Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів . Теорія з Інші. Робота № 500938

Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Інші

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2025

Тип роботи:

Теорія

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови: 1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений; 2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним. Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ та b = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами. Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку EMBED Equation.3 називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування. 1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду). Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя EMBED Equation.3 (51) її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так: EMBED Equation.3 (52) Таким чином, за означенням EMBED Equation.3 (53) У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +∞). Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞). Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]: EMBED Equation.3 (54) Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю EMBED Equation.3 (55) де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с. З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування. Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12). рис. 7.12 Приклад. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: а) EMBED Equation.3 б) EMBED Equation.3 в) EMBED Equation.3 д) EMBED Equation.3 а) За формулою (53) маємо EMBED Equation.3 Отже інтеграл а) збігається. б) EMBED Equation.3 Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний. в) EMBED Equation.3 Отже інтеграл в) розбіжний, г) Якщо EMBED Equation.3 = 1, то EMBED Equation.3 Якщо EMBED Equation.3 ≠ 1, то EMBED Equation.3 Отже інтеграл г) є збіжним при EMBED Equation.3 > 1 і розбіжним при EMBED Equation.3 ≤ 1. У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності. Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то із збіжності інтеграла EMBED Equation.3 (56) випливає збіжність інтеграла EMBED Equation.3 (57) а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56). Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина. Приклад Дослідити на збіжність інтеграли: а) EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 а) Оскільки EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 і інтеграл EMBED Equation.3 збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається. б) Цей інтеграл розбігається, бо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 і інтеграл EMBED Equation.3 розбігається. Теорема 2. Якщо існує границя EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються. Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0  f(x) ≤ g(х). Приклад Дослідити на збіжність інтеграл EMBED Equation.3 Оскільки інтеграл EMBED Equation.3 збігається і EMBED Equation.3 то заданий інтеграл також збігається. В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема. Теорема 3. Якщо інтеграл EMBED Equation.3 збігається, то збігається й інтеграл EMBED Equation.3 . Приклад Дослідити на збіжність інтеграл EMBED Equation.3 . Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки EMBED Equation.3 то заданий інтеграл збігається. Слід зауважити, що із збіжності інтеграла EMBED Equation.3 не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла EMBED Equation.3 . Ця обставина виправдовує такі означення. Якщо разом з інтегралом EMBED Equation.3 збігається й інтеграл EMBED Equation.3 , то інтеграл EMBED Equation.3 називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞). Якщо інтеграл EMBED Equation.3 збігається, а інтеграл EMBED Equation.3 розбігається, то інтеграл EMBED Equation.3 називають умовно (або неабсолютно) збіжним. Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається . Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II]. Приклад Дослідити на збіжність інтеграл EMBED Equation.3 Оскільки EMBED Equation.3 то за теоремою 3 інтеграл EMBED Equation.3 збігається. Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = EMBED Equation.3 на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною. 2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду). Нехай функція f(x) визначена на проміжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b — EMBED Equation.3 ] при довільному EMBED Equation.3 > 0 такому, що b - EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 ; тоді, якщо існує скінченна границя EMBED Equation.3 (58) її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так: EMBED Equation.3 (59) Отже, за означенням EMBED Equation.3 У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним. Аналогічно якщо х = EMBED Equation.3 — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так: EMBED Equation.3 Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 за означенням покладають (рис. 7.16). EMBED Equation.3 Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 за означенням покладають EMBED Equation.3 де с — довільна точка інтервалу (а; b). Приклад Обчислити невласні інтеграли: а) EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3 а) EMBED Equation.3 Отже, інтеграл а) збіжний. б) Якщо EMBED Equation.3  1, то EMBED Equation.3 Якщо EMBED Equation.3 = 1, то EMBED Equation.3 Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < EMBED Equation.3 < 1 і розбігається при EMBED Equation.3  1. Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою EMBED Equation.3 (91) Можна довести, що для всіх EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (0, +∞) і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл EMBED Equation.3 , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною. Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл EMBED Equation.3 (92) Покажемо, що невласний інтеграл (92) при EMBED Equation.3 > 0 збігається. Маємо EMBED Equation.3 Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо EMBED Equation.3 Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n > EMBED Equation.3 — 1, то EMBED Equation.3 , в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що EMBED Equation.3 Отже, інтеграл (92) при EMBED Equation.3 > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г( EMBED Equation.3 ). Обчислимо значення Г( EMBED Equation.3 ) при а EMBED Equation.3 N. Якщо EMBED Equation.3 = 1, то EMBED Equation.3 (93) Нехай n + 1 EMBED Equation.3 інтегруючи частинами, дістанемо EMBED Equation.3 звідки Г(n +1) = nГ(n) (94) З рівностей (93) і (94) випливає, що EMBED Equation.3 n EMBED Equation.3 N: Г(n +1) = n! Таким чином, гамма-функція для цілих значень n EMBED Equation.3 N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19]. Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції: EMBED Equation.3 де EMBED Equation.3 > 0 і 0 < EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) < 1. Якщо в цій рівності покласти EMBED Equation.3 = n і помножити її на n, дістанемо EMBED Equation.3 (95) Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням EMBED Equation.3 (96) Приклади 1. Знайти Г EMBED Equation.3 Згідно з формулою (96), при EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 маємо EMBED Equation.3 отже, Г EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 2. Обчислити інтеграл Ейлера — Пуассона EMBED Equation.3 Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо EMBED Equation.3 3. Виразити інтеграл EMBED Equation.3 через бета-функцію наближено при EMBED Equation.3 = 3, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Маємо EMBED Equation.3 Зокрема, при EMBED Equation.3 = 3 і EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 згідно з формулою (96) дістанемо EMBED Equation.3 Завдання для самоконтролю Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра? Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра. 3. Дати означення гамма-функції Г( EMBED Equation.3 ). Довести, що Г(n +1) = n!, n EMBED Equation.3 N. Дати означення бета-функції В( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ). Як пов'язані між собою бета- та гамма-функції? Довести, що EMBED Equation.3 Вказівка. Скористатись підстановкою sin x = EMBED Equation.3 .

Теорія Інші

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись