Односторонні варіації. Курсова робота з Методи оптимізації. Робота № 501508

Перехід до торгівельного партнера Binance

Односторонні варіації

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Інститут прикладної математики та фундаментальних наук

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Кафедра прикладної математики

Інформація про роботу

Рік:

2009

Тип роботи:

Курсова робота

Предмет:

Методи оптимізації

Група:

ПМ-31

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота з курсу „Методи оптимізації” на тему: “Односторонні варіації” Прийняла Виконав: студент гр. ПМ-31 Львів – 2009 Зміст Вступ…………………………………………………………………………. 4 Основні означення……………………………………………………….. 6 Односторонні варіації: …………………………………………………. 9 А) Деякі обмеження, які можуть бути накладені на клас допустимих кривих; …………………………………………………….. 9 Б) Обчислення варіації функціонала………………………………..... 10 Висновок…………………………………………………………………. 13 Список інформаційних і літературних джерел……………………………. 14 Варіаційне числення (вступ) Поряд із задачами, в яких необхідно визначити максимальне та мінімальне значення деякої функції z = f(x), в задачах з фізики виникає необхідність знайти максимальні та мінімальні значення величин особливого роду, яких називають функціоналами. Функціоналами називаються змінні величини, значення яких визначаються вибором однієї або декількох функцій. Наприклад, функціоналом є довжина l дуги плоскої, чи просторової, кривої, що з’єднує дві задані точки (див. рис. А). Величина l може бути обчислена, якщо задане рівняння кривої y = y(x); тоді . у х Рис. А Площа S деякої поверхні також є функціоналом, оскільки вона визначається вибором поверхні, тобто вибором функції z(x,y), яка входить в рівняння поверхні z= z(x,y). Як відомо, , де D ― проекція поверхні на площину Oxy. Моменти інерції, статичні моменти,координати центра тяжіння деякої однорідної кривої або поверхні також є функціоналами, так як їх значення визначаються вибором кривої чи поверхні, тобто вибором функцій. Які входять в віяння цієї кривої чи поверхні. У всіх цих прикладах ми маємо характерну для функціоналів залежність: функції (чи вектор-функції) відповідає число, тоді як при задані функції z = f(x) числу відповідає число. Варіаційне числення вивчає методи, які дозволяють знаходити максимальні та мінімальні значення функціоналів. Задачі, в яких необхідно дослідити функціонал на максимум чи мінімум, називаються варіаційними задачами. Багато законів механіки та фізики зводяться до твердження, що деякий функціонал в процесі, який розглядається, повинен досягати мінімуму чи максимуму. В такому формулюванні ці закони носять назву варіаційних принципів механіки чи фізики. До таких варіаційних принципів або найпростіших наслідків з них належать: принцип найменшої дії, закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, закон збереження кількості руху, закон збереження моменту кількості руху, різні варіаційні принципи класичної та релятивістської теорії поля, принцип Ферма в оптиці та інші. Варіаційне числення почало розвиватися з 1696 року і оформилося в самостійну математичну дисципліну з власними методами дослідження після фундаментальних робіт дійсного члена Петербурзької Академії наук Л. Ейлера (1707-1783рр.), якого можна впевнено вважати засновником варіаційного числення. Великий вплив на розвиток варіаційного числення мали наступні три задачі: задача про брахістохрону, задача про геодезичні лінії та ізопериметрична задача. Варіація (основні означення) Приростом, або варіацією δy аргументу y(x) функціонала υ[y(x)] називається різниця між двома функціями δy = y(x)(x). При цьому вважається, що y(x) змінюється довільно в деякому класі функцій. Функціонал υ[y(x)] називається неперервним, якщо малій зміні y(x) відповідає мала зміна функціонала υ[y(x)]. Останнє визначення потребує деякого уточнення і пояснення, оскільки зразу ж виникає питання, які зміни функції y(x), що є аргументом функціонала, називаються малими, або це ж те саме, що які криві y = y(x) і y = (x) вважаються близькими чи такими, які мало відрізняються. Можна вважати близькими функції y(x) та (x) у тому випадку, коли модуль їх різниці y(x)(x) є малим для всіх значень х, для яких задаються функції y(x (x), тобто вважати близькими криві, які є близькі по ординатах . Але в багатьох випадках більш природно вважати близькими тільки ті криві, які є близькі по ординатах і по напрямку дотичних у відповідних точках, тобто необхідно вимагати, щоб для близьких кривих не тільки модуль різниці y(x)(x) був малим, а й, крім того, був малим ще ймодуль різниці y’(x)(x). Іноді виявляється необхідним вважати близькими тільки ті функції, для яких малі модулі кожної з різниць: y(x)(x), y’(x)(x), y’’(x)’’(x), … , . У зв’язку з цим необхідно ввести наступне означення близькості кривих y = y(x) і y = (x) . Криві y = y(x) і y = (x) близькі в сенсі близькості нульового порядку, якщо модуль різниці y(x)(x) є малим. Криві y = y(x) і y = (x) близькі в сенсі близькості першого порядку, якщо модулі різниць y(x)(x) та y’(x)(x) є малими. Криві y = y(x) і y = (x) близькі в сенсі близькості k-го порядку, якщо модулі різниць y(x)(x), y’(x) – y1’(x), . . . . . . . . є малими. На рис. 1 зображені криві, які є близькі в сенсі близькості нульового порядку, але не близькі в сенсі близькості першого порядку, оскільки лрдинати в них близькі, а напрям дотичних ─ ні. На рис. 2 зображені криві, які є близькі в сенсі близькостіпершого порядку у x x Рис . 1 Рис. 2 Із цих означень випливає, що якщо криві близькі в сенсі близькості k-го порядку, то вони тим більш є близькими в сенсі близькості будь-якого меншого порядку. Тепер ми можемо уточнити поняття неперервності функціонала. Функціонал υ[y(x)] є неперервним при в сенсі близькості k –го порядку, якщо для будь-якого додатного ε знайдеться δ >0 таке, що | υ[ y(x)] υ[ (x)] | < ε При цьому ми маємо на увазі, що функція y(x) береться з класу функцій, на яких функціонал υ[y(x)] є визначений. Можна було б означити поняття відстані ρ() між кривими y = (x) та y = (x), тоді близькими кривими вважають криві, відстань між якими є малою. Лінійним функціоналом називається функціонал L[y(x)], який задовольняє наступним умовам: L[сy(x)]=с L[y(x)], де с ― довільна константа і L[]=L[]+ L[]. Прикладом лінійного функціонала є: . Якщо приріст функціонала можна представити у вигляді △υ = L[y(x), δy] + β( y(x), δy)max | δy |, де L[y(x), δy] ― лінійний по відношенню до δy функціонал, max | δy | ― максимальне значення | δy | і β(y(x), δy)→0 при max | δy |→0, то лінійна по відношенню до δy частина приросту функціонала, тобто L[y(x), δy], називається варіацією функціонала і позначається δυ. Таким чином, варіація функціонала ― це головна, лінійна по відношенню до δy , частина приросту функціонала. При дослідженні функціоналів варіація відіграє таку ж роль, які відіграє диференціал при дослідженні функцій. Односторонні варіації А) Деякі обмеження, які можуть бути накладені на клас допустимих кривих; У деяких варіаційних задачах про екстремум функціонала υ[y(x)] на клас допустимих кривих може бути накладене обмеження, що забороняє їм проходити через точки деякої області R, обмеженої кривою Ф(x, y)=0 (рис.3). У цих задачах крива С, яка реалізує екстремум, або проходить повністю всі границі області R, і тоді вона повинна бути екстремаллю, так як в цьому випадку наявність забороненої області R зовсім не впливає на властивості функціонала і його варіації в окресленні кривої С, або крива С складається з дуг, які лежать поза границею R, і з частин границі області R. В останньому випадку виникає нова ситуація: на частинах границі області R можливі лише односторонні варіації кривої С, оскільки всередину області допустимі криві заходити не можуть. Частини кривої С, які лежать поза границею області R, повинні як і раніше бути екстремалями, так як якщо варіювати криву С лише на такій ділянці, яка допускає двосторонні варіації, то наявність області R на варіації y впливати не буде. Рис.3 Таким чином, в задачі, що розглядається, екстремум може досягатися лише на кривих, які складаються з дуг екстремалей і частин границі області R, а отже, для побудови шуканої кривої , яка реалізує екстремум, потрібно одержати умови в точках переходу екстремалі на границю області R, що дають можливість виявити ці точки. У випадку, зображеним на рис.4, необхідно одержати умови в точках M, N, P і Q . Одержимо, наприклад, умови в точці M. Абсолютно аналогічно можна було б одержати умови і в інших точках переходу екстремалі на границю області R. Б) Обчислення варіації функціонала При обчисленні варіації δυ функціонала ми можемо вважати, що варіація викликається лише зміщенням точки M() на кривій Ф(x, y)=0, тобто можна вважати, що при будь-якому положенні точки М на кривій Ф(x, y)=0 дуга АМ є вже екстремаллю, а ділянка MNPQB не варіюється. Функціонал має рухому граничну точку, яка переміщується по границі області R, рівняння якої Ф(x, y)=0, або в дозволеному межах точки М відносно y виді: y=φ(x). Функціонал також має рухому граничну точку (), але в межах цієї точки крива, на якій може досягатися екстремум y=φ(x), не варіюється. Рис.4 А отже, зміна функціонала при переміщенні точки () в положення () зводиться лише до зміни нижньої границі інтегрування і, так як на інтервалі () y=φ(x). Застосовуючи теорему про середнє і користуючись неперервністю функції F, одержимо: , де β→0 при →0. А отже, δδ, δ= δ + δ = =[ = так як y()=φ(). Необхідна умова екстремума δυ = 0 у вигляді похідної приймає вигляд: =0. Застосовуючи теорему про середнє значення, одержимо: , де q ― значення, яке знаходиться між та y’(). Знову застосовуючи теорему про середнє значення, будемо мати: де в точці М значення, яке знаходиться між та y’(). Припустимо, що ≠0. Таке припущення є природнім для багатьох варіаційних задач. В такому випадку умова в точці М має вигляд y’()= φ’() (q=y’ тільки при y’()= φ’(),оскільки q ― значення, яке знаходиться між y’() та ). Таким чином, в точці М екстремаль АМ і гранична крива MN мають спільну дотичну (ліву дотичну для кривої y = y(x), праву ― для кривої y = φ(x)). Отже, екстремаль торкається границі області R в точці М. Висновок Таким чином, варіаційне числення вивчає методи, які дозволяють знаходити максимальні та мінімальні значення функціоналів. Багато законів механіки та фізики (варіаційні принципи) зводяться до твердження, що деякий функціонал повинен досягати мінімуму чи максимуму. До них належать принцип найменшої дії, закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, закон збереження кількості руху, закон збереження моменту кількості руху, різні варіаційні принципи класичної та релятивістської теорії поля, принцип Ферма в оптиці та інші. У деяких варіаційних задачах про екстремум функціонала υ[y(x)] на клас допустимих кривих може бути накладене обмеження, що забороняє їм проходити через точки деякої області R, обмеженої кривою Ф(x, y)=0. Якщо крива С складається з дуг, які лежать поза границею R, і з частин границі області R, то на частинах границі області R можливі лише односторонні варіації кривої С, оскільки всередину області допустимі криві заходити не можуть. Список інформаційних і літературних джерел Л.Э. Эльсгольц “Дифференциальные уравнения и исчесление” ─М.: “Наука”, 1969. Л.Я. Улаф “Варационное исчесление и интегральные уравнения” ─ М.: “Наука”, 1970. http://ua.textreferat.com/referat-7803.html http://matveev.kiev.ua/archnet/gl5/005.htm

Курсова робота Методи оптимізації

01.01.1970 03:01-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись