Виділення областей стійкості в площині параметрів системи. Методичні вказівки до лабораторної роботи з Інші. Робота № 500504

Перехід до торгівельного партнера Binance

Виділення областей стійкості в площині параметрів системи

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2000

Тип роботи:

Методичні вказівки до лабораторної роботи

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Лабораторна робота №2 Виділення областей стійкості в площині параметрів системи Мета роботи: навчитись знаходити області стійкості в площині для одного та двох змінних параметрів системи автоматичного керування. Теоретичні відомості З теорії автоматичного керування відомо, що стійкість системи залежить від коефіцієнтів характеристичного рівняння, які визначаються параметрами системи. При зміні тих чи інших параметрів системи змінюється і її стійкість. Таким чином, змінюючи параметри, можна перетворити систему із стійкої в нестійку або навпаки. При конструюванні системи ряд параметрів, які визначаються вимогами технологічного процесу і конструктивними особливостями об'єкта керування, є наперед заданими. В той же час у розпорядженні конструктора є декілька параметрів, які він може змінювати. У зв'язку з цим дуже важливо знати, в яких межах можна змінювати дані параметри системи керування, забезпечуючи при цьому її стійкість. Іншими словами, потрібно знайти область зміни одного чи декількох параметрів, всередині якої система залишається стійкою. Задача побудови областей стійкості базується на виділенні в просторі коефіцієнтів характеристичного рівняння областей, які мають однакову кількість коренів з від'ємною дійсною частиною. Оскільки для стійкої системи корені характеристичного рівняння розташовані зліва від уявної осі, то, якщо при зміні кількох параметрів стійкої системи вона наближається до нестійкого стану, корені характеристичного рівняння будуть переміщуватись в лівій півплощині в сторону правої. При деяких значеннях змінюваних параметрів система виходить на межу стійкості. В цьому випадку один дійсний або два комплексних спряжених корені будуть знаходитись на уявній осі. Таким чином, якщо в характеристичному рівнянні замінити р на j, то отримаємо рівняння геометричного місця, яке розмежовує області, що мають різну кількість коренів в лівій півплощині. Це геометричне місце точок розташоване в n-мірному просторі, координатами якого є n змінних параметрів системи. Точки цього простору можна визначити для значень  в межах від – до +, знаходячи всі можливі поєднання значень n змінних параметрів, при яких характеристичне рівняння дорівнює нулю. Таким чином, n-мірний простір змінних параметрів розбивається на ряд областей, які ще називаються D-областями. Всі точки, що лежать всередині однієї області, характеризують системи з однаковою кількістю коренів в лівій півплощині. Пошук області стійкості зводиться до знаходження такої області, в якій кількість коренів в лівій півплощині є найбільшою і дорівнює степені характеристичного рівняння. На практиці знаходження областей стійкості відбувається для кількості параметрів не більше двох, оскільки в цьому випадку всі побудови відбуваються в площині параметрів системи або в комплексній площині. Виділення області стійкості для одного змінного параметра Нехай система, яку потрібно дослідити має характеристичне рівняння EMBED Equation.3 . (1) Виділимо в лівій частині цього рівняння досліджуваний параметр. Позначимо його буквою A і будемо розглядати як змінну комплексну величину A = x+ jy. Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді EMBED Equation.3 . (2) Проведемо заміну p = j і розв'яжемо рівняння (2) відносно A. У результаті можна записати EMBED Equation.3 , (3) де U(), V() – деякі функції від . Оскільки комплексні числа рівні тоді, коли окремо рівні їх дійсна та уявна частини, то з (3) можна записати EMBED Equation.3 (4) Задамося деяким значенням і і визначимо відповідне йому значення параметра Aі. Якщо обчислений параметр Aі підставити у рівняння (2) замість A і розв'язати його, то серед всіх коренів буде обов'язково один, що дорівнює j. Знаходження одного кореня рівняння (2) при A = Aі показує, що значення параметра A знаходится на межі стійкості. Змінюючи  від –  до + , отримаємо для кожного значення відповідну величину Aі. Точка Aі на площині в системі координат (x,y) описує криву, яка є межею стійкості при зміні параметра A. Ця крива називається межею D-розбиття за параметром A (рис.1). Особливістю даної кривої є те, що вона завжди має дві вітки, симетричні відносно осі х. При обході кривої D-розбиття в сторону збільшення  вона штрихується зліва. Призначення штрихування – встановити ту сторону області, де є найбільше коренів в лівій півплощині. При переході через криву D-розбиття із заштрихованої області на незаштриховану кількість від'ємних коренів зменшується на одиницю, а при зворотньому переході – збільшується на одиницю. EMBED CorelDraw.Graphic.8 Рис.1. Оскільки досліджуваний параметр A є дійсним, то його дійсні значення можуть бути розташованими тільки на осі х. Тому межами областей, які мають різну кількість від'ємних коренів, будуть точки перетину кривої D-розбиття з дійсною віссю. Так, наприклад, на рис.1 показана крива D-розбиття, яка розбиває площину на чотири області. Нехай відомо, що в області ІІІ кількість коренів у лівій півплощині рівна r. Тоді легко встановити кількість від'ємних коренів в інших областях: в області ІІ і IV буде (r+1), а в І – (r+2). Таким буде відносний розподіл від'ємних коренів в областях. Для визначення абсолютної кількості від'ємних коренів потрібно для деякого конкретного значення досліджуваного параметра безпосередньо розв'язати характеристичне рівняння і знайти кількість потрібних коренів. Останнім етапом є перевірка віповідності між кількістю від'ємних коренів у знайденій області й степінню характеристичного рівняння. Якщо ця відповідність існує, то область з найбільшою кількістю від'ємних коренів буде шуканою областю стійкості. В іншому разі області стійкості не існує. Виділення області стійкості для двох змінних параметрів На відміну від випадку одного параметра, де задача вирішувалась в комплексній площині, в даному випадку за простір двох параметрів приймається дійсна площина з осями координат, на яких відкладаються значення змінних параметрів. Позначимо досліджувані параметри через A і B. Будемо вважати, що вони входять в характеристичне рівняння лінійно. Тоді характеристичне рівняння (1) можна записати у вигляді EMBED Equation.3 . (5) Після заміни p = j рівняння (5) перетвориться до вигляду EMBED Equation.3 , (6) або EMBED Equation.3 , (7) де x, y – функції від поточного параметра  і від змінних параметрів A і B; P1, P2, Q1, Q2, R1, R2 – функції від поточного параметра . Для випадку лінійної залежності можна записати EMBED Equation.3 (8) Систему рівнянь (8) для випадку, коли параметри А і В входять у коефіцієнти характеристичного рівняння лінійно, можна розв'язати наступним чином. Знайдемо визначники системи EMBED Equation.3 (9) Тоді EMBED Equation.3 . (10) У випадку коли параметри А і В входять у коефіцієнти характеристичного рівняння нелінійно, систему рівнянь (8) потрібно розв'язати іншим способом. Для будь-якого значення =і можна знайти з системи рівнянь (8) значення A = Aі і B = Bі, які є коренями. Точка М з координатами A = Aі і B = Bі в площині параметрів A, B знаходиться на межі, що ділить цю площину на дві області. Вибір параметрів A, B в одній області забезпечує від'ємні корені рівняння (1), тобто стійкість САК, а в іншій області – приводить до нестійкості системи. Якщо змінювати  від –  до + , то точка М опише на площині криву, яка називається кривою D-розбиття площини двох параметрів (рис.2). Ця крива має такі особливості: Точки кривої, які відповідають рівним за величиною, але протилежним за знаком значенням , наприклад,  = і і  = – і, завжди співпадають. Може існувати такий випадок, що при деяких значеннях  обидва визначники  і х або  і y одночасно будуть рівні 0 або . При цьому А, В будуть невизначеними. У цьому разі точка М кривої D-розбиття перетворюється в пряму, яка називається особливою (рис.2). Таких прямих може бути декілька. Особливі прямі є додатковими вітками кривої D-розбиття і тому повинні всі визначатись, інакше розбиття площини двох параметрів буде неповним. Особливі прямі можуть появитися також в тих випадках, коли при зміні параметрів А і В коефіцієнт старшого члена або вільний член харатеристичного рівняння рівні нулю. EMBED CorelDraw.Graphic.8 Рис.2. Для отримання рівнянь особливих прямих потрібно: прирівняти до нуля коефіцієнт при старшому члені і вільний член характеристичного рівняння, якщо вони залежать від параметрів А і В; знайти значення , при якому одночасно рівні нулю  і х або  і y, тобто параметри А і В невизначені. Після чого по черзі підставити всі ці значення в рівняння (8). Якщо при цьому отримаємо вираз виду const = 0, це значить, що особлива пряма проходить в нескінченності і її можна не будувати. Після того як побудована крива D-розбиття і всі особливі прямі, площина двох параметрів розбивається на області, проводиться штрихування меж і визначається область стійкості аналогічно як і для одного змінного параметра. Слід зауважити, що у випадку двох змінних параметрів штрихування є більш складним, оскільки вітки кривої для значень , які відрізняються тільки знаками, співпадають і, крім того, є ще особливі прямі. Правила штрихування є наступні: При зміні  від –  до +  крива D-розбиття штрихується зліва, якщо буде додатнім визначник EMBED Equation.3 (11) У випадку коли  є від'ємним, крива D-розбиття штрихується справа. Знак визначника (11) може змінюватись тільки при переході через особливу пряму або в нескінченності, а також при переході  через нуль. Для лінійного випадку визначник (11) визначається за формулою (9). Оскільки крива D-розбиття при зміні  від –  до +  проходиться двічі (від –  до 0 та від 0 до + ), то вона отримує подвійне штрихування з однієї сторони. При переході через таку криву з заштрихованої сторони на незаштриховану кількість від'ємних коренів зменшується на два і навпаки. Особливі прямі штрихуються одинарною і подвійною штриховками. Одинарна використовується для прямих, побудованих для  = 0 і  = . Подвійною штриховкою штрихуються особливі прямі, які отримані для всіх інших значень . Штрихування особливої прямої повинно бути пов'язане з штрихуванням кривої D-розбиття в точках їх перетину або дотику. Це здійснюється так: сторони всіх кутів, утворених особливою прямою і кривою D-розбиття, які перетинаються або дотикаються, повинні бути повернені одна до одної заштрихованими або незаштрихованими сторонами. Програма роботи Для заданої структурної схеми САК (рис.3) та параметрів її ланок (табл.1) необхідно: записати вираз передавальної функції САК; побудувати криву D-розбиття та всі особливі прямі при зміні одного або двох параметрів САК; знайти область стійкості при зміні досліджуваних параметрів САК та зобразити її графічно; зробити висновки щодо ширини області стійкості (діапазону зміни досліджуваних параметрів). Зміст звіту за виконану роботу У звіті потрібно подати: Тему, мету та програму роботи. Структурну схему САК та вихідні дані за варіантом завдання. Результати розрахунків у чисельній та графічній формі. Висновки. Література Каргу Л.И., Литвинов А.П., Майборода Л.А. и др. Основы автоматического регулирования и управления. -М.: Высшая школа, 1974. -438с. Клюев А.С. Автоматическое регулирование. –М.: Энергия, 1967. –342с. Лотош М.М. Основы теории автоматического управления. Математические методы. -М.: Наука, 1979. -256с. Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування. – К.: Либідь, 1997. – 544 с. Додаток Завдання до лабораторної роботи № 2 EMBED CorelDraw.Graphic.8 а) EMBED CorelDraw.Graphic.8 б) EMBED CorelDraw.Graphic.8 в) Рис.3. Структурні схеми САК. Таблиця 1. Вихідні числові дані для розрахунків

Методичні вказівки до лабораторної роботи Інші

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись