Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань. Методичні вказівки до лабораторної роботи з Сигнали та процеси в радіоелектроніці. Робота № 500822

Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Радіотехніка

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Методичні вказівки до лабораторної роботи

Предмет:

Сигнали та процеси в радіоелектроніці

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань СИНТЕЗ І АНАЛІЗ СИГНАЛІВ В БАЗИСІ ФУНКЦІЙ УОЛША, РАДАМАХЕРА ТА ХААРА Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка” ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри “Теоретична радіотехніка та радіовимірювання” Протокол № 4 від 27 листопада 2003 р. Львів 2003 Синтез і аналіз сигналів в базисі функцій Уолша, Радамахера та Хаара. Методичні вказівки до лабораторної роботи №5 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка” /Упорядники: Желяк Р.І., Мелень М.В.- Львів: НУ ЛП, 2003. - с. 13. Упорядники: Желяк Р.І., доц., канд. техн. наук, Мелень М.В., доц., канд. техн. наук. Рецензенти: Волочій Б.Ю., доц., канд. техн. наук, Бондарєв А.П., доц., канд. техн. наук. Відповідальний за випуск: Надобко О.В., доц., канд. техн. наук. © Желяк Р.І., Мелень М.В., 2003 1. МЕТА РОБОТИ Метою роботи е вивчення методів аналізу і синтезу складних сигналів за допомогою систем ортогональних функцій Уолша, Радамахера та Хаара. 2. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ З математики відомо, що довільну складну функцію EMBED Equation.3 завжди можна подати у вигляді суми простих (елементарних) функцій EMBED Equation.3 , тобто подати її у вигляді узагальненого ряду Фур’є: EMBED Equation.3 , (1) де EMBED Equation.3 - коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є – значення проекцій складної функції EMBED Equation.3 на координатні осі багатовимірного простору, що задаються простими елементарними функціями EMBED Equation.3 . З (1) випливає, що будь який складний сигнал EMBED Equation.3 можна точно описати безмежною сумою зважених ортогональних елементарних сигналів EMBED Equation.3 , тобто розкласти його в узагальнений ряд Фур’є. Проте при практичному розв’язку багатьох інженерних задач замість ряду (1) використовують вкорочений ряд Фур’є: EMBED Equation.3 , (2) який описує заданий сигнал з деякою допустимою похибкою, середньоквадратичне значення якої залежить від числа врахованих коефіцієнтів ряду N і оцінюється виразом: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (3) Величина  називається середньою квадратичною похибкою апроксимації (подання) рядом EMBED Equation.3 заданого сигналу s(t). Якщо для неперервного сигналу можна вибрати ai так, щоб при збільшенні кількості членів ряду величина  ставала достатньо малою, то сукупність ортогональних функцій {fi (t)} називається повною, а ряд (4) в цьому випадку називається збіжним в середньому. В загальному випадку елементарні функції EMBED Equation.3 можуть бути довільними, проте, якщо потрібно забезпечити умову взаємної незалежності значень коефі-цієнтів EMBED Equation.3 узагальненого ряду Фур’є, елементарні функції EMBED Equation.3 повинні задоволь-няти умову ортогональності на деякому відрізку часу (t1, t2): EMBED Equation.3 , (4) де EMBED Equation.3 У цьому випадку сукупність функцій називають системою ортогональних функцій на відрізку (t1, t2). Якщо при цьому додатково виконується умова: EMBED Equation.3 , (5) то систему елементарних функцій { EMBED Equation.3 } називають ортонормованою. При цьому для періодичних сигналів EMBED Equation.3 (n – довільне ціле число; Т – період повторення) елементарні функції повинні задовольняти умову періодич-ності EMBED Equation.3 . Неважко довести, що використання при розкладі сигналу EMBED Equation.3 в ряд (1) елементарних ортогональних або ортонормованих функцій EMBED Equation.3 дозволяє одноз-начно визначати коефіцієнти EMBED Equation.3 ряду у вибраному координатному базисі: EMBED Equation.3 . (6) Аналіз показує, що визначення коефіцієнтів ряду EMBED Equation.3 за формулою (6) забез-печує мінімальну середню квадратичну похибку апроксимацію сигналу рядом (1) або (2). Вибір виду ортогональних функцій, за якими проводиться розклад складного сигналу на суму елементарних сигналів залежить від форми і властивостей складного сигналу. Так для періо-дичних сигналів, миттєве значення яких стрибко-подібно змінюється в часі найчастіше використо-вуються системи ортогональних функцій Уолша, Радамахера, Хаара. Це системи прямокутних функцій, які легко формуються за допомогою сучасних інтегральних цифрових мікросхем. EMBED Visio.Drawing.4 Найбільш простими для практичної реаліза-ції є функції Радамахера (рис. 1), які утворю-ються з синусоїдальних функцій за допомогою співвідношення Рис. 1. Перші чотири функції Радамахера. EMBED Equation.3 (7) де аргумент EMBED Equation.3 - безрозмірний час, тобто час, нормований до інтервалу T= t2 -t1, в межах якого розглядається поведінка функцій, а ціле додатнє число k - порядок функції. Символ siqn (сигнум - функція) - означає функцію EMBED Equation.3 . (8) Відповідно до (7) і (8) функції Радамахера приймають одне з двох значень: + 1 або -1 і мають вигляд меандру. Оскільки функції Радамахера задовольняють умови (2) і (3), то вони утво-рюють систему ортонормованих функцій. Проте усі функції Радамахера є непар-ними відносно середини інтервалу визначення і тому їх не можна використовувати для апроксимації сигналів s, симетричних відносно моменту EMBED Equation.3. Це означає, що система функцій Радамахера є неповною системою ортонормованих функцій. Найбільш простий спосіб формування повної ортонормованої системи функцій Уолша базується на взаємозв’язку функцій Уолша з функціями Радамахера. У цьому випадку їх формують утворюючи добутки степенів відповідних функцій Радамахера. Позначаються функції Уолша як wal(,), де  - аргумент – нормований час, який в межах заданого інтервалу T = t2 - t1 змінюється від 0 до 1, а  - порядковий номер функції. Перші вісім функцій Уолша приведені на рис. 2. EMBED Visio.Drawing.4 Рис. 2. Перші вісім функцій Уолша. Кожна функція Уолша, wal(,), яка входить в систему N = 2n функцій, є добутком степенів перших n функцій Радамахера. Принцип знаходження показників цих степенів пояснюється в табл. 1. Т а б л и ц я 1 У таблиці використані наступні позначення:  - порядковий номер функції; m - m-u - розряд представлення числа  у двійковій системі числення, тобто EMBED Equation.3 (9) Символ  означає порозрядне підсумування по модулю 2. Показаний у таблиці спосіб побудови функцій Уолша можна записати аналі-тично для довільного N = 2n у вигляді співвідношення: EMBED Equation.3. (10) Спосіб нумерації функцій в системі називається впорядкуванням. Функції Уолша, сформовані на основі виразу (10), називаються впорядкованими по Уолшу. В [I] можна ознайомитися з іншими способами впорядкування функцій Уолша - по Пелі і по Адамару. Функції Уолша можна використати як систему функцій для спектрального (негармонічного) подання сигналу. Якщо довільний сигнал s() є інтегрованим в межах інтервалу 0    1, то його можна подати рядом Фур’є в системі функцій Уолша (або просто рядом Фур’є – Уолша) EMBED Equation.3 (11) з коефіцієнтами EMBED Equation.3. (12) Поза границями інтервалу [0, 1] ряд (11) описує періодичну функцію sk, де k - довільне ціле число. Результати розкладу сигналу s() за допомогою співвід-ношень (11) і (12) можна зобразити на спектральній діаграмі, відкладаючи на горизонтальній осі порядкові номери функцій Уолша, а на вертикальній - значення коефіцієнтів Ai. Таку діаграму називають спектром сигналів в базисі функцій Уолша. З можливості подання довільного сигналу s() рядом Фур’є - Уолша випливає можливість синтезу (утворення) довільного сигналу на інтервалі [0, 1], форма якого залежить від співвідношення коефіцієнтів Ai. Так, гармонічне коливання s()=sin() описується за допомогою перших 16 функцій Уолша виразом: EMBED Equation.3, (13) EMBED Visio.Drawing.4 а cпектр цього сигналу в базисі функцій Уолша приведений на рис. 3, а. Рис. 3. Спектр сигналу s()=sin() в базисі функцій Уолша – а) та його часові діаграми – б). Сума функцій Уолша з цими ваговими коефіцієнтами дає ступінчастий сигнал (рис. 3, б), який досить добре наближається до синусоїдного сигналу. При розкладі на відрізку [0, 1] довільної неперервної функції EMBED Equation.3 в рівномір-но збіжний ряд може бути використана як базисна система ортогональних функцій Хаара { EMBED Equation.3 }. При цьому необхідно безрозмірний аргумент EMBED Equation.3 функцій Хаара замінити на t, де коефіцієнт =1/T задає необхідний часовий масштаб функцій і має розмірність часу в мінус першій степені. Графіки деяких функцій Хаара зображені на рис. 4. При визначенні функцій Хаара використовується поняття двійкових відрізків - відрізки, які можуть бути отримані шляхом ділення відрізку [0, 1] на 2m-1 рівних частин. Ці відрізки вважаються замкнутими зліва і відкритими справа, якщо їх пра- вий кінець відрізняється від 1. Якщо правий кінець дорівнює 1, то відрізок вважа ється замкнутим також справа. Таким чином, двійкові відрізки - це відрізки [0, 1], EMBED Visio.Drawing.4 Рис. 4. Графіки перших восьми функцій Хаара. [0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/8], Відрізки [1/4, 3/4] або [5/8, 7/8] двійковими не вважаються. Для двійкових відрізків введемо таке позначення: EMBED Unknown де j змінюється від 1 до 2m-1, a m = 1,2,... . Звичайно, у випадку j = 2 m-1 треба вважати l замкнутим також справа. При цьому для кожного m виконується рівність lm1 + lm2 + lm3 +..... + lm2m-1 = [0, 1]. Поряд з двійковою нумерацією використовують також просту нумерацію, поклавши lmj = ln , де n = 2m-1 + j. Проте, при такій нумерації n = 2, 3, ... відрізок з n= 1 буде відсутнім. Ліву і праву половини lmj будемо позначати l-mj і l+mj , так що l-mj + l+mj =lmj. Систему функцій Хаара { EMBED Equation.3 } зручно будувати групами: група номер m міс-тить 2m-1 функцій { EMBED Equation.3 }, j=1, 2, ... , 2m-1; m=1, 2, ... , причому перша функція EMBED Equation.3 = 1 залишається поза групами. Функції Хаара описуються виразом: EMBED Unknown Для кращого розуміння розглянемо приклад розклад у ряд Фур”є-Хаара періо-дичного коливання стрибкоподібної форми, часова залежність якого показана на рис. 5, а. EMBED Visio.Drawing.4 Рис. 5. Часові діаграми – б) та спектр сигналу s(t) – а) в базисі функцій Хаара. Порівнюючи часову діаграму сигналу s(t) та показані на рис. 4. графіки перших восьми функцій Хаара отримаємо наступні значення коефіцієнтів ряду Фур”є-Хаара: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Отже задане періодичне коливання стрибкоподібної форми описується за допомогою перших 8 функцій Хаара виразом: EMBED Equation.3. (14) Сума функцій Хаара з розрахованими ваговими коефіцієнтами дає ступінчас-тий сигнал, форма якого показана на рис. 5, а. 3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ Яка система функцій називається ортогональною системою ? Яка система функцій називається ортонормованою системою ? Які системи ортогональних функцій Ви знаєте ? Як формується система ортогональних функцій Радамахера ? Як формується система ортогональних функцій Уолша ? Як формується система ортогональних функцій Хаара ? Як вибираються амплітуди (коефіцієнти) окремих функцій Радамахера, Уол-ша, Хаара при синтезі заданого сигналу ? Як за допомогою функцій Радамахера, Уолша, Хаара можна синтезувати сиг-нал заданої форми? Чи можна варіацією амплітуд (коефіцієнтів) окремих функцій покращити точ-ність синтезу сигналу ? Від чого залежить точність синтезу заданого сигналу? Який спектр називається спектром сигналу в базисі функцій Радамахера, Уолша, Хаара ? Чи є різниця між спектрами при розкладі того ж сигналу в спектрі за допо-могою ряду Фур’є-Радамахера, ряду Фур’є-Уолша і ряду Фур’є-Хаара? 4. РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ На основі викладених теоретичних положнь: 1. розрахувати спектр в базисі розривних функцій (до 8-ми коефіцієнтів ряду) і побудувати спектральні діаграми одного із заданих викладачем сигналу: а. EMBED Equation.3; б. EMBED Equation.3; в. EMBED Equation.3 г. EMBED Equation.3 2. Використовуючи результати аналізу просумувати з відповідними коефіцієн-тами функції Уолша, Радамахера та Хаара і нарисувати графіки утвореного (синтезованого) сигналу. 3. Оцінити абсолютну похибку синтезу заданого сигналу як різницю між зада-ним сигналом і частковими сумами елементарних складових. Різницю доцільно визначати в 20-ти рівновіддалених точках в межах періоду повто-рення заданого сигналу. Максимальне значення похибки синтезу сигналу при цьому буде дорівнювати модулю максимальної різниці. 4. Визначити середню квадратичну похибку синтезованого сигналу, як відно-шення суми квадратів різниць до кількості точок, в яких вони визначались. 5. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА Експериментальна частина передбачає лабораторну перевірку результатів правильності розрахунків для заданих викладачем сигналів. Для цього використо-вується спеціалізований лабораторний макет, пердня панель якого приведена на рис. 6. Він складається з 12-ти генераторів гармонічних сигналів, 12-ти генераторів функцій Уолша, Радамахера та Хаара і 12-ти входового суматора сигналів. На передню панель макета виведені: Вимикач живлення; перемикач виду генерованих функцій; ручки потенціометрів, за допомогою яких встановлюються потрібні амплітуди функцій; ручки потенціометрів, за допомогою яких встановлюються потрібні початкові фази гармонічних функцій; гнізда, які дозволяють побачити осцилограми вибраних функцій; Рис. 6. Передня панель лабораторного макету. гніздо синхронізації осцилографа; гніздо для спостереження сигналу на виході суматора. Після перевірки викладачем результатів розрахунків потрібно: ввімкнути живлення лабораторного макету і перемикачем виду функцій встановити режим генерування потрібних функцій; під’єднати вхід синхронізації осцилографа до гнізда “синхронізація” на лабораторному макеті і ввімкнути режим синхронізації “зовнішня”; за допомогою ручок потенціометрів “Амплітуда” встановити необхідні амплітуди окремих функцій; за допомогою ручок потенціометрів “Фаза” встановити необхідні почат-кові фази (виконується тільки для гармонічних функцій). Зміну значеннь амплітуд та фаз окремих складових доцільно проводити послідовно: спочатку першої, потім другої і т. д., контролюючи при цьому осцилог-рафом рівень окремих складових на відповідних гніздах макету; під’єднати вхід вертикальної розгортки осцилографа до гнізда для спостереження сигналу на виході суматора і зрисувати з екрана осци-лографа синтезований сигнал у відповідному базисі вибраних функцій, строго притримуючись масштабу зображення. Після цього потрібно визначити похибку синтезу; міняючи в невеликих межах амплітуди (фази) окремих функцій відносно розрахованих значень, оцінити їх вплив на форму вихідного сигналу і величину похибки синтезу. 6. ЗМІСТ ЗВІТУ Звіт по лабораторній роботі повинен містити: 1. Результати розрахунків спектральних коефіцієнтів і графіки синтезованого сигналу за допомогою перших восьми функцій Уолша, Радамахера та Хаара. 2. Графіки експериментально синтезованих сигналів, зрисованих з екрана осцилографа з строгим додержанням масштабу. 3. Результати оцінки точності синтезу. 4. Порівняння розрахункових і експериментальних даних. 5. Висновки. 7. ЛІТЕРАТУРА 1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов. – 4-е изд. Перераб. и доп. - М.: Советское радио, 1986, с. 429-445. 2. Клодовский Д.Д. Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1973, с. 64-70. 3. Френк Л. Теория сигналов. - М.: Советское радио, 1974, с. 61-68. Навчальне видання Синтез і аналіз сигналів в базисі функцій Уолша, Радамахера та Хаара. Методичні вказівки до лабораторної роботи №5 з предмету “Сигнали та процеси в радіоелектроніці” для студентів базового напряму “Радіотехніка”. Укладачі: Р.І. Желяк, М.В. Мелень.

Методичні вказівки до лабораторної роботи Сигнали та процеси в радіоелектроніці

2015

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись