Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Чисельне розв’язування рівнянь з частинними похідними
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Теорія
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Розділ 7. Чисельне розв’язування рівнянь з частинними похідними
§1. Крайові задачі для рівнянь з частинними похідними
Для того, щоб повністю описати фізичний процес, необхідно, крім самого рівняння з частинними похідними, яке описує цей процес, задати початковий стан процесу (початкові умови) і режим на границі області (граничні умови). Додаткові умови (початкові та граничні) дозволяють виділити єдиний розв’язок диференціального рівняння.
Задачу, в якій є тільки початкові умови називають задачею Коші. Якщо задаються лише умови на границі області, то така задача називається крайовою. Задачу з початковими та граничними умовами називають мішаною задачею.
Розглянемо, наприклад, задачу: знайти функцію , яка в області задовольняє рівняння
, (1)
а на границі області одну з граничних умов:
, (2)
, (3)
, (4)
де – нормальна похідна за напрямком – задані функції.
Рівняння (1) називається рівнянням Пуассона, яке, як відомо, є еліптичним рівнянням, а умови (2), (3), (4) називаються відповідно крайовими умовами 1-го, 2-го та 3-го роду. Крайова задача (1), (2) ще називається задачею Діріхле, а задача (1), (3) – задачею Неймана.
Для рівняння параболічного типу (рівняння теплопровідності)
(5)
мішана задача ставиться так: знайти функцію , яка задовольняє рівняння (5), початкову умову
(6)
та граничну умову
, (7)
де – деякий еліптичний оператор (наприклад, ), – оператор, який задає граничну умову 1-го, 2-го або 3-го роду.
Аналогічно ставиться мішана задача для рівняння гіперболічного типу: знайти функцію , яка задовольняє рівняння
, (8)
початкові
(9)
та граничну умову (7).
Оскільки розв’язок задач (5) – (7) і (8), (9), (7) залежить від часу, то такі задачі називають нестаціонарними.
У цьому розділі розглядаються сіткові методи розв’язування рівнянь з частинними похідними. Їх можна застосовувати до широкого класу рівнянь і різних типів задач для них.
§2. Основні поняття методу сіток
Для побудови сіткової схеми необхідно замінити область неперервної зміни аргументів дискретною множиною точок (сіткою), а диференціальне рівняння та додаткові умови – сітковими рівняннями, тобто системою алгебраїчних рівнянь.
Раніше ми вже розглядали приклади сіток в одновимірній області:
рівномірна сітка на відрізку ;
нерівномірна сітка на .
Розглянемо приклад сітки у двовимірній області. Нехай на площині задана область з границею Г. На відрізках побудуємо рівномірні сітки
.
Множину вузлів називають сіткою у прямокутнику і позначають . Сітка складається з точок перетину прямих Точки , які належать Г, називають граничними і позначають через .
Нехай – сітка, введена в одновимірній області, а – вузли сітки. Функцію дискретного аргумента називають сітковою функцією, визначеною на . Аналогічно визначається сіткова функція на сітці у двовимірній області. Якщо – вузол сітки , то . Сіткові функції можна також розглядати як функції цілочисельного аргумента, який є номером вузла сітки.
Сіткову функцію , задану на сітці , можна записати у вигляді вектора розміру
.
Якщо – сітка в прямокутнику, то сітковій функції , заданій на , відповідає вектор
розміру .
Як правило, розглядають множину сіток , які залежать від кроку h як від параметра, а тому сіткові функції залежать від параметра h, якщо сітка рівномірна. У випадку нерівномірної сітки під h розуміють або
Множина сіткових функцій утворює простір . У просторі можна ввести норму . Вкажемо найпростіші типи норм:
Нехай в області евклідового простору з границею Г небхідно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння
(1)
який задовольняє граничну умову
(2)
де задані функції, – лінійні диференціальні оператори.
Введемо на сітку . Замінимо диференціальний оператор Lu в точці лінійною комбінацією значень сіткової функції на деякій множині вузлів сітки яку називають шаблоном
де – коефіцієнти, . Поставимо у відповідність задачі (1), (2) сіткову (різницеву) задачу
, (3)
, (4)
де – лінійні сіткові (різницеві) оператори, – сіткові функції, які залежать від кроку сітки h. Змінюючи h, одержимо послідовності . Отже, ми розглядаємо множину задач (3), (4), яка залежить від параметра h. Цю множину задач називають сітковою схемою.
Зауважимо, що сіткову схему (3), (4) можна записати в еквівалентній формі
, (5)
якщо граничну умову (4) використати для виключення значень розв’язку в граничних точках області . Введемо для функцій відповідні сіткові норми .
Кажуть, що сіткова схема (5) стійка, якщо існує така стала , яка не залежить від h і від вибору , що для розв’язку рівняння (5) справджується оцінка
(6)
при всіх достатньо малих .
Сіткову схему (5) називають коректною, якщо розв’язок рівняння (5) існує і єдиний за будь-яких вхідних даних і якщо схема стійка, тобто виконується нерівність (6).
Стійкість означає неперервну залежність розв’язку від вхідних даних, причому ця неперервна залежність рівномірна по h. Якщо – розв’язок рівняння , то внаслідок лінійності , тоді з (6) випливає
.
Отже, малим змінам вхідних даних відповідають малі зміни розв'язку.
Якщо схема (5) розв'язна, то існує обернений оператор і
.
Стійкість означає рівномірну по h обмеженість оберненого оператора
.
Схема нестійка, якщо необмежено зростає при .
Сіткова схема (3), (4) стійка, якщо для її розв'язку виконується оцінка
,
де >0, >0 – сталі, які не залежать від h і від вибору .
При розв'язуванні задач (1), (2) сітковим методом необхідно встановити, з якою точністю розв'язок сіткової задачі наближає розв'язок вихідної задачі. Позначимо значення на сітці . Величину називають похибкою сіткової задачі. Підставимо в (3), (4), тоді одержимо
, (7)
де називають похибкою апроксимації (нев'язкою) рівняння (3) на розв'язку рівняння (1), а - похибкою апроксимації (нев'язкою) сіткової граничної умови (4) на розв'язку задачі (1), (2).
Для схеми (5) рівняння для похибки має вигляд
а похибка апроксимації
Кажуть, що розв'язок сіткової задачі збігається до розв'язку задачі (1), (2), якщо при . Сіткова схема має p-й порядок точності, якщо
,
де – стала, яка не залежить від .
Сіткова схема (3), (4) має -й порядок апроксимації, якщо
.
У випадку схеми (5) сіткова задача має -й порядок апроксимації, якщо
.
Теорема (Лакса – Філіпова). Якщо сіткова схема коректна і апроксимує задачу (1), (2), то розв'язок сіткової задачі (5) збігається до розв'язку вихідної задачі (1), (2), причому порядок точності рівний порядку апроксимації.
Доведення. З коректності сіткової схеми випливає
. (8)
Якщо , то з (8) одержимо
,
тобто сіткова схема має -й порядок точності.
§3. Сіткові схеми як операторні рівняння
1. Запис сіткових схем у вигляді операторних рівнянь
Після заміни диференціальних рівнянь сітковими (різницевими) рівняннями на деякій сітці одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку можна записати в матричній формі
, (1)
де A – матриця системи, y – шуканий вектор, – заданий вектор, який визначається правими частинами сіткових рівнянь і граничними умовами.
Рівняння (1) можна розглядати як операторне, де A – лінійний оператор, який діє в скінченновимірному просторі H, y – шуканий елемент цього простору і – заданий елемент. Для сіткової схеми характерно, що кожна схема визначає не одне рівняння (1), а цілу множину рівнянь
(2)
які залежать від кроку сітки h. При кожному значенні h оператор діє в скінченновимірному просторі . Розмірність простору залежить від величини кроку сітки h.
Наведемо приклад запису різницевої схеми у вигляді операторного рівняння (2).
На рівномірній сітці розглянемо різницеву схему
. (3)
Перепишемо систему (3) у вигляді
, (4)
де . Введемо -вимірний простір , який складається з векторів . Визначимо в оператор і вектор так:
, (5)
. (6)
Тоді різницеву схему (4) можна записати в операторній формі (2). Матриця цього оператора є симетричною, тридіагональною і має вигляд
.
Однак інколи зручніше вважати, що оператор А визначений на підпросторі функцій, заданих на сітці і рівних нулю при . Функції з будемо позначати через , тоді оператор А визначається формулою
, (7)
а вектор згідно з (6). Різницева схема (3) може бути записана у вигляді (2), де .
Оператор А, визначений формулами (5) або (7), будемо називати оператором другої різницевої похідної.
2. Задача на власні значення для оператора другої різницевої похідної
Задача на власні значення для оператора другої різницевої похідної (7) полягає у знаходження таких чисел , для яких рівняння
(8)
має нетривіальні розв'язки.
Запишемо рівняння (8) у вигляді
(9)
або
. (10)
Різницева задача (9) є апроксимацією диференціальної задачі
, (11)
розв'язком якої є власні числа
і відповідні їм власні функції
Власні функції задачі (9) будемо шукати у вигляді
(12)
Граничні умови при цьому виконуються. Підставляючи (12) у рівняння (10), одержимо
або
.
Звідси видно, що (12) є власними функціями оператора (7), якщо
тобто
.
При одержимо різних дійсних чисел і відповідних їм власних функцій. Отже, розв'язок задачі (9) має вигляд
3. Властивості власних значень та власних функцій
Для власних значень справджуються нерівності
.
Справді, власні значення зростають з ростом k, оскільки при . Найбільше власне значення
.
Найменше власне значення запишемо у вигляді
де .
Оскільки функція монотонно спадає при , то
,
тобто .
Перйдемо до вивчення властивостей власних функцій. Введемо в просторі скалярний добуток
і норму
. (13)
Оператор A – самоспряжений, тобто для .Справді, використовуючи формулу сумування за частинами (див. Розділ VI §3 формула (25)), одержимо
.
В останній рівності враховано умову . Якщо y і v поміняти місцями, то
. (14)
Нехай
.
Тоді
і
.
Звідси одержимо, що , якщо . Отже, система власних функцій (12) утворює ортогональний базис у просторі .
Виберемо множник с так, щоб норма власної функції була рівна одиниці
.
Для цього обчислимо
.
З тотожності
одержимо
Отже, і власні функції
утворюють ортонормований базис у просторі .
4. Операторні нерівності
Встановимо оцінки для меж оператора другої різницевої похідної. Будь-який елемент можна розкласти за власними функціями оператора А:
(15)
де - коефіцієнти Фур’є. З ортонормованості системи випливає тотожність
Використовуючи (15), одержимо
і
. (16)
На підставі (16) матимемо
. (17)
або згідно з (13), (14)
. (18)
Враховуючи доведені раніше оцінки для власних чисел, з (17) одержимо нерівності
. (19)
Звідси випливає, що оператор А – додатно визначений.
§4. Різницеві схеми для одновимірного рівняння теплопровідності
Нехай в області необхідно знайти розв’язок першої крайової задачі для рівняння теплопровідності
(1)
(2)
. (3)
Введемо сітки
і сітку в
.
Вузли називають внутрішніми вузлами, а решту – граничними вузлами сітки. Множину всіх внутрішніх вузлів сітки будемо позначати
.
Для функції визначеної на сітці введемо позначення
. (4)
Щоб апроксимувати рівняння (1) в точці , розглянемо шеститочковий шаблон (рис.1).
Замінюючи похідну в точці першою різницевою похідною а – лінійною комбінацією різницевої похідної на – ому і на – ому ярусах, розглянемо різницеву схему з ваговими коефіцієнтами
(5)
де – дійсний параметр, – сіткова функція, яка апроксимує праву частину рівняння (1), наприклад, Оскільки схема (5) містить значення шуканої функції на двох ярусах, то вона двоярусна.
Початкові і крайові умови апроксимуються точно
, (6)
. (7)
Розглянемо часткові випадки різницевої схеми (5). При одержуємо схему, визначену на чотириточковому шаблоні (рис.2), яка має вигляд
або
(8)
Значення у кожній точці яруса (нового яруса) виражається за допомогою явної формули (8) через на ярусі (на старому). Оскільки при задана початкова умова то формула (8) дозволяє послідовно визначити на будь-якому ярусі. Схему (8) називають явною.
Якщо , то схему (5) називають неявною двоярусною схемою. При для визначення на новому ярусі одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
.
де Використовуючи (4), зведемо цю схему до вигляду
(9)
де
.
Систему (9) можна розв’язувати методом прогонки (див. розділ I, §1, п.2), якщо З цієї нерівності випливає, що метод прогонки стійкий при
При маємо чисто неявну схему
визначену на чотириточковому шаблоні (рис.3).
При одержуємо шеститочкову симетричну схему
яку ще називають схемою Кранка–Нікольсона.
Дослідимо похибку апроксимації схеми (5) – (7). Запишемо розв’язок задачі (5) – (7) у вигляді де точний розв’язок задачі (1) – (3). Тоді для похибки одержимо систему
,
.
Величину
називають похибкою апроксимації схеми (5) – (7) на розв’язку задачі (1) – (3). Будемо розвивати всі функції, які входять у вираз для за формулою Тейлора в точці . Враховуючи розвинення
де
одержимо
.
Використовуючи позначення , запишемо розвинення в околі точки
З рівняння (1) і тоді
Якщо
,
то і схема (5) має другий порядок апроксимації по і четвертий по . Таку схему називають схемою підвищеного порядку апроксимації. Якщо , то схема (5) має порядок апроксимації . При і схема має перший порядок апроксимації по і другий по .
Розглянемо тепер рівняння (1) з крайовими умовами третього роду
(10)
Якщо в крайових умовах замінити правою різницевою похідною , а – лівою різницевою похідною , то одержимо різницеві граничні умови порядку апроксимації . Для одержання різницевих крайових умов другого порядку апроксимації продовжимо розв’язок задачі зовні відрізка ще на один інтервал зліва і справа, тобто введемо додаткові вузли і . Частинні похідні в крайових умовах замінимо центральними різницевими похідними, тоді отримаємо
(11)
Запишемо різницеву схему (5) для
(12)
З (11) матимемо
Підставимо , у рівняння (12) і помножимо ліву і праву частини цих рівностей на відповідно, тоді одержимо різницеві крайові умови
(13)
де
.
Можна показати, що при різницеві крайові умови (13) апроксимують умови (10) з порядком , а при з – .
Приклад 1. Показати, що різницева схема
,
апроксимує задачу
з порядком .
Розв’язування. Запишемо похибку апрксимації різницевої схеми
.
Використовуючи співвідношення
розкладемо похибку апроксимації в околі точки в ряд Тейлора. Тоді
Оскільки
то
де Використаємо рівняння , тоді з урахуванням рівностей будемо мати
Приклад 2. Різницеву схему
записати у вигляді системи триточкових різницевих рівнянь. Перевірити умови стійкості методу прогонки її розв’язування.
Розв’язування. Враховуючи (4) різницеву схему запишемо у вигляді
,
.
Отже, різницеву схему можна записати у вигляді (9), де
Оскільки
то метод прогонки стійкий, і його можна застосувати для розв’язування цієї задачі.
Приклад 3. Показати, що різницева схема з попереднього прикладу апроксимує задачу
з порядком .
Розв’язування. Запишемо похибку апроксимації різницеврї схеми та крайові умови
.
Оскільки різницева схема є схемою Кранка-Нікольсона, то . Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки :
де Використаємо крайову умову та диференціальне рівняння
тоді
§5. Різницеві схеми для рівняння коливання струни
Розглянемо крайову задачу
(1)
(2)
(3)
Для побудови різницевої схеми замінимо похідну у вузлі сітки другою різницевою похідною , а – лінійною комбінацією різницевої похідної на i ярусах. Розглянемо різницеву схему з ваговими коефіцієнтами
(4)
(5)
, (6)
де , а визначимо далі.
Крайові умови і перша початкова умова на сітці задовольняються точно. Виберемо так, щоб похибка апроксимації була величиною другого порядку апроксимації. Для цього використаємо розвинення
.
Отже,
,
а тому якщо
,
то,
.
Схема (4) – триярусна. Її застосування передбачає, що при знаходженні значень на верхньому ярусі значення на попередніх ярусах зберігаються у пам’яті ЕОМ.
Якщо , то одержимо явну різницеву схему
Розв’язок цієї схеми виражається явно через значення на попередніх ярусах:
Для початку розрахунку за цією формулою повинні бути задані початкові значення З першої початкової умови одержуємо
а з другої визначаємо
При схема (4) – (6) – неявна. Для визначення одержимо систему рівнянь:
Ця схема може бути зведена до системи триточкових різницевих рівняннь (див. (9) §4), де
яка розв’язується методом прогонки. Зауважимо, що при прогонка стійка.
Обчислимо похибку апроксимації схеми (4) – (6). Нехай – розв’язок задачі (1) – (3), – розв’язок різницевої задачі (4) – (6). Підставимо в (4) – (6), тоді одержимо
де – похибка апроксимації схеми (4) на розв’язку , — похибка апроксимації для другої початкової умови З попереднього випливає, що .
Враховуючи, що , маємо
Тоді
Отже, при і при довільному схема має порядок апроксимації .
§6. Стійкість двоярусних та триярусних сіткових схем
1. Канонічний вигляд та умови стійкості двоярусних сіткових схем
Розглянемо крайову задачу для рівняння параболічного типу
(1)
де –диференціальні оператори, які діють на як функцію – задані функції. Якщо диференціальний оператор L та граничні умови на сітці апроксимувати деяким сітковим оператором , то одержимо задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь
(2)
Далі для спрощення індекс h будемо опускати.
На відрізку введемо рівномірну сітку
з кроком і будемо розглядати функції дискретного аргумента зі значеннями в просторі . Функції можуть залежати від h і , тобто . Для розв’язування задачі (2) розглянемо однокрокову (двоярусну) сіткову схему вигляду
, (3)
де – лінійні оператори в , які можуть залежати від а може залежати також від . Враховуючи тотожність
,
одержимо, що будь-яку двоярусну схему можна записати на сітці у канонічному вигляді:
(4)
де . Надалі будемо вважати, що існує оператор . Це гарантує існування та єдиність розв'язку задачі (4).
Сіткову схему (4) називають стійкою, якщо існують сталі які не залежать від і такі, що при для розв'язку (4) справджується оцінка
. (5)
Якщо виконується нерівність (5), то схему називають стійкою за початковими даними і за правою частиною.
Схему (4) називають стійкою за початковими даними, якщо для розв'язку однорідного рівняння
(6)
виконується оцінка
Сіткову схему (4) називають стійкою за правою частиною, якщо для розв'язку задачі
справджується оцінка
Схему (4) називають рівномірно стійкою за початковими даними, якщо існують стала і стала , яка не залежить від , такі, що при будь-якому
причому .
Запишемо однорідне рівняння (6) у вигляді
де називають оператором переходу.
Зауважимо, що вимога рівномірної стійкості за початковими даними еквівалентна обмеженості норми оператора S константою
.
Теорема 1. Нехай схема (4) рівномірно стійка за початковими даними. Тоді ця схема стійка і за правою частиною, причому для її розв'язку виконується оцінка (5), де і .
Доведення. Запишемо (4) при n=j у вигляді
і використаємо нерівність трикутника
Послідовно застосовуючи цю нерівність, одержимо
.
Оскільки , то
Надалі будемо розглядати рівномірну стійкість лише для випадку .
Припустимо, що в введений скалярний добуток , тоді Для спрощення запису індекс h у скалярному добутку і нормі надалі будемо опускати.
Теорема 2. Нехай у схемі (4) оператор А – самоспряжений додатний і не залежить від n. Якщо виконується операторна нерівність
, (7)
то схема (4) рівномірно стійка за початковими даними, причому для розв'язку однорідного рівняння (6) справджується оцінка
. (8)
Доведення. Позначимо і помножимо рівняння (6) скалярно на . Тоді одержимо тотожність
яку можна записати у вигляді
. (9)
Оскільки
то (9) запишемо у вигляді
. (10)
Використовуючи умови самоспряженості і додатності оператора А, а також незалежності від n, одержимо
Звідси і з (10) приходимо до тотожності
. (11)
Оскільки то
тому з (11) для розв'язку рівняння (6) справджується нерівність
Теорема 2 дозволяє сформулювати таке правило дослідження стійкості двоярусних сіткових схем. Насамперед треба звести схему до канонічного вигляду (4) і визначити оператори B і A. Відтак дослідити властивості оператора А. Якщо цей оператор є самоспряженим, додатним і не залежить від n, то залишається перевірити виконання операторної нерівності (7).
Для дослідження стійкості різницевої схеми (5) – (7) §4 зведемо її до канонічного вигляду. Введемо простір сіткових функцій, заданих на сітці , а також простір функцій, заданих на сітці і рівних нулю при . Визначимо оператор за формулами
.
Позначимо через вектор . Тоді різницеву схему (5) – (7) §4 можна записати в операторному вигляді:
де
.
Використовуючи тотожність
будемо мати
,
де – одиничний оператор. Якщо ввести оператор
то одержимо канонічну форму двоярусних сіткових схем.
Оператор самоспряжений, додатно визначений у просторі зі скалярним добутком
.
Умова стійкості має вигляд (див. теорема 2)
і означає, що для повинна виконуватися нерівність
Оскільки то
і схема стійка при
Явна різницева схема стійка за умови тобто умовно стійка. Неявна різницева схема , схема Кранка-Нікольсона та схема підвищеного порядку точності – безумовно стійкі.
Приклад 1. Звести до канонічного вигляду та дослідити на стійкість різницеву схему
Розв’язування. Враховуючи рівність різницеву схему запишемо у вигляді
(12)
Визначимо оператор за формулами
де - простір сіткових функцій , заданих у вузлах сітки , а - простір функцій заданих на сітці і рівних нулю на границі при . Позначимо через вектор Тоді різницеву схему (12) можна записати у вигляді:
Використовуючи тотожність
.
будемо мати
де – одиничний оператор. Якщо ввести оператор
то одержимо канонічну форму двоярусних сіткових схем.
Умова стійкості буде мати вигляд
або (13)
З урахуванням нерівність (13) буде справджуватися, оскільки
2. Канонічний вигляд та умови стійкості триярусних сіткових схем
Двокроковою (триярусною) сітковою схемою називають схему вигляду
(14)
Оператори можуть залежати від а функція може залежати також від і .
Введемо на сітці різницеві співвідношення
Безпосередньою перевіркою можна встановити справедливість таких тотожностей:
де . Підставляючи ці тотожності у рівняння (14), матимемо
,
де . Позначимо
.
Тоді (14) можна записати у вигляді
, (15)
Рівність (15) називають канонічним виглядом триярусної сіткової схеми.
Покажемо, що триярусну схему завжди можна записати у вигляді деякої еквівалентної двоярусної схеми.
Введемо простір =, який є прямою сумою двох просторів . Простір визначається як множина векторів вигляду , а операція додавання і множення на число вводяться покоординатно, тобто
.
Якщо в задано скалярний добуток ,то
.
Визначимо вектори як
де розв’язок рівняння (15), а - права частина (15). Введемо оператори
(16)
(17)
так, щоб (15) можна було записати у вигляді
,
де
Оскільки
то (17) можна записати у вигляді системи рівнянь
(18)
(19)
Виберемо оператори так , щоб рівняння (18) було еквівалентне (15), а (19) перетворилося тотожно в нуль. Перепишемо (19), враховуючи, що
у вигляді
Очевидно, що остання рівність перетворюється в тотожність, якщо:
Оскільки
то (18) еквівалентне рівнянню
.
Порівнюючи цей вираз з рівнянням (15), одержимо
.
Отже, триярусна схема (15) еквівалентна двоярусній (17), де
. (20)
Розглянемо задачу Коші
, (21)
задані. Припустимо, що існує оператор (2, а тому рівняння (21) однозначно розв’язне відносно Справджується така теорема про рівномірну стійкість схеми (21) за початковими даними.
Теорема 3. Нехай і – самоспряжені додатні оператори, незалежні від і такі, що:
,
то для будь-яких для розв’язку сіткової схеми (21) справджується нерівність
(22)
де
Доведення . Запишемо схему (21) у вигляді двоярусної схеми
(23)
де , і оператори визначаються формулами (16), (20), з початковою умовою
Із самоспряженості і операторних нерівностей випливає, що оператор – самоспряжений і додатний в . У просторі визначимо норму за формулою
Отже, для
Перевіримо виконання умови стійкості для схеми (23).
З (16), (20) випливає, що
Для будь-якого елемента маємо
Тоді, враховуючи самоспряженість оператора одержимо
З теореми 2 і умови випливає оцінка (22).
Дослідимо стійкість різницевої схеми (4) – (6) §5. Введемо оператор
де – простір сіткових функцій y, заданих у вузлах сітки , а – простір функцій заданих на сітці і рівних нулю на границі при . Тоді різницеву схему (4) – (6) §5 можна записати у вигляді
(24)
де
Використовуючи тотожності
схему (24) зведемо до канонічного вигляду, де
а I – одиничний оператор.
Оператори i – самоспряжені. Тоді для стійкості різницевої схеми достатньо виконання умов , тобто
або
(25)
Оскільки
то нерівність (25) буде виконуватися, якщо вимагати
Отже, різницева схема (4) – (6) стійка, коли
Наприклад, явна схема () стійка при , тобто Якщо , то різницева схема безумовно стійка.
Приклад 1. Звести до канонічного вигляду та дослідити на стійкість різницеву схему
(26)
. (27)
Розв’язування. Задана різницева схема – триярусна. Введемо оператор
а також вектори
.
Тоді різницеву схему (26), (27) можна записати у вигляді
Використовуючи тотожності
отримаємо
.
Отже різницева схема (26) зведена до канонічного вигляду (15), де
Оператори – самоспряжені додатні. Тоді за теоремою 3 для стійкості різницевої схеми достатньо виконання умов На підставі властивості оператора другої різницевої похідної а умова зводиться до
або
Ця нерівність справджується в силу умови .
§7. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівняння Пуассона
Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона: знайти неперервну в функцію , яка задовольняє рівняння
, (1)
і граничну умову
, (2)
де , а –границя області , –задані функції. Припустимо, що такі, що розв’язок задачі (1), (2) існує єдиний і є достатньо гладкою функцією.
Введемо в прямокутну сітку . Для розв’язування задачі (1), (2) розглянемо різницеву схему
(3)
(4)
де
.
Точки , в яких записується рівняння (3), належать підмножині сітки , яку називають множиною внутрішніх вузлів. Множину точок , в яких задані різницеві граничні умови (4), називають границею сітки . Зауважимо, що кутові точки не беруть участі у цій апроксимації і тому не належать ні до внутрішніх, ні до граничних.
Різницеве рівняння (3) записано на п’ятиточковому шаблоні (рис.1), а тому схему (3) часто називають схемою “хрест”.
Рис.1
Нехай – розв’язок задачі Діріхле (1), (2), а – розв’язок різницевої задачі (3), (4). Розглянемо похибку . Підставляючи в (3), (4) одержимо для різницеву задачу
, (5)
, (6)
де – похибка апроксимації на розв’язку рівняння (1).
Враховуючи формули
,
,
одержимо
(7)
Отже, схема (3) має другий порядок апроксимації.
§8. Принцип максимуму для різницевих схем
1. Принцип максимуму
Нехай скінченна множина точок (сітка) у деякій обмеженій області вимірного евклідового простору. Кожному вузлу поставимо у відповідність підмножину точок сітки , яка містить і називається околом точки .
Розглянемо рівняння
, (1)
де невідома сіткова функція, задана на , а – задані сіткові функції, які задовольняють умови
, (2)
. (3)
Точку називають граничним вузлом сітки, якщо в цій точці задано значення функції , тобто
, (4)
де множина граничних вузлів, задана функція. Якщо на границі формально покласти
то граничну умову (4) можна записати у вигляді (1). Вузли, в яких розглядається рівняння (1), називають внутрішніми вузлами сітки. Надалі множина внутрішніх вузлів сітки, а множина всіх вузлів сітки.
Запис різницевої схеми у вигляді (1), називається канонічною формою. У канонічній формі можна записати будь-яке лінійне різницеве рівняння. В кожному конкретному випадку необхідно задати множину коефіцієнти і функцію .
Будемо вважати, що сітка зв’язна, якщо для будь-яких двох її вузлів таких, що хоча б один з них має непорожній окіл, існує така множина вузлів що , тобто кожен наступний вузол належить околу попереднього.
Введемо позначення
, (5)
і рівняння (1) запишемо у вигляді
. (6)
Зауважимо, що вираз можна записати ще так:
. (7)
Теорема 1 (принцип максимуму). Нехай сіткова функція, визначена на зв’язній сітці і виконуються умови (2), (3). Тоді якщо () на , то не може приймати найбільшого додатнього (відповідно найменшого від’ємного) значення в усіх внутрішніх вузлах
Доведення. Нехай для всіх Припустимо, що приймає найбільше додатне значення у внутрішньому вузлі , тобто
(8)
У цій точці вираз
(9)
невід’ємний. Дійсно згідно з умовами (2), (3) і припущенням (8) маємо , так що А це суперечить умові Отже, якщо виконується умова (8) в точці то Враховуючи невід’ємність всіх доданків правої частини виразу (9), одержимо
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора