Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Комплексні числа
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Прикладна математика
Кафедра:
Кафедра прикладної математики
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Курсова робота
Предмет:
Програмування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Міжнародний університет «МЕГУ» імені академіка Степана Дем’янчука
Кафедра «Прикладної математики»
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни
«Програмування»
на тему:
«Комплексні числа»
Зміст
Вступ ............................................................................................................. 3
Розділ 1. Основні етапи вивчення теми «Комплексні числа» в курсі середньої школи ......................................................................................... 4
Основний зміст навчальної теми «Комплексні числа»........... 4
Методи оцінювання знання теми .............................................12
Можливості автоматизації ........................................................16
Розділ 2. Розробка навчально-контролюючої системи .....................16
Проект системи .......................................................................16
Граф-схема системи ...............................................................17
Програма ..................................................................................17
Розділ 3. Коп’ютерна реалізація ............................................................19
Постановка програми .............................................................19
Інтерфейс. Інструкція користувача .......................................21
Приклади реалізації ................................................................25
Висновок .....................................................................................................25
Список використаної літератури ..........................................................27
Додатки .......................................................................................................28
Додаток 1. Файл проекту програми ...............................................28
Дадаток 2. Інтерфейсна частина модуля головної форми ..........28
Додаток 3. Інтерфейсна частина модуля форми Fdem ................29
Додаток 4. Інтерфейсна частина модуля форми Ftesting ............30
Додаток 5. Модуль форми відображення результатів тестування .............................................................................................................32
Додаток 6. Інтерфейсна частина модуля класу для роботи з тестовим файлом ..............................................................................................33
Вступ
Актуальною на сьогоднішній день є проблема широкого впровадження та ефективного використання інформаційних технологій в сфері освіти, зокрема в загалноосвітніх школах. Учні середніх і старших класів повинні мати можливість використовувати та вивчати сучасні інформаційні технології на базі персональних комп’ютерів, спілкуватися з світовою спільнотою через мережу Internet.
Комп’ютер в загальноосвітній школі постає в двох якостях: як об’єкт вивчення і як інструментальний засіб, за допомогою якого можна оптимізувати навчальний процес, підвищити якість запам’ятовування та рівень розуміння навчального матеріалу.
Комп’ютерну техніку доцільно використовувати при вивченні майже всіх навчальних предметів, але в даній роботі розглянуто його застосування на уроках математики в старших класах.
Використовуючи комп’ютерну техніку на уроці, а особливо при проведенні занять з математики в комп’ютерних класах, вчитель одержує широкі можливості пояснення навчального матеріалу з використання рисунків, графіків, діаграм, складних креслень, а також може знайомити учнів з навчальними текстами під час уроку. У вчителя з’являється можливість автоматузувати проведння та перевірку контрольних і самостійних робіт, таким чином одержуючи можливість, перевірити засвоєння матеріалу на проведеному уроці.
Учні в свою чергу можуть використовувати комп’ютер в самостійній роботі і для самоконтролю.
Але на перепоні широкому вправадженню комп’ютерної техніки в навчальний процес стоїть ряд складних проблем, пов’язаних з відсутність належного фінансування освітньої сфери. На сьогоднішній день найбільш гострою є проблема відсутності належної технічної бази в школах: застаріле апаратне забезпечення персональних комп’ютерів, яке не відповідає рівню розвитку сучасних інформаційних технології, або його повна відсутність. Не менш актуалною є проблема відсутності в в розпорядженні шкіл відповідного програмного забезпечення. Якісних програм українського виробництва, які можна було б ефективно використовувати у навчанні, не так багато і більшість з них досить дорого коштують, а тому, як правило, не доступні пререважній більшості шкіл. Програмне забезпечення, яке коштує порівняно недорого або поширюється вільно, не завжди відповідає потребам навчального процесу і має належний рівень якості.
Тому зараз постає проблема розробки якісного і дешевого програмного забезпечення, яке б ефективно використовувалось у навчальному процесі. Такі програми можуть бути найрізноманітнішого характеру від демонстраційних програм, до потужних систем, що автоматично розв’язують ряд формалізованих задач.
В цій роботі буде розглянуто розробку навчально-контролюючої системи «Комплексні числа».
Дана система призначена для виконання таких функції:
навчальна – дозволяє учневі ознайомитися з основними поняттями та твердженнями теми «Комплексні числа», навчальний матеріал, який пропонується системою, може також використовуватись для повторення і закріплення вивченого матеріалу;
контролююча – провення контролю знань учня на основі тестування;
аналітична – за результатами тестування система робить відповідний висновок про рівень знань учня з даної теми, а також в разі необхідності пропонує повторно вивчити навчальний матеріал.
Навчально-контролююча система «Комплексні числа» може використовуватися вчителем на уроках алгебри в одинадцятому класі для вивчення нового матеріалу, повторення та закріплення пройденого матеріалу, а також для проведення контролю засвоєння основних понять та положень розділу «Комплексні числа». Система може використовуватись також старшокласником для самостійної роботи та самоконтролю.
Розділ 1. Основні етапи вивчення теми «Комплексні числа» в курсі середньої школи
Основний зміст навчальної теми «Комплексні числа».
Зміст навчальної теми в системі представлено у вигляді розділів відповідно до існуючої навчальної програми. У кожному розділі викладено основні поняття, пложення, формули, а також наведено типові приклади, які найчастіше зустрічаються в самостійних та контрольних роботах. Тобто матеріал теми подано так, щоб учень міг ознайомитися з теоретичними положеннями і одночасно з’ясувати, як за допомогою тієї чи іншої теорії розв’язувати задачі.
Наведемо зміст розділів навчальної теми, у тому порядку, в якому їх система пропонує для вивчення.
1.Поняття про комплексне число
У багатьох розділах математики неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Досить давно під час розв'язування багатьох задач виникла потреба добування квадратного кореня з від'ємних чисел. Але чисел, квадрати яких є від'ємними, на той час ще не занали, тому вважали, що корені квадратні з від'ємних чисел не існують, а задачі, які до них приводять не мають розв'язків.
Природно постало питання про розширення множини дійсних чисел. У розширеній множині, крім чотирьох арифметичних дій - додавання, віднімання, множення і ділення (крім ділення на нуль), можна виконуванти дію добування кореня.
При розширенні множини дійсних чисел задовільняються такі вимоги:
означення нових чисел повинно спиратися на означення дійсного числа, нова множина повинна містити всі дійсні числа;
для нових чисел повинні виконуватися п'ять законів прямих арифметичних дій;
у новій числовій множині мусить мати розв'язок рівняння x^2=-1, бо в цій множині виконується дія, обернена до піднесення до степеня.
У зв'язку з цим необхідно ввести деяке число як розв'язок рівняння x^2=-1.
Число, квадрат якого дорівнює -1 називають уявною одиницею, позначають i (з лат. imaginarius - уявний).
Зауважимо, що рівність x^2=-1 приймається за означенням і не доводиться.
Введемо означення комплексного числа.
Комплексними числами називаються числа виду a+bi, де a, b - довільні дійсні числа, i - уявна одиниця.
Число a називається дійсною частиною комплексного числа a+bi, а вираз bi - уявною. Число b називають коефіцієнтом при уявній частині.
Наприклад, розглянемо комплексне число 7 + 4і. Тут 7 - дійсна частина, 4і - уявна частина, 4 - коефіцієнт при уявній частині.
Числа виду a+0i отожнюються з дійсними числами, а саме вважають, що a + 0i = a. Таким чином множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел. За нуль на множині комплексних чисел приймається комплексне число виду 0 + 0і.
Два комплексних числа a + bi, c + di називаються рівними, якщо попарно рівні їх дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах: a=b, c=d.
Комплексні числа за величиною не порівнюють, тобто для них не існує поняття "більше" та "менше".
Комплексні числа, дійсні частини яких рівні, коефіцієнти при уявних частинах рівні за абсолютною величиною і протилежні за знаком називають спряженими комплексними числами.
Тобто спряженими комплексними числами будуть числа виду a+bi та a-bi. Наприклад, комплексні числа 2+5і та 2-5і будуть спряженими, до числа 11 буде спряженим число 11, оскільки його можна записати у вигляді 11+0і та
11-0і.
Таким чином в даному розділі введено означення комплексного числа, також заявлені основні поняття теорії комплексних чисел.
2. Дії над комплексними числами
2.1. Додавання комплексних чисел.
Сумою двох комплексних чисел a + bi та c + di називається комплексне число (a + c) + (b + d)i, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійснх частин і коефіцієнтів при уявних частинах доданків, тобто
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Виконати додавання комплексних чисел: (2 + 3і) + (4 - 7і) = 6 - 4і.
З означення випливає, що додавання комплексних чисел виконується за правилом додавання многочленів.
Оскільки нулем у множині комплексних чисел є число 0 + 0і, то для будь-якого комплексного числа справедлива рівність (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi.
Для комплексних чисел вводиться також поняття про ти лежного комплексного числа. Два комплексні числа називаються протилежними, якщо їх сума рівна нулю. Протилежними комплексними числами будуть числа виду a + bi та -a - bi.
Додавання комплексних чисел підлягає переставному і сполучному законам.
2.2. Віднімання комплексних чисел.
Різницею двох комплексних чисел k і p називається таке комплексне число l, яке в сумі з p дає число k.
Різниця двох довільних комплексних чисел визначена при чому однозначно.
Віднімання двох комплексних чисел виконуєть за правилом: (a + bi) - (c+di) = (a - c) + (d - b) i, тобто дійна частина різниці дорівнює різніці дійсних частин зменшуваного і від'ємника, коефіцієнт при уявній часниті - різниці коефіцієнтів при уявних частинах заменшуваного і від'ємника.
Виконати віднімання комплексних чисел: (3 + 4і) - (2 + і) = 1 + 3і.
При розв'язуванні задач на сумісне додавання і віднімання комплексних чисел користуються правилом додавання і віднімання многочленів.
2.3. Множення комплексних чесел.
Добутком двох комплексних чисел a + bi та c + di називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)i.
Множення комплексних чисел підлягає переставному і сполучному законам, як множення дійсних чисел.
Добуток двох спряжених комплексних чисел є дійсне невід'ємне число, яке дорівнює сумі квадратів дійсної частини якогось з даних чисел та коефіцієтна при уявній одиниці: (a + bi)(a - bi)=a^2 + b^2.
З цього випливає, що суму квадратів довільних двох дійсних чисел можна представити як добуток комплексно-спряжених множників.
(4 - 5і)(3 + 2і) = 22 - 7і.
(1 - 2і)(1 + 2і) = 1 + 4 = 5.
2.4. Ділення комплексних чисел
Часткою двох комплексних чисел k і p називається таке комплексне число l, яке при множенні на p дає число k.
Дія ділення на множині комплексних чисел визначена і однозначна (крім ділення на нуль).
Правило ділення комплексних чисел:
(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad)/ (c^2 + d^2)i.
Цей результат можна дістати, домноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Саме таким прийомом користуються при діленні комплексних чисел.
2.5. Піднесення комплексних чисел до степеня
число і до степеня з натуральним показником n, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення. В загальному вигляді можна записати так:
i^(4m) = 1, i^(4m + 1) = i, i^(4m + 2) = -1, i^(4m + 3) = -i.
i^19 = i^(16 + 3) = i^3 = -i;
i^57 = i^(56 + 1) = i^1 = i.
Правило піднесення до степеня уявної одиниці використовується при піднесенні до степеня комплексних чисел. Загалом піднесення комплексних чисел до степеня відбувається за формулою бінома Нютона.
(2 + 5i)^2 = 4 + 20i + 25i^2 = 4 + 20i -25 = -21 + 20i;
(3 + 2і)^3 = 27 + 54i + 37i^2 + 8i^3 = -9 + 46i.
Корисно запам'ятати наступні рівності:
(1 + i)^2 = 2i;
(1 - i)^2 = -2i.
3.Геометрична інтерпритація комплексних чисел
При вивченні комплексних чисел можна використовувати геометричну термінологію і геомертричні міркування, якщо встановити взаємооднозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини.
Відповідність можна встановити таким чином. Кожному комплексному числу a + bi ставимо у відповідність точку M (a; b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината - коефіцієнту уявної частини. Кожній точці M (a; b) координатної площини ставимо у відповідність комплексне число a + bi. Така відповідність буде взаємооднозначною.
Встановлена відповідність дозволяє інтерпретуванти комплексні числа як точки деякої координатної площини, в якій вибрано систему координат. Координатну площину при цьому називають комплексною, вісь абсцис - дійсною віссю, оскільки на ній розміщені точки, які відповідають комплексним числам виду a + 0i, вісь ординат - уявною віссю, на ній лежать точки, які відповідають числам виду 0 + bi.
Зручною є також інтерпретація комплексного числа як вектора на площині. Кожному комплексному числу a + bi ставиться у відповідність радіус-вектор з координатими (a, b).
Взаємооднозначна відповідність між множиною комплексних чисел та множиною точок координатної площини або векторів дозволяє називати комплексні числа точками або векторами.
4. Добування квадратного кореня з від'ємних чисел
При побудові множини комплексних чисел було забезпечено виконуваність дії добування кореня квадратного з від'ємних чисел.
Існують два і лише два корені квадратних з числа -1, а саме: i та -i. Аналогічно існують два і лише два корені з числа -a, а саме: (ai)^(1/2) та -(ai)^(1/2). Наприклад, (-64)^(1/2) = ±8i.
До введення множини комплексних чисел вважалося, що квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом не мають розв'язків. Розглянемо розв'язання таких рівнянь на множині комплексних чисел.
Розв'язати рівняння x^2 + 8x + 17 =0.
Маємо D = 64 - 68 = -4; x = -4 ± (-1)^(1/2) або x = -4 ± i.
З прикладу бачимо, що розв'язками квадратного рівняння з від'ємним дискримінантом є два комплексно-спряжені корені. Для таких рівнянь також справедлива теорема Вієта.
5. Тригонометрична форма запису комплексних чисел
Запис комплексного числа z у формі a + bi називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми, існують й інші форми комплексного числа, зокрема тригонометрична.
5.1. Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа a + bi називається число (a^2 + b^2)^(1/2).
Позначають |a + bi| = (a^2 + b^2)^(1/2).
Модуль комплексног числа перетворюється в нулю тоді і лиши тоді, коли його дійсна частина та коефіцієнт при уявній частині рівні нулю.
Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображають ці числа лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.
5.2 Аргумент комплексного числа
Нехай OA деякий вектор, що зображує комплексне число a + bi, a - кут, який утворює вектор OA з додатнім напрямом осі OX.
Числове значення a, виміряне в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bi.
Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються один від одного на величину 2pn, де n - довільне ціле число. Число 0 + 0і не має аргументу. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, називається головним.
Головне значення аргументу a комплексного числа a + bi можна визначити з рівності tg a=b/a і за знаками a та b з'ясувати, в якій координатній чверті міститься кут a.
Знайти головне значення аргументу a для даних комплексних чисел:
а) z = 1 + i;
Маємо: tg a =1. Оскільки a = 1 і b = 1, кут a належить першій координатній чверті. Отже, a = p / 4.
б) z = -1 + 3^(1/2)i;
tg a = -3^(1/2); оскільки a<0 і b>0, то радіус-вектор, який відповідає даному комплексному числу належить другій координатній чверті. Отже,
a = 2p / 3.
5.3. Тригонометрична форма комплексного числа
Нехай вектор OA є зображення комплексного числа z = a + bi, модуль якого - r, а аргумент - a.
Вираз r(cosa + sina) називається три гонометричною формою комплексного числа z.
Будь-яке відмінне від нуля комплексне число a + bi можна подати у тригонометричній формі. При цьму модуль r цього числа визначають за формулою r = (a^2 + b^2)^(1/2), кут a визначають із залежності tg a = b / a.
Записати дане комплексне число в тригонометричній формі: z = -2 + 3i.
Маємо: r = (4 + 9)^(1/2) = 13^(1/2); a = arctg (-3/2), оскільки a<0, b>0, то
a» 2.16. Отже, z = 13^(1/2)(cos 2.16 + i sin 2.16).
Перевести комплексне число, задане в тригонометричній формі, в алгебраїчну:
2(cos (p/3) + i sin(p/3)) = 2(1/2 + 3^(1/2)/2 i) = 1 + 3^(1/2) i.
5.4. Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.
Тригонометрична форма запису комплексних чисел дуже зручна під час множення і ділення чисел.
Нехай маємо z = r(cosa + i sina), t = p(cosb + i sinb ) два комплексні числа, записані в тригонометричній формі.
під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножаються, а аргументи додаються:
zt = rp(cos(a + b) + i sin(a + b)).
під час ділення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх діляться, а аргументи віднімаються:
zt = r / p(cos(a - b) + i sin(a - b)).
6.Формула Муавра
Комплексні числа, записані в тригонометричній формі, зручно прідносити до натурального степеня. Нехай z = r(cos a + i sin a).
z^n = r^n (cos na+ i sin na), де n ÎN.
7. Корінь n-ого степеня з комплексного числа
Коренем n-ого степеня з комплексного числа z називається таке комплексне число w, n-ий степінь якого дорівнює z: w^n = z.
Корінь n-ого степеня з комплексного числа визначається неоднозначно. На множині комплексних чисел існує n коренів n-ого степеня.
нехай дано z = r(cos a + sin a), тоді
z^(1/n) = r^(1/n)(cos((a+2p/n)/k) + i sin((a+2pn)/k),
де k = 0, 1, ..., n-1.
Методи оцінювання знання теми
Перевірка рівня знань учня після розгляду навчального матеріалу, представленого системою буде здійснюватись на основі педагогічного тесту.
Педагогічний тест - це система завдань специфічної форми та певного змісту, яка дає можливість оцінити структуру і виміряти рівень знань, умінь і практичинх навичок учнів.
Оскільки здійснюється перевірка засвоєння знань розділу, то система пропонує тест середньої довжини, який спрямований на перевірку того, чи засвоїв учень основні поняття теми, а також чи оволодів він найпростішими прийомами роботи з комплексними числами.
Тест містить 26 завдань різного рівня складності. Система пропонує запитання, відповідь на які повинен вказати сам користувач (такі відповіді є короткими і однозначними), а також запитання з варіантами відповіді. В тесті є запитання, на які правильною відповіддю буде вибір сукупності варіантів. В такому випадку система додає бали кожного правильного варіанту відповіді.
Максимально можливою кількістю балів, які може набрати користувач під час тестування є 49. Оцінювання система проводитиме за 12-бальною системою за критеріями, які наведено в таблиці 1.
Таблиця 1. Критерії оцінювання системою знань учня
Набрані бали
Оцін ка
Висновок системи
1-4
1
Рівень ваших занань надзвичайно низький. Слід ґрунтовно опрацювати навчальний матеріал, який пропонує програма, а також повправлятися в розв’язуванні вправ, вам також слід попрацювати з шкільними підручниками та додатковими джерелами.
5-8
2
-
9-12
3
-
13-16
4
У вас низький рівень знань, для його підвищення слід опрацювати навчальний матеріал, який пропонує програма, і повправлятися в розв’язуванні вправ.
17-20
5
-
21-24
6
-
25-28
7
У вас посередній рівень знань, для закріплення матеріалу вам необхідно опрацювати теоретичний матеріал, який пропонує програма, та повправлятися у розв’язуванні вправ.
29-32
8
-
33-36
9
-
37-40
10
У вас високий рівень знань, ви успішно засвоїли навчальний матеріал.
41-44
11
У вас досить високий рівень знань, ви успішно засвоїли навчальний матеріал.
Більше 45
12
Блискуче! Ви успішно засвоїли навчальний матеріал, а також володієте навичками розв’язування типових задач.
Викладемо зміст тестового завдання, яке пропонується системою.
Тестове завдання
1. Як називають число, квадрат якого дорівнює -1:
a) дійсним;
b) уявною одиницею; (1 бал)
c) від’ємним.
2. Як називаються числа виду a + b i:
a) ірраціональні;
b) уявні;
c) комплексні. (1 бал)
3. Як називаються комплексні числа, що відрізняються лише знаком коефіцієнта при уявній частині:
a) протилежними комплексними числами;
b) спряженими комплексними числами. (1 бал)
4. Чи будить спряженими такі комплексні числа -1 + 2і та -1 -2і:
a) так; (1 бал)
b) ні.
5. Записати комплексне число, спряжене до числа 23. Відповідь: 23 (2 бали).
6. Сумою чисел (2 + 3і) та (4 - 5і) є число:
a) 6 - 2і (2 бал);
b) 6 + 8і ;
c) 6.
7. Різницею чисел (4 - 3і) та (-1 - і) є число:
a) -5 - і;
b) 5 - 2і; (2 бал)
c) -5 - 2і.
8. Значенням виразу 8 + (2 - 9і) + 4і + (-2 - 8і) буде число:
a) 3 + і;
b) 8 - 13і; (3 бали)
c) 2і.
9. Значенням виразу (3 + 7і)(2 + і) буде число:
a) -1 + 17і; (3 бали);
b) 0;
c) 6.
10. Знайти значення виразу (4 + 5і)(4 - 5і). Відповідь: 41 (2 бали).
11. Часткою чисел (3 + 4і)/(5 - 2і) буде число:
a) 3/5 - 2і;
b) 23/29 + 26/29 і; (3 бали)
c) -2 + 7і.
12. Знайти занчення виразу і^102. Відповідь: -1 (2 бали).
13. Чибудуть корені довільного квадратного рівняння спряженими комплексними числами:
a) так; (2 бали)
b) ні.
14. Геометрично комплексне число інтерпретують як:
a) точку координатної прямої;
b) точку координатної площини; (1 бал)
c) радіус-вектор на координатній площині. (1 бал)
15. Існують такі форми запису комплексного числа:
a) звичайна;
b) алгебраїчна; (1 бал)
c) нормальна;
d) арифметична;
e) тригонометрична; (1 бал)
f) показникова. (1 бал)
16. Запис комплексного числа у вигляді а + bi називають:
a) звичайною формою запису комплексного числа;
b) нормальною формою запису комплексного числа;
c) алгебраїчною формою запису комплексного числа. (1 бал)
17. Запис комплексного числа у вигляді r (cos ( + i sin () називається:
a) тригонометричню формою комплексного числа; (1 бал)
b) нормальною формою комплексного числа.
18. Дано комплексне число a + bi. Як називається значення (a^2 + b^2)^ (1/2):
a) величиною комплексного числа;
b) модулем комплексного числа; (1 бал)
c) коренем квадратним з комплексного числа.
19. Значення аргументу комплексного числа, взяте в межах першого кола, називається:
a) першим;
b) головинм; (1 бал)
c) другорядним.
20. Тригонометричною формою комплексного числа і буде:
a) cos 0 + i sin 0 ;
b) cos ((/2) + i sin ((/2); (3 бали)
c) 2( cos ((/2) + i sin ((/2));
21. Записати комплексне число 2(cos 0 + i sin 0) в алгебраїчній формі. Відповідь: 2 . (3 бали)
22. Добутком комплексних чисел 0.5(cos 75 + i sin 75) та 6(cos 35 + i sin 35) буде число:
a) 3(cos 110 - i sin 110);
b) 6(cos 40 - i sin 40);
c) 3(cos 110 + i sin 110); (3 бали)
23. Часткою комплексних чисел 10(cos 107 + i sin 107) та 5(cos 42 +_i sin 42) буде число:
a) 2 (cos 149 + i sin 149);
b) 20(cos 149 + i sin 149);
c) 2(cos 65+ i sin 65). (3 бали)
24. Формула виду (cos ( + i sin ()^n = cos n( + i sin n(, n - натуральне число, називаться:
a) тригонометричною;
b) формулою Муавра; (1 бал)
c) формулою піднесення до степеня комплексного числа.
25. Коренем квадратним з числа -1 буде:
a) не існує;
b) і; (1 бал)
c) 1;
d) -і; (1 бал)
e) -1.
26. Скільки існує значень кореня n-ого степеня з комплексного числа:
a) два;
b) один;
c) n; (2 бали)
d) жодного.
Можливості автоматизації
Система «Комплексні числа» автоматизує демонстрацію навчального матеріалу, пропонуючи учневі перелік розділів у послідовності логічного викладу матеріалу. Оскільки між окремими розділами теми існує взаємозв’язок, то рекомендується знайомитись з навчальним матеріалом у тому порядку, який пропонується системою, хоча передбачено вибір користувачем довільного розділу.
Тестування, а також визначення рівня знань програма також проводить автоматично. Для цього в ній використано алгоритми роботи з текстовим файлом у спеціальному форматі, що зберігає зміст та параметри проведння тестування.
Таким чином система автоматизує більшість рутимної роботи, яка пров’язана з послідовністю вивчення навчального матеріалу та контролем рівня знань учня.
Розділ 2. Розробка навчально-контролюючої системи
Проект системи
Розробка будь-якого програмного продукту починається із створення його проекту. Такий підхід зебезпечує узгодженість окремих частин проекту між собою, підвищує ефективність роботи. Саме при такому підході створюваний програмний продукт найбільш повно відповідатиме задуму.
Навчально-контролююча система «Комплексні числа» повинна виконувати функції:
контролююча - контроль знань учнів проводиться на основі тестування, яке пропонує система;
аналітична - встановлює рівень знань учня, оцінювання здійснюється за дванадцятибальною шкалою на основі висновку системи;
навчальна - система пропонує користувачу теоретичний матеріал з теми «Комплексні чиса».
Граф-схема системи
Система складатиметься з двох функціональних частин:
ознайомлення з теоретичним матеріалом;
тестування.
Логічна схема її представлена на рис. 1.
Фактично програма складатиметься з двох логічно незележних та функціонально несумісних частин. Користувач в свою чергу може переключатися між режимами програми способами, предбаченими системию.
2.3. Програма
Система «Комплексні числа» буде реалізована у вигляді однойменної комп’ютерної програми. Програма буде додатком операційної системи Windows.
Вимоги програми до конфігурації комп’ютера:
процесор Intel 486 і вище;
операційна система Windows 95 і вище;
дисковий простір, який потрібний системній папці програми не перевищує 600 kB.
Як бачимо, створювана програма не вимоглива до ресурсів комп’ютера, що дозволяє використовувати її на машинах, які за потужністю значно поступаються сучасним. Цей факт стає особливо вагомим з огляду на те, що в більшості шкіл застаріла технічна база і вони не можуть застосовувати програмного забезпечення, яке ставить надто сисокі вимоги до комп’ютера.
Оскільки програма повинна бути додатком Windows, то доцільно її створювати в сучасних системах візуального програмування. Таким чином написання програми здійснюватимемо в середовищі Delphi 6.
Система програмування Delphi 6 має дві характерні особливості:
створювані нею програми можуть працювати не лише під управлінням Windows, а інших операційних систем;
система відноситься до класу інструментальних засобів прискореної розробки програм (RAD).
Прискорення розробки програм в Delphi досягається за рахунок візуального конструювання форм та широкого використання бібліотеки візуальних компонентів (VCL).
Візуальне конструювання форм позбавляє програміста від багатьох аспектів розробки графічного інтерфейсу програми, так як Delphi готує необхідні програмні заготовки.
Бібліотека візуальних компонентів предстасляє програмісту широку різноманітність програмних заготовок, які після нескладних налаштувнь готові для використання в програмі. Компоненти характеризуються важливою властивістю: вони включають в себе код та всі необхідні для їх роботи дані. Разом з системою поставляється велике різноманіття компонентів, розрахованих на найрізноманітніші аспекти використання. Якщо протрібного компоненту в палітрі компонентів Delphi немає, то його можна створити засобами самої системи і включити в VCL.
Візуальні компоненти в багато разів пришвидшують розробку програмного проекту, а також в багатьох випадках дозволяють уникнути багатьох помилок. Але при цьому слід пам’ятати, що компонети Delphi створені за об’єктно-орієнтовною технологією, тому багато їх функціональних рис наслідуються від багаточисельних предків. В результаті навіть нескалдіні програми, створені за допомогою Delphi мають досить великий об’єм.
Система програмування Delphi базується на мові Object Pascal, ядром якого є мова Pascal, складена Никлаусом Виртом. Мова Object Pascal є об’єктно-орієнтованою мовою програмування. В її основі лежить поняття класу як типу даних, в якому інкапсульовано дані та алгоритми їх обробки.
Таким чином система програмування Delphi дозволяє за короткий термін створити програмний продукт, який відповіповідає сучасним стандартам та вимогам користувача.
Розділ 3. Коп’ютерна реалізація
Постановка програми
Відповідно до складеного проекту та визначених функцій опишемо загальну реалізацію програми. Повний текст програми наводиться в додатку.
Програма працює в двох режимах: навчання і тестування. Можливий також нейтральний режим, в якому відображається лише головна форма програми.
Програма реалізована в стилі багатодокутментних додатків - MDI.
Головною є форма, яка називається Fmain. Вона завантажується першою при запуску програми. На головну форму поміщено наступні компоненти:
MainMenu - головне меню програми;
StatusBar - відображає поточний стан програми.
За допомогою головного меню можна завершити роботу додатку, викликати коротку довідку про програмний продукт, а також задати режим роботи: навчання або тестування.
В режимі навчання на панелі статусу відображається назва завантаженого розділу, а в режимі тестування - контекстні підказки.
Демонстрація теоретичного матеріалу. При роботі програми в режимі демонстації навчального матерівлу на екрані відображається дочірня форма Fdem. На цю форму поміщено наступні компоненти:
компонент MainMenu, який визначає меню дочірньої форму Fdem, пункти даного меню для управління переглядом навчального матеріалу;
багаторядковий редактор RichEdit - REdem, який призначено власне для відображення тексту навчального матеріалу, при написанні проекту у властивість ReadOnly цього компонента встановлено значення true, що не дозволяє користувачу змінювати текст в редакторі, а лише переглядати його;
два компоненти Button (кнопки) «Попередній» і «Наступний», за допомогою яких користувач може послідовно преходити між розділами.
Навчальний матеріал зберігається в папці Source системної папки програми. Кожен розділ міститься в окремому файлі під назвою PartN.rtf, де N - номер розділу.
При створенні форми Fdem в редактор RichEdit завантажується перший розділ.
Режим тестування. В цьому режимі система пропонує користувачу тестові завдання для перевірки рівня знань. З системою пов’язані завдання, які описані вище.
Для проведення тестування створюється форма Ftesting, на компонентах якої відображаються запитання, варіанти відповіді, таймер, індикатор проходження тестування. Форма Ftesting та її модуль спроектовані таким чином, щоб читати тестові завдання із текстового файла спеціального формату.
Файл тестових завдань складається з елементарних неподільних конструкцій типу типу name=|value|, де name визначає тип і призначення частини value. Ці елементарні конструкції об’єднуються в блоки, які система ідентифікує і зчитує за один крок. Системою педбачено наявність в тестовому файлі наступних блоків:
global;
message;
question;
result.
Блок global призначено для заявлення параметрів, які стосуються тестування в цілому, а саме: час всього тестування, в даному випадку він становить 4 хвилини; короткий коментар до тесту, який в системі вважається його заголовком і виводиться разом з результатами тестування.
Блок message призначено для виведення багаторядкових повідомлень різного характеру. Час відображення на екрані повідомлення не враховується до часу тестування.
В кожному блоці question заявляється запитання, варіанти відповіді на нього з відповідними кількостями балів або правильна відповідь, тоді відповідь на запитання дається коритувачем в одноряковому редакторі, а також час обдумування запитання. Якщо час обдумування запитання менший або рівний за нуль, то на обдумування запитання система дає необмежений час - таймер запитання збільшує свій лічильник, в противному разі тайер зменшує свій лічильник і коли його значення стане 0, то система зчитує наступний блок або виводить результати тестування, якщо цей блок був передостаннім.
До кожної відповіді користувача відноситься визначена ківлькість балів, якщо кількість балів менша або рівна за нуль, то цей варіант відповіді система вважає невірним. На одне запитання може бути декілька варіантів відповіді, для кожного з яких визначено свою суму балів. При виборі декількох правильних відповідей на завдання їх бали сумуються. Якщо вибрано невірний варіант, то програма за запитання повертає 0 балів.
В блоці result заявлено висновки системи, які залежать від набраної суми балів. Структурні компоненти цього блоку мають наступний вигляд:
ball=|balls|
result=|висновок системи|.
Якщо сума балів тестування не перевищує значення balls, то система повертає висновок, записаний в частині result. Значення balls в тестовому файлі розміщені в порядку зростання і програма, послідовно аналізуючи їх, вибирає потрібне значення і робить відповідний висновок.
Після аналізу всіх блоків тестового завдання або при закінченні часу тестування система повертає результати в модальному вікні:
заголовок тестового файлу, який заявляється в блоці global;
ім’я користувача, яке він вводить на запит програми перед початком тестування, слід зауважити, що ім’я користувача не може бути пустим рядком;
точний час початку тестування;
точний час закінчення тестування;
кількість балів, яку набрав користувач;
максимально можливу кількість балів;
висновок системи за набраною кількістю балів на основі таблиці висновків блока result.
Після закриття модального вікна результатів тестування відбувається очистка вікна тестування і програма готова до проведення повторного тесту.
Інтерфейс. Інструкція користувача
Програма «Комплексні числа» має простий та інтуєтивино зрозумілий інтерфейс користувача. В ній використано стандартні для Windows елементи керування.
Опишемо головне меню програми в «нейтральному» стані (коли не завантажено ні теоретичного матеріалу, ні тестування):
Програма;
Вихід - завершення роботи програми, закриття її головного вікна;
Стан;
Навчання - завантажує вікно пергляду теоретичного матеріалу;
Тестування - завантажує вікно тестування;
? ;
Про програму - відкриває модальне вікно, що містить коротку інформацію про програманий продукт та його призначення.
Слід зауважити, що підпункти пункту меню Стан є групою залежних пермикачів. Програмний код їх обробників подій спроектовано так, що в будь-який момент роботи програми може бути відображено або вікно перегляду теорії, або вікно тестування, або взагалі не завантажено жодного з цих вікон («нейтральний» стан системи).
В нижній частині головного вікна програми є рядок стану, в якому відображається інформація про поточний стан програми, а також контекстні підказки, актуальні в певний момент. Вигляд головного вікна програми представлено на рис. 2.
При завантаженні програма пропонує користувачу режим навчння (при бажанні можна його змінити на тестування). В режимі навчання в головне меню програми додається ще один пункт меню «Навчання». Цей пункт меню містить такі підпункти:
Наступний - перхід до наступного за порядком розділу;
Попердній - повернення до попереднього розділу;
Розділи - перелік розділів теоретичного матеріалу, який пропонує програма;
Поняття про комплексне число;
Дії над комплексними числами;
Геометрична інтерпритація;
Корінь квадратний з від’ємних чисел;
Тригонометрична форма;
Формула Муавра;
Корінь n-ого степеня з комплексноко числа.
Закрити - закриває вікно навчання.
Пункт Розділи містить підпункти, які дозволяють вибрати довілний розділ теоретичного матеріалу.
Для швидкого переходу між сусідніми розділами призначено кнопки «Попердній» та «Наступний».
В рядку стану головного вікна відображається назва вибраного розділу.
Вигляд вікна програми в режимі навчання придставлено на рис. 3.
При виборі режиму тестування програма пропонує користувачу ввести своє ім’я в діалогове вікно. Ім’я користувача не може бути пустим рядком.
При завантаженні вікна тестування в головне меню програми вставляється пункт меню Тестування, за допомогою якого користувач може керувати режимом тестування. Цей пункт меню містить наступні підпункти:
Почати тестування;
Перервати тестування - перериває хід тестування і система видає запит на підтвердження переривання тестування;
Закрити - закриває вікно тестування.
У вікні тестування відображається номер поточного запитання, таймер запитання, таймер тестування, індикатор тестування, а також зміст запитання. На поставлене запитання система може пропонувати варіанти відповіді у вигляді незележних перемикачів, що дає можливість вибирати декілька варіантів. При виборі невірного варіанту відповіді система за поставлене запитання нараховує нуль балів. Крім запитань з готовими варіантами відповіді програма може ставити запитання, на які слід відповідь ввести в однорядковий редактор. Як правило, така відповідь є нескладною і є одним словом або числом.
За допомогою кнопки Далі користувач переходить до наступного запитання. Вигляд вікна програми у режимі тестуваня зображено на рис. 4.
Після закінчення тестування або вичерпання відведеного часу прогама виводить вікно, в якому відображаються результати проведеного тесту. Приклад вікна результатів зображено на рис. 5.
Програма має простий та інтуїтивно зрозумілий графічний інтерфейс, тому після короткого ознайомлення з її функціями і призначенням користувач може ефективно працювати з нею.
Приклади реалізації
Один із прикладів реалізації програми - виведення результатів тестування представлено на рис. 5.
Загалом одержаний результат є такий, який очікувася при проектуванні програми.
Висновок
Отже, в результаті курсової роботи розроблено навчально-контроюючу систему «Комплексні числа».
Цей програмний продукт призначено учням старших класів середньої школи для вивчення та повторення розділу алгебри «Коплексні числа». Програма може використовуватись на уроках алгебри, які проводяться в комп’ютерних класах. З її допомогою вчитель може проводити автоматизоване тестування з виставленням оцінок. Учні можуть використовувати програму і для самостійної роботи та самоконтролю рівня засвоєних знань. Також програма «Комплексні числа» може використовуватись всіма бажаючими набути основних знань та умінь з теми «Комплексні числа» курсу алгебри основної школи.
До переваг розробленої програми слід віднести наступні:
невисокі вимоги до ресурсів ПК, що дозволяє використовувати її на застарілих машинах;
простота реалізації програмного коду (не використовуються складні алгоритми);
інтуїтивно-зрозумілий інтерфейс користувача;
об’єдання в програмі функцій, які дозволяють повно опрацювати задану тему.
Успіх будь-якого проекту великою мірою залежить від можливосей його розвитку і вдосконалення в майбутньому.
Відзначимо основні напрями розвику пректу «Комплексні числа»:
відтворення графічної та звукової інформації при демонстрації навчального матеріалу та тестуванні;
можливість зв’язування з програмою бібліокеки, яка б містила навчальний матеріал та приклади розв’язування типових задач з системи розділів курсу математики середньої школи, а також систему тестових завдань різного рівня складності до них;
крім навчальної, контролюючої та аналітичної функцій включити у програму довідкову функцію, яка б дозволяла швидко одержати необхідну довідку з бібліотеки програми;
можливість збереження результатів тестування користувача в ...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора