Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Методика розв’язування текстових задач в курсі алгебри дев’ятирічної школи
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Інститут післядипломної педагогічної освіти
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Курсова робота
Предмет:
Математика
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Рівненський обласний інститут післядипломної
педагогічної освіти
Курсова робота
на тему
„Методика розв’язування текстових задач в курсі алгебри дев’ятирічної школи”
Слухача курсів
вчителів математики
Балдич Людмили
Адамівни
Рівне – 2006 р. Зміст
Вступ ........................................................................................................................ 3
І. Математичні задачі .............................................................................................. 4
1.1 Поняття „задача” ..................................................................................... 4
ІІ. Текстові задачі ..................................................................................................... 5
2.1 Задачі на рух .......................................................................................... 13
2.2 Задачі на змішування ............................................................................ 16
2.3 Задачі на розчин .................................................................................... 18
2.4. Задачі на сплави ................................................................................... 20
ІІІ. Висновок .......................................................................................................... 24
ІV. Література ........................................................................................................ 26
Вступ
Темою моєї курсової роботи є: „Методика розв'язування текстових задач в курсі алгебри дев'ятирічної школи".
Активізація творчої самостійності учнів, формування їх мислення в процесі оволодіння математикою найефективніше здійснюється через розв'язування задач. Зокрема, важливість текстових задач обумовлюється особливостями наукової структури курсу математики V-IX класів.
Робота учнів з сюжетними текстовими задачами, особливо з тими, формулювання яких спирається на життєвий досвід учнів, допомагає підтримувати постійний інтерес до процесу навчання, розвивати кмітливість та інтуїцію, сприяє розширенню кругозору, економічному вихованню та професійній орієнтації учнів.
Важливо навчати учнів розв'язувати текстові задачі в усіх класах, бо від цього значною мірою залежить не тільки якість навчання учнів математики на даному етапі, а й результативність їх наступної навчальної і трудової діяльності.
Проблема розвитку логічного мислення учнів при навчанні математики пов'язана зокрема, з формуванням прийомів мислення в процесі навчальної діяльності. Ці прийоми мислення (аналіз, синтез, абстрагування тощо) особливо яскраво проявляються при розв'язуванні задач, зокрема текстових (сюжетних). Але ефективність формування цих прийомів значною мірою залежить від того, як організовано пізнавальну діяльність учнів.
Текстові задачі – одна з найбільш важливих складових шкільного курсу математики. Розв'язування цих задач відіграє важливу роль в загальному розвитку учнів, в розвитку їх зацікавленості математикою.
І. МАТЕМАТИЧНІ ЗАДАЧІ
1.1 Поняття „задача"
Математична задача – це будь-яка вимога обчислити, побудувати довести або дослідити що-небудь, що стосується просторових форм чи кількісних відношень, або запитання, рівносильне такій вимозі.
У кожній задачі щось дано і щось потрібно знайти. Те що дано у задачі називається її умовою, а те, що треба знайти - вимогою. Виконати поставлену в задачі вимогу – це й означає розв'язати її.
У математиці задачі відіграють важливу роль. Історія свідчить, що математика як наука виникла із задач і розвивається в основному для розв'язування задач. Найдавніші єгипетські математичні папіруси - це збірки задач. У них немає яких-небудь загальних правил, а є тільки розв'язання деяких задач на обчислення. Те саме можна сказати про російські математичні рукописи XVII - ХУШ ст.
Задачі стимулювали не лише виникнення, а й подальший розвиток математичної науки. Основну роль, звичайно, відігравали задачі, поставленні життям. Вони насамперед примушували вчених розробляти нові алгоритми, виявляти нові закономірності, створювати нові методи дослідження.
Особливо корисні математичні задачі для активізації мислення учнів, для виявлення їх творчості. Саме з задач починається зацікавленість багатьох учнів математикою.
ІІ. ТЕКСТОВІ ЗАДАЧІ
Актуальними в роботі вчителів математики залишаються питання співвідношення арифметичних і алгебраїчних способів розв'язування текстових задач, пропедевтичної роботи, формування навичок, що є важливими для успішного оволодіння методом рівнянь тощо.
У шкільному курсі математики існують задачі, в яких дані і зв'язок між ними включені у певну фабулу. Зміст цієї фабули є сюжетом, де відображено ситуацію, близьку до життєвої, практичної. У ній описується кількісний аспект реального явища чи події і міститься вимога знайти невідоме значення деякої величини або величин. Такі задачі називаються сюжетними. Оскільки ці задачі сформульовано природною (нематематичною) мовою, то їх часто називають також текстовими.
Зміст поняття текстові задачі може бути ширшим, оскільки фабула їх може бути пов'язана і з абстрактними подіями. В методичній літературі зустрічається також і назва задачі на складання рівнянь. Остання є досить умовною, оскільки розв'язувати ці задачі можна різними способами: алгебраїчним, при якому складається рівняння; арифметичним, при якому всі логічні операції при розв'язуванні задачі проводяться над конкретними числами і основою міркування є знання змісту арифметичних дій; комбінованим, який поєднує як арифметичний, так і алгебраїчний способи розв'язування; логічними міркуваннями.
Грамотно організований процес розв'язування текстових задач стимулює розвиток логічного мислення учнів, формує їх розумову культуру.
Згідно з діючою програмою з математики, розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь передбачено вже в першій темі 5 класу. Проте в 5 – 6 класах захоплюватись алгебраїчним методом розв'язування таких задач не варто. Пов'язано це з віковими особливостями розвитку мислення учнів. Уміння абстрактно мислити у більшості учнів цієї вікової групи ще не сформоване, переважає конкретно-понятійне мислення над абстрактно-понятійним. Більшого розвитку досягла практична компонента мислення по рівняно зі словесно-логічною. Крім того, у п'ятикласників та шестикласників ще не сформовані навички, необхідні для якісного опанування алгебраїчного методу розв'язування задач. А саме: вираження невідомих величин через відомі, бачення двох однакових величин, виражених по-різному, виконання тотожних перетворень виразів зі змінною.
Взагалі метод рівнянь ефективно застосовувати при розв'язуванні таких задач, де невідоме в рівнянні фігурує хоча б у двох місцях. Наприклад: х - (40 – х)=26 і т. п. Однак такі рівняння важко розв'язати, спираючись на залежність між компонентами і результатом арифметичних дій. Отже, розв'язувати задачі складанням рівняння в 5 класі варто лише в окремих випадках, як демонстрацію ще одного способу розв'язування текстової задачі і відповідну пропедевтику алгебраїчного методу.
З огляду на вищесказане, в 5-6 класах має переважати арифметичний спосіб розв'язування задач, а вже з 7 класу - метод рівнянь. Зрозуміло, що в сучасній школі не варто повертатися до застарілих способів розв'язування арифметичних задач, досить обмежитись двома-трьома типами: на пропорційний поділ, на знаходження чисел за їх сумою та різницею, на знаходження чисел за їх сумою (різницею) та кратним відношенням.
У 5-6 класах варто цілеспрямовано формувати навички, що є важливими для успішного оволодіння алгебраїчним методом розв'язування текстових задач, а саме: записувати у вигляді виразу словесно сформульовані залежності та складати рівності.
Формуванню навички записувати у вигляді виразу словесно сформульовані залежності сприятимуть вправи такого типу:
а) У класі х хлопчиків, а дівчаток на 4 більше. Скільки дівчатвк у класі. Запиши це у вигляді буквеного виразу.
б) У парку х дубів, а берізок у 3 рази більше. Скільки берізок у парку? Склади вираз для розв'язування задачі.
в) Пшеницею засіяно х га, а житом — 40 % цієї площі, тобто житом засіяно... га.
г) Сума двох чисел дорівнює 17. Одне з цих чисел х Запишіть буквеним виразом друге число.
д) В одному ящику а кг груш, а в другому — на 4 кг менше. Яка маса груш в обох ящиках?
е) Власна швидкість човна — х км/год, швидкість течії ріки 2 км/год. З якою швидкістю човен рухається за течією? Яку відстань він при цьому долає за 4 год?
Формувати навички складати рівності варто за етапами:
На першому етапі необхідно навчити учнів розуміти зміст уже складених рівностей. Цьому можуть сприяти такі вправи: Сформулювати словами, як співвідносяться числа а і с:
1) а = с + 2 (Міркування мають бути такими:
— а на 2 більше від с,
— с на 2 менше від а,
— різниця чисел а і с дорівнює 2).
2) а = 3 • с;
3) а = с : 2;
4) а= с;
5) а – с = 4;
6) а : с = 5 і т. д.
На другому етапі учні мають самі складати відповідні рівності, де співвідношення між числами, що порівнюються, мають бути подані у явному вигляді. Наприклад:
1. Записати за допомогою рівності такі співвідношення між числами х і
у.
а) х на 3 менше у (Міркування мають бути такими: щоб з даних чисел утворити рівні між собою числа, можна:
- менше число х збільшити на З, тобто записати у = х + 3;
- більше число у зменшити на 3, тобто записати х = у — 3;
- третій варіант запису може бути таким: у — х =3).
б) Число х більше від числа у в 3 рази (теж маємо три варіанти рівностей:
1) х = 3у,
2) у = ,
3) = 3
в) у становить 25 % від х,
г) різниця чисел х і у в 2 рази менша за суму цих самих чисел,
д) у на 20 % менше х і т. д.
Третій етап. Учні виконують вправи на використання відомих формул, записують неявно подані рівності. Наприклад: периметр квадрата дорівнює (х +12) см, а довжина його сторони — х см. Скласти рівняння,
Розв'язування сюжетної задачі має починатися з усвідомлення її змісту. Для цього, як правило, учням недостатньо прочитати умову задачі або навіть її переказати. Зміст задачі необхідно усвідомити й осмислити, а для цього проаналізувати. Якщо учні розв'язують задачу самостійно, то їм доцільно дати такі рекомендації (пам'ятку) щодо засвоєння змісту:
1. Прочитайте не менш ніж два рази текст задачі, так, щоб могли його повторити;
2. Визначте величини, про які йдеться в умові задачі;
3. Розмежуйте в умові задачі дані і шукані величини;
4. Встановіть залежність між даними, даними і шуканими величинами;
5. Визначте головне запитання задачі;
6. Виберіть невідому величину, яка позначається зазвичай х;
7. Результат аналізу змісту задачі відобразіть у скороченому (схематичному) запису умови задачі.
Якщо вчитель організує колективну роботу із засвоєння змісту, то доцільним є діалог, який відбувається після прочитання умови задачі.
Наведемо приклад.
Задача 1. Насос може викачати з басейну води за 7,5 хв. Про працювавши 0,15 год, насос зупинився. Знайти об'єм басейну, якщо після зупинки насоса в басейні ще залишилось 25 м3 води.
Діалог з учнями може бути таким:
- Про що йдеться в задачі?
- Про роботу насоса.
- Про які величини йдеться в умові задачі?
- Про об'єм басейну та час роботи насоса.
- Скільки води може викачати насос за 7,5 хвилин?
- об'єму води.
- Скільки пропрацював насос до зупинки? -0,15год.
- Скільки води залишилось у басейні після зупинки насоса?
- 25м3 води.
- Що запитується в задачі?
- Який об'єм басейну.
Засвоєнню умови задачі, особливо учнями, які краще сприймають інформацію візуально, сприяє скорочений (схематичний) запис умови задачі, який може виконуватися навіть під час читання задачі. Форма його має бути компактною, досить наочною і зручною для сприйняття, в ній відображається тільки те, що необхідне для розв'язування. Мета таких записів - полегшити учням розуміння умови задачі, допомогти усвідомити залежність між даними і шуканими величинами. Скорочений запис умови задачі може бути подано у вигляді графічної схеми, малюнка, ілюстрації, графіка, таблиці, графа тощо. Але короткий запис не може зводитися до переписування умови за допомогою скорочення кожного слова. Скорочений запис не самоціль, а допоміжний засіб у засвоєнні змісту та розв'язуванні задач, тому не варто насаджувати штучно певні форми коротких записів і вимагати обов'язкового їх виконання. Не до кожної задачі взагалі варто робити схематичний запис й" умови. Це не може бути обов'язковою вимогою до розв'язування.
Засвоєння змісту та його скорочений (схематичний) запис необхідні для того, щоб усвідомивши умову задачі, ефективно здійснити пошук рівняння (системи рівнянь). Навчаючи учнів розв'язувати сюжетні задачі складанням рівнянь, варто ознайомити їх з певною системою орієнтирів, необхідних для ефективного пошуку рівняння. Ця система орієнтирів може бути представлена у вигляді евристичної схеми пошуку, яку вчитель надає учням у вигляді зразка дій, одночасно показуючи процес розв'язання задачі на основі цієї схеми. Учні можуть також скласти схему самі під керівництвом учителя, проаналізувавши розв'язання вже розв'язаної колективно задачі.
У методиці навчання математики відомі дві евристичні схеми пошуку рівняння до сюжетної задачі, з якими варто ознайомити учнів. Першу застосовують до розв'язування нескладних задач, і вона має такий вигляд:
1. Позначте через х шукану величину (або одну з шуканих величин);
2. Виразіть через х інші величини, про які йдеться в задачі;
3. Складіть рівняння, спираючись на залежність між відомими і невідомими величинами.
Друга евристична схема зручна для розв'язування складніших задач. Вона передбачає такі етапи:
1. Виберіть основне невідоме і позначте його буквою (як правило х);
2. Виразіть через х інші невідомі, про які йдеться в задачі;
3. Утворіть два вирази, які відповідно до умови задачі перебувають у відношенні „більше”, „менше” або „дорівнює”;
4. Запишіть це відношення за допомогою рівняння.
Звичайно, не до кожної сюжетної задачі можна скласти рівняння, діючи відповідно до цих евристичних схем. Але для більшості задач з шкільних підручників вони є ефективними. Для задач, розв'язання яких потребує суто евристичних методів пошуку, підготовленішим учням необхідно показати інші прийоми пошуку, а саме цілеспрямованих проб; складання графів різного рівня, складання серії допоміжних задач тощо.
Ефективне розв'язування більшості задач залежить від вдалого вибору невідомих. Учнів потрібно зорієнтувати на те, що:
- за основне невідоме, як правило, зручніше вибирати меншу з шуканих величин, тоді інші невідомі виражаються через основне за допомогою дій додавання або множення;
- вибрана невідома величина не обов'язково має збігатися з величиною, яку потрібно знайти;
- невідомі треба вводити так, щоб через них було легко записати умову задачі;
- ключова фраза, з якої починається розв'язування сюжетної задачі, має бути така: „Нехай х —..;.”.
Проілюструємо другу евристичну схему пошуку рівняння на прикладі задачі 1.
1. Виберіть основне невідоме і позначте його буквою х Нехай х м3 - об'єм басейну,
2. Виразіть через х інші невідомі, про які йдеться в задачі:
х, м3 – кількість води, яку викачає насос за 7,5 хвилини, отже, продуктивність насосу дорівнює м3 /хв. (перед розв'язуванням цієї задачі варто нагадати учням поняття продуктивності).
3. Утворіть два вирази, які відповідно до умови задачі перебувають у відношенні „більше", „менше" або „дорівнює":
1) За 0,15 год, що дорівнює 9 хв, тобто до зупинки, насос викачав - води,
2) після зупинки насоса в басейні залишилось 25 м3 води, отже, до зупинки насос викачав (х - 25) м3.
4. Запишіть це співвідношення за допомогою рівняння:
Оскільки за умовою задачі утворені вирази і (х – 25) позначають
однакову кількість викачаної води до зупинки насоса, то це можна записати у вигляді рівняння:
Обґрунтовування складеного рівняння — обов'язковий і досить важливий момент при розв'язуванні текстової задачі. У класі, де переважають підготовлені учні, одну і ту саму задачу бажано розв'язувати, складаючи різні рівняння, вибираючи за невідомі різні величини, що входять в умову задачі. Це допомагає учням краще усвідомлювати та мотивувати складене рівняння. Дуже важливі при. цьому зразки міркувань, які наводить сам учитель.
Важливим при навчанні розв'язувати сюжетні задачі є засвоєння учнями певних рекомендацій, яких варто дотримуватися, розв'язуючи певні типи задач, наприклад на рух, сумісну роботу, сплави і суміші тощо.
2.1 Задачі на рух
У 5 класі розв'язуються задачі на рух двох типів: на зустрічний рух і на рух в одному напрямку. В разі розв'язування задач на зустрічний рух, де вимагається визначити час, через який рухомі об'єкти зустрінуться, треба додати їхні швидкості і розділити відстань між пунктами, від яких почався рух, на сумарну швидкість.
У задачах на рух, де об'єкти рухаються від одного пункту і в одному напрямку, а вимагається визначити відстань між об'єктами через певний час, раціональнішим є спосіб розв'язування, за якого знаходять різницю між швидкостями об'єктів і множать її на заданий час.
Розв'язуючи задачі на рух, варто пропонувати учням записувати коротку умову та здійснювати пошук рівняння, використовуючи таблицю, що пов'язує величини (шлях, швидкість, час), які характеризують рівномірний рух. Ця таблиця допомагає візуально сприйняти умову задачі, залежність між основними величинами, про які йдеться, та ефективніше здійснити пошук рівняння. Наведемо приклад.
Задача 2. З пунктів А і С до пункту В виїхали одночасно два вершники і, незважаючи на те, що пункт С був на 20 км далі від пункту В ніж пункт А, вершники прибули в пункт В одночасно. Знайти відстань від пункту С до В, якщо вершник, який виїхав з С, проїжджав кожний кілометр на 1 хв 15 с швидше, ніж вершник, який виїжав з пункту А Вершник з пункту А прибув у пункт В через 5год.
Якщо задачу розв'язують колективно в класі, то заповнення таблиці 1 може відбуватися в процесі такого діалогу вчителя з учнями:
S, км
V, км / год
t, год
Рух вершника з А в В
х
5
1
Рух вершника з С в В
х+20
5
1
- Про що йдеться в умові задачі?
- Про рух вершників.
- Про які величини йдеться?
- Шлях, швидкість, час.
- На скільки шлях з С до В довший ніж з А до В?
- На 20 км.
- Скільки часу кожен з вершників був у дорозі?
- 5 годин.
- Що позначимо за х ?
- Відстань між пунктами А і В.
- Тоді яка відстань між С і D?
- Відстань між С і В (х + 20) км.
- Як знайти швидкість вершника, що рухався з А до В?
- Щоб знайти швидкість вершника, що рухався з А до В, треба х км поділити на час руху, тобто 5 годин, отримаємо: км/год.
- Яка швидкість вершника, що рухався з С до В?
- Швидкість вершника, що рухався з С до В км/год.
- За який час вершник, що рухався з А до В, проїжджав 1 км?
- Вершник, що рухався з А до В, проїжджав 1 км за 1: год.
- За який час вершник, що рухався з С до В, проїжджав 1 км?
- Вершник, що рухався з С до В, проїжджав 1 км за 1 год.
- Запишіть за допомогою рівності співвідношення між величинами і
, виходячи з умови задачі.
- Оскільки, за умовою задачі, час, записаний виразом , на 1 хв 15 с, що
дорівнює години, більший, ніж час, записаний виразом , то це можна записати у вигляді рівняння
Таблицю варто застосовувати не тільки розв'язуючи задачі на рух. Взагалі таблиця у багатьох випадках систематизує та візуалізує умову задачі, пошук її рівняння і цим оптимізує розв'язування задачі. Наведемо приклад.
Задача 3. У трьох бідонах разом було 50 літрів молока. У першому було на 10 літрів більше, ніж у другому. Коли з першого бідона вилили у третій 26л, то у другому і третьому бідонах молока стало порівну. Скільки молока було у другому бідоні спочатку ?
Оскільки, за умовою задачі, після переливання у другому і третьому бідонах молока стало порівну, то це можна записати у вигляді рівняння:
66 – 2х=х
Перший
бідон, л
Другий
бідон, л
Третій бідон, л
Було до переливання
х + 10
х
50 – х – (х + 10) = 40 – 2х
Стало після переливання
х + 10 – 26
x
50 – х – (х + 10) + 26 = 66 – 2х
2.2 Задачі на змішування
Окремо треба спинитися на так званих задачах на змішування (суміші, розчини сплави), які досить часто зустрічаються на практиці, а також під час вивчення хімії, фізики.
Умовно розрізняють два види задач на змішування:
1) задачі на змішування першого роду;
2) задачі на змішування другого роду.
Найхарактернішими задачами на змішування першого роду є задачі на знаходження середньої ціни, середньої температури, середньої швидкості, середнього часу та ін. У цих задачах треба визначити „ціну" суміші за даними „цінами" і кількостями окремих сортів. Отже, мова йде про знаходження середнього арифметичного певної суми доданків, узятих групами. Шуканим може бути не лише середнє арифметичне, а й ціна одного з сортів.
Задача: купили 50 кг картоплі першого сорту по 24 к. за кілограм і 150 кг картоплі другого сорту по нижчій щ'ні. Середня ціна картоплі дорівнювала 19,5 к. Визначити ціну картоплі другого сорту.
Розв'язання: нехай х - ціна картоплі другого сорту. Тоді для розв'язування задачі складаємо рівняння
У задачах на змішування другого роду найчастіше відомі „ціни" окремих сортів, „ціна” та кількість суміші, а треба визначити кількість взятих для суміші сортів.
Задача: один кілограм товару першого сорту коштує 7,2 крб., а один кілограм іншого товару коштує 8,4 крб. Скільки кілограмів товару кожного сорту треба взяти, щоб вийшло 120 кг суміші, кожний кілограм якої коштує 7,5 крб.?
Розв 'язання: нехай х (кг) - маса товару першого сорту, тоді за умовою задачі маса товару другого сорту буде (120 - х). Складаємо рівняння.
Задачі на змішування за своїм фізичним змістом можна розподілити на підгрупи, кожна з яких потребує певних додаткових пояснень. Розглянемо ці підгрупи:
1) задачі на розчини;
2) задачі на сплави.
2.3 Задачі на розчини
В умовах задач на розчини фігурує термін „концентрація". Необхідно пояснити учням зміст цього поняття. Якщо т – маса розчину, п – маса розчиненої речовини, то відношення , подане в процентах, називають концентрацією розчину.
Якщо позначити концентрацію буквою С, то для її визначення можна скористатися формулою
С = 100
Концентрацію розчину можна виразити не тільки в процентах, а й у частинах. Кажуть, наприклад, що концентрація солі у морській воді дорівнює
(за масою).
Для зручності розв'язування задач на розчини можна користуватися формулою, яку неважко вивести.
Нехай маємо два розчини однієї і тієї самої речовини. Концентрація першого розчину дорівнює С1, а його маса m1; відповідно для другого розчину С2 і т2 . Важливо підкреслити, що m1 і т2 мають бути в одних і тих самих одиницях.
За формулою С = 100 знаходимо масу речовини в розчині:
Маса речовини в першому розчині: , у другому розчині: ,
Отже, у розчині масою m1+m2, маса речовини становить ,
тобто концентрація С суміші дорівнює
Зауваження. Концентрація суміші, утвореної з k розчинів однієї й тієї самої речовини, обчислюється за формулою:
Під час розв'язування задач не обов'язково користуватися готовою формулою. Можна поступово виконувати розрахунки, пов'язані з визначенням маси розчину і маси розчиненої речовини, і користуватися поняттям концентрації.
Задача У посудиш 10,5 л 40%-ного розчину сірчаної кислоти. Скільки треба влити в посудину 75%-ного розчину тієї самої кислоти, щоб вийшов 50%-ний розчин?
Розв'язання. Позначивши через х л шуканий об'єм 75%-ного розчину кислоти, складаємо рівняння.
Звідки х = 4,2 л
Зауваження. Розв'язуючи задачі на концентрацію кислот і сплавів, треба пояснити учням, що міцність кислоти або спирту звичайно виражається в сотих долях, або процентах, які в цьому випадку називають градусами.
Задача. Змішали 30%-ний розчин соляної кислоти з 10%-ним її розчином і дістали 600 г 15%-ного розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?
Розв'язання. Нехай х г — маса 30%-ного розчину кислоти, а у т — маса 10%-ного розчину кислоти. Для визначення значення х і у складаємо систему:
звідки x=150 г, у=450 г.
2.4 Задачі на сплави
Сплав можна розглядати як розчин, в якому один з компонентів (довільний) є розчинник, а другий розчинна речовина.
Задача. 1 см3 одного металу важить 7,2 г, а 1 см3 іншого металу важить 8,4 г. Скільки кубічних сантиметрів кожного металу треба взяти, щоб дістати
1500 см сплаву, кожний кубічний сантиметр якого важить 7,5 г?
Розв'язання. Нехай для утворення сплаву треба взяти х см3 одного металу і у см3 іншого металу. Складаємо систему рівнянь.
звідки х= 1125г, y=375г.
Розв'язуючи деякі задачі на сплави і суміші, треба пам'ятати про ключове питання: Яка речовина залишається незмінною за масою?
Задача 4. Кусок сплаву міді і цинку масою в 36 кг містить 45 % міді. Яку масу міді потрібно додати до цього шматка, щоб новий сплав містив 60% міді.
Колективний пошук рівняння може відбуватися в процесі такого діалогу вчителя з класом:
- Які речовини містить сплав?
- Сплав містить мідь і цинк.
- Яка речовина незмінна за масою в обох сплавах?
- В обох сплавах незмінним за масою є цинк.
- Який процентний вміст цинку в початковому сплаві?
- У початковому сплаві 100 % — 45 % = 55 % цинку.
- Скільки кг цинку в початковому сплаві?
- У початковому сплаві 36 • 0,55 =19,8 кг цинку.
- Скільки кг цинку в новому сплаві?
- У новому сплаві цинку теж 19,8 кг.
- Що позначимо за х!
- Нехай х кг — маса міді, яку додали до нового сплаву.
- Тоді яка загальна маса нового сплаву?
- Загальна маса нового сплаву (36 + х) кг.
- Скільки всього кг міді в новому сплаві?
- У новому сплаві 36 + х -19,8 = 16,2 + х кг міді.
- Скільки кг становить мідь від загальної маси нового сплаву?
- 60 % міді від загальної маси нового сплаву становить 0,6(36 + х) кг.
- Запишіть за допомогою рівності співвідношення між виразами (16,2 + +х) і 0,6(36 + х), виходячи з умови задачі.
- Оскільки, за умовою задачі, утворені вирази (16,2 + х) і 0,6(36 + х) позначають одну і ту саму масу міді у новому сплаві, то це можна записати у вигляді рівняння:
16,2 +х =0,6(36 +х).
Розв'язавши складене рівняння, необхідно здійснити перевірку відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі. Це пов'язано з тим, що рівняння, яке складається під час розв'язування сюжетної задачі, не враховує обмеження на реально існуючі фізичні величини, які фігурують в умові задачі. Наприклад, кількість учнів у класі або кількість працюючих робітників має бути натуральним числом, об'єм певної ємкості — додатним числом і т. д. При цьому зрозуміло, що такі обмеження існують не тільки для змінної х, відносно якої розв'язується рівняння, а й на інші величини, що розглядаються в процесі складання рівняння. Саме тому не всі корені одержаного рівняння можуть бути розв'язками задачі. Перевірка відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі нерідко може виконуватись і усно. Суть перевірки така: взявши кожен знайдений корінь рівняння, обчислюємо всі величини, що входять до умови задачі, і перевіряємо, чи задовольняють вони фізичні обмеження реальних процесів та явищ. Якщо ж хоч на одному етапі є невідповідність, то такий корінь рівняння не повинен вважатися розв'язком задачі. Таким чином, для перевіркицсрреня рівняння досить переглянути умову задачі від початку до кінця, обчислюючи всі величини, що входять до умови, слідкуючи за виконанням фізичних та змістових обмежень. Для прикладу повернемося до задачі 3. Розв'язавши одержане рівняння 66 — 2х = х, отримаємо корінь х = 22. На перший погляд, цей корінь рівняння можна вважати розв'язком задачі (адже 22 — число додатне, тобто у другому бідоні було 22 літри молока). Але оскільки фабула сюжетної задачі відображає певну життєву ситуацію, то зрозуміло, що не тільки остаточна відповідь, а й усі проміжні дані задачі мають бути реальними, тобто що стосується цієї задачі — об'єм молока у всіх бідонах і до і після переливання має бути додатним числом. Пройшовши рядками таблиці, ми бачимо: якщо х = 22, то до переливання в першому бідоні було 32 літри молока, у другому 22, а у третьому молока було 50 – 32 – 22 = - 4 літри (число від'ємне). Чого, зазвичай, за змістом цієї фізичної величини в реальній ситуації бути не може. Таким чином, знайдений корінь рівняння х = 22 не є розв'язком задачі. Тобто задача розв'язку не має. Якщо вважати, що сюжетна задача відображає ситуацію, близьку до життєвої, практичної, де дасться опис кількісної хороші реального явища чи події, то і розв'язок, і всі знайдеш проміжні величини в ній мають відповідати реальній ситуації. Хоч у класах з поглибленим вивченням математики, де розглядають елементи математичної логіки, міркування стосовно хибних даних задачі можуть бути доречними. В загальноосвітніх класах числові дані в задачах варто добирати так, щоб уникати подібної ситуації у величинах, що виражаються як проміжні або допоміжні, і під час перевірки зосереджувати увагу на відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі. В остаточній відповіді сюжетної задачі знайдена невідома величина має бути реальною з фізичного погляду, не суперечити життєвому досвіду учнів.
Щодо запису розв'язання задачі в зошитах учнів, то він має бути лаконічним і відображати:
• вибір і позначення основної невідомої величини;
• подання решти невідомих величин через основну невідому;
• обгрунтування складеного рівняння;
• розв'язання рівняння;
• перевірку відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі;
• запис відповіді.
Висновок
Отже, узагальнюючи зазначимо:
- вміння розв'язувати сюжетні задачі має бути синтезом певних знань про задачі та їх розв'язування (елементи задачі, структура задачі, типи задач, орієнтири щодо їх розв'язування) і навичок, що формують дане вміння (записувати у вигляді виразу словесне сформульовані залежності, складати рівності, виконувати тотожні перетворення виразів зі змінною тощо);
- учні повинні добре знати, що процес розв'язування сюжетної задачі складається з певних етапів, а саме: засвоєння змісту задачі, виконання скороченого (схематичного) запису умови задачі, вибору невідомих, пошуку та обгрунтування рівняння, розв'язування рівняння, здійснення перевірки відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі. Учнів варто ознайомити з певною системою орієнтирів, необхідних для виконання цих етапів. Перші задачі вчитель має розв'язати в класі сам, демонструючи учням процес засвоєння та усвідомлення змісту задачі, хід своїх міркувань у процесі пошуку та складання рівняння, перевірки відповідності знайдених коренів рівняння умові задачі;
- евристичні схеми пошуку рівняння вчитель має надати учням у вигляді зразка дій, демонструючи розв'язування задачі на основі цих схем. Учні можуть і самі складати схеми розв'язування під керівництвом учителя, аналізуючи колективно розв'язану задачу;
- не кількість розв'язаних текстових задач за урок, а методичний підхід до їх розв'язування визначає дидактичний ефект. Водночас, варто пам'ятати, що має бути певна систематичність у їх розв'язуванні. В основній школі варто кожен тиждень розв'язувати хоча 61-2 текстові (сюжетні) задачі;
- на початковому етапі навчання розв'язуванню текстових (сюжетних) задач ефективною є фронтальна (колективна) форма роботи під керівництвом учителя, з використанням евристичної бесіди. В подальшому навчання повинно бути диференційованим, і переважати має групова та індивідуальна форми роботи. Вчителю варто пам'ятати принцип, який обґрунтував відомий психолог Л. Виготський: задачі, які ставляться перед учнями у навчанні, мають випереджати вже досягнутий ними рівень на один крок. Учням доцільно пропонувати задачі доступного рівня складності, які вони можуть розв'язати, але такі, що потребують при цьому певного розумового напруження.
При розв'язуванні текстових задач в учнів можуть виникати труднощі, а саме: вираження невідомих величин через відомі, бачення двох однакових величин виражених по різному, виконання тотожних перетворень виразів зі змінною.
Література
1. Дубинчук О.С.та ін. „Методика викладання алгебри в 7-9 класах": посібник для вчителя- К., Рад. школа, 1991р.
2. Чашечников С.М. та ін. „Вивчення алгебри в 6-8 класах": теоретичні основи про окремі питання методики.- К., Рад. школа, 1981р.
3. Бевз Г.П. „Методика викладання математики", К., Рад. школа, 1982р.
4. „Методика викладання математики" під ред. С.Є. Ляпіна, К., Рад. школа, 1956р.
5. Людмилов Д.С. „Складання і розв'язування текстових задач у середній школі", М.,Просв., 1986 р.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора