РОЗДІЛ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ. Лекція з Фізика. Робота № 501116

РОЗДІЛ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Лекція

Предмет:

Фізика

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

РОЗДІЛ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ Коливання – це рухи або процеси, які повторюються у часі. Залежно від фізичної природи коливання поділяються на: механічні, електричні, електромеханічні, електромагнітні, акустичні. Залежно від зовнішньої дії коливання можуть бути: вільними – здійснюються за рахунок енерґії, що була початково надана системі, вимушеними – здійснюються за рахунок енерґії, яку система одержує в процесі руху 3.1. Характеристики гармонічних коливань Коливання називаються гармонічними якщо величина, що коливається, змінюється в часі за косинусоїдальним (синусоїдальним) законом: EMBED Equation.3 φ0); (3.1) швидкість: EMBED Equation.3 φ0) EMBED Equation.3 φ0) (3.1а) прискорення: EMBED Equation.3 φ0) EMBED Equation.3 φ0) (3.1б) x – зміщення – відхилення тіла від положення рівноваги; А – амплітуда коливань – найбільше відхилення тіла від положення рівноваги; φ EMBED Equation.3 φ0)  фаза коливань, визначає положення тіла у момент часу t; φ0  початкова фаза коливань, визначає положення тіла у момент часу t=0; EMBED Equation.3  власна циклічна частота; Т – період – час здійснення одного повного коливання. Зв’язок між періодом і власною циклічною частотою коливань має вигляд: EMBED Equation.3 (3.2) 3.2. Пружинний маятник Пружинний маятник – це тверде тіло, підвішене на абсолютно пружній невагомій пружині, яке під дією пружної сили може здійснювати гармонічні коливання . Якщо тіло висить нерухомо (рис.1Б), то пружина видовжена на xст (статичний розтяг) порівняно з ненавантаженою пружиною (рис.1А), а умова рівноваги тіла запишеться у вигляді: EMBED Equation.3 , (3.3) EMBED PBrush де - kxст =Fст ( k – коефіцієнт жорсткості пружини). Якщо тіло вивести з положення рівноваги (рис.1В), то на нього буде діяти додатково сила пружності: EMBED Equation.3 (3.4) і другий закон Ньютона запишеться у вигляді: EMBED Equation.3 (3.5) Врахувавши (3.3), рівняння (3.5) подамо у вигляді: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 (3.6) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3  0, тому можна представити EMBED Equation.3 (3.7) З врахуванням (3.7) рівняння (3.6) прийме вигляд: EMBED Equation.3 (3.8) Розв’язок (3.8) є рівнянням гармонічних коливань: EMBED Equation.3 φ0) (3.9) Період коливань визначаються масою тіла і жорсткістю пружини: EMBED Equation.3 (3.10) 3.3. Фізичний маятник EMBED PBrush Фізичний маятник - це тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут  виникає обертальний момент (рис.2): EMBED Equation.3 , (3.11) де EMBED Equation.3  складова сили тяжіння яка повертає маятник у положення рівноваги. Використавши рівняння динаміки обертального руху твердого тіла: EMBED Equation.3 , (3.12) де J0 – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку О; EMBED Equation.3  кутове прискорення маятника EMBED Equation.3 , (3.13) одержимо: EMBED Equation.3 (3.14) або: EMBED Equation.3 (3.15) Позначивши: EMBED Equation.3 (3.16) одержуємо диференціальне рівняння коливань маятника: EMBED Equation.3 (3.17) Якщо кут відхилення EMBED Equation.3 малий ( EMBED Equation.3 ), то EMBED Equation.3 ; рівняння (3.17) набуде вигляду: EMBED Equation.3 (3.18) і його розв’язком є рівняння гармонічних коливань: EMBED Equation.3 φ0) (3.19) де EMBED Equation.3 - максимальний кут відхилення; Період коливань фізичного маятника: EMBED Equation.3 (3.20) Позначимо: EMBED Equation.3 , тоді EMBED Equation.3 (3.21) Зведена довжина фізичного маятника Lзв – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань даного фізичного маятника. Оборотний маятник – це фізичний маятник, який має дві осі обертання, паралельні одна одній (О та О’ ). Ці осі знаходяться на віддалі Lзв. Точка О’називається центром гойдання. Точка підвісу О і центр гойдання О’ мають властивість взаємозамінності: при перенесенні точки підвісу у центр гойдання О’ попередня точка підвісу О стане новим центром гойдання. Період коливань при цьому не зміниться. 3.4. Математичний маятник Математичний маятник – це підвішена на невагомій нерозтяжній нитці матеріальна точка, яка під дією сили тяжіння може здійснювати періодичні коливання. Математичний маятник можна розглядати як частинний випадок фізичного маятника, вся маса якого зосереджена в одній точці – центрі мас. Період коливань математичного маятника: EMBED Equation.3 ( 3.22) де L – довжина нитки. Коливання математичного маятника, як і фізичного, є гармонічними лише при малих кутах відхилення. 3.5. Крутильний маятник Крутильний маятник – це тверде тіло, закріплене на жорсткій підвісці, яке може здійснювати крутильні коливання під дією сил пружності деформації кручення підвіски . При закручуванні маятника на кут EMBED Equation.3 виникає момент пружної сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги M = - f EMBED Equation.3 (3.23) EMBED PBrush де f  модуль кручення дротини, який залежить від розмірів і пружних властивостей матеріалу дротини. Оскільки після закручування маятник буде здійснювати обертальний рух навколо своєї вертикальної осі, яка проходить через точку підвісу вздовж дротини, то: EMBED Equation.3 M = J EMBED Equation.3 (3.24) де J– момент інерції маятника відносно осі закручування. Врахувавши (3.13), (3.23), рівняння (3.24) запишемо у вигляді: EMBED Equation.3 (3.25) або: EMBED Equation.3 (3.26) Ввівши позначення : EMBED Equation.3 , (3.27) отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань крутильного маятника: EMBED Equation.3 (3.28) Розв’язком (3.28) є рівняння гармонічних коливань: EMBED Equation.3 φ0) (3.29) Період коливань крутильного маятника: EMBED Equation.3 (3.30) 3.6. Згасаючі коливання Реальні механічні коливання здійснюються при наявності сил опору середовища. Тому механічна енерґія коливної системи з часом зменшується, а самі коливання загасають. Сила опору середовища переважно пропорційна швидкості руху тіла, що здійснює коливання: EMBED Equation.3 , (3.31) де r – коефіцієнт опору середовища, знак ( - ) вказує на протилежний напрям сили опору і швидкості руху. Нехай тіло масою m під дією пружної сили kx і сили опору EMBED Equation.3 здійснює коливання вздовж осі OX. Рівняння руху такого тіла: EMBED Equation.3 (3.32) або: EMBED Equation.3 (3.33) Позначивши: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3  коефіцієнт загасання, запишемо диференціальне рівняння згасаючих коливань: EMBED Equation.3 (3.34) Якщо EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 , розв’язком (3.34) є рівняння: EMBED Equation.3 φ0), (3.35) яке описує гармонічні коливання з циклічною частотою EMBED Equation.3 і змінною у часі амплітудою EMBED Equation.3 при початко- вій амплітуді А0 (рис.4) Період згасаючих коливань: EMBED Equation.3 (3.36) EMBED PBrush Декрементом загасання D називається відношення амплітуд двох послідовних коливань: EMBED Equation.3 (3.37) Лоґарифмічним декрементом загасання називається фізична величина: EMBED Equation.3 (3.38) Часом релаксації коливальної системи EMBED Equation.3 називається проміжок часу протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів (е – основа натурального лоґарифму) Коефіцієнтом загасання називається фізична величина, обернена до часу релаксації: EMBED Equation.3 (3.39) Nе – число коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів, так що EMBED Equation.3 = NеT. EMBED Equation.3= EMBED Equation.3 Т = EMBED Equation.3 (3.40) Отже лоґарифмічний декремент загасання  це фізична величина, обернена до числа коливань Ne, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів. Добротністю системи називається фізична величина: EMBED Equation.3 , (3.41) де Е – енерґія системи у даний момент часу; EMBED Equation.3 E – енерґія, втрачена протягом одного періоду. Отже добротність системи тим більша, чим менші втрати енерґії системи EMBED Equation.3 E. Можна показати, що: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 Ne (3.42) 3.7. Механічні хвилі Хвиля – це процес поширення коливань у просторі. При поширенні хвилі частинки середовища не втягуються у поступальний рух, а лише коливаються навколо положень рівноваги. При цьому частинки обмінюються енерґією. Тому хвилі переносять енерґію без перенесення речовини. Механічні (пружні) хвилі  це процес поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі бувають поздовжніми і поперечними. У випадку поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Поперечні хвилі поширюються у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто в твердих тілах. Поперечна хвиля може поширюватися також на поверхні рідини. Швидкість поширення поперечної хвилі: EMBED Equation.3 (3.43) де G – модуль зсуву, EMBED Equation.3  густина середовища. У випадку поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються у напрямі поширення хвилі. Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, де виникають пружні сили при деформаціях стиску (розтягу), тобто у твердих тілах, рідинах і газах. Швидкість поширення поздовжньої хвилі: EMBED Equation.3 (3.44) де Е – модуль Юнґа, EMBED Equation.3  густина середовища. Для опису хвиль поряд з такими характеристиками, як амплітуда, період, частота, фаза використовують поняття: хвильовий фронт – ґеометричне місце точок середовища, до яких доходять коливання в даний момент часу; хвильова поверхня – ґеометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі. За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі, сферичні і інші хвилі; промінь –лінія, перпендикулярна до хвильової поверхні; довжина хвилі (EMBED Equation.3) – найменша відстань між двома точками середовища у напрямі, перпендикулярному до напряму поширення, які коливаються в однаковій фазі; швидкість хвилі (u) – швидкість поширення постійної фази хвилі; хвильове число  EMBED Equation.3 Довжина хвилі, швидкість, період і частота  зв’язані співвідношеннями: EMBED Equation.3= uT u = EMBED Equation.3 ν Плоска біжуча хвиля Хвилі, які переносять у просторі енерґію, називаються біжучими. Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі OX, то зміщення з положення рівноваги EMBED Equation.3 частинок, що коливаються, залежить від їхніх координат x та часу t, тобто EMBED Equation.3 . EMBED PBrush Частинка В знаходиться на відстані x від джерела коливань О (рис.5) . Якщо коливання частинок, які лежать в площині x=0, описуються функцією EMBED Equation.3 , то частинка В коливатиметься за таким же законом, але її коливання будуть запізнюватися у часі порівняно з коливаннями джерела на EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Тому рівняння біжучої хвилі має вигляд: EMBED Equation.3 (3.45) Якщо плоска хвиля поширюється у протилежному напрямі, то: EMBED Equation.3 (3.46) У загальному випадку: EMBED Equation.3 [ EMBED Equation.3 φ0] (3.47) Враховуючи : EMBED Equation.3 , надамо рівнянню плоскої хвилі вигляду: EMBED Equation.3 φ0) (3.48) Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі. Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 φ  (φ1 – φ2) Інтерференція – це явище перерозподілу енергії хвиль в просторі з утворенням стійких в часі областей максимуму і мінімуму енерґії, яке відбувається в результаті накладання когерентних хвиль. Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль. Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 φ EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 Рівняння вказаних хвиль відповідно мають вигляд: EMBED Equation.3 (3.49) EMBED Equation.3 (3.50) При додаванні цих рівнянь отримаємо рівняння стоячої хвилі: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (3.51) Амплітуда стоячої хвилі залежить від координати x: EMBED Equation.3 (3.52) В точках середовища, де EMBED Equation.3 (m = 0, 1, 2, …), (3.53) амплітуда Аст досягає максимального значення, яке дорівнює 2А. Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі. В точках середовища, де EMBED Equation.3 (m = 0, 1, 2, …), (3.54) амплітуда Аст = 0. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. З рівнянь (3.53) і (3.54) отримаємо координати пучностей та вузлів: EMBED Equation.3 (3.55) EMBED Equation.3 (3.56) Відстань між двома сусідніми вузлами (або пучностями) стоячої хвилі називають довжиною стоячої хвилі EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 (3.57) Всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами. Стояча хвиля не переносить енерґію, тому що падаюча і відбита хвилі однакової амплітуди несуть однакову енерґію в протилежних напрямках. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання, менш густе, то в місці відбивання отримується пучність, якщо більш густе – вузол.

Лекція Фізика

2015

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись