Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Теорія ймовірності
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Теорія ймовірності і математична статистика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ЗАДАЧА 2.13
У крамницю для продажу надходить 50% продукції з I фабрики, 30% з II фабрики, 20% з III фабрики. Брак продукції цих фабрик становить 2, 3 та 5% відповідно. Знайти ймовірність того, що навмання куплений у магазині виріб буде бракований.
Рішення:
Нехай подія А - навмання куплений у магазині виріб буде бракований.
Ця подія може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:
Н1 – продукція надійшла з I фабрики;
Н2 – продукція надійшла з II фабрики;
Н3 – продукція надійшла з III фабрики.
Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:
Р(Н1) = 0,5
Р(Н2) = 0,3
Р(Н3) = 0,2
Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:
РН1(А) = 0,02
РН2(А) = 0,03
РН3(А) = 0,05
За формулою повної ймовірності маємо:
Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) + Р(Н3) х РН3(А) =
= 0,5 х 0,02 + 0,3 х 0,03 + 0,2 х 0,05 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029
ВІДПОВІДЬ: P3(1) = 0,029
ЗАДАЧА 5.10
Неперервна випадкова величина Х задана своєю функцією розподілу F(X). Побудувати графік функції F(X), знайти щільність розподілу, математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі (a; b), де a = -10; b = -4,2
0, x ( -5
F(X) = -x2 – 8x -15; -5 ( x ( -4
1, x ( -4
Рішення:
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(X)
1
-5 -4 0 x
Рис.1
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( -5
f(x) = -2x – 8; -5 ( x ( -4
0, x ( -4
Знайдемо математичне сподівання М(Х):
b - 4 - 4
M(X) = (xf(x)dx = ( (-2x2 – 8x)dx = -2x3/3 - 8 = -2/3(-125 + 64) – 8 =
a -5 - 5
=122 /3 – 8 = 40,6 – 8 = 32,6
Знайдемо дисперсію D(X):
b - 4 - 4
D(X) = (x2f(x)dx – M2(X) = ( (-2x3 – 8x2)dx – (32,6)2= -2x4/4 – 8x3/3 - 1062,76 =
a -5 -5
- 4
= - x4/2 – 2,6x3 - 1062,76 = (-1/2(625 – 256) – 2,6(-125 + 64)) - 1062,76 =
-5
= (- 184,5 + 158,6) – 1062,76 = -25,9 -1062,76 = 1036,86
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі
(-10; - 4,2):
b - 4,2 - 4,2
P(-10 ( X ( -4,2) = ( f(x)dx = ( -(2x – 8)dx = -x2 ( P(-10 ( X ( -4,2) ( 1, f(x)=0 при x ( -5
a -10 -10
отже випадкова величина Х при значенні a = -10 ніколи не набуде значення в даному інтервалі.
0, x ( -5
ВІДПОВІДЬ: f(x) = -2x - 8; -5 ( x ( -4
0, x ( -4
М(Х) = 32,6; D(X) = 1036,86;
P(-10 ( X ( -4,2) ( 1, випадкова величина Х при значенні a = -10
ніколи не набуде значення в даному інтервалі.
ЗАДАЧА 7.23
Вивчається рентабельність малих підприємств харчового виробництва. В результаті обстеження n=100 підприємств встановлено, що на k1=28 із них рентабельність становить 12-14%, на k2=18 – 16-18%, на k3=10 – 18-20%, на k4=24 – 14 -16%, на k5=20 – 10-12%.
Потрібно побудувати:
статистичний розподіл частот і відносних частот;
гістограму відносних частот;
емпіричну функцію розподілу і кумулятивну криву.
Рішення:
Згідно умові маємо:
Рентабельність (10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]
h= aimax-aimin= 2
Частота ki 20 28 24 18 10 n = 100
Відносна частота
Wi = ki / n 0,2 0,28 0,24 0,18 0,1
Табл. 1
Графік статистичного розподілу відносних частот має вигляд: (рис.2)
WI
0,28
0,24
0,2
0,18
0,1
10 12 14 16 18 20 Рентабельність
Рис.2
Графік статистичного розподілу частот має вигляд: (рис.3)
KI
28
24
20
18
10
10 12 14 16 18 20 Рентабельність
Рис.3
Для побудови гістограми відносних частот потрібно розрахувати щільності відносних частот:
Рентабельність (10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]
h= aimax-aimin= 2
Відносна частота
Wi = ki / n 0,2 0,28 0,24 0,18 0,1 n = 100
Щільність ВЧ
Wi / h 0,1 0,14 0,12 0,09 0,05
Табл. 2
Гістограма відносних частот має вигляд: (Рис.4)
WI / H
0,14
0,12
0,1
0,09
0,05
10 12 14 16 18 20 Рентабельність
Рис.4
Для побудови емпіричної функції розподілу і кумулятивної кривої потрібно розрахувати значення накопичених частот Fi і відносних накопичених частот Fi / n.
Розподіл накопиченої частоти Fi одержимо послідовним додаванням частот ki чергового інтервалу, починаючи з першого і кінчаючи останнім. Розподіл відносної накопиченої частоти розрахуємо по формулі Fi / n.
Розраховані дані занесемо у таблицю ( див. Табл.3)
Рентабельність (10;12] [12;14] [14;16] [16;18] [18;20]
h= aimax-aimin= 2
Частота ki 20 28 24 18 10 n = 100
Накопичена частота
Fi 20 48 72 90 100
Відносна накопич.
частота Fi / n. 0,2 0,48 0,72 0,9 1
Табл. 4
Графік емпіричної функції розподілу Fi(х) є близьким зображенням графіка теоретичної функції розподілу F(х) випадкової величини (, з елементів якої укладена вибірка.
Побудована емпірична функція розподілу має вигляд: (Рис.5)
FI(X)
1
90
72
48
20
10 12 14 16 18 20 Рентабельність
Рис.5
Побудована кумулятивна крива розподілу має вигляд: (Рис.6)
FI / N
1
0,9
0,72
0,48
0,2
10 12 14 16 18 20 Рентабельність
Рис.6
ВІДПОВІДЬ: Графік статистичного розподілу частот - (рис.3)
Графік статистичного розподілу відносних частот - (рис.2)
Гістограма відносних частот - (Рис.4)
Графік емпіричної функції розподілу - (Рис.5)
Кумулятивна крива розподілу - (Рис.6)
ЗАДАЧА 8.16
Підприємство випускає безалкогольні напої. Для контролю роботи наповню-вального автомата навмання відібрано n пляшок з напоями. Результати перевірки вмісту наведені в таблиці. Вважаючи, що випадкова величина Х – вміст напою в пляшці, розподілена за нормальним законом, потрібно:
обчислити точкові незсунені статистичні оцінки для М(Х);
З надійністю ( визначити надійний інтервал для оцінки дійсного середнього значення вмісту напоїв у пляшці.
Х,мл 490 - 494 494 - 497 497 – 500 500 – 502 502 – 506
ni 12 20 34 26 8 n = 100; ( = 0,99
Рішення:
Спочатку обчислимо середні значення Хср і занесемо ці значення у таблицю.
Хср = (a + b) / 2
Х,мл 492 495,5 498,5 501 504
ni 12 20 34 26 8 n = 100; ( = 0,99
Знайдемо числове значення для M(X):
M(X) = 1/n(nixi = 1/100 (492 x 12 + 495,5 x 20 + 498,5 x 34 + 501 x 26 + 504 x 8) =
= 1/100 (5904 + 9910 + 16949 + 13026 + 4032) = 49821 / 100 = 498,21
Потім розрахуємо числове значення для D(X):
D(X) = 1/n(ni[xi – M(X)]2 = 1/100[12 (492 – 498,21)2 + 20 (495,5 – 498,21)2 +
+ 34 (498,5 – 498,21)2 + 26 (501 – 498,21)2 + 8 (504 – 498,21)2 ] =
= 1/100[ 462,8 + 146,9 + 2,9 + 202,4 + 268,2] = 1083,2 / 100 = 10,83
Знайдемо числове значення для ((X): ((X) = = 3,3
За умовою задачі надійність ( = 0,99, n = 100.
Спочатку розрахуємо число t: Ф(t) = 1/2 ( ( Ф(t) =0,495. З таблиці інтегральної функції Лапласа Ф знайдемо число t = 2,6.
Тоді точність оцінки можна розрахувати:
Отже надійний інтервал буде:
(M(X) - (; M(X) + () = (498,21 – 0,86; 498,21 + 0,86) = (497,35; 499,07)
Якщо М(Х) = 498,21, то з надійністю ( = 0,99 інтервал (497,35; 499,07) покриває параметр ( = 498,21 с точністю до 0,86.
ВІДПОВІДЬ: M(X) =498,21; ((X) = 3,3; (M(X) - (; M(X) + () = (497,35; 499,07)
ЗАДАЧА 10.6
Вивчається величина прибутку на акцію в харчовій промисловості. З цією метою проаналізовано дані і навмання відібраних акціонерів; результати наведено в таблиці. За рівня значущості ( перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – прибутку на акцію.
Х 0,2 – 0,3 0,3 – 0,4 0,4 – 0,5 0,5 – 0,6 0,6 – 0,7 0,7 – 0,8 0,8 – 0,9
ni 14 18 32 70 36 20 10
n = 200, ( = 0,01
Рішення:
Для перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини
Х – прибутку на акцію застосуємо критерій Пірсона.
Критерієм перевірки цієї гіпотези візьмемо випадкову величину (2, яка може приймати у різних випробуваннях різні, наперед невідомі значення. Критичне значення цієї величини залежить від рівня значущості ( та степенів вільності її розподілу k.
(2кр = (2((,k).
За умовою задачі ( = 0,01, для розподілу по нормальному закону k = m –3, де m – кількість часткових інтервалів і дорівнює 7 ( k = 4
З таблиці критичних точок розподілу (значення критерію Пірсона) Р((2кр ( (2 сп) = ( для ( = 0,01 та k = 4 знаходимо (2кр = 13,28
1. Обчислимо теоретичні частоти n1k для даного варіанта вибірки:
Pk = n1k / n, де к =1,2,3,…,m. Отже n1k = Pk n
Pk = P(xk < X < xk+1) = , де
ХB – вибіркове середнє обчислюється по формулі:
ХB = 1/n(nixср
Д(Х) – вибіркова дисперсія обчислюється по формулі:
D(X) = 1/n(ni(xi –XB)2
( - вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюється по формулі
( =
ХB = 1/200(0,25 x 14 + 0,35 x 18 + 0,45 x 32 + 0,55 x 70 + 0,65 x 36 + 0,75 x 20 +
+ 0,85 x 10) = 1/200 ( 3,5 + 6,3 + 14,4 + 38,5 + 23,4 + 15 + 8,5) = 109,6 / 200 = 0,548
Д(Х) = 1/200[14(0,25 – 0,548)2 + 18(0,35 – 0,548)2 + 32(0,45 – 0,548)2 + 70(0,55 – 0,548)2 +
+ 36(0,65 – 0,548)2 + 20(0,75 – 0,548)2] + 10(0,85 – 0,548)2 = 1/200[ 1,26 + 0,72 +
+ 0,29 + 0,0003 + 0,37 + 0,81 + 0,9] = 4,35 / 200 = 0,02
( = = 0,14
P1 = P(0,2 < X < 0,3) = =
= Ф(-1,77) + Ф(2,48) = - 0,4616 + 0,4934 = 0,032
P2 = P(0,3 < X < 0,4) = Ф(-1,06) + Ф(1,77) = -0,3554 + 0,4616 = 0,11
P3 = P(0,4 < X < 0,5) = Ф(-0,34) + Ф(1,06) = -0,1331 + 0,3554 = 0,22
P4 = P(0,5 < X < 0,6) = Ф(0,37) + Ф(0,34) = 0,1443 + 0,1331 = 0,28
P5 = P(0,6 < X < 0,7) = Ф(1,09) - Ф(0,37) = 0,3621 – 0,1443 = 0,22
P6 = P(0,7 < X < 0,8) = Ф(1,8) - Ф(1,09) = 0,4641 – 0,3621 = 0,1
P7 = P(0,8 < X < 0,9) = Ф(2,5) - Ф(1,8) = 0,4938 – 0,4641 = 0,03
Маємо такі значення теоретичної частоти:
n11 = 0,032 x 200 = 6,4 n12 = 0,11 x 200 = 22
n13 = 0,22 x 200 = 44 n14 = 0,28 x 200 = 56
n15 = 0,22 x 200 = 44 n16 = 0,1 x 200 = 20
n17 = 0,03 x 200 = 6
2. Обчислимо спостережене значення критерію (2 за формулою:
= 9,025 + 0,72 + 3,27 + 3,5 + 1,45 + 0 + 2,66 = 20,625
Згідно критерію Пірсона, якщо:
(2кр ( (2 сп - гіпотеза не підтверджується,
(2кр ( (2 сп - гіпотеза підтверджується.
В результаті рішення задачі одержали, що (2кр ( (2 сп (13,28 ( 20,625), а значить гіпотеза про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – прибутку на акцію – НЕ ПІДТВЕРДЖУЄТЬСЯ.
ВІДПОВІДЬ: Гіпотеза НЕ ПІДТВЕРДЖУЄТЬСЯ.
ЗАДАЧА 11.15
Менеджером фірми одержано залежність між часом Х реалізації партії продукції (дні) і величиною партії Y (тис. шт.). Результати дослідження наведені в таблиці, де N – номер варіанта, N=7. Потрібно:
встановити форму залежності між ознаками X та Y;
знайти рівняння лінійної регресії Y на Х;
оцінити силу лінійного зв’язку і перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції;
с надійністю ( визначити надійний інтервал для лінії регресії.
Хi 17 20 21 23 24 27 29 30 (
Yi 0,45 1,35 1, 8 2,4 2,55 2,65 4,1 4,6 0,95
Рішення:
Ознаки Хi – час реалізації продукції і Yi – величина партії – залежні величини. Залежність між ними – корельована, яку можливо охарактеризувати кореляційними і регресійними зв’язками між ними.
Коефіцієнт лінійної кореляції ( і коефіцієнти рівняння регресивної прямої y = ax + b обчислюються по формулах:
- коефіцієнт лінійної кореляції
; b = - коефіцієнти рівняння регресивної прямої
Qx = (n – 1); Qy = (n – 1)
Qxy =
Математичне очікування (середнє число) часу реалізації:
= 1/8 (17 + 20 + 21 +23 + 24 + 27 + 29 + 30) = 23,9
Математичне очікування (середнє число) величини партії:
= 1/8 (0,45 + 1,35 + 1,8 + 2,4 + 2,55 + 2,65 + 4,1 + 4,6) = 2,5
Дисперсія (розсіювання) часу реалізації:
Sx = 1/8 [(17-23,9)2 + (20-23,9)2 + (21-23,9)2 + (23-23,9)2 + (24-23,9)2 +
+ (27-23,9)2 + (29-23,9)2 + (30-23,9)2 = 1/8(47,6 + 12,7 + 8,4 + 0,8 + 0,01 + 9,6 + 29,1 +
+ 37,2) = 145,4 / 8 = 18,2
Qx = (8 – 1) х 18,22 = 7 х 331,2 = 2318,4
Дисперсія (розсіювання) величини партії:
Sy = 1/8 [(0,45-2,5)2 + (1,35-2,5)2 + (1,8-2,5)2 + (2,4-2,5)2 + (2,55-2,5)2 +
+ (2,65-2,5)2 + (4,1-2,5)2 + (4,6-2,5)2 = 1/8( 4,2 + 1,3 + 0,5 + 0,01 + 0,0025 + 0,0225 +
+ 2,56 + 4,4 ) = 13 / 8 = 1,62
Qy = (8 – 1) х 1,62 2 = 7 х 2,64 = 18,5
= …+, де Yj = 18,9; Xi = 191
= 17 x 18,9 + 20 x 18,9 + 21 x 18,9 + 23 x 18,9 + 24 x 18,9 + 27 x 18,9 + 29 x 18,9 +
+ 30 x 18,9 = 321,3 + 378 + 396,9 + 434,7 + 353,6 + 510,3 + 548,1 + 567 = 3510
Qxy = = - ( x * = 3510 – 191 x 2,5 = 3510 – 477,5 = 3032,5
Y X
17
20
21
23
24
27
29
30
Py
0,45
1/8
0
0
0
0
0
0
0
1/8
1,35
0
1/8
0
0
0
0
0
0
1/8
1,8
0
0
1/8
0
0
0
0
0
1/8
2,4
0
0
0
1/8
0
0
0
0
1/8
2,55
0
0
0
0
1/8
0
0
0
1/8
2,65
0
0
0
0
0
1/8
0
0
1/8
4,1
0
0
0
0
0
0
1/8
0
1/8
4,7
0
0
0
0
0
0
1/8
0
1/8
Px
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1
Kоефіцієнт лінійної кореляції дорівнює:
= = 14,6
Kоефіцієнти рівняння регресивної прямої дорівнюють:
= = 1,28
b = = 2,5 – 14,6 x 23,9 = 2,5 – 349 = - 346,5
Підсумкова регресивна пряма має вид:
y = ax + b = 1,28x – 346,5
За умовою задачі надійність ( = 0,95, n = 8.
Спочатку розрахуємо число t: Ф(t) = 1/2 ( ( Ф(t) =0,475. З таблиці інтегральної функції Лапласа Ф знайдемо число t = 1,96.
Розрахуємо ( - вибіркове середнє квадратичне відхилення: (х = ; (у = ( (х = 4,28; (у = 0,67
Тоді точність оцінки для Х – часу реалізації можна розрахувати:
Точність оцінки для Y – величини партії дорівнює:
Отже надійний інтервал для Х – часу реалізації буде:
(X - (х; X + (x) = (23,9 – 3; 23,9 + 3) = (20,9; 26,9)
Надійний інтервал для Y – величини партії дорівнює:
(Y - (y; Y + (y) = (2,5 – 1; 2,5 + 1) = (1,5; 3,5)
ВІДПОВІДЬ:Підсумкова регресивна пряма має вид:
y = ax + b = 1,28x – 346,5
Надійний інтервал для Х – часу реалізації: (20,9; 26,9)
Надійний інтервал для Y – величини партії: (1,5; 3,5)
12.10.2012 16:55
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора