Розділ IV. Чисельне інтегрування. Теорія з Інші. Робота № 500923

Розділ IV. Чисельне інтегрування

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Інші

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2025

Тип роботи:

Теорія

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Розділ IV. Чисельне інтегрування §1. Наближене обчислення інтегралів. Інтерполяційні квадратурні формули Нехай потрібно обчислити інтеграл EMBED Equation.3 (1) де EMBED Equation.3 – задана інтегровна на EMBED Equation.3 вагова функція, EMBED Equation.3 – задана достатньо гладка на EMBED Equation.3 функція. Для наближеного обчислення (1) будемо розглядати формули вигляду EMBED Equation.3 (2) які називаються квадратурними формулами. Числа EMBED Equation.3 називають вузлами квадратурної формули, а числа EMBED Equation.3 – коефіцієнтами, або ваговими коефіцієнтами. Величина EMBED Equation.3 називається залишковим членом, або похибкою квадратурної формули. Якщо залишковий член квадратурної формули дорівнює нулю для будь-якого многочлена не вище EMBED Equation.3 -го степеня, то кажуть, що квадратурна формула має алгебраїчну степінь точності EMBED Equation.3 . Якщо функцію EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 замінити інтерполяційним поліномом Лагранжа EMBED Equation.3 то одержимо квадратурну формулу інтерполяційного типу. У цьому випадку EMBED Equation.3 . (3) Очевидно, що алгебраїчна степінь точності квадратурної формули інтерполяційного типу (2) з ваговими коефіцієнтами (3) є щонайменше EMBED Equation.3 . Дійсно, якщо EMBED Equation.3 – многочлен степеня EMBED Equation.3 , то його можна записати у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа, а тому EMBED Equation.3 . Дамо оцінку похибки квадратурної формули інтерполяційного типу. Запишемо функцію EMBED Equation.3 у вигляді EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – похибка інтерполяції. Тоді EMBED Equation.3 Отже, залишковий член EMBED Equation.3 квадратурної формули інтерполяційного типу дорівнює EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 . Звідси, якщо EMBED Equation.3 , то для залишкового члена квадратурної форми інтерполяційного типу справджується оцінка EMBED Equation.3 (4) §2. Квадратурні формули Ньютона – Котеса Якщо у квадратурній формулі (2) з ваговими коефіцієнтами (3) для інтегралів (1) з EMBED Equation.3 вузли рівновіддалені, тобто EMBED Equation.3 то така формула називається квадратурною формулою Ньютона-Котеса. У формулах Ньютона-Котеса крок EMBED Equation.3 . Тоді квадратурна формула (2), (3) буде мати вигляд EMBED Equation.3 (1) де EMBED Equation.3 Зробимо заміну змінних EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, EMBED Equation.3 Позначимо EMBED Equation.3 , (2) тоді EMBED Equation.3 . (3) Коефіцієнти EMBED Equation.3 не залежать від проміжку інтегрування EMBED Equation.3 і можуть бути обчислені один раз. Оцінка залишкового члена квадратурних формул Ньютона-Котеса має вигляд EMBED Equation.3 (4) На практиці використовують часткові випадки формул Ньютона – Котеса при невеликих EMBED Equation.3 , оскільки при великих EMBED Equation.3 деякі коефіцієнти EMBED Equation.3 стають від’ємними, що призводить до великих похибок заокруглень. Розглянемо детальніше формули Ньютона-Котеса. Нехай EMBED Equation.3 , тобто підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним многочленом нульового степеня EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 . Ця формула називається формулою лівих прямокутників. Якщо EMBED Equation.3 , то одержимо формулу правих прямокутників EMBED Equation.3 . А при EMBED Equation.3 будемо мати формулу середніх прямокутників (див. рис.1) EMBED Equation.3 INCLUDEPICTURE "../RIS1.jpg" \* MERGEFORMATINET Оцінка залишкового члена (4) при EMBED Equation.3 (тобто для формули лівих прямокутників) буде мати вигляд EMBED Equation.3 Ця оцінка не зміниться, якщо EMBED Equation.3 . Застосуємо (4) до формули середніх прямокутників EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Якщо від підінтегральної функції EMBED Equation.3 існує неперервна друга похідна EMBED Equation.3 , то для формули середніх прямокутників можна одержати іншу оцінку точності. Для цього розкладемо EMBED Equation.3 в ряд Тейлора в околі т. EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 Покладемо в (3) EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Підставимо коефіцієнти EMBED Equation.3 у (1), тоді одержимо формулу трапецій (див. рис.2) EMBED Equation.3 . INCLUDEPICTURE "../RIS2.jpg" \* MERGEFORMATINET з оцінкою залишкового члена EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Нехай EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Отже, одержимо формулу EMBED Equation.3 яка називається формулою Сімпсона (парабол) (див. рис.3). Якщо припустити, що існує INCLUDEPICTURE "../RIS3.jpg" \* MERGEFORMATINET неперервна четверта похідна від підінтегральної функції EMBED Equation.3 , то аналогічно як для формули середніх прямокутників можна показати, що: EMBED Equation.3 В усі отримані оцінки похибок входять степені довжини відрізка EMBED Equation.3 . Якщо ця довжина не буде малою, то, взагалі кажучи, не будуть малими ці оцінки. Однак на практиці будемо застосовувати квадратурні формули тільки на досить малих відрізках, які одержуються в результаті розбиття даного відрізка EMBED Equation.3 . Розбиваючи EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 рівних частин довжини EMBED Equation.3 , матимемо EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 . Якщо тепер на кожному з відрізків EMBED Equation.3 застосувати формулу лівих прямокутників, то одержимо складену формулу лівих прямокутник EMBED Equation.3 з оцінкою залишкового члена EMBED Equation.3 . Застосовуючи до кожної частини відрізка EMBED Equation.3 відповідну формулу, отримаємо складені формули середніх прямокутників і трапецій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 Поклавши EMBED Equation.3 , маємо складену формулу Сімпсона (парабол) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 Приклад 1. Застосуйте формулу трапецій для обчислення інтеграла від функції EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 , порівняйте фактичну похибку з оцінкою залишкового члена. Розв’язування. Обчислимо точне значення інтеграла та наближене за формулою трапецій EMBED Equation.3 . Знайдемо фактичну похибку EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 , то оцінка залишкового члена EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 , тобто фактична похибка менша за оцінку залишкового члена. Приклад 2. Яким повинен бути крок EMBED Equation.3 при використанні складеної формули середніх прямокутників при обчисленні інтеграла від функції EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 , щоб похибка не перевищувала EMBED Equation.3 ? Розв’язування. Використовуючи оцінку залишкового члена складеної формули середніх прямокутників будемо мати EMBED Equation.3 . Звідси EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 §3. Квадратурні формули Гаусса Алгебраїчна степінь точності формул Ньютона-Котеса з EMBED Equation.3 вузлами у загальному випадку є EMBED Equation.3 . Виявляється, що за рахунок вибору вузлів можна одержати квадратурні формули, які будуть точними для многочленів степеня вище EMBED Equation.3 . Нехай квадратурна формула EMBED Equation.3 (1) де EMBED Equation.3 – вагова функція така, що EMBED Equation.3 , є формулою інтерполяційного типу, тобто EMBED Equation.3 (2) Покажемо, що існують формули вигляду (1), для яких залишковий член EMBED Equation.3 дорівнює нулю на будь-яких многочленах степеня степеня EMBED Equation.3 . Такі квадратурні формули називатимемо формулами найвищого алгебраїчного степеня точності. Нехай EMBED Equation.3 – система ортогональних з вагою EMBED Equation.3 многочленів на EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 Тоді справджується таке твердження. Теорема 1. Для того щоб квадратурна формула (1) з коефіцієнтами (2) була квадратурною формулою найвищого алгебраїчного степеня точності, необхідно і достатньо, щоб вузли EMBED Equation.3 збігалися з нулями многочленів EMBED Equation.3 , причому така квадратурна формула єдина. Доведення. Необхідність. Нехай (1) є квадратурною формулою найвищого алгебраїчного степеня точності, тобто її залишковий член рівний нулю на будь якому многочлені степеня не вище EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 , (3) де EMBED Equation.3 – многочлен степеня EMBED Equation.3 . Тобто многочлен EMBED Equation.3 ортогональний до всіх многочленів степеня не вище EMBED Equation.3 . Звідси випливає, що EMBED Equation.3 збігаються з нулями ортогональних многочленів, тобто EMBED Equation.3 Достатність. Нехай вузли EMBED Equation.3 збігаються з нулями многочленів EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – коефіцієнт при EMBED Equation.3 у многочлені EMBED Equation.3 . Покажемо, що EMBED Equation.3 для будь-якого многочлена степеня не вище EMBED Equation.3 . Дійсно EMBED Equation.3 , (4) де EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – многочлени степеня не вище EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 (5) Оскільки з (4) випливає, що EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 – інтерполяційний многочлен функції EMBED Equation.3 . Але формула (1) є формулою інтерполяційного типу, яка точна для многочленів степеня EMBED Equation.3 , отже EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 – будь-який многочлен степеня не вище EMBED Equation.3 . Єдиність квадратурної формули найвищого алгебраїчного степеня точності випливає з єдиності з точністю до сталих, систем многочленів EMBED Equation.3 ортогональних з вагою EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 . Квадратурна формула (1) з коефіцієнтами (2), яка має найвищий алгебраїчний степінь точності, називається ще формулою Гаусса. Вагові коефіцієнти EMBED Equation.3 в (1), (2) часто називають коефіцієнтами Крістофеля. Можна показати, що EMBED Equation.3 – це найвища степінь точності формули Гаусса, тобто, що існує многочлен степеня EMBED Equation.3 , для якого ця формула не є точною. Дійсно, покладемо в (1) EMBED Equation.3 . Тоді EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 Доведемо тепер, що при будь-якому EMBED Equation.3 коефіцієнти EMBED Equation.3 формули Гаусса додатні. Розглянемо многочлени EMBED Equation.3 степеня EMBED Equation.3 , для яких EMBED Equation.3 . Оскільки для цих многочленів формула Гаусса точна, то справджується рівність EMBED Equation.3 Властивість додатності коефіцієнтів важлива для стійкості обчислень і дозволяє використовувати формули з великим числом вузлів EMBED Equation.3 . На практиці використовують формули Гаусса з числом вузлів до 100. Можна показати, що для залишкового члена формули Гаусса справджується зображення EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 а, отже, і оцінка EMBED Equation.3 Таким чином, для побудови квадратурної формули найвищого алгебраїчного степеня точності необхідно побудувати відповідну систему ортогональних многочленів і знайти їх корені. Для вагових функцій EMBED Equation.3 , пов’язаних з класичними ортогональними многочленами є таблиці вагових коефіцієнтів і абсцис відповідних квадратурних формул Гаусса. Розглянемо інтеграл EMBED Equation.3 Зробимо заміну EMBED Equation.3 Тоді EMBED Equation.3 Як відомо, ортогональну систему на EMBED Equation.3 з вагою EMBED Equation.3 утворюють многочлени Лежандра, які можна знайти, наприклад, з рекурентного співвідношення EMBED Equation.3 (6) Нехай необхідно обчислити інтеграл EMBED Equation.3 з ваговою функцією EMBED Equation.3 Ортогональними з такою вагою є многочлени Чебишева 1-го роду EMBED Equation.3 Тому вузли квадратурної формули знаходять з рівнянь EMBED Equation.3 . Звідки EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 Приклад 3. Побудувати квадратурну формулу Гаусса з двома вузлами для інтегралів вигляду EMBED Equation.3 Розв’язування. Зробимо заміну EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 . Шукана квадратурна формула буде мати вигляд EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 – нулі многочлена EMBED Equation.3 другого степеня із системи ортогональних на EMBED Equation.3 з вагою EMBED Equation.3 многочленів Лежандра EMBED Equation.3 , які можна знайти з рекурентного співвідношення (6): EMBED Equation.3 . Таким чином, EMBED Equation.3 і є вузлами квадратурної формули. Тоді згідно з формулою (2) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Отже, формула Гаусса буде мати вигляд EMBED Equation.3 . Ця формула є квадратурною формулою алгебраїчного степеня точності 3. §4. Практична оцінка похибки квадратурних формул Нехай необхідно обчислити інтеграл EMBED Equation.3 (1) за допомогою деякої квадратурної формули EMBED Equation.3 . Припустимо EMBED Equation.3 , тоді можна показати, що EMBED Equation.3 , (2) де EMBED Equation.3 не залежить від EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 для формули середніх прямокутників і трапецій і EMBED Equation.3 для формули Сімпсона. Величина EMBED Equation.3 називається головною частиною похибки квадратурної формули. Проведемо обчислення за квадратуною формулою з кроками EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Тоді справджується формула (2) і EMBED Equation.3 , (3) Віднімемо (3) з (2), тоді одержимо EMBED Equation.3 . Звідси для похибки квадратурної формули при достатньо малих EMBED Equation.3 виконується наближена рівність EMBED Equation.3 . (4) Отже, використання квадратурної формули з кроками EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 дозволяє оцінити головний член похибки EMBED Equation.3 . Зокрема, якщо вибрати EMBED Equation.3 , тоді для формули середніх прямокутників і трапеції маємо оцінку похибки EMBED Equation.3 , а для формули Сімпсона EMBED Equation.3 . Можна виключити знайдену похибку (4) з формули (2) і одержати результат з вищою точністю EMBED Equation.3 , а саме з похибкою EMBED Equation.3 . §5. Найближене обчислення невластивих інтегралів Нехай необхідно обчислити інтеграл EMBED Equation.3, (1) де функція EMBED Equation.3 неперервна при EMBED Equation.3. За допомогою заміни змінних EMBED Equation.3 півпряма EMBED Equation.3 перетворюється у відрізок EMBED Equation.3 . Якщо після перетворення підінтегральна функція разом з деяким числом похідних залишається обмеженою, то можна застосувати відомі квадратурні формули. Другий спосіб обчислення інтеграла (1) полягає в заміні цього інтеграла інтегралом вигляду EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 настільки велике, щоб інтеграл EMBED Equation.3 був менший за допустиму похибку обчислень. Ще одним способом обчислення є його приведення до вигляду EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 та використання формули Гаусса. Нехай тепер необхідно обчислити інтеграл EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 перетворюється у безмежність в деякій точці відрізка EMBED Equation.3 . Будемо припускати, що в околі особливої точки EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 –особлива точка, EMBED Equation.3 . Розглянемо методи обчислення інтеграла на окремому відрізку, де особливими точками є тільки одна або обидві границі інтеграла. Перший спосіб–метод аддитивного виділення особливостей. Розіб’ємо підінтегральну функцію на суму EMBED Equation.3, де EMBED Equation.3 обмежена функція, а EMBED Equation.3 інтегрується аналітичними методами. Тоді EMBED Equation.3 обчислюється точно, а EMBED Equation.3 за допомогою квадратурних формул. Другий спосіб мультиплікативне виділення особливостей. Підінтегральну функцію педставимо у вигляді EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 обежена, а EMBED Equation.3 додатна і інтегровна на відрізку EMBED Equation.3 . Тоді можна розглядати EMBED Equation.3 , як вагову функцію і застосувати квадратурну формулу Гаусса. Контрольні завдання 1. Покажіть, що формула трапецій точно інтегрує будь-яку лінійну функцію, а формула Сімпсона точно інтегрує будь-який кубічний многочлен. 2. Застосуйте формулу середніх прямокутників та Сіпсона для обчислення інтеграла від функції EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 , порівняйте фактичну похибку з оцінкою залишкового члена. 3. Яким повинен бути крок EMBED Equation.3 при використанні складених формул трапецій (Сімпсона) при обчисленні інтеграла від функції EMBED Equation.3 на відрізку EMBED Equation.3 , щоб похибка не перевищувала EMBED Equation.3 ? 4. Виберіть крок чисельного інтегрування так, щоб при обчисленні інтеграла від функції EMBED Equation.3 за допомогою складеної формули трапецій (Сімпсона) отримати точність EMBED Equation.3 . 5. Доведіть, що для коефіцієнтів інтерполяційної квадратурної формули справджується рівність EMBED Equation.3 . 6. Вивести квадратурну формулу Ньютона–Котеса, яка має 4 вузли.

Теорія Інші

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись