Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
АНАЛІЗ СПЕКТРІВ СИГНАЛІВ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Методичні вказівки до лабораторної роботи
Предмет:
Сигнали та процеси в радіоелектроніці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань
АНАЛІЗ СПЕКТРІВ СИГНАЛІВ
Методичні вказівки до лабораторної роботи №1
з предметів“Сигнали та процеси в радіоелектроніці”,
“Теорія передачі сигналів”
для студентів базового напряму “Радіотехніка”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Теоретична радіотехніка
та радіовимірювання”
Протокол № 1 від 29 серпня 2003 р.
ЛЬВІВ 2003
Аналіз спектрів сигналів. Методичні вказівки до лабораторної роботи № 1 з предметів “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”, “Теорія передачі сигналів” для студентів базового напряму “Радіотехніка”/ Укладачі: Желяк Р.І., Мелень М.В. -Львів:НУ ЛП, 2003. - 15 с.
Укладачі: Желяк Р.І., доц., канд. техн. наук;
Мелень М.В., доц., канд. техн. наук.
Рецензенти: Волочій Б.Ю., доц., канд. техн. наук;
Бондарєв А.П., доц., канд. техн. наук.
Відповідальний за випуск: Надобко О.В., доц., канд.техн.наук.
© Желяк Р.І., Мелень М.В., 2003
1. МЕТА РОБОТИ
Метою роботи є ознайомлення з методиками розрахунку та експеримен-тального визначення спектрів періодичних сигналів в гармонічному координатному базисі.
2. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ
З метою визначення та порівняння характеристик (властивостей) різних сигналів, спрощення аналізу спотворення цих сигналів при їх поширенні через радіоелектронні кола доцільно представляти довільний сигнал у вигляді суми елементарних сигналів, для яких розв’язок перелічених задач є більш простим. Серед таких елементарних сигналів в радіотехніці найчастіше використовують гармонічні коливання або імпульси прямокутної форми з кратними частотами, генерування яких не складає труднощів.
2.1. Спектральне представлення періодичних сигналів
Складні сигнали, які представляють собою змінні в часі електричні величини (струм, напруга, заряд тощо), можна задавати у вигляді деякої функції часу EMBED Equation.3 s(t). Задаючи цю функцію, тим самим повністю визначаємо сигнал. Проте часто властивості сигналу можна описати більш економічним способом, вибравши для цього такі характеристики, які б простіше і в той же час досить повно харак-теризували сигнал з точки зору умов його передачі через радіоелектронне коло. Якщо складний періодичний сигнал s(t) задовольняє умови Діріхле (протягом періоду повторення Т має скінченну кількість розривів першого роду і скінченну кількість максимумів та мінімумів) і умову абсолютної інтегрованості EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то він може бути описаний узагальненим рядом Фур'є в базисі ортогональних функцій:
EMBED Unknown (1)
де k - номер базисної функції;
k(t) - к-та базисна функція, для якої виконується умова ортогональності:
EMBED Unknown; (2)
Тут EMBED Unknown- енергія елементарного сигналу EMBED Unknown, яку в математиці називають
квадратом норми сигналу EMBED Unknown. Зауважимо, що при виконанні рівності EMBED Unknown=1 функцію EMBED Unknown називають ортонормованою;
EMBED Unknown- к-тий коефіцієнт розкладу заданого сигналу у ряд Фур'є, який визна-чається з виразу:
EMBED Unknown. (3)
Доцільно відзначити, що визначення коефіцієнтів розкладу EMBED Unknownзаданого сигналу s(t) у ряд Фур'є за допомогою виразу (3) та використання ортогональних базисних функцій EMBED Unknown забезпечує однозначне представлення цього сигналу рядом (1) з мінімальною середньоквадратичною похибкою.
При використанні ортогонального базису гармонічних функцій з кратними частотами ряд (1) називають рядом Фур'є у тригонометричній формі:
EMBED Unknown (4)
або
EMBED Unknown, (5)
де EMBED Unknown - основна частота (частота першої гармоніки); А0 - постійна cкладова
(середнє значення сигналу за період);
EMBED Unknown та EMBED Unknown- амплітуди косинусоїдних та синусоїдних складових розкладу к-го по-
рядкового номера;
EMBED Unknown - амплітуда та початкова фаза к-ої гармонічної складової.
Ці величини визначаються виразами:
EMBED Unknown EMBED Unknown
EMBED Unknown (6)
Амплітуда EMBED Unknown та початкова фаза EMBED Unknown к-ої гармонічної складової визначаються через EMBED Unknown та EMBED Unknown:
EMBED Unknown; EMBED Unknown (7)
Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують більш компактну комплексну форму:
EMBED Unknown, (8)
до якої можна перейти від (4,5), використавши відому формулу Ейлера: EMBED Unknown.
Величину EMBED Unknown прийнято називати комплексною амплітудою к-тої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармо-ніки. Комплексні амплітуди EMBED Equation.2 можна визначити на основі функції EMBED Unknownза форму-лою:
EMBED Unknown (9)
У виразі (8) додавання ведеться як по додатних, так і по від’ємних значеннях k. Це означає, що в комплексний ряд Фур'є входять гармоніки з додатними і з від'ємними частотами. Від'ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з'являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.
На підставі (8) знаходимо взаємозв'язок між величинами EMBED Unknown,EMBED Unknownі EMBED Unknown та EMBED Unknown:
EMBED Unknown (10)
Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовільняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.
Із виразів (5, 6) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової EMBED Unknown та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень EMBED Unknown (k = = 1, 2, 3...), кратних основній частоті EMBED Unknown. Ці складові називають гармоніками періо-дичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчаcтим. Гармоніку, яка відповідає номерові k=1, називають першою або основною гармонікою. При k = 2 маємо другу гармоніку, при k = 3 - третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік рівні EMBED Unknown, їх початкові фази EMBED Unknown. Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою рівною EMBED Unknown. У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази.
Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне пред-ставлення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові на осі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а на осі ординат - відповідно величини амплітуд EMBED Unknown гармонік та їх початкові фази EMBED Unknown.
Для прикладу на рис. 1 зображений спектр періодичної послідовності прямо-rутних імпульсів з амплітудою А та тривалістю EMBED Unknown, які повторюються з часто-тоюEMBED Unknown, причому EMBED Unknown.
Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках задля спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від EMBED Unknown до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної спектральної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 90 % енергії сигналу.
Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про "ширину спектра" тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.
EMBED Visio.Drawing.4
Із спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусідніми гармоніками по
осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) рівна значенню частоти 0 =
= 2/Т основної гармоніки періодичного сигналу. Це означає, що із збільшенням частоти повторення сигналу віддаль між лініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміна частоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, що випливає з виразів (6 - 10).
2.2. Спектральне представлення імпульсних сигналів
Нехай заданий сигнал s(t) має форму одинокого імпульсу (рис. 2, а), який відрізняється від нуля на інтервалі (EMBED Unknown) і задовольняє умові Діріхле у будь-якому
кінченому інтервалі та є абсолютно інтегрованою функцією, тобто EMBED Unknown.
Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетвори-
мо задану неперіодичну функцію s(t) у періодичну EMBED Unknown повторенням її з довільним періодом Т > EMBED Equation.2 (рис. 2, б).
Отриману періодичну функціюEMBED Equation.2EMBED Unknown можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є EMBED Unknown, EMBED Unknown,EMBED Equation.2EMBED Unknown будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал Т як період. Це випливає із виразів (610). Якщо період Т збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і за- лишиться лише первинний імпульс EMBED Unknown. При збільшенні періоду Т до нес-кінченності отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складо-
EMBED Word.Picture.8
вих, сума яких дає початкову неперіодичну функцію s(t), задану в інтервалі - EMBED Unknown
Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при тому нескінченно велика, тому що при EMBED Unknown основна частота функції EMBED Unknown Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка рівна основній частоті EMBED Equation.2) стає нескінченно мала, спектр - суцільний.
Звідси доходимо висновку, що при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нес-кінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами. Тому для опису імпульсного сигналу використовують поняття спектральної густини. Слід відзначити, що спектральна густина - не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частоті енергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві. Вона визначається з виразу:
EMBED Unknown (11)
Функція EMBED Unknown називається комплексною спектральною густиною або комп-лексною спектральною функцією. Модуль комплексної спекральної густини EMBED Unknown характеризує густину розподілу амплітуд спектральних складових суцільного
спектра з частотою EMBED Unknown, а її аргумент EMBED Unknown - фазовий спектр, про що було сказано раніше.
Доцільно відзначити, що миттєве значення сигналу однозначно пов’язане з його спектральною густиною виразом:
EMBED Unknown (12)
Формули (11) та (12) описують відповідно часове та спектральне представ-лення імпульсного сигналу і утворюють пару перетворень Фур'є. Формула (11) дає змогу здійснити пряме перетворення Фур'є і знайти комплексну спектральну густину імпульсного сигналу s(t). Символічно позначимо пряме перетворення Фур'є
так:
Ф[s(t)] = EMBED Unknown. (13)
Формула (12) дає можливість здійснити зворотне перетворення Фур'є і визна-
чити імпульсний сигнал як функцію часу, якщо задана його спектральна густина EMBED Unknown. Символічно позначимо зворотне перетворення Фур'є так:
ФEMBED Equation.2[EMBED Unknown] = s(t). (14)
Функцію EMBED Unknown називають модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію EMBED Unknown, яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументом спектральної густини.
Отже, імпульсний сигнал s(t) - це сукупність нескінченної кількості гармо-нічних складових із нескінченно малими амплітудами dA(EMBED Unknown), початковими фазами EMBED Unknown, частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:
EMBED Unknown. (15)
Для прикладу на рис. 3 зображено спектральну густину одинокого імпульсу прямокутної форми.
EMBED Visio.Drawing.4
Рис. 3. Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу.
2.3. Спектральна функція детермінованих сигналів
Порівняння виразу для комплексної спектральної густини одинокого ім-пульсного сигналу (11) з виразом для комплексних амплітуд періодичної послі-довності імпульсів (9) показує, що їх значення для частот EMBED Unknown відрізняються між собою лише множником 2/EMBED Unknown. Це означає, що справедливе таке співвідношення між комплексними амплітудами EMBED Unknown к-тих гармонік періодичного сигналу та значеннями комплексної спектральної густини EMBED Unknown- для частот, які відпові-дають частотам цих гармонік:
EMBED Unknown , (16)
де f0 - 1/T - частота повторення періодичного сигналу.
Співвідношення (16) можна записати так:
EMBED Unknown (17)
EMBED Unknown (18)
Отже, модуль спектральної густини одинокого імпульсу та обгинаюча ліній-частого амплітудного спектра періодичної послідовності таких самих імпульсів збігаються за формою і відрізняються лише масштабом. Аргумент спектральної густини збігається з обгинаючою лінійчастого фазового спектра даного періодич-ного сигналу.
Сказане ілюструє рис. 4, на якому зображені одинокий прямокутний імпульс (а), модуль його спектральної густини (б), періодична послідовність імпульсів (в) та її лінійчастий амплітудний спектр (г).
Комплексну функцію EMBED Unknown, яка характеризує залежність спектра сигналу лише
від його форми, називають спектральною функцією. З її допомогою на основі співвідношень (17, 18) можна визначити амплітудний та фазовий спектри сигналу незалежно від частоти його повторення.
2.5. Методика експериментального визначення спектральних характеристик періодичних сигналів
При експериментальному дослідженні спектрів періодичних сигналів ви-користовують медоди паралельного або послідовного аналізу.
а) Метод паралельного (одночасного) аналізу. При паралельному аналізі пот-рібно мати набір вибірних систем, кожну з яких настроюють на іншу частоту так, щоб смуги пропускання сусідніх вибірних систем не перетинались.
Кількість вибірних систем вибирають такою, щоб за їх допомогою перекрити
весь частотний діапазон, в якому знаходиться спектр сигналу. Сигнал, спектр якого EMBED Visio.Drawing.5
Рис. 4. Спектральні характеристики одинокого прямокутного імпульсу
(а, б) та періодичної послідовності подібних імпульсів (в, г).
досліджують, подають одночасно на вхід усіх вибірних систем. Вимірюючи амплітуди напруг на виходах цих вибірних систем і відкладаючи їх на осі частот у точках, що відповідають частотам настроювання вибірних систем, одержуємо
спектр сигналу;
б) Метод послідовного аналізу є більш поширеним методом аналізу спектра, в якому застосовують одну вибірну систему з плавною зміною частоти настроювання вибірної системи (наприклад, з плавною зміною резонансної частоти коливального кола, котре виконує функцію вибірної системи). Подавши на вхід вибірної системи сигнал та настроївши її на певну частоту, вимірюють амплітуду напруги на виході системи, котра відповідає амплітуді гармонічної складової з частотою настройки вибірного кола. Поступово змінюючи частоту настройки (тобто, проводячи вимірювання на одній частоті, після того на другій і т.д.) та вимірюючи амплітуди напруг на виході, визначаємо спектр сигналу.
Прилад, за допомогою якого визначають амплітуди окремих гармонічних складових, називають аналізатором спектра сигналів.
Постійну складову - А0/2 вимірюють вольтметром постійної напруги, або іншим приладом, який вимірює постійну напругу. Початкові фази гармонік n в лабораторній роботі не вимірюються. Їх можна виміряти фазометром, осцило-графічними та іншими методами.
3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
1. Що називають спектром сигналу?
2. З якою метою проводять спектральний аналіз сигналів?
3. Які Ви знаєте види спектрів сигналів?
4. Що називають амплітудно-частотним спектром сигналу?
5. Що називають фазово-частотним спектром сигналу?
6. Як розрахувати аналітично спектр періодичного сигналу?
7. Який вигляд має спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів?
8. Як змінюється спектр періодичної послідовності імпульсів при зміні періо-
ду повторення імпульсів?
9. Як змінюється спектр періодичної послідовності імпульсів при зміні трива-
лості імпульсів?
10. Який вигляд має спектр косинусоїдального сигналу?
11.Який вигляд має спектр косинусоїдального імпульсу?
12. Як визначають енергію та потужність імпульсного сигналу в часовій об-
ласті?
13. Як визначають енергію та потужність періодичного сигналу в часовій об-
ласті?
14. Як визначають енергію та потужність імпульсного сигналу в частотній об-
ласті?
15. Як визначають енергію та потужність періодичного сигналу в частотній об-
ласті?
16. Як визначають практичну ширину спектра?
17. Як визначають практичну тривалість імпульса?
4. РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ
На основі теоретичних положень, наведених вище, провести аналіз спектра одного з заданих викладачем сигналів, параметри і форма яких подані в таблицях 1 та 2.
При проведенні розрахунків необхідно визначити амплітуди перших 5 ... 7 гармонік за формулами для ряду Фур'є (5, 6, 7, 8, 9).
Одержані результати подати графічно у вигляді спектральної діаграми, амплітуд і фаз.
5. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА
Експериментальна частина передбачає лабораторну перевірку результатів теоретичного аналізу спектра заданого викладачем сигналу.
Для проведення досліджень до виходу генератора сигналів згідно схеми, пока-
заної на рис. 5, під’єднуються осцилограф і селективний вольтметр.
Таблиця 1
Варіанти сигналів та їх параметри
Таблиця 2
Математичні моделі та форма сигналів
Продовження таблиці 2
EMBED Word.Picture.6
Після перевірки викладачем результатів розрахунків і правильності збирання схеми досліджень потрібно:
1. Ввімкнути вимикач “Мережа” генератора сигналів, осцилографа та селек-тивного вольтметра.
2. Ручкою перемикача “Форма сигналів” вибрати заданий викладачем сигнал.
3. Ручками генератора “Амплітуда” та “Тривалість імпульса” встановити задані параметри сигналу.
4. Зрисувати в масштабі з екрана осцилографа одержаний сигнал.
5. За допомогою селективного вольтметра послідовно визначити амплітуди спектральних складових сигналу і значення частот перших 5 ... 7 складових сигналу, в яких зосереджена основна частка потужності сигналу.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ
Звіт з лабораторної роботи повинен містити:
Результати попередніх розрахунків;
Розраховані амплітудні і фазові спектральні діаграми заданого сигналу;
Таблиці значень та амплітудну спектральну діаграми сигналу, отриманого в результаті експерименту.
Порівняння розрахункових і експериментальних даних.
7. ЛІТЕРАТУРА
1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Сов. радио, 1977. - 608с.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1983. - 539с.
3. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей. - М.: Высш. шк., 1975. - 264с.
4. Мандзій Б.А., Желяк Р.І. Основи теорії сигналів. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів України. /за редакцією д-ра техн. наук проф. Б.А. Мандзія. - Львів.:1994. - 152с.
Навчальне видання
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 1 ”Аналіз спектрів сигналів” з предметів “Сигнали та процеси в радіотехніці”, “Теорія передачі сигналів” для студентів базового напряму “Радіотехніка”.
Упорядники: Желяк Р.І., Мелень М.В.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора