Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Дослідження впливу параметрів ланок на стійкість систем автоматичного управління
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Кафедра автоматики та телемеханіки
Інформація про роботу
Рік:
2000
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Група:
КС-43
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Кафедра «Автоматика і телемеханіка»
Лабораторна робота № 2а
з курсу «Теорія автоматичного керування»
на тему «Дослідження впливу параметрів ланок на стійкість систем автоматичного управління»
Виконав:
студент гр. КС-43
Прийняв:
Львів - 2005
Мета роботи:Вивчити вплив параметрів ланок САУ на її стійкість.
Короткі теоретичні відомості.
Для нормальної роботи будь-якої САУ необхідно щоб пере хідні процеси в системі, викликані тими чи іншими зовнішніми впливами, з часом затухали.САУ, в яких перехідний процес затухає через деякий час, називаються стійкими.САУ, в яких перехідний процес з ростом часу розходиться, називаються нестійкими. Про САУ, в яких перехідний процес з протіканням часу не затухав і не розходиться кажуть, що вони знаходяться на межі стійкості. Приблизний вигляд перехідних процесів для вказаних трьох випадків показано на рис. 1.
Як видно з рис.1, стійкість є необхідною умовою працездатності будь-якої САУ.
Стійкість лінійних систем визначається тільки виглядом та розташуванням коренів характеристичного рівняння системи:
де а0...ап - постійні коефіцієнти,
р- деяке комплексне число, яке є розв'язком характеристичного рівняння.
Характеристичне рівняння можна отримати з диференціального рівняння руху системи автоматичного регулювання шляхом прирівняння до нуля його лівої частини.
Корені характеристичного рівняння можуть бути дійсними, комплексними, або уявними.
Для того, щоб лінійна САУ була стійкою, необхідно і достатньо, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння САУ були від'ємними. Якщо хоч один дійсний корінь або пара комплексних коренів мають додатні значення дійсної частини, САУ є нестійкою.
У випадку, коли хоча б один дійсний корінь або дійсна частина пари комплексних коренів рівні нулю, САУ знаходиться на межі стійкості.
Аперіодична межа стійкості має місце, коли в характернетичному рівнянні один або кілька коренів рівні нулю,а решта мають від'ємне значення дійсної частини.
САУ, що знаходиться на аперіодичній межі стійкості, є стійкою по відношенню до швидкості зміни регульованої величини, а щодо самої регульованої величини така САУ є нейтральною. В зв'язку з цим САУ, що знаходяться на аперіодичній межі стійкості, часто називають нейтральними.
У випадку, коли характеристичне рівняння має одну або декілька пар суто уявних коренів, а всі решта розташовані в лівій півплощині, має місце границя стійкості другого типу, яку називають коливною межею стійкості.
В такій системі існують нсзатухаючі гармонічні коливання з постійною амплітудою.
На практиці найчастіше можна зустрітися з коливною межею стійкості і для САУ вона є найбільш небезпечною.
Очевидно, судити про стійкість системи можна після вирахування значень коренів характеристичного рівняння. Однак для систем високих порядків виникають значні труднощі розв'язування рівнянь. Тому було запропоновано ряд критеріїв, які дозволяють визначити стійкість системи, без обчислення коренів характеристичного рівняння.
Критерій стійкості Гурвіца.
З коефіцієнтів характеристичного рівняння (1) складають головний визначник:
за наступними правилами:
а) по головній діагоналі виписують послідовно всі коефіцієнти рівняння (1) починаючи з а1 до аn
б) стовпчики визначника заповнюють угору коефіцієнтами з індексами в порядку зростання, униз елементами з індексами в порядку спадання;
в) всі коефіцієнти з індексами менше 0 та більше n заміняють нулями.
Формулювання критерію Гурвіца: система буде .стійкою, якщо при а0 > 0 головний визначник Гурвіца Δn, і всі його діагональні мінори Δі, будуть більші нуля, де Δі визначають за наступними формулами:
З критерію Гурвіца витікає: щоб САУ була стійкою, необхідно, але недостатньо, щоб всі коефіцієнти характеристичного рівняння були позитивними.
Головний визначник Гурвіца виражається через передостанній наступним чином:
Умову знаходження системи на межі стійкості можна отримати, прирівнявши до нуля Δn і при позитивних значеннях решти визначників.
Як видно з (2), ця умова розпадається на дві: аn = 0таΔn-1 = 0. Перша умова відповідає аперіодичній межі стійкості, а друга - коливній межі.
Для ілюстрації застосування критерію Гурвіца розглянемо приклад на визначення стійкості слідкуючої системи, принципова та структурна схема якої наведена відповідно на рис. 2 та 3.
Як видно з рис. З передаточна функція розімкнутої системи визначається виразом:
де К=К1К2К3К4 - загальний коефіцієнт підсилення розімкнутої системи.
Характеристичне рівняння замкнутої системи:
Після підстановки W(p) отримаємо:
В даному випадку маємо характеристичне рівняння 3-го порядку для котрого маємо а0 > 0 та Δ1 = а1 > 0.
Додаткова умова стійкості:
Звідки а1а2 > аоа3
Ця умова при підстановці значень коефіцієнтів
після нескладних перетворень зводиться до нерівності
яке і є умовою стійкості розглядуваної системи. З останньої нерівності можна зробити висновок, що збільшення постійних часу (ТІ, Т2) негативно відбивається на стійкості системи, оскільки при цьому знижується граничне значення загального коефіцієнта підсилення К, при якому система ще залишається стійкою.
Нерівність (4) можна переписати так К < Ккр
так званий критичний (за умовами стійкості) коефіцієнт підсилення системи.
Обмеження коефіцієнта підсилення розімкнутої системи зверху деяким значенням Ккр характерне для більшості САУ, тобто, при К >Ккр система стає нестійкою.
Критерій стійкості Михайлова.
Цей критерій базується на вивченні розташування годографа вектора, який визначається характеристичним рівнянням системи регулювання в площині комплексної змінної.
Нехай система описується характеристичним поліномом:
Підставивши в (5) значення p=jω отримаємо характе ристичний комплекс:
де дійсна частина Х(ω) буде містити парні степені ω:
а уявна - непарні степені ω:
D(ω) та Y(ω) являють собою модуль і фазу (аргумент) характерис тичного комплексу.
Якщо в (6) величині ω послідовно надавати значень від 0 до ∞, то отримаємо сімейство векторів. Крива, що є геометричним місцем точок кінців векторів називається годографом Михайлова. По розташуванні годографа на комплексній площині можна судити про стійкість.
Умови стійкості за Михайловим формулюються наступним чином: система регулювання буде стійкою, якщо годограф функції D(ω) при зміні ω від 0 до ∞ обходить послідовно в додатному (проти годинникової стрілки) напрямі п квадрантів комплексної площини, де n-степінь характеристичного рівняння системи.
Наявність коливної межі стійкості визначається в цьому випадку шляхом прирівнювання характеристичного полінома до нуля при підстановці в нього:
Звідки втікають дві рівності:
Це означає, що точка ω =ω0 на кривій Михайлова попадає в початок координат (рис. 4). При цьому й)0 є частотою незатухаючих коливань системи.
Застосуємо критерій Михайлова для визначення стійкості наступної системи, показаної на (рис. 2, 3).
З отриманого характеристичного рівняння утворюємо характе ристичний поліном:
та характеристичний комплекс:
Дійсна та уявна частини:
Наближений вигляд кривої Михайлова для цього випадку зоб ражено на рис. 5.
Як видно з рис. 5, умова стійкості зводиться до виконання нерівності:
де ωу - значення ω, при якому крива Михайлова перетинає дійсну вісь. Величину ωу можна знайти з умови:
В результаті отримаємо:
Підставляючи ωу в рівняння (7), та виконавши нескладні перетворення, отримаємо, що умова (9) зводиться до вигляду:
де , що співпадає з отриманим раніше результатом за критерієм Гурвіца.
Критерій Найквіста
Цей критерій дозволяє судити про стійкість замкнутої системи, досліджуючи тільки розімкнуту систему, що значно спрощує розрахунки.
Формулювання: якщо розімкнута система стійка або нейтральна, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи (доповнена для нейтральних систем дугою нескінченного радіуса ) не охоплювала точку з координатами (-l;j0).
Для прикладу розглянемо ту ж слідкуючу систему (рис. 2.3) для якої було отримано передаточну функцію в розімкнутому стані:
Частотна передаточна функція:
та фаза:
Задаючи різні значення частоти від 0 до ∞ можна вираховувати модуль та фазу, за якими легко побудувати вектор W(jω), або обчислювати попередньо дійсну та уявну частини частотної передаточної функції :
У зв'язку з тим, що вираз для частотної передаточної функції є доволі простим, в даному прикладі можна легко знайти U(ω) та V(ω), безпосередньо розкладаючи W(jω) на дійсну та уявну частини.
Наближений виглад амплітудно-фазової характеристики у ви падку стійкої замкнутої системи показано на рис. 6.
З рис. 6 випливає, що для отримання стійкості точка перетину амплітудно-фазової характеристики з дійсною віссю (точка а) повинна лежати правіше від точки (-1 j0). Цю умову можна записати так:
Схема буде знаходитись на межі стійкості, якщо її А.Ф.Х. проходить через точку (-1, j0). Знайдемо частоту в точці а.
Це можна зробити, взявши одну з умов V(ω) = 0 або
Ψ(ω) = — 180°, звідки отримаємо:
Підстановка ωа в записану вище нерівність дає:
або після перетворення:
Отже, система буде знаходитись на межі стійкості при :
Цей висновок співпадає з отриманим раніше для даної системи.
Структурна схема САУ
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора