Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Теорія ймовірності і математична статистика
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Теорія ймовірності і математична статистика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
ВАРІАНТ №1
ЗАДАЧА 1.
Із коробки, в якій 9 білих, 5 чорних та 6 кольорових котушок, навмання виймають 3 котушки. Знайти ймовірність того, що серед них будуть:
а) всі білі;
б) одна біла та дві чорні;
в) одна біла, одна чорна та одна кольорова.
РІШЕННЯ:
а) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть білими.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (всі три котушки – білі).
б) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть одна біла та дві чорні.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (одна біла та дві чорні).
в) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть одна біла, одна чорна та одна кольорова.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (одна біла, одна чорна та одна кольорова).
ВІДПОВІДЬ: ; ;
ЗАДАЧА 11.
У цеху три верстати. Ймовірність відмови І-го дорівнює 0,1; ІІ-го - 0,2; ІІІ-го – 0,1. Обчислити ймовірність роботи:
а) всіх верстатів;
б) двох верстатів.
РІШЕННЯ:
Робота верстату є подія протилежна його відмові.
Ймовірність роботи верстатів будуть:
Ймовірність роботи:
а) всіх верстатів дорівнює:
б) двох верстатів.
Тут вірогідно кілька випадків:
робота І-го та ІІ-го верстатів:
робота І-го та ІІІ-го верстатів:
робота ІІ-го та ІІІ-го верстатів:
ВІДПОВІДЬ: Ймовірність роботи трьох верстатів – 0,65; ймовірність роботи двох верстатів – 0,72; 0,81 в залежності від номеру верстатів.
ЗАДАЧА 31
В магазин з першого заводу поступило 200 електролампочок, з другого – 150, а з третього – 250. Ймовірність того, що електролампочка відпрацює необхідну кількість годин для першого заводу дорівнює 0,9, для другого – 0,8 та для третього – 0,7. Знайти ймовірність того, що куплена в магазині електролампочка відпрацює задану кількість годин.
РІШЕННЯ:
Нехай подія А - навмання куплена у магазині електролампочка відпрацює задану кількість годин.
Ця подія може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:
Н1 – продукція надійшла з I заводу;
Н2 – продукція надійшла з II заводу;
Н3 – продукція надійшла з III заводу.
У відсотковому співвідношенні товару, який поступив в магазин:
33,3% - поступило з І заводу;
25% - поступило з ІІ заводу;
41,7% - поступило з ІІІ заводу.
Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:
Р(Н1) = 0,33
Р(Н2) = 0,25
Р(Н3) = 0,42
Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:
РН1(А) = 0,9
РН2(А) = 0,8
РН3(А) = 0,7
За формулою повної ймовірності маємо:
Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) + Р(Н3) х РН3(А) =
= 0,33 х 0,9 + 0,25 х 0,8 + 0,42 х 0,7 = 0,3 + 0,2 + 0,29 = 0,79
ВІДПОВІДЬ: Р(А) = 0,79
ЗАДАЧА 41.
Побудувати закон розподілу випадкового числа роботи верстатів, якщо робітник обслуговує чотири верстати, а ймовірність роботи кожного дорівнює 0,9. Обчислити Д(Х).
РІШЕННЯ.
Запишемо розподіл випадкового числа роботи верстатів у вигляді таблиці:
хі
1
2
3
4
Р(хі)
0,9
0,81
0,73
0,65
Спочатку знайдемо математичне сподівання цих величин.
М(Х) = 0,9 + 2 ( 0,81 + 3 ( 0,73 + 4 ( 0,65 = 0,9 + 1,62 + 2,19 + 2,6 = 7,31
Д(Х) = М(Х2) – М2(Х)
М2(Х) = (7,31)2 = 53,4
М(Х2) = 0,9 + 4 ( 0,81 + 9 ( 0,73 + 16 ( 0,65 = 0,9 + 3,24 + 6,57 + 10,4 = 21,11
Задача 51.
Дано функцію F(x) розподілу ймовірності випадкової величини Х. Знайти М(Х), ((Х) та побудувати графіки функцій F(x), f(x).
РІШЕННЯ:
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(x)
0 1 3 x
Рис.1
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( 1
f(x) = 0,25x; 1 ( x ( 3
0, x ( 3
Графік функції f(x) має вигляд: (рис.2)
f(x)
0 1 3 x
Рис.2
Знайдемо математичне сподівання М(Х):
b 3 3
M(X) = (xf(x)dx = ( 0,25x2dx = 0,25x3/3 = 2,25 – 0,08 = 2,17
a 1 1
Знайдемо дисперсію D(X):
b 3 3
D(X) = (x2f(x)dx – M2(X) = ( 0,25x3dx – (2,17)2= 0,25x4/4 - 4,7 = 5,54 – 4,7 = 0,84
a 1 1
Знайдемо середнє квадратичне відхилення ((х):
= 0,94
ВІДПОВІДЬ: М(Х) = 2,17; ((х) = 0,94
ЗАДАЧА 61
Відомі математичне сподівання а та середнє квадратичне відхилення ( випадкової величини Х, яка розподілена нормально. Обчислити ймовірність того, що:
ця випадкова величина прийме значення, які належать інтервалу ((; ();
абсолютна величина відхилення |X – а| буде меншою (.
а = 1; ( = 2; ( = -1; ( = 4; ( = 5
РІШЕННЯ:
Згідно умові а = 1; ( = 2, тому згідно формулі
одержимо:
Для обчислення ймовірності того, що абсолютна величина відхилення |X – а| буде меншою (. використаємо нерівність Чебишова:
;
ВІДПОВІДЬ: ;
ЗАДАЧА 71.
В таблиці наведені результати ста вимірів значень деякої неперервної випадкової величини Х. Користуючись цими даними:
побудувати інтервальний ряд;
побудувати гістограму розподілу відносних частот;
методом добутку обчислити виборочну середню та виборчне середнє квадратичне відхилення;
побудувати теоретичну криву щільності розподілу ймовірності, вважаючи, що генеральна сукупність Х розподілена нормально;
провести вирівнювання емпіричного розподілу по запропонованому теоретичному розподілу;
використовуючи критерій Пірсона, при рівних значеннях ( = 0,05 перевірити чи співпадає гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності Х із одержаним емпіричним розподілом.
35
35
36
36
37
37
38
38
39
39
20
20
22
22
21
21
23
23
24
24
24
24
20
20
21
21
22
22
23
23
23
24
40
41
42
43
44
44
45
15
15
19
16
16
17
17
18
18
19
19
10
11
12
13
14
13
30
30
30
30
31
32
31
33
31
33
31
33
32
34
32
30
33
34
25
34
26
34
27
32
28
28
29
29
35
25
26
26
27
27
25
27
26
26
29
29
28
27
26
25
РІШЕННЯ:
Для побудування інтервального ряду потрібно спочатку знайти статистичний розподіл цієї вибірки.
хі
ni
хі
ni
хі
ni
хі
ni
хі
ni
хі
ni
10
1
16
2
22
4
28
3
34
4
40
1
11
1
17
2
23
5
29
4
35
3
41
1
12
1
18
2
24
5
30
5
36
2
42
1
13
2
19
3
25
4
31
4
37
2
43
1
14
1
20
4
26
6
32
4
38
2
44
2
15
2
21
4
27
5
33
4
39
2
45
1
Проведемо згрупування даних.
Максимальні та мінімальні варіанти будуть: xmax = 10, xmin = 45
Розмах варіант: R = xmax - xmin = 45 – 10 = 35
Введемо для варіанти інтервали зміни даних, k = 6 з шириною h = 6
Згрупований розподіл частоти (інтервальний розподіл) даних має вигляд:
Виміри
h = 6
[10,16]
[16,22]
[22,28]
[28,34]
[34,40]
[40,45]
Частота
kі = 6
8
17
29
24
15
7
Відносна частота
Wi = ki / n
0,08
0,17
0,29
0,24
0,15
0,07
Спочатку побудуємо графік статистичного розподілу відносних частот (рис.3) і графік статистичного розподілу частот (рис.4).
Графік статистичного розподілу відносних частот має вигляд: (рис.3)
WI
0,29
0,24
0,17
0,15
0,08
0,07
10 15 21 27 33 39 45 Виміри
Рис.3
Графік статистичного розподілу частот має вигляд: (рис.4)
KI
29
24
17
15
8
7
10 15 21 27 33 39 45 Виміри
Рис.4
Для побудови гістограми відносних частот потрібно розрахувати щільності відносних частот:
Виміри
h = 6
[10,16]
[16,22]
[22,28]
[28,34]
[34,40]
[40,45]
Відносна частота
Wi = ki / n
0,08
0,17
0,29
0,24
0,15
0,07
Щільність ВЧ
Wi / h
0,013
0,028
0,048
0,04
0,025
0,011
Гістограма відносних частот має вигляд: (рис.5)
WI / H
0,048
0,04
0,028
0,025
0,013
0,011
10 15 21 27 33 39 45 Виміри
Рис.5
Обчислимо вибіркову середню та вибіркове середнє квадратичне відхилення. Спочатку обчислимо середні значення Хср і занесемо ці значення у таблицю.
Хср = (a + b) / 2
Виміри
h = 6
12,5
18,5
24,5
30,5
36,5
42,5
Частота
kі = 6
8
17
29
24
15
7
n = 100
Вибіркова середня розраховується за формулою:
Вибіркове середнє квадратичне відхилення розраховується за формулою:
Для побудови емпіричної функції розподілу і кумулятивної кривої потрібно розрахувати значення накопичених частот Fi і відносних накопичених частот Fi / n.
Розподіл накопиченої частоти Fi одержимо послідовним додаванням частот ki чергового інтервалу, починаючи з першого і кінчаючи останнім. Розподіл відносної накопиченої частоти розрахуємо по формулі Fi / n.
Розраховані дані занесемо у таблицю.
Виміри
h = 6
[10,16]
[16,22]
[22,28]
[28,34]
[34,40]
[40,45]
Частота
kі = 6
8
17
29
24
15
7
Накопичена частота Fi
8
25
54
78
93
100
Відносна накопич. частота Fi / n.
0,08
0,25
0,54
0,78
0,93
1
n = 100
Графік емпіричної функції розподілу Fi(х) є близьким зображенням графіка теоретичної функції розподілу F(х) випадкової величини (, з елементів якої укладена вибірка.
Побудована емпірична функція розподілу має вигляд: (Рис.6)
FI(X)
1
0,93
0,78
0,54
0,25
0,08
10 15 21 27 33 39 45 Виміри
Рис.5
Побудована кумулятивна крива розподілу має вигляд: (Рис.7)
FI(X)
1
0,93
0,78
0,54
0,25
0,08
10 15 21 27 33 39 45 Виміри
Рис.7
Для перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу випадкової величини Х – прибутку на акцію застосуємо критерій Пірсона.
Критерієм перевірки цієї гіпотези візьмемо випадкову величину (2, яка може приймати у різних випробуваннях різні, наперед невідомі значення. Критичне значення цієї величини залежить від рівня значущості ( та степенів вільності її розподілу k.
(2кр = (2((,k).
За умовою задачі ( = 0,05, для розподілу по нормальному закону k = m –3, де m – кількість часткових інтервалів і дорівнює 6 ( k = 3
З таблиці критичних точок розподілу (значення критерію Пірсона) Р((2кр ( (2 сп) = ( для ( = 0,05 та k = 3 знаходимо (2кр = 7,82
1. Обчислимо теоретичні частоти n1k для даного варіанта вибірки:
Pk = n1k / n, де к =1,2,3,…,m. Отже n1k = Pk n
( - вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюється по формулі
( =
( = ( 8
P1 = P(10 < X < 16) = = Ф(-1,5) + Ф(2,1) =
= - 0,4332 + 0,4821 = 0,049
P2 = P(16 < X < 22) = Ф(-0,6) + Ф(1,5) = -0,2257 + 0,4332 = 0,2
P3 = P(22 < X < 28) = Ф(0,12) + Ф(0,6) = 0,04506 + 0,2257 = 0,27
P4 = P(28 < X < 34) = Ф(0,87) - Ф(0,12) = 0,309 - 0,04506 = 0,26
P5 = P(34 < X < 40) = Ф(1,6) - Ф(0,87) = 0,4452 – 0,309 = 0,17
P6 = P(40 < X < 45) = Ф(2,25) - Ф(1,6) = 0,487 – 0,4452 = 0,04
Маємо такі значення теоретичної частоти:
n11 = 0,049 x 100 = 4,9 n12 = 0,2 x 100 = 20
n13 = 0,27 x 100 = 27 n14 = 0,26 x 100 = 26
n15 = 0,17 x 100 = 17 n16 = 0,04 x 100 = 4
2. Обчислимо спостережене значення критерію (2 за формулою:
= 1,96 + 0,45 + 0,14 + 0,15 + 0,23 + 2,25 = 5,18
Згідно критерію Пірсона, якщо:
(2кр ( (2 сп - гіпотеза не підтверджується,
(2кр ( (2 сп - гіпотеза підтверджується.
В результаті рішення задачі одержали, що (2кр ( (2 сп (7,82 ( 5,18), а значить гіпотеза про нормальний закон розподілу випадкової величини Х підтверджується.
ВІДПОВІДЬ: Інтервальний ряд - табл.2; гістограма розподілу – рис.5; ;
; емпірична функція розподілу – рис.6; кумулятивна крива розподілу – рис.7; гіпотеза підтверджується.
ЗАДАЧА 81
Знайти вибіркове рівняння прямої
регресії Y на Х за даними кореляційної таблиці.
x
y
4
8
12
16
20
nx
10
2
5
-
-
-
7
20
-
6
8
4
-
18
30
-
8
16
10
-
34
40
-
-
5
10
4
19
50
-
-
3
14
5
22
ny
2
19
32
38
9
n = 100
РІШЕННЯ:
.
12.10.2012 16:10-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора