:
Спроба представити дріб у алгебраїчній формі не вдалася.
При комплекснозначному символьному обчисленні величини а і b передбачаються дійсними, у зв'язку з чим проводиться розкладання дроби на дійсну і уявну частини.
Ключове слово assume (припускати) вказує Mathcad, що символьні обчислення повинні проводитися в припущенні, що виконується умова, яка записана після слова assume через кому.
Приклади обчислення невласних інтегралів, що сходяться тільки при додатних значеннях параметра р.
Можна використати ключове слово assume, наприклад, щоб задати обмеження типу p>0 для обчислень.
Ключове слово solve (розв’язати) вказує Mathcad, що з рівняння, записаного за допомогою логічного знаку рівності (вводиться комбінацією клавіш <Ctrl + = >) і яке передує слову solve, необхідно виразити змінну, наступну за ключовим словом через кому. Іншими словами, вирішити аналітично (або символьний) рівняння щодо даної змінної.
Приклади використання ключового слова solve для розв’язання рівняння відносно різних змінних:
При такому значенні змінної ( рівняння перетворюється на вірну рівність.
При такому значенні змінної N0 рівняння перетворюється на вірну рівність.
Приклад. Одночасне рішення декількох рівнянь за допомогою введення векторів рівнянь і змінних за допомогою комбінації клавіш <Ctrl + M>.
Значення змінних, складових рішення виводяться в рядок !
Перевірка рішення полягає в підстановці компонент рядка рішення замість відповідних змінних в рівняння системи. Якщо рівняння перетворюється на вірну рівність, то її логічне значення є "істина", а в MATHCAD - це 1.
Підстановка значень в рівняння здійснюється введенням ключового слова substitute з конкретною формулою підстановки. Ключове слово і формула розділяються комою, у формулі використовується логічний знак рівності. Ключове слово з шаблоном для формули зручно вводити відповідною кнопкою панелі Symbolic.
Перевірка:
Логічні значення всіх рівнянь рівні одиниці, отже, рішення правильне.
Приклад. Використання ключового слова solve для вирішення системи рівнянь, що має множину рішень.
Нагадаємо, що компоненти рішення тут виписуються в рядок!
Перевірка першого рішення (насправді множини рішень, оскільки значення y довільно):
Формально, MATHCAD не зміг до кінця спростити друге і третє рівняння. Але очевидно, що вони є тотожністю і їх логічні значення рівні 1 і, отже, рішення правильне.
Перевірка другого рішення:
Всі рівняння обернулися в
тотожність, рішення правильне.
Приклад. Використання ключового слова solve для вирішення нерівності
Виведений вектор-рішення можна інтерпретувати наступним чином:
перший рядок описує частину рішень - це інтервал (-(; -3); другий рядок представляє другу частину множини рішень як перетин двох інтервалів (-(; 0,4] і [-1; +(], що дає у результаті інтервал [-1; 0,4]; третій рядок представляє рішення інтервалу (1; +(). Множина рішень L є об'єднання всіх частин, тому
L = (-(; -3) ( [-1; 0,4] ( (1; +().
Ключове слово simplify вказує Mathcad на необхідність зробити спрощення у виразі, за яким воно слідує.
1.2. Використання команд меню Symbolics
Окрім активних символьних обчислень, MATHCAD забезпечує можливість виконання основних символьних операцій в командному режимі з використанням команд меню Symbolics.
Підменю Variable меню Symbolics
Символьні обчислення в командному режимі мають дві важливі особливості:
вони виконуються тільки для явних виразів над вбудованими функціями, визначені користувачем функції і числові значення змінних ігноруються символьним процесором;
результат може виводитися нижче за початковий вираз, праворуч від нього або замість нього. Спосіб виводу задається командою Evaluate Style меню Symbolics.
Команда Evaluation Style меню Symbolics
викликає діалогове вікно Evaluation Style установки стилю виведення результатів символьних обчислень:
Стандартні установки:
- виведення результатів символьних обчислень без коментарів;
- результати символьних обчислень відображаються під виразом, що обчислюється, з додаванням рядків.
Приклади варіантів установки стилю виведення результатів символьних обчислень:
Варіант 1. Результат виконання команди Symbolically підменю Evaluate при встановленій опції Show Comments і вибраній селекторній кнопці Horizontally.
Варіант 2. Результат виконання команди Simplify при встановленій опції Show Comments і вибраній селекторній кнопці Vertically, without inserting lines. При цьому результат символьних обчислень може перекрити інші формули або текст.
Варіант 3. Результат триразового виконання команди Differentiate підменю Variable при встановленій опції Show Comments і вибраній селекторній кнопці Vertically, inserting lines.
Задана функція трьох змінних.
Часткова похідна по x.
Часткова похідна по y.
Часткова похідна по z.
Варіант 4. При встановленій опції Evaluate In Place результат виконання команди (наприклад при заміні змінною) відображатиметься безпосередньо у виразі, що обчислюється.
Проведемо, наприклад, наступну заміну змінних при встановленій опції Evaluate In Place:
Перед заміною:
1. Встановити опцію Evaluate In Place.
2. Скопіювати в буфер cos().
3. Виконати команду Substitute підменю Variable.
Після заміни:
Заміна x на cos() проводиться в початковому виразі.
Перейдемо тепер до розгляду команд меню Symbolics і прикладів їх застосування. Для введення математичних операторів (інтеграл, похідна і т. д.) використовуватимемо тільки клавіші клавіатури ПК, хоча завжди є можливість скористатися кнопками панелі Calculus.
Команда Symbolically підміню Evaluate
Символьне диференціювання:
1. Ввести оператора диференціювання клавішею [?].
2. Ввести в мітку вводу функцію, що диференціюється.
3. Задати змінну, по якій береться похідна (тут x).
4. Виділити весь вираз похідній (синім куточком).
5. Вибрати команду Symbolically підменю Evaluate меню Symbolics або комбінацію клавіш <Shift + F9>.
Похідні вищих порядків:
1. Ввести оператора диференціювання за допомогою <Ctrl+Shift+?>.
2. Ввести в мітку вводу функцію, що диференціюється.
3. Задати порядок похідної (тут 2).
4. Задати змінну, по якій береться похідна (тут x).
5. Виділити весь вираз похідній (синім куточком).
6. Вибрати команду Symbolically підменю Evaluate меню Symbolics або комбінацію клавіш <Shift + F9>.
Символьне обчислення сум:
1. Ввести символ суми за допомогою <Ctrl+Shift+$>.
2. Задати доданки у вигляді функції f(k) від індексу підсумовування k (тут f(k) := k3).
3. Задати індекс підсумовування k.
4. Задати нижню (тут 1) і верхню (тут n) границі підсумовування.
5. Виділити весь вираз синім куточком.
6. Вибрати команду Symbolically підменю Evaluate меню Symbolics або комбінацію клавіш <Shift + F9>.
Символьне обчислення визначених і невизначених інтегралів
Приклад символьного обчислення визначеного інтеграла:
1. Ввести символ визначеного інтеграла клавішею [&].
2. Ввести підінтегральну функцію (тут х((е-х).
3. Задати нижню границю інтегрування (тут 0).
4. Задати верхню границю інтегрування (тут 7 ).
5. Ввести змінну інтегрування(тут x).
6. Виділити весь інтеграл (синім куточком).
7. Вибрати команду Symbolically підменю Evaluate меню Symbolics або комбінацію клавіш <Shift + F9>.
Приклади знаходження невизначеного інтеграла (первісної):
Визначення первісної косинуса за допомогою оператора інтегрування <Ctrl+I> і команди Symbolically підменю Evaluate (<Shift+F9>).
Отримана первісна.
Визначення первісного раціонального дробу за допомогою оператора інтеграції <Ctrl+I> і команди Symbolically підменю Evaluate (<Shift+F9>).
Отримана первісна.
Команда Simplify
Варіант 1. Використання меню:
1. Ввести вираз для спрощення.
2. Виділити весь вираз або його частину, яку треба спростити.
3. Вибрати команду Simplify меню Symbolics.
Варіант 2. Використання символьного знаку рівності з ключовим словом simplify:
Команда Differentiate підменю Variable
Альтернативна, по відношенню до описаного вище способу з використанням команди Symbolically підменю Evaluate, можливість символьного обчислення похідної.
Звичайна похідна:
1. Ввести вираз, що диференціюється.
2. Виділити змінну (тут x), по якій береться похідна.
3. Вибрати команду Differentiate підменю Variable.
Пошукувана похідна
Похідна після виділення її (всього вирази) синім куточком і застосування команди Simplify (Спростити).
Для функції виду f(x,y) аналогічним чином можна знайти похідні по x і по у.
Задана функція f(x,y)
Часткова похідна по y
Часткова похідна по x
Друга змішана часткова похідна по x і у, отримана диференціюванням попереднього виразу по у.
Команда Integrate підменю Variable
Застосовується для інтегрування виразу із знаходженням первісною щодо виділеної змінної.
Це альтернативна, по відношенню до описаного вище способу з використанням команди Symbolically підменю Evaluate, можливість знаходження первісної.
Приклад знаходження невизначеного інтеграла
1. Ввести підінтегральну функцію (тут )
2. Виділити змінну інтегрування (тут x).
3. Вибрати команду Integrate підменю Variable.
Знайдена первісна
Команда Expand to Series підменю Variable
Приклад розкладання в ряд Тейлора (Маклорена) функції cos(x)2:
1. Ввести початкову функцію.
2. Виділити змінну (тут x), по якій проводиться розкладання.
3. Вибрати команду Expand to Series підменю Variable і задати порядок розкладання (тут 6).
Розкладання квадрата косинуса в ряд Тейлора в ополі точки нуль.
Команда Solve підменю Variable
Ця команда застосовується для вирішення рівнянь і нерівностей щодо заданої змінної.
Приклад рішення рівняння відносно змінної x.
1. Ввести рівняння (знак рівності вводиться за допомогою комбінації < Ctrl + = >).
2. Виділити змінну (у нашому випадку x), щодо якої повинне бути вирішене рівняння.
3. Вибрати команду Solve підміню Variable.
Знайдено два рішення рівняння відносно х. MATHCAD виводить їх у вигляді вектора-стовпця.
Приклад рішення нерівності відносно змінної x.
1. Ввести нерівність (знаки нерівностей можна вводити кнопками панелі Boolean).
2. Виділити змінну (у нашому випадку x), щодо якої повинна бути вирішена нерівність.
3. Вибрати команду Solve підменю Variable.
Знайдено дві множини рішень нерівності відносно х. MATHCAD виводить їх у вигляді вектора-стовпця.
Панель Boolean
викликається опцією View\Toolbars\Boolean меню головного вікна MATHCAD або
кнопкою
панелі Math, яку, у свою чергу, можна викликати опцією View\Toolbars\Math
меню головного вікна MATHCAD.
Перша множина представляє собою булевий добуток або перетин інтервалів (((; ] і [1; +(), що дає у результаті замкнутий інтервал [1; ]. Друга множина рішень є відкритий нескінченний інтервал (; +(). Об'єднання першої і другої множин MATHCAD позначає квадратними дужками. Використовуючи знак логічної зв'язки Or (АБО) на панелі Boolean, можна записати множину рішень нерівності в наступній компактній формі:
.
Команди Transpose і Invert підменю Matrix
Приклад використання команд меню для знаходження транспонованої і зворотної матриць для квадратної матриці :
1. Вибрати команду Matrix меню Insert.
2. Ввести матрицю.
3. Виділити всю матрицю синім куточком.
4. Вибрати команду Transpose підменю Matrix.
Обернена матриця
5. Перемістити транспоновану матрицю нижче по документу, повторити п. 3.
6. Вибрати команду Invert підменю Matrix
Транспонована матриця
Команда Determinant підменю Matrix
Приклад використання команди Determinant для знаходження визначника квадратної матриці :
1. Вибрати команду Matrix меню Insert.
2. Ввести матрицю.
3. Виділити всю матрицю синім куточком.
4. Вибрати команду Determinant підменю Matrix.
Обчислений у символьному вигляді визначник матриці.
ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2.1."АНАЛІТИЧНЕ РІШЕННЯ ЛІНІЙНИХ І НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ"
Завдання 1. Знайдіть точне значення, а потім десяткове наближення з дев'ятьма знаками після десяткової крапки, для виразу
;
Відповідь: ; - 2,361904762
Завдання 2. Знайдіть точні значення визначника і елементів зворотної матриці, а потім їх десяткові наближення з шістьма знаками після десяткової крапки, для матриці
Завдання 3. Вирішите аналітично систему рівнянь
методом розв’язуючого блоку, а потім знайдіть десяткові наближення для рішень з шістьма знаками після десяткової крапки.
Завдання 4. Знайдіть всі значення, при яких визначник матриці обертається в нуль (такі значення називають власними значеннями матриці).
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2.2. "НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТІ"
Завдання 1. Використовуючи ключове слово solve розв’язати аналітично наступну систему рівнянь
і виконати перевірку.
Завдання 2. Знайти множину рішень нерівності
Завдання 3. Спростити вираз
Завдання 4. Використовуючи команду меню Symbolics \ Variable \ Solve знайти корені рівняння . Перевірте отримані рішення.
Завдання 5. Використовуючи команду меню Symbolics \ Variable \ Solve розв’язати нерівність . Записати відповідь в компактному вигляді, використовуючи редактор формул.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2.3. "ГРАНИЦЯ, ПОХІДНА І ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ"
Завдання 1. Обчислити границю
Завдання 2. Знайдіть невизначений інтеграл
Результат перевірте диференціюванням.
Завдання 3. Використовуючи команди меню знайдіть першу і другу похідні функції
Завдання 4. Використовуючи команди меню знайдіть часткові похідні і другу змішану похідну по х і y для функції
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2.4. "ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНІЦА"
Завдання 1. Виведіть формулу для визначеного інтеграла на проміжку [а, b] від функції y = cos(x) двома способами: 1) за визначенням, обчислюючи границю послідовності інтегральних добутків; 2) застосовуючи оператор символьного виводу.
Завдання 2. Обчислити невласний інтеграл , припускаючи що параметри а і р є додатними.
Завдання 3. Використовуючи команди меню знайдіть невизначений інтеграл і визначений інтеграл . Переконайтесь в справедливості формули Ньютона - Лейбніца в цьому окремому випадку.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Розв’язати рівняння і перевірити рішення.
Відповідь: х = 42.
Розв’язати рівняння і перевірити рішення.
Відповідь:
3. За допомогою розв’язуючого блоку знайти аналітичне рішення системи рівнянь і перевірити рішення.
Відповідь: .
4. Знайти аналітично рішення системи рівнянь і перевірити рішення.
Відповідь:
5. Розв’язати систему рівнянь і перевірити рішення.
Відповідь:
6. Розв’язати нерівність
Відповідь: х ( (-(; -2) ( (-1; 1(.
7. Розв’язати нерівність
Відповідь: х ( (-2; -1) ( (0,5; 1(.
8. Розв’язати нерівність
Відповідь: х ( (-(; -3) ( (-1; 2/5( ( (1; +().
9. Довести тотожність
10. Довести тотожність
11. Обчислити границю послідовності
Відповідь: .
12. Обчислити границю функції
Відповідь: .
13. Обчислити границю функції
Відповідь: .
14. Обчислити границю функції
Відповідь: .
15. Обчислити границю функції
Відповідь: .
16. Дослідити на неперервність і знайти точки розриву функцій (вказати їх характер):
Відповідь: а) усюди безперервна;
б) у точці х = 1 розрив першого роду.
17. Знайти похідні функцій:
Відповідь: а) ; б)
18. Знайти інтеграли. Результати перевірити диференціюванням.
19. Обчислити визначені інтеграли точно і приблизно з чотирма знаками після десяткової крапки:
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г)
20. Довести збіжність невласного інтегралу і обчислити його значення
Відповідь:
Навчальне видання
МАТЕМАТИЧНИЙ ПРАКТИКУМ В СЕРЕДОВИЩІ MATHCAD.
СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт
з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем”
для студентів базового напряму 6.0910 „Електронні апарати”
Укладачі І.В. Атаманова, канд. техн. наук, доцент.
К.І. Янгурський, канд. техн. наук, доцент.
Редактор
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора