Формальные правила двоичной арифметики Перед тем, как рассмотреть формальные правила двоичной арифметики подчеркнем общий принцип сложения и вычитания чисел представленных в любой позиционной системы счисления. В общем случае процедуры сложения и вычитания двух чисел A  B = C в любой позиционной системы счисления начинаются с младших разрядов. Код суммы каждго i-того разряда сi получается в результате сложения ai + bi +1, где единица соответствует переносу из младшего (i - 1)-разряда в i-тый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления. Код разности каждого i-того разряда получается в результате вычитания ai - bi -1, где единица соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления. Следовательно, правила и методы сложения и вычитания в любой позиционной системы счисления в принципе остаются такими же, как в десятичной системе. Теперь рассмотрим правила арифметики с числами, представленными в двоичном коде. Сложение двух чисел выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда. В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 и осуществляется перенос 1 в старший соседний разряд. Например: 01012 = 510 +00112 = 310 10002 = 810 Вычитание также производится поразрядно, начиная с младшего разряда. При вычитании в данном разряде из нуля единицы необходимо занять единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 =1 после заема единицы из соседнего старшего разряда. Например: 01102 = 610 -00112 = 310 00112 = 310 Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров, а вычитание - двоичных вычитателей. Но как будет показано в дальнейшем, вычитание можно организовать также при помощи процедуры сложения, т.е. при помощи двоичных сумматоров, если вычитаемое представить в "дополнительном" или "обратном" коде и тем самым исключить необходимость в двоичных вычитателях. Умножение двоичных чисел производится путем образования про-межуточных произведений и последующего их суммирования. Промежуточные поразрядные произведения формируются по следующим правилам: 0 x 0 = 0 101 510 x 310 = 1510 0 x 1 = 0 11 1 x 0 = 0 101 1 x 1 = 1 + 101 1111 Деление чисел в двоичной системе производится по правилам умножения и вычитания. Например: 110 : 11 = 10 610 : 310 = 210 11 00 00 0 Помимо арифметических операций в цифровых автоматах реализуются также логические операции, которые подробно рассматриваются в последующих главах. Кроме этих операций в цифровых автоматах, компьютерах, выполняется еще одна операция над двоичными числами - это сдвиг числа по разрядной сетке влево или вправо. В случае сдвига влево фактически осуществляется умножение двоичного числа на 2, а при сдвиге вправо - деление на 2, где  - количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число. Например: 0000112 = 310 сдвинем влево на 2 разряда, получим 0011002 = 1210, т.е. 3х4(22) = 1210, а теперь 0010002 = 810 сдвинем на 2 разряда вправо, получим 0000102 = 210, т.е. 8:4(22) = 210. В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда, представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо - наоборот.