Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Теорія ймовірності і математична статистика
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2012
Тип роботи:
Контрольна робота
Предмет:
Теорія ймовірності і математична статистика
Варіант:
4
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
ВАРІАНТ 4.
ЗАДАЧА 1.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Скільки різних слів можна скласти з літер вашого:
а) імені?
б) прізвища?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Оскільки літери у словах можуть повторюватися, то на кожній позиції нового слова може стояти будь-яка літера імені чи прізвища.
а) ТАНЯ – 4 літери, 4! = 24 слова
б) КОРДУНЯН – 8 літер, 8! = 40320 слів
ВІДПОВІДЬ: а) 24 слова; б) 40320 слів
ЗАДАЧА 2.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Кондуктор автобуса зберігає купюри різної вартості у двох кишенях: в одній – 7 купюр по 2 грн. та 3 купюри по 5 грн. в іншій – відповідно 12 та 8 купюр. З кожної кишені навмання дістає одну купюру. Яка ймовірність того, що:
а) обидві купюри однієї вартості?
б) купюри різної вартості?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Позначимо такі події:
А – витягування купюри 2 грн. з першої кишені:
В – витягування купюри 5 грн. з першої кишені;
С – витягування купюри 2 грн. з другої кишені.
Д – витягування купюри 5 грн. з другої кишені.
Маємо чотири гіпотези:
Н1 = А ( С; Н2 = А ( Д; Н3 = В ( С; Н4 = В ( Д, які утворюють повну групу подій.
Ймовірностями цих гіпотез будуть:
Р(Н1 ) = 0,7 ( 0,6 = 0,42; Р(Н2 ) = 0,7 ( 0,4 = 0,28
Р(Н3 ) = 0,3 ( 0,6 = 0,18; Р(Н4 ) = 0,3 ( 0,4 = 0,12;
При витягуванні однієї купюри с кожної кишені гіпотези Н1 і Н4 – несумісні.
Тоді ймовірність того, що з кожної кишені витягнуть купюри однієї вартості дорівнює:
Р(Н1 ( Н4) = Р(Н1 ) + Р(Н4 ) = 0,42 + 0,12 = 0,54
Сума
Н1 + Н2 + Н3 + Н4 – є достовірна подія, то
Р(Н1 ) + Р(Н2 ) + Р(Н3 ) + Р(Н4) = 1
Тоді ймовірність того що з кожної кишені витягнуть купюри різної вартості:
Р(Н2 ( Н3 ) = 1 - Р(Н1 ( Н4) = 1 - 0,54 = 0,46
ВІДПОВІДЬ: а) 0,54; б) 0,46
ЗАДАЧА 3.
УМОВА ЗАДАЧІ.
На відрізку (-2; 3( навмання вибрано два числа х і у. Яка ймовірність того, що сума їх менша 3, а різниця х – у менша 2?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
ЗАДАЧА 4.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Тираж популярної газети друкується в двох типографіях. Потужності двох типографій відносяться як 3:4, причому перша дає 3,5% браку, а друга – 2,5%. Яка ймовірність того, що:
а) навмання обраний примірник газети буде бракованим?
б) бракований примірник газети надруковано в першій типографії?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
а) Нехай подія А - навмання обраний примірник газети буде бракований.
Подія А може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:
Н1 – продукція надійшла з I типографії;
Н2 – продукція надійшла з II типографії;
Із відношення 3:4 розрахуємо потужності двох типографій (у відсотках): перша – 44%, друга – 56%
Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:
Р(Н1) = 0,44
Р(Н2) = 0,56
Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:
РН1(А) = 0,035
РН2(А) = 0,025
За формулою повної ймовірності маємо:
Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) = 0,44 х 0,035 + 0,56 х 0,025 =
= 0,015 + 0,014 = 0,029
Тобто ймовірність того, що, навмання обраний примірник газети буде бракованим дорівнює 0,029
б) Розрахуємо долю браку 1-ої типографії серед всього браку примірників.
Нехай подія А1 - навмання обраний бракований примірник газети буде надруковано в першій типографії.
Р(А(Н1) = Р(Н1) х РН1(А) = 0,44 х 0,035 = 0,015
ВІДПОВІДЬ: а) 0,029; б) 0,52
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №2
ВАРІАНТ 4.
ЗАДАЧА 1.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Серед 500 коробок взуття нової колекції в 400 лежить взуття чорного кольору. Яка ймовірність того, що у 4-х навмання вибраних коробках буде:
а) одна із взуттям чорного кольору?
б) не менше ніж у двох чорне взуття?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Згідно умові задачі є 500 коробок взуття, з них 400 з взуттям чорного кольору і 100 коробок з взуттям іншого кольору.
Співвідношення коробок з взуттям іншого кольору з коробками з взуттям чорного кольору – 1/5, тобто 20% коробок з взуттям іншого кольору і 80% коробок з взуттям чорного кольору.
Подія А – отримання коробок з взуттям чорного кольору, тоді ймовірність того, що у вибраних коробках буде чорне взуття дорівнює Р = 0,8 , ймовірність того, що у вибраних коробках буде взуття іншого кольору дорівнює q = 1 – P = 0,2
a) Згідно умові задачі n = 4, k = 1.
Ймовірність того, що подія А настане рівно k=1 раз в n=4 навмання вибраних коробках обчислюється за формулою Бернуллі:
Pn(k) = ( Pk ( qn-k ,
P4(1) = ( P1 ( q3 = 4 ( 0,8 ( 0,23 = 3,2 ( 0,008 = 0,025
б) Згідно умові задачі n = 4, k ( 2 ( k 2, k = 3 i k =4
Ймовірність того, що у 4-х навмання вибраних коробках буде не менше ніж у двох чорне взуття дорівнює:
P4(2, 3, 4) = 1 - P4(1) = 1 - 0,025 = 0,975
ВІДПОВІДЬ: а) 0,025; б) 0,975
ЗАДАЧА 2.
УМОВА ЗАДАЧІ.
У податкових накладних є помилки з ймовірністю 5%.
Скільки податкових накладних потрібно взяти, щоб найімовірніше число накладних без помилок було 70?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
Отримання однієї податкової накладної можна розглядати як одну n - незалежну подію. Треба здійснити n + 70 - незалежних подій, щоб отримати 70 ( m0 ) накладних без помилок.
Подія А (отримання накладної без помилки) може настати с ймовірністю p=0,95 або не настати з ймовірністю q = 1 - p = 1 – 0,95 = 0,05 при виконанні однієї незалежної події.
Згідно зауваження 2 (формула Бернуллі):
m0 ( n( p + q
70 ( n( p + q
Розрахуємо n:
Отже, потрібно взяти 78 податкових накладних, щоб отримати 70 накладних без помилок.
ВІДПОВІДЬ: п = 78
ЗАДАЧА 3.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Ймовірність прийняття на роботу кожного з 5 претендентів становить 0,2. Випадкова величина ( - число претендентів, прийнятих на роботу. Знайти закон розподілу випадкової величини (, математичне сподівання М(, дисперсію D( і середньоквадратичне відхилення (( .
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Прийняття на роботу – це незалежна подія, проведено 5 подій, ймовірність кожної – 0,2.
Уведемо ( - число претендентів, прийнятих на роботу.
( =(0 =0
( =(1 =1
( =(2 =2
( =(3 =3
( =(4 =4
( =(5 =5
Pn(k) = ( Pk ( qn-k ,
.P0,5 = ( 0,20 ( 0,85 = 0,32
P1,5 = ( 0,21 ( 0,84 = 0,2 ( 0,41= 0,41
P2,5 = ( 0,22 ( 0,83 = 0,4( 0,51 = 0,2
P3,5 = ( 0,23 ( 0,82 = 0,08 ( 0,64 = 0,05
P4,5 = ( 0,24 ( 0,81 = 0,008 ( 0,8 = 0,006
P5,5 = ( 0,25 ( 0,80 = 0,003
Складемо таблицю (закон розподілу):
(
0
1
2
3
4
5
Р
0,32
0,41
0,2
0,05
0,006
0,003
Математичне сподівання
M( = 0,41 + 0,4 + 0,15 + 0,024 + 0,015 = 1
Щоб знайти математичне сподівання ( 2 або M( 2 запишемо закон розподілу ( 2 у вигляді таблиці
(2
0
1
4
9
16
25
Р
0,32
0,41
0,2
0,05
0,006
0,003
M( 2 = 0,41+ 0,8 + 0,45 + 0,01 + 0,075 = 1,75
Дисперсію D( розрахуємо по формулі:
D( = M( 2 – (M( )2 = 1,75 - 1 = 0,75
Середньоквадратичне відхилення (( дорівнює:
(( = = 0,87
ВІДПОВІДЬ: M( = 3,2; D( = 0,76; (( = 0,87
ЗАДАЧА 4.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Випадкова величина ( задана функцією розподілу:
0, x ( 0
F(X) = (х2 + х); 0 ( x ( 3
1, x ( 3
Визначити щільність розподілу f(x), математичне сподівання М(, дисперсію D( . Знайти ймовірність того, що ( набуде будь яке значення з інтервалу (0; 2(. Побудувати графіки функцій F(X) та f(x)
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(x)
1
0,41
0, 16
Рис. 1
0 1 2 3 х
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( 0
f(x) = (2х + 1); 0 ( x ( 3
0, x ( 3
Графік функції f(x) має вигляд: (рис.2)
F(x)
0,58
0,41
0, 25
Рис. 2
0 1 2 3 х
Знайдемо математичне сподівання М(Х):
b 3 3
M(() = (xf(x)dx = ( (2x2 + x)dx = (2x3/3 + х2/2) = = 1,96
a 0 0
Знайдемо дисперсію D(X):
b 3 3
D(() = (x2f(x)dx – M2(X) = ( (2x3 + x2)dx – (1,96)2=(2x4/4 + x3/3) -
a 0 0
- 3,83 = (40,5 + 9) – 3,83 = 4,12 – 3,83 = 0,29
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі (0; 2):
b 2 2
P(0 ( х ( 2) = ( f(x)dx = ( (2х + 1))dx = (2х2/2 + х) = = 0,5
a 0 0
ВІДПОВІДЬ: M(( ) = 1,96; D(( ) = 0,29; P(0 ( х ( 2) = 0,5
12.10.2012 16:10-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора