Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Інформатика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти та науки України
Національний університет "Львівська політехніка"
МАТРИЧНІ ОБЧИСЛЕННЯ ЗАСОБАМИ MATHCAD
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт
з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем”
для студентів базового напрямку 050902 „Радіоелектронні апарати”
Затверджено
на засіданні кафедри
"Електронні засоби інформаційно-комп’ютерних технологій"
Протокол № ....
від „.....” .............. 2009р.
Львів - 2009
Матричні обчислення засобами MATHCAD. Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем” для студентів базового напрямку 050902 „Радіоелектронні апарати”. Укл. І.В. Атаманова, К.І. Янгурський. - Львів: НУ "ЛП", 2009. - 28 с.
Укладачі І.В. Атаманова, к.т.н., доц.
К.І. Янгурський, к.т.н., доц.
Відповідальний за випуск Т.А. Смердова, к.т.н., доц.
Рецензент Є.В. Сторчун, д.т.н., проф.
МАТРИЧНІ ОБЧИСЛЕННЯМатричні обчислення можна умовно розділити на декілька типів. Перший тип - це прості дії, які реалізовані операторами і декількома функціями, призначеними для створення, об'єднання, сортування, отримання основних властивостей матриць і т.п. Другий тип - це більш складні функції, які реалізують алгоритми обчислювальної лінійної алгебри, такі як рішення систем лінійних рівнянь, обчислення власних векторів і власних значень, різні матричні розкладання.
1. Прості операції з матрицями
Прості операції матричної алгебри реалізовані в MATHCAD у вигляді операторів. Написання операторів максимально наближене до їх математичної дії. Кожен оператор виражається відповідним символом. Розглянемо матричні і векторні операції MATHCAD. Вектори є окремим випадком матриць розмірності N(1, тому для них справедливі все ті операції, що і для матриць, якщо обмеження особливо не обумовлені (наприклад, деякі операції застосовні тільки до квадратних матриць N(N). Якісь дії допустимі тільки для векторів (наприклад, скалярний добуток), а якісь, не дивлячись на однакове написання, по-різному діють на вектори і матриці.
Безпосереднє проведення векторних операцій над рядками, тобто матрицями 1(N, неможливо; для того, щоб перетворити рядок на вектор, її потрібно заздалегідь транспонувати.
1.1. Транспонування
Транспонуванням називають операцію, що переводить матрицю розмірності M(N в матрицю розмірності N(M, роблячи стовпці початкової матриці рядками, а рядки - стовпцями. Приклад приведений в лістингу 1. Введення символу транспонування (transpose) здійснюється за допомогою панелі інструментів Matrix (Матриця) або натисненням клавіш <Ctrl>+<!>. Для вставки символу транспонування матриця повинна знаходитися між лініями введення.
Рис. 1. Панель інструментів Matrix
Лістинг 1. Транспонування векторів і матриць
1.2.Додавання
У Mathcad можна як додавати матриці, так і віднімати їх одну з одної. Для цих операторів застосовуються символи <+> або <— >, відповідно. Матриці повинні мати однакову розмірність, інакше буде видано повідомлення про помилку. Кожен елемент суми двох матриць рівний сумі відповідних елементів матриць-доданків (лістинг 2).
Лістинг 2. Додавання і віднімання матриць
Окрім додавання матриць, Mathcad підтримує операцію додавання матриці із скаляром (лістинг 3). Кожен елемент результуючої матриці рівний сумі відповідного елементу початкової матриці і скалярної величини.
Лістинг 3. Додавання матриці з скаляром
Результат зміни знаку матриці еквівалентний зміні знаку всіх її елементів. Для того, щоб змінити знак матриці, досить ввести перед нею знак мінуса, як перед звичайним числом (лістинг 4).
Лістинг 4. Зміна знаку матриці
1.3. Множення
При множенні слід пам'ятати, що матрицю розмірності M(N допустимо умножати тільки на матрицю розмірності N(P (Р може бути будь-яким). В результаті виходить матриця розмірності М(Р.
Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу із зірочкою <*> або скористатися панеллю інструментів Matrix (Матриця), натиснувши на ній кнопку Dot Product (Множення) (рис. 1). Множення матриць позначається за умовчанням крапкою, як показано в лістингу 5. Символ множення матриць можна вибирати точно так, як і в скалярних виразах.
Лістинг 5. Множення матриць
Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицю-рядок і, навпаки, рядки на вектор, приведений в лістингу 6. У другому рядку цього лістингу показано, як виглядає формула при виборі відображення оператора множення No Space (Разом).
Лістинг 6. Множення вектора і рядка
Той же самий оператор множення діє на два вектори по-іншому.
Аналогічно додаванню матриць з скаляром визначається множення і ділення матриці на скалярну величину (лістинг 7). Символ множення вводиться так само, як і у разі множення двох матриць. На скаляр можна умножати будь-яку матрицю M(N.
Лістинг 7. Множення матриці на скаляр
1.4. Визначник квадратної матриці
Визначник (Determinant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператора знаходження визначника матриці можна натиснути кнопку Determinant (Визначник) на панелі інструментів Matrix (Матриця) (рис. 2) або набрати на клавіатурі <|> (натиснувши клавіші <Shift>+<\>). В результаті будь-якої з цих дій з'являється месцезаповнювач, в який слід помістити матрицю. Щоб обчислити визначника вже введеної матриці (саме цей випадок показаний на рис. 2), потрібно:
Перемістити курсор в документі так, щоб помістити матрицю між лініями введення (нагадуємо, що лінії введення — це вертикальний і горизонтальний відрізки синього кольору, створюючи куточок, який вказує на поточну область редагування).
Ввести оператора знаходження визначника матриці.
Ввести знак рівності, щоб обчислити визначника.
Рис. 2 Введення символу визначника матриці
Результат обчислення визначника приведений в лістингу 8.
Лістинг 8. Пошук визначника квадратної матриці
1.5. Модуль вектора
Модуль вектора (vector magnitude) позначається тим же символом, що і визначник матриці. За визначенням, модуль вектора рівний квадратному кореню з суми квадратів його елементів (лістинг 9).
Лістинг 9. Пошук модуля вектора
1.6. Скалярний добуток векторів
Скалярний добуток векторів (vector inner product) визначається як скаляр, рівний сумі попарних добутків відповідних елементів.
Вектори повинні мати однакову розмірність, скалярний добуток має ту ж розмірність. Скалярний добуток двох векторів u і v рівний u∙v = |u|∙|v|∙cosQ, де Q - кут між векторами. Якщо вектори ортогональні, їх скалярний добуток рівний нулю. Позначається скалярний добуток тим же символом множення (лістинг 10). Для позначення скалярного добутку також можна вибирати представлення (*( оператора множення.
Ніколи не слід застосовувати для позначення скалярного добутку символ (((, який є загальновживаним символом векторного добутку.
Лістинг 10. Скалярний добуток векторів
Уважно слід перемножувати декілька (більше двох) векторів. По-різному розставлені дужки повністю змінюють результат множення. Приклади такого множення наведені в лістингу 11.
Лістинг 11. Скалярний добуток векторів, помножений на третій вектор
1.7. Векторний добуток
Векторний добуток (cross product) двох векторів u і v з кутом Q між ними рівний вектору з модулем |u|∙|v|∙sinQ, направленим перпендикулярно площині векторів u і v. Позначають векторний добуток символом (, який можна ввести натисненням кнопки Cross Product (Векторний добуток) в панелі Matrix (Матриця) або поєднанням клавіш <Ctrl>+<8>. Приклад наведений в лістингу 12.
Лістинг 12. Векторний добуток
1.8. Сума елементів вектора і слід матриці
Іноді буває потрібно обчислити суму всіх елементів вектора. Для цього існує допоміжний оператор (лістинг 13, перший рядок), що задається кнопкою Vector Sum (Сума вектора) на панелі Matrix (Матриця) або поєднанням клавіш <Ctrl>+<4>. Цей оператор частіше виявляється корисним не у векторній алгебрі, а при організації циклів з індексованими змінними.
На тому ж лістингу 13 (знизу) показано застосування операції підсумовування діагональних елементів квадратної матриці. Цю суму називають слід (trace) матриці. Дана операція організована у вигляді вбудованої функції tr:
tr (A) — слід квадратної матриці А.
Лістинг13. Підсумовування елементів вектора і діагоналі матриці
1.9. Обернена матриця
Пошук оберненої матриці можливий, якщо матриця квадратна і її визначник не рівний нулю (лістинг 14). Добуток початкової матриці на обернену за визначенням є одиничною матрицею. Для введення оператора пошуку оберненої матриці необхідно натиснути кнопку Inverse (Обернена матриця) на панелі інструментів Matrix (Матриця).
Лістинг 14. Пошук оберненої матриці
1.10. Піднесення матриці до степені
До квадратних матриць можна формально застосовувати операцію піднесення до степені n. Для цього n повинне бути цілим числом. Результат даної операції наведений в таблиці 1. Ввести оператор зведення матриці M в степінь n можна так, як і для скалярної величини: натиснувши кнопку Raise to Power (Піднести до степені) на панелі Calculator (Калькулятор) або натиснувши клавішу <^>. Після появи місцезаповнювача в нього слід ввести значення степені n.
Таблиця 1. Результати зведення матриці в степінь
n
Mn
0
одинична матриця розмірності матриці M
1
сама матриця M
-1
M-1 - матриця, обернена М
2,3,...
MM, (MM)M, ...
-2, -3,...
M-1 M-1, (M-1 M-1)M-1, ...
Деякі приклади зведення матриць в степінь наведені в лістингу 15.
Лістинг 15. Приклади зведення квадратної матриці в цілу степінь
1.11. Векторизація масивів
Векторна алгебра Mathcad включає дещо незвичайний оператор, який називається оператором векторизації (vectorize operator). Цей оператор призначений, як правило, для роботи з масивами. Він дозволяє провести однотипну операцію над всіма елементами масиву (тобто матриці або вектора), спрощуючи тим самим програмування циклів. Наприклад, іноді потрібно помножити кожен елемент одного вектора на відповідний елемент іншого вектора. Безпосередньо такої операції в Mathcad немає, але її легко здійснити за допомогою векторизації (лістинг 16). Для цього необхідно:
Ввести векторний вираз, як показано в другому рядку лістингу (зверніть увагу, що у такому вигляді символ множення позначає оператор скалярного добутку векторів).
Перемістити курсор так, щоб лінії введення виділяли весь вираз, який потрібно піддати векторизації (рис. 3).
Ввести оператор векторизації, натиснувши кнопку Vectorize (Векторизація) на панелі Matrix (Матриця) (рис. 3), або поєднанням клавіш <Ctrl>+<->.
Ввести <=>, щоб отримати результат.
Рис. 3. Оператор векторизації
Лістинг 16. Використання векторизації для перемножування елементів вектора
Оператор векторизації можна використовувати тільки з векторами і матрицями однакового розміру.
Більшість неспецифічних функцій Mathcad не вимагають векторизації для проведення однієї і тієї ж операції над всіма елементами вектора. Наприклад, аргументом тригонометричних функцій за визначенням є скаляр. Якщо спробувати обчислити синус векторної величини, Mathcad здійснить векторизацію по замовченню, обчисливши синус кожного елементу і видавши як результат відповідний вектор. Приклад показаний в лістингу 17.
Лістинг 17. Векторизація необов'язкова для більшості функцій Mathcad
1.12. Символьні операції з матрицями
Всі матричні і векторні оператори, про яких йшла мова вище, допустимо використовувати в символьних обчисленнях. Потужність символьних операцій полягає в можливості проводити їх не тільки над конкретними числами, але і над змінними. Декілька прикладів приведено в лістингу 18.
Лістинг 18. Приклади символьних операцій над векторами і матрицями
2. Матричні функції
Розглянемо основні вбудовані функції, призначені для полегшення роботи з векторами і матрицями. Вони потрібні для створення матриць, злиття і виділення частині матриць, отримання основних властивостей матриць і т.п.
2.1. Функції створення матриць
Наочним способом створення матриці або вектора є застосування першої кнопки панелі інструментів Matrix (Матриці). Проте в більшості випадків, зокрема при програмуванні складних проектів, зручніше створювати масиви за допомогою вбудованих функцій.
Визначення елементів матриці через функцію
matrix(M, N, f) - створення матриці розміру M(N, кожен i, j елемент якої є f(i, j) (лістинг 19);
М — кількість рядків;
N — кількість стовпців;
f(i, j) — функція.
Лістинг 19. Створення матриці
Для створення матриць є ще дві специфічні функції, які застосовуються, в основному, для швидкого і ефектного представлення яких-небудь залежностей у вигляді тривимірних графіків (типу поверхні або просторової кривої). Всі їх аргументи, окрім першого (функції), необов'язкові. Розглянемо першу з функцій.
СгеаtеSрасе(F(або f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - створення вкладеного масиву, який представляє х-, у- і z- координати параметричної просторової кривої, яка задана функцією F;
F(t) - векторна функція з трьох елементів, задана параметрично щодо єдиного аргументу t;
f1(t),f2(t), f3(t) — скалярні функції;
t0 - нижня границя t (по замовчанню -5);
t1 - верхня границя t (по замовчанню 5);
tgrid - число точок сітки по змінній t (по замовчанню 20);
fmap - векторна функція від трьох аргументів, яка задає перетворення координат.
Рис. 4. Використання функції CreateSpace з різним набором параметрів
Приклад використання функції CreateSpace показаний на рис. 4. Необхідно відзначити, що для побудови графіка спіралі не було потрібно ніякого додаткового коду, окрім визначення параметричної залежності вектор-функції F.
Функція створення матриці для графіка тривимірної поверхні побудована абсолютно аналогічно, за тим виключенням, що для визначення поверхні потрібний не одна, а дві змінні. Приклад її використання ілюструє рис. 5.
Рис. 5. Використання функції CreateMesh з різним набором параметрів
CreateMesh(F(або g, або f1, f2, f3), s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - створення вкладеного масиву, який представляє х-, у- і z- координати параметричної поверхні, заданої функцією F;
F(s,t) — векторна функція з трьох елементів, задана параметрично відносно двох аргументів s і t;
g (s, t) — скалярна функція;
f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) — скалярні функції;
s0, t0 — нижні межі аргументів s, t (за умовчанням -5);
s1, t1 — верхні межі аргументів s, t (за умовчанням 5);
sgrid, tgrid — число точок сітки по змінним s і t (за умовчанням 20);
fmap — векторна функція з трьох елементів від трьох аргументів, яка задає перетворення координат.
Приклади вкладених масивів, які створюються функціями СreateMesh і CreateSpace, наведені в лістингу 20. Кожна матриця з числа трьох вкладених матриць, які створюють масив, визначає х-, у- і z-координати точок поверхні або кривої, відповідно.
Лістинг 20. Результат дії функцій CreateMeeh і CreateSpace (рис. 4, 5)
Створення матриць спеціального вигляду
У Mathcad легко створити матриці певного вигляду за допомогою однієї з вбудованих функцій. Приклади використання цих функцій приведені в лістингу 21.
identity (N) — одинична матриця розміру N(N;
diag(v) — діагональна матриця, на діагоналі якої знаходяться елементи вектора v;
geninv(A) — створення матриці, оберненої (зліва) матриці А;
rref (A) — перетворення матриці або вектора А в ступінчастий вигляд;
N — ціле число;
v — вектор;
А — матрица з дійсних чисел.
Розмір N(M матриці А для функції geninv повинен бути таким, щоб N>M.
Лістинг 21. Створення матриць спеціального вигляду
2.2. Злиття і розбиття матриць
З матриці або вектора можна виділити або підматрицю, або вектор-стовпець, або окремий елемент. І навпаки, можна "склеїти" декілька матриць в одну.
Виділення частини матриці
Частина матриці виділяється одним з наступних способів:
для виділення одного елементу призначений оператор нижнього індексу. Оператор вводиться натисненням кнопки Subscript (Нижній індекс) із значком Хn на панелі Matrix (Матриця), або натисненням клавіші <[> (лістинг 22, другий рядок зверху);
для виділення з матриці стовпця застосується оператор виділення стовпця натисненням кнопки Matrix Column із зображенням кутових дужок <> на панелі Matrix, або поєднанням клавіш <Ctrl>+<6> (лістинг 22). Цей оператор називають ще, по аналогії з попереднім, оператором верхнього індексу;
щоб виділити з матриці рядок, застосовується той ж оператор <0> до транспонованої матриці (лістинг 22, знизу);
для виділення підматриці використовуйте вбудовану функцію submatrix(A/ir/jr,ic, jc), що повертає частину матриці А, знаходиться між рядками ir, jr і стовпцями ic, jc включно (лістинг 23).
Виділити з матриці один стовпець або рядок можна і за допомогою функції submatrix.
Лістинг 22. Доступ до окремих елементів, стовпців і рядків матриці
Лістинг 23. Виділення підматриці
Ті ж операції застосовні до матриць-векторів і матриць-рядків. Слід пам'ятати тільки, що розмір їх складає N(1 і 1(N, відповідно (лістинг 24).
Лістинг 24. Виділення частин з векторів і рядків
Злиття матриць
Для того, щоб скласти з двох або більш за матриць одну, в Mathcad передбачено дві матричні функції (лістинг 25):
augment (А, в, с...) — матриця, сформована злиттям матриць-аргументів зліва направо;
stack (А, в, с...) — матриця, сформована злиттям матриць-аргументів зверху вниз;
А, В, С... — вектори або матриці відповідного розміру.
Лістинг 25. Приклади злиття матриць
2.3. Виведення розміру матриць
Для отримання відомостей про характеристики матриць або векторів передбачені наступні вбудовані функції (лістинг 26):
rows(A) — число рядків;
cols(A) — число стовпців;
length(v) — число елементів вектора;
last(v) — індекс останнього елементу вектора;
А — матриця або вектор;
v — вектор.
Число елементів вектора і індекс його останнього елементу співпадають, якщо індекси нумеруються з 1, тобто системна константа ORIGIN рівна 1.
Лістинг 26. Розмір матриць і векторів
2.4. Сортування матриць
Часто буває потрібно переставити елементи матриці або вектора, розташувавши їх в певному рядку або стовпці в порядку зростання або спадання. Для цього є декілька вбудованих функцій, які дозволяють гнучко управляти сортуванням матриць:
sort(v) — сортування елементів вектора в порядку зростання (лістинг 27);
csort(A, i) — сортування рядків матриці вибудовуванням елементів 1-го стовпця в порядку зростання (лістинг 28);
rsort(A, i) — сортування стовпців матриці вибудовуванням елементів i-й рядка в порядку зростання (лістинг 29);
reverse(v) — перестановка елементів вектора в зворотному порядку (лістинг 27);
v — вектор;
А — матриця;
i — індекс рядка або стовпця.
Якщо елементи матриць або векторів комплексні, то сортування ведеться по дійсній частині, а уявна частина ігнорується.
Лістинг 27. Сортування векторів
Лістинг 28. Сортування матриць по стовпцю
Лістинг 9.29. Сортування матриць по рядку (матриця А з лістингу 28)
2.5. Норма квадратної матриці
У лінійній алгебрі використовуються різні матричні норми (norm), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. Норма матриці відображає порядок величини матричних елементів. У різних специфічних задачах лінійної алгебри застосовуються різні види норм. Mathcad має чотири вбудовані функції для розрахунку різних норм квадратних матриць:
norm1 (A) — норма в просторі L1;
norm2 (A) — норма в просторі L2;
norme(A) — евклідова норма (euclidean norm);
normi (A) — max-норма, або норма (infinity norm);
А — квадратна матриця.
Приклади розрахунку різних норм двох матриць А і В з елементами, що розрізняються на два порядки! наведені в лістингу 30. У останньому рядку цього лістингу дано пояснення евклідової норми, яке схоже на визначення довжини вектора.
У більшості завдань неважливо, яку норму використовувати. Як видно, в звичайних випадках різні норми дають приблизно однакові значення, добре відображаючи порядок величини матричних елементів.
Лістинг 30. Норми матриць
2.6. Число обумовленості квадратної матриці
Ще однією важливою характеристикою матриці є її число обумовленості (condition number). Число обумовленості є мірою чутливості системи лінійних рівнянь A∙B = X, яка визначається матрицею А, до похибки завдання вектора В правих частин рівнянь. Чим більше число обумовленості, тим сильніше цей вплив і тим більше нестійкий процес знаходження рішення. Число обумовленості пов'язане з нормою матриці і обчислюється по-різному для кожної з норм;
cond1(A) — число обумовленості в нормі L1;
cond2 (A) — число обумовленості в нормі L2;
conde(A) — число обумовленості в евклідовій нормі;
condi (A) — число обумовленості в нормі;
А — квадратна матриця.
Розрахунок чисел обумовленості для двох матриць А і В показаний в лістингу 31. Слід звернути увагу, що перша з матриць є добре обумовленою, а друга - погано обумовленою (два її рядки визначають дуже близькі системи рівнянь, з точністю до множника 103). Другий рядок лістингу дає формальне визначення числа обумовленості як добутки норм початкової і оберненої матриць. У інших нормах визначення таке саме.
Як неважко зрозуміти, матриці А і В з попереднього лістингу 30 володіють однаковими числами обумовленості, оскільки В=100*А, і, отже, обидві матриці визначають одну і ту ж систему рівнянь.
Лістинг 31. Числа обумовленості матриць
2.7. Ранг матриці
Рангом (rank) матриці називають найбільше натуральне число k, для якого існує не рівний нулю визначник k-ro порядку підматриці, складеної з будь-якого перетину k стовпців і k рядків матриці.
Для обчислення рангу в Mathcad призначена функція rank.
rank (А) — ранг матриці;
А — матриця.
Лістинг 32. Ранг матриці
3. Системи лінійних рівнянь алгебри
Центральним питанням обчислювальної лінійної алгебри є рішення систем лінійних рівнянь алгебри, тобто систем рівнянь вигляду
аi1x1+аi2х2+. . .+ainхn = bi (1)
У матричній формі система лінійних алгебраїчних рівнянь записується в еквівалентному вигляді:
Ах = b, (2)
де А — матриця коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь розмірності N(N;
х — вектор невідомих;
b— вектор правих частин рівнянь.
До систем лінійних рівнянь зводиться множина, якщо не сказати більшість, завдань обчислювальної математики.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдине рішення, якщо матриця А є невиродженою, або, по-іншому, несингулярною, тобто її визначник не рівний нулю. З обчислювальної точки зору, рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь не представляє труднощів, якщо матриця А не дуже велика. З великою матрицею проблем також не виникне, якщо вона не дуже погано обумовлена. У Mathcad систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна вирішити як в наочній формі (1), так і в зручнішій для запису формі (2). Для першого способу слід використовувати обчислювальний блок Given/Find, а для другого — вбудовану функцію lsolve.
lsolve ( А, b) — рішення системи лінійних рівнянь;
А — матриця коефіцієнтів системи;
b — вектор правих частин.
Застосування функції lsolve показане в лістингу 33. При цьому матриця А може бути визначена будь-яким із способів. Вбудовану функцію lsolve допускається застосовувати і при символьному рішенні системb лінійних алгебраїчних рівнянь (лістинг 34).
Відповідна матриці А і вектору b система рівнянь виписана явно в лістингу 35.
Лістинг 33. Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Лістинг 34. Символьне рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (продовження лістингу 33)
В деяких випадках, для більшої наочності представлення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна вирішити точно так, як і систему нелінійних рівнянь. Приклад чисельного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь показаний в лістингу 35. При чисельному рішенні всім невідомим потрібно привласнити початкові значення (це зроблено в першому рядку лістингу 35). Вони можуть бути довільними, оскільки рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невиродженою матрицею єдино.
При рішенні системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою функції Find Mathcad автоматично вибирає лінійний чисельний алгоритм, в чому можна переконатися, викликаючи на імені Find контекстне меню.
Лістинг 35. Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою обчислювального блоку
ЛАБОРАТОРНІ ЗАВДАННЯ
Завдання 1. Обрахувати визначники наступних матриць
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Завдання 2. Визначити обернену матрицю для наступних матриць
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Завдання 3. Визначити ранг матриці
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Завдання 4. Розв’язати системи лінійних алгебраїчних рівнянь
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Завдання 5. Виконати транспонування та обернення наступних матриць:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Завдання 6. Знайдіть найбільший, найменший елементи і суму елементів другого рядка матриці C∙D, де
Відповідь: найбільший 313, найменший – 175.3, сума 63.7
Завдання 7. Знайдіть вектор значень функції для значень змінної x, записаних в рядок
Завдання 8. Задайте вектор V1, що складається з трьох елементів {2, 3, 1}, і вектор V2 - {4, 1, 7}. Виконаєте наступні операції: V1*3, V1-V2, V1*V2, V1(V2, підсумуйте елементи V1, транспонуйте вектор V2, обчисліть норму вектора V1; використовуючи операцію векторизації, обчисліть Sin(V1) і порахуйте норму вектора, що вийшов.
Завдання 9. Задайте матрицю М з розмірністю 2(3, транспонуйте її.
Створіть одиничну матрицю Е розмірності 5(5, обчислите її слід.
Створіть дві квадратні матриці М1 і М2 розмірності 3(3, перемножте їх; у отриманої матриці обчисліть визначника, виведіть на екран другий стовпець, і поелементно третій рядок.
Додайте матриці М1 і М2 (матриця ММ), для отриманої матриці обчислите ехр(ММ).
Об'єднайте матрицю ММ і вектор V1, відсортуйте отриману матрицю по першому стовпцю і рядку.
Обчислите власні значення будь-якій з введених матриць розмірності 3(3, а також власний вектор, що належить другому власному значенню.
Навчальне видання
МАТРИЧНІ ОБЧИСЛЕННЯ ЗАСОБАМИ MATHCAD
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт
з курсу “Інформатика інфокомунікаційних систем”
для студентів базового напрямку 050902 „Радіоелектронні апарати”
Укладачі І.В. Атаманова, канд. техн. наук, доцент.
К.І. Янгурський, канд. техн. наук, доцент.
Редактор
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора