Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Теорія ймовірності
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
§ 7. Системи випадкових величин.
1. Закон розподілу системи.
Законом розподілу системи в. в. наз. співвідношення, яке встановлює зв’язок між областями можливих значень системи і ймовірностями появи системи в цих областях.
яка наз. таблицею розподілу системи двох д. в. в. із скінченною кількістю можливих значень.
Всі можливі події EMBED Equation.3 , для EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 утворюють повну групу несумісних подій, тому EMBED Equation.3 .
При цьому закони розподілу кожної із складових системи легко знайти. Так, для складової EMBED Equation.3 (її можливі значення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) додавши ймовірності по рядках
EMBED Equation.3 ; (1)
Для складової EMBED Equation.3 аналогічно
2. Функція розподілу системи
Функцією розподілу системи двох випадкових величин наз. функція двох аргументів F(x,y), яка = ймовірності сумісного виконання двох нерівностей X<x і Y<y, тобто
F(x,y)=P(X<x, Y<y). (3)
Геометрично ф-ія розподілу системи двох в. в. представляє собою ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) у лівий нижній нескінченний квадрант площини з вершиною в точці ( EMBED Equation.3 )
З геометричної інтерпретації отримаємо властивості функції розподілу системи двох в. в.
10. EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . (4)
20. EMBED Equation.3 . (5)
30. EMBED Equation.3 . (6)
40. EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 .
Доведемо цю властивість, використовуючи геом. інтерпретацію функції розподілу системи.
Розглянемо такі три події:
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Очевидно, що C=A+B але A і B – несумісні події. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо P(C)=P(A)+P(B),
але EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тому EMBED Equation.3 ,
звідки EMBED Equation.3 .
Оскільки ймовірність – величина невід’ємна, то EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
Аналогічно можна довести другу нерівність
EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
50. Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат, обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 . (7)
Виведемо цю формулу, користуючись геом. інтерпретацією системи. Нехай прямокутник має вершини (a,c), (a,d), (b,d), (b,c).Розглянемо такі події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Очевидно, що E=A+B+C+D, але A,B,C,D – несумісні події, тому
P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)
Оскільки P(E)=F(b,d), P(B)=F(b,c)-F(a,c), P(C)=F(a,d)-F(a,c), P(D)=F(a,c), то отримаємо
P(A)= F(b,d)- F(b,c)+ F(a,c)- F(a,d)+ F(a,c).
Скоротивши останні два доданки, отримаємо шукану формулу (7).
3. Щільність розподілу системи.
Розглянемо ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в елементарний прямокутник із сторонами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , паралельними координатним осям, який примикає до точки ( EMBED Equation.3 ).
Застосувавши формулу (7), одержимо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (8)
Припустимо, що функція EMBED Equation.3 є не тільки непер., але і двічі диференційовною, тоді ф-ію EMBED Equation.3 , яка визначається формулою (8), наз. щільністю розподілу ймовірностей системи неперервних в. в. EMBED Equation.3 .
Отже, за означенням, щільність розподілу системи двох випадкових величин – це границя відношення ймовірності попадання випадкової точки EMBED Equation.3 в елементарний прямокутник до площі цього прямокутника, коли останній стягується в точку.
Геометрично щільність розподілу EMBED Equation.3 можна зобразити деякою поверхнею розподілу.
EMBED Equation.3 . (9)
Використовуючи (9) EMBED Equation.3 . (10)
Властивості щільності
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Дійсно, EMBED Equation.3 є границя відношення додатних величин: ймовірності попадання випадкової точки в прямокутник до площі прямокутника .
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 . (11)
Геометрично це означає, що об’єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу EMBED Equation.3 і
площиною EMBED Equation.3 , дорівнює одиниці. Дійсно, оскільки EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 .
Одним з простих розподілів системи EMBED Equation.3 є рівномірний розподіл, щільність якого
EMBED Equation.3 . (12)
Внаслідок властивості EMBED Equation.3 щільності розподілу маємо EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - площа області EMBED Equation.3 .
Основна властивість рівномірного розподілу полягає в тому, що для нього застосовується геометричний спосіб визначення ймовірності. Так, якщо область EMBED Equation.3 міститься в EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 , (13)
де EMBED Equation.3 - площа області EMBED Equation.3 .
Дійсно, EMBED Equation.3 .
Приклад 1.
4. Щільність розподілу окремих складових системи.
Нехай відома щільність розподілу EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 . Знайти EMBED Equation.3 .
За властивістю EMBED Equation.3 функції розподілу маємо
EMBED Equation.3 .
Отже, використовуючи формулу EMBED Equation.3 , можна таким чином представити EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 (14)
5. Умовні закони розподілу.
Розподіл однієї складової системи, знайдений за умови, що інша складова системи прийняла певне числове значення, називається умовним законом розподілу. Нехай складові системи EMBED Equation.3 – д. в. В., можливі значення яких ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Припустимо, що величина EMBED Equation.3 прийняла значення EMBED Equation.3 , при цьому EMBED Equation.3 прийме одне із своїх можливих значень EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (15)
Сукупність умовних ймовірностей (15) наз. умовним розподілом складової EMBED Equation.3 за умови EMBED Equation.3 . Аналогічно визначається умовний розподіл складової EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (16) Для системи неп. в. в. вводять поняття умовних щільностей розподілу EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . За означенням EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (17)
За теоремою множення ймовірностей EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , але оскільки в. в. EMBED Equation.3 неперервна, то EMBED Equation.3 =0, і тому умовна ймов. EMBED Equation.3 не існує. Отже, праву частину (17) треба видозмінити, не змінюючи її змісту. Це можна зробити, замінивши умову EMBED Equation.3 такою: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 і спрямувавши EMBED Equation.3 . Таким чином, отримаємо таке означення умовної щільності розподілу
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (18)
Знову ж таки за теоремою множення ймовірностей
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Тому формулу (18) можна переписати
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Розділивши в останньому виразі чисельник і знаменник на EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (19)
Аналогічно одержимо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (20)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (21)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (22)
Відзначимо, що умовна щільність розподілу має такі властивості, як і безумовна, зокрема
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Використовуючи теорему множення ймов-ей, для системи двох д. в. в. умовні закони розподілу
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , (23)
6. Залежні і незалежні випадкові величини.
В. в. EMBED Equation.3 наз. незалежною від в. в. EMBED Equation.3 , якщо закон розподілу EMBED Equation.3 не залежить від того, яке значення прийняла в. в. EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (24)
Аналогічно для випадкової величини EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Якщо випадкова величина EMBED Equation.3 залежить від EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (25)
і аналогічно EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Для д. в. в. незалежність означає виконання умов хоч би для однієї пари значень EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (26)
Легко переконатися в тому, якщо EMBED Equation.3 не залежить від EMBED Equation.3 , то і EMBED Equation.3 не залежить від EMBED Equation.3 .
Дійсно, нехай EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Із співвідношення EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 отримаємо EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Ознаку незалежності випадкових величин:
Теорема. Для того, щоб н. в. в. EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 були не залеж., необхідно і досить, щоб щільність розподілу системи = добуткові щільностей розподілу її складових EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (27)
Для д. в. в. ознака незалежності має вигляд EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (28)
Приклад 2. Приклад 3.
§ 8. Числові характеристики системи випадкових величин.
1. Моменти
Початковим моментом EMBED Equation.3 порядку EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 називається мат. спод. добутку EMBED Equation.3 –го степеня в. в. EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 –го степеня випадкової величини EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (1)
Початкові моменти обчислюються за формулами EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (2)
для системи 2 д. в. в., де EMBED Equation.3
Для системи двох неперервних випадкових величин EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (3)
Найбільш вживані поч. моменти 1-ого порядку EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Це мат. спод. складових системи, вони визначають координати точки – центру розсіювання системи EMBED Equation.3 на площині EMBED Equation.3 .
Для системи двох дискретних випадкових величин EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (4)
для системи двох н. в. в. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (5)
Центральним моментом EMBED Equation.3 порядку EMBED Equation.3 системи EMBED Equation.3 наз. мат.спод. добутку EMBED Equation.3 –го степеня і EMBED Equation.3 –го степеня відповідних центрованих в. в.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (6)
Центральні моменти обчислюються за формулами
для системи двох д. в. в. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (7)
для системи двох н. в. в. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (8)
Найбільш вживані центральні моменти другого порядку EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Моменти EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
і EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
2. Момент зв’язку. Коефіцієнт кореляції.
EMBED Equation.3 наз. моментом зв’язку або кореляційним моментом (або коваріацією). Позначимо його EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (10)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (11)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для д. випадкових величин (12)
і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 для неперервних випадкових величин. (13)
Зауважимо, що EMBED Equation.3 може бути додатним або від’ємним числом.
Оскільки EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то для системи вводять кореляційну матрицю
EMBED Equation.3 , (14)
яка є симетричною матрицею.
EMBED Equation.3 (15)
Покажемо, що значення коефіцієнта кореляції лежать в межах EMBED Equation.3 . Для цього представимо коефіцієнт кореляції у вигляді математичного сподівання добутку двох нормованих величин
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (16)
Оскільки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =1, то з формули (16), враховуючи властивості математичного сподівання , маємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,
або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Тобто EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 . Об’єднавши ці нерівності, отримаємо EMBED Equation.3 . (17)
Коефіцієнт кореляції досягає граничних значень –1 і 1 тільки у випадку лінійної функціональної залежності між величинами EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 .
3.Корельованість і незалежність випадкових величин
Дві в. в. називаються некорельованими, якщо для них EMBED Equation.3 ; і корельованими, якщо EMBED Equation.3 .
Якщо в. в. EMBED Equation.3 незалежні, то вони і некорельовані, тобто їх коефіцієнт кореляції EMBED Equation.3 . Дійсно, нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 незалежні, тоді
EMBED Equation.3 .
Отже,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Кожний з 2 інтегралів =0, оскільки вони є мат. спод. центрованих в. в. Звідси EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне.
EMBED Equation.3 (18) Як ми вже знаємо, для незалежних випадкових величин EMBED Equation.3
Покажемо, що дисперсія суми двох корельованих в. в.
EMBED Equation.3 .
Дійсно, за означенням дисперсії і враховуючи (18), маємо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Приклад 1. Приклад 2.
4.Числові характеристики умовних законів розподілу.
Умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 за умови EMBED Equation.3 визначається:
для системи дискретних випадкових величин EMBED Equation.3 , (19)
або для системи н. в. в. EMBED Equation.3 . (20) EMBED Equation.3 , (21)
або EMBED Equation.3 . (22)
EMBED Equation.3 (23)
або EMBED Equation.3 . (24)
і умовних середніх квадратичних відхилень EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , (25)
EMBED Equation.3 (26) або EMBED Equation.3 (27)
Із означення умовного математичного сподівання EMBED Equation.3 (19) випливає, що із зміною значення EMBED Equation.3 буде змінюватися і значення EMBED Equation.3 . Очевидно, що ми можемо розглядати функцію EMBED Equation.3 , областю визначення якої є множина можливих значень випадкової величини EMBED Equation.3 .Така функція називається регресією EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (28)
EMBED Equation.3 - регресією EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . (29)
Лінії, які виражаються цими рівняннями, називаються лініями регресії. Ці лінії вводяться лише для неперервних в. в., бо для дискретних в. в. вони складаються з ізольованих точок площини.
5.Поняття про двовимірний нормальний розподіл
Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - нормально розподілені і незалежні випадкові величини
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Отже, на основі теореми множення щільностей маємо
EMBED Equation.3 . (30)
Якщо центр розсіювання співпадає з початком координат, тобто EMBED Equation.3 , то
EMBED Equation.3 - це канонічна форма двовимірного нормального розподілу.
Фіксованому значенню EMBED Equation.3 відповідає деяке стале значення показника степеня
EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 -const.
Звідси отримаємо рівняння EMBED Equation.3 , (31)
яке наз. рівнянням еліпса однакової щільності або еліпса розсіювання.Осі симетрії наз. головними осями розсіювання.
Нехай EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 - залежні нормально розподілені випадкові величини.Тоді
EMBED Equation.3 (32)
де EMBED Equation.3 коефіцієнт кореляції .
Рівняння EMBED Equation.3 (33)
- це рівняння еліпса з центром в точці EMBED Equation.3 , а осі симетрії утворюють з віссю EMBED Equation.3 кути, які визначаються з рівняння EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Орієнтація еліпсів розсіювання відносно коор.осей знаходиться в прямій залежності від EMBED Equation.3 . Якщо EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 некорельовані EMBED Equation.3 , то головні осі розсіювання паралельні осям координат.
Щільність розподілу для некорельованих нормальних випадкових величин
EMBED Equation.3
тобто така, як і для не залеж. нормальних в. в.. Це означає, що для нормальних в. в. поняття некорельованості і незалежності еквівалентні.
Умовні закони нормального розподілу
EMBED Equation.3 , (34)
EMBED Equation.3 . (35)
Легко бачити, що ці вирази є щільностями нормального розподілу з математичними сподіваннями
EMBED Equation.3
(36)
EMBED Equation.3
і середніми квадратичними відхиленнями EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Як видно з формул(36), лінії регресії EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 у випадку нормального розподілу є прямими лініями
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
які проходять через точку EMBED Equation.3 - центр розподілу системи. Кутові коефіцієнти прямих регресії EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 називаються коефіцієнтами лінійної регресії EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 відповідно.
§9.Числові характеристики функції випадкових величин
1. Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини.
EMBED Equation.3 (1)
Нехай EMBED Equation.3 дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу
де EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ); EMBED Equation.3 , тоді і функція EMBED Equation.3 теж дискретна випадкова величина.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2)
EMBED Equation.3 (3)
Якщо EMBED Equation.3 - н.в. в., то і функція EMBED Equation.3 теж н. в.а в., і мат. спод. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4)
якщо інтеграл (4) збіг-ся, а EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (5)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Приклад 1. Приклад 2.
1.1. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції.
Нехай EMBED Equation.3 , (6)
де EMBED Equation.3 – невипадкові величини, причому відомі EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Враховуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (7)
тобто математичне сподівання лінійної функції є лінійною функцією математичного сподівання її аргументу, а дисперсія
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (8)
1.2. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох величин:
випадкової EMBED Equation.3 і невипадкової EMBED Equation.3 .
Випадкова величина EMBED Equation.3 як мінімальна із двох величин зв'язана з EMBED Equation.3 залежністю
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (9)
Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію.
Нехай EMBED Equation.3 - н. в. в., щільність розподілу якої EMBED Equation.3 . За формулою (4) знайдемо мат. сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (10)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (11)
Нехай EMBED Equation.3 - д.в.в., яка приймає значення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 з відповідними ймов-и EMBED Equation.3 .
За формулою (2) знайдемо математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (12)
де EMBED Equation.3 - номер максимального з можливих значень в. в. EMBED Equation.3 , яке не більше EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (13
Приклад 1. Приклад 2.
1.3. Мат. спод. і дисперсія максимальної із двох величин: випадкової EMBED Equation.3 і невипадкової EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (14)
Нехай EMBED Equation.3 - н. в. в., щільність .розподілу якої EMBED Equation.3 .За формулою (4) знайдемо мат.сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (15)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (16)
1.4. Математичне сподівання і дисперсія модуля функції випадкової величини.
Нехай EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (17)
де EMBED Equation.3 - неперервна випадкова в. , щільність якої EMBED Equation.3 . За формулою (4) математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 . (18)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (19)
2. Математичне сподівання і дисперсія функції двох випадкових аргументів
EMBED Equation.3 (20)
Нехай EMBED Equation.3 -сис. д.в.в., задана табл. розподілу EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 (21)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 початковий момент другого порядку. (22)
Якщо EMBED Equation.3 - система н. в. в., щільність розподілу якої EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 (23)
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 початковий момент другого порядку (24)
Запишемо числові характеристики функції EMBED Equation.3 в дещо іншому вигляді. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (25)
Тоді формула (23) може бути записана у вигляді
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (26)
Внутр. інтеграл EMBED Equation.3 - це умовне мат. спод. EMBED Equation.3 , знайдене за умови, що EMBED Equation.3 прийняла значення EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (27)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (28)
Формула (28) називається інтегральною формулою повного математичного сподівання.
За формулою, аналогічною формулі (27), можна знайти умовний поч. момент другого порядку
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (29)
тоді EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (30)
Дисперсія EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3
де величини EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 обчислюються за формулами (30) і (28) відповідно.
2.1. Математичне сподівання і дисперсія суми двох випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 . (31)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (32)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 (33)
2.2. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції двох випадкових величин
Нехай EMBED Equation.3 , (34)
де EMBED Equation.3 - невипадкові величини.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (35)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 (36)
2.3. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (37)
де EMBED Equation.3 - незалежні н. в. в. із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .Розглянемо гіпотезу, що випадкова величина EMBED Equation.3 попала в інтервал EMBED Equation.3 , ймовірність цієї гіпотези EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . За формулою (10)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
за (28) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (38)
За (30) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (39)
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 розподілені однаково, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -2 EMBED Equation.3 (40)
EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 -2 EMBED Equation.3 (41)
Приклад5.
2.4. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох випадкових величин
Нехай EMBED Equation.3 (42)
де EMBED Equation.3 - незалежні н. в. в. із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .Міркуючи аналогічно, як в п.2.3. і використовуючи формули (15) і (16), отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (43)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (44)
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 розподілені однаково, то
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 (45)
EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 (46)
Приклад6.
2.5. Математичне сподівання і дисперсія модуля різниці випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 , (47)
де EMBED Equation.3 - незалежні н. в. в. із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Розглянемо гіпотезу, що в. в. EMBED Equation.3 попала в інтервал EMBED Equation.3 , ймовірність цієї гіпотези EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Умовне мат. спод. в. в. EMBED Equation.3 при цій гіпотезі було знайдено в п.1.4 формула (18), в якій замінимо EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 .
За (28) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (48)
Оскільки величини EMBED Equation.3 симетричні, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Тоді EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (49)
Знову ж таки в силу симетрії EMBED Equation.3 формулу (49) можна записати таким чином
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (50)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 і випадкові велични EMBED Equation.3 незалежні, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ]= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (51)
§10. Закон розподілу функції випадкових величин
1.Закон розподілу функції випадкової величини.
EMBED Equation.3 (2)
Нехай: – X – д в в, задана рядом розподілу Тоді EMBED Equation.3 – теж д в в
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ..., EMBED Equation.3 .
Тут розрізняють два випадки: а) коли всі значення EMBED Equation.3 різні (функція EMBED Equation.3 монотонна),
б) коли серед EM...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора