Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Практична робота
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Практичне заняття № 1 2 (2+2 год.) 3
Практичне заняття № 3 (2 год.) 18
Практичне заняття № 4 (2 год.) 21
Практичне заняття № 5 (2 год.) 23
1 семестр
1 модуль
ДФН
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Елементи теорії множин.
Метод математичної індукції.
Границя числової послідовності.
Границя функції в точці.
Шкала порівняння функцій
Перша та друга важливі границі.
Неперервність функції в точці.
Рівномірна неперервність функції.
Класифікація точок розриву.
1
2
2
2+2
2
2+2
2
2
2
2 модуль
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Похідні елементарних функцій. Диференціал, його застосування до наближених обчислень.
Похідні функцій, заданих неявно.
Параметрично задані функції та їх диференціювання.
Похідні та диференціали вищих порядків.
Теореми Ролля, Лагранжа та Коші.
Правило Лопіталя.
Формула Тейлора.
Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.
Монотонність функції. Екстремум функції.
Опуклість. Асимптоти. Графіки функцій.
2+2
2
2
2
2
2
2
2
2
2+2
Практичне заняття № 1 2 (2+2 год.)
Елементи математичної логіки і теорії множин. Метод математичної індукції. Біном Ньютона
Символи математичної логіки
Висловлення. Логічні операції
Висловленням будемо називати речення, якому можна приписати одне із значень істинності — істинне чи хибне.
ОЗНАЧЕННЯ. Запереченням висловлення називається висловлення, яке позначається або , значення істинності якого є протилежним до значення істинності .
Приклад
Нехай висловленням є таке
.
Тоді запереченням висловлення буде висловлення
. ▲
Значення істинності “істина” та “хиба” будемо позначати логічними значеннями “1” та “0” відповідно.
ОЗНАЧЕННЯ. Кон’юнкцією висловлень і називається висловлення (читається “ і ”), яке є істинним тоді і лише тоді, коли обидва висловлення і є істинними.
Для знаходження значень логічних операцій зручно будувати таблиці, в які заносяться значення логічних змінних та операцій над ними. Наприклад, таблиця істинності для кон’юнкції висловлень і матиме вигляд:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
ОЗНАЧЕННЯ. Диз’юнкцією висловлень і називається висловлення (читається “ або ”), яке є хибним тоді і лише тоді, коли і і є хибними.
Таблиця істинності диз’юнкції висловлень і :
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
ОЗНАЧЕННЯ. Імплікацією висловлень і називається висловлення (читається “якщо , то ”, або “з випливає ”), яке є хибним лише тоді, коли є істинним, а — хибним:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
ОЗНАЧЕННЯ. Еквівалентністю (або еквіваленцією) висловлень і називається висловлення (читається “ еквівалентне ”, або “ є необхідною і достатньою умовою для ”, або “ тоді і лише тоді, коли ”), яке є істинним тоді і лише тоді, коли значення істинності і співпадають (і, отже, хибним, якщо значення істинності і є різними):
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Для операцій , визначених на множині висловлень, справедливі такі логічні тотожності, які ще називають законами алгебри логіки:
Закон подвійного заперечення
.
Закон суперечності
.
Закон виключення третьої можливості (tertium non datur (лат.) — третього не дано)
.
Закони поглинання з логічними константами
,
.
Закони ідемпотентності
.
Закони де Моргана (закони двоїстості)
,
.
Комутативні (переставні) закони
,
.
Асоціативні закони
,
.
Дистрибутивні (розподільні) закони
,
.
Їх можна перевірити, виходячи безпосередньо з означень відповідних операцій або за допомогою таблиць істинності.
Доведемо, наприклад, перший із законів двоїстості 6): .
Побудуємо таблицю істинності:
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Значення результатів операцій та збігаються при усіх можливих наборах значень логічних змінних та , отже, . ▲
Кожну математичну теорему можна сформулювати у вигляді “Якщо , то ”. Висловлення називають умовою теореми, а — твердженням (наслідком) теореми. Для теореми (пряма теорема) імплікацію називають оберненою, — протилежною, а — протилежною до оберненої (контрапозитивною) теоремою.
Безпосередньою побудовою відповідних таблиць істинності можна довести такі рівносильності:
,
.
З них випливає, що пряма теорема рівносильна контрапозитивній, а обернена рівносильна протилежній до прямої. Пряма та обернена теореми, взагалі кажучи, не рівносильні. В теоремі висловлення називають достатньою умовою для , а висловлення — необхідною умовою для . Якщо теорема має вигляд , то і є необхідною і достатньою умовою для , і навпаки, є необхідною і достатньою умовою для (див. вправу 2). Теореми виду іноді називають критеріями.
Квантори
Символи називаються кванторами, і використовуються для запису словосполучень “для кожного”, “існує”, “існує і єдиний” відповідно; квантор буде означати “не існує”.Наприклад, запис означає таке: для довільного дійсного числа існує натуральне число , що перевищує .
Правила побудови заперечень для висловлень, що містять квантори, даються формулами
,
.
Елемент деякої множини , для якого не виконується твердження , називається контрприкладом для висловлення . Таким чином, для того, щоб пересвідчитися в хибності висловлення , достатньо знайти (побудувати) один контрприклад.
Множини
Елементи теорії множин
Під словом “множина” будемо розуміти деяку сукупність об’єктів, взагалі кажучи, довільної природи. Відношення належності елемента до множини будемо позначати символом , тобто запис означає, що є елементом (чи точкою) множини . Запис означає, що об’єкт не є елементом множини .
ОЗНАЧЕННЯ. Відношення означає, що , тобто кожен елемент множини належить множині . Таке відношення називають відношенням включення і говорять, що множина є підмножиною множини .
Заперечення того, що записується так: .
Множину можна задати, вказавши всі елементи множини, наприклад, множиною розв’язків кубічного рівняння є .
Іншим способом задання множини є задання певної характеристичної властивості, якою володіють її елементи, і лише вони.
В такому разі запис означає, що є множиною, що складається з тих (і лише тих) елементів , що володіють властивістю .
Приклад
Множина — це множина точок відрізка дійсної осі:
. ▲
ОЗНАЧЕННЯ. Дві множини та називаються рівними, якщо кожен елемент множини є елементом множини і навпаки — кожен елемент множини належить множині , тобто, якщо одночасно і , і :
.
ОЗНАЧЕННЯ. Об’єднанням множин та називається множина, що складається з тих і лише тих елементів, які належать принаймні одній з множин чи :
.
ОЗНАЧЕННЯ. Перетином множин та називається множина, якій належать ті і лише ті елементи, які є спільними для множин і (які належать і і ):
.
Символом будемо позначати порожню множину, тобто множину, яка не містить жодного елемента. Таким чином, якщо множини і не мають спільних елементів, то . Будемо вважати, що порожня множина є підмножиною довільної множини .
ОЗНАЧЕННЯ. Різницею множин і називається множина всіх елементів множини , що не належать множині :
.
У випадку, якщо , різницю множин називають доповненням множини до множини і позначають .
Якщо розглядаються лише підмножини деякої універсальної множини , допов нен ня множини до множини називають просто доповненням і позначають .
Операції доповнення, об’єднання та перетину володіють такими властивостями:
Комутативність
,
.
Асоціативність
,
.
Дистрибутивність
,
.
Закони де Моргана (закони двоїстості)
,
.
Ідемпотентність операцій об’єднання та перетину
,
.
Закони “поглинання”
,
.
Для числових множин використовують позначення
— множина всіх натуральних чисел;
— множина всіх цілих чисел;
— множина всіх раціональних чисел;
— множина всіх дійсних чисел;
— множина всіх комплексних чисел.
Декартів добуток множин
ОЗНАЧЕННЯ. Декартовим (або прямим) добутком множин і називається множина , елементами якої є всеможливі впорядковані пари виду , де :
.
Сполуки. Біном Ньютона
Нехай — скінченна множина, що містить елементів.
Теорема. Кількість різних елементних підмножин множини з елементів рівна
.
ОЗНАЧЕННЯ. Число називається кількістю комбінацій або кількістю сполук з елементів по .
Зауважимо, що — це кількість 0 елементних підмножин елементної множини, тобто підмножин, що не містять жодного елемента. Такою підмножиною є порожня множина , тому вважають . Також , бо елементною підмножиною елементної множини може бути лише вона сама. З цих міркувань приймають .
Теорема. Для довільних і для довільного справедлива формула
,
яку називають біномом Ньютона.
Доведення. Перемножимо біном сам на себе разів. Одержимо суму, в якій кожен з доданків є добутком , причому кожен зі співмножників рівний або , або . Згрупуємо ці доданки в групи так, що в кожному доданку з групи число зустрічається разів, а число — разів, тобто кожен доданок з групи має вигляд . Група має доданків, бо саме стількома способами можна з добутку , вибрати співмножників, рівних . Отже, формула бінома Ньютона доведена. ■
Властивості біномних коефіцієнтів .
.
Достатньо у формулі бінома Ньютона покласти .
Наслідок. Множина з елементів має всеможливих підмножин.
.
.
Властивості 2 і 3 перевіряються безпосереднім обчисленням за допомогою співвідношення (1).
Множина дійсних чисел
Аксіоми множини дійсних чисел
ОЗНАЧЕННЯ. Множиною дійсних чисел будемо називати множину з такими властивостями, які ще називають аксіомами множини дійсних чисел:
Властивість впорядкованості: виконується одне і лише одне із співвідношень:
На множині визначено операцію додавання, тобто двом довільним , поставлено у відповідність єдиний елемент з множини , який називається сумою чисел та і позначається , з наступними властивостями:
Комутативність:
.
Асоціативність: виконується
.
Існування нульового елемента.
Множина містить елемент, який є нейтральним відносно операції додавання і називається нульовим елементом (нулем), тобто виконується
.
Наслідок. Нуль єдиний.
Доведення. (Від супротивного). Припустимо, що в є два нульових елементи: та . Тоді, з одного боку, , і в той же час , значить, . ■
Існування оберненого елемента відносно операції додавання. Для довільного дійсного числа існує число таке, що ; при цьому число називається протилежним до і позначається :
.
Зауваження. З аксіом II та II.4 випливає, що сума є дійсним числом. Ця сума називається різницею чисел і , а відповідна операція називається операцією віднімання:
.
Якщо , то виконується .
На визначено операцію множення, яка довільним двом числам , ставить у відповідність єдиний елемент з . Цей елемент називається добутком чисел та і позначається або , а відповідна операція називається множенням, з властивостями:
(комутативність операції множення).
Асоціативність операції множення: виконується
.
Існування одиничного елемента відносно операції множення:
.
Наслідок 1. Одиничний елемент єдиний.
Наслідок 2. Множина натуральних чисел може бути визначена як підмножина в наступним способом: .
Наслідок 3. Позначимо . Тоді множину цілих чисел можна визначити так: .
Існування оберненого елемента відносно операції множення: для кожного дійсного числа, крім нуля, існує обернене:
.
Дистрибутивність множення відносно додавання:
.
Аксіома Архімеда:
.
Аксіому Архімеда можна записати в іншій формі:
(якою б не була віддаль і яким би (можливо, досить малим) не був крок , за достатньо велику кількість кроків можна подолати цю віддаль. Мінімальна кількість кроків визначається умовою ).
Властивість неперервності (аксіома про вкладені відрізки).
Нехай — система вкладених відрізків, тобто :
Тоді існує принаймні одна точка, що належить усім відрізкам системи:
,
інакше кажучи, .
Наслідок. З властивості неперервності випливає, що
.
Модуль дійсного числа
Модулем або абсолютною величиною дійсного числа називається величина
Властивості модуля:
.
.
.
Нерівність при рівносильна нерівності .
. (Нерівність трикутника).
.
Доведення властивостей 1–4 випливають з означення модуля та відомих властивостей нерівностей.
Доведення властивості 5. За властивістю 3 маємо і також . Тоді
. ■
Доведення властивості 6. Запишемо різницю модулів у вигляді і до першого модуля у правій частині застосуємо властивість 5:
.
Аналогічно одержимо, що , отже, . ■
Обмежені множини
ОЗНАЧЕННЯ. Множина називається обмеженою зверху (знизу) числом , якщо виконується нерівність (відповідно ).
ОЗНАЧЕННЯ. Обмеженою називається множина, обмежена і зверху і знизу.
Множина, яка не є обмеженою (зверху, знизу) називається необмеженою (зверху, знизу).
Приклади
Множини і є обмеженими.
Множина є обмеженою знизу, але необмеженою зверху.
Множини , є необмеженими і зверху і знизу.
Верхні та нижні грані множин
ОЗНАЧЕННЯ. Число називається точною верхньою гранню множини і позначається , якщо виконуються такі умови:
виконується .
.
Умова 2 еквівалентна такій умові:
.
ОЗНАЧЕННЯ. Число називається точною нижньою гранню множини і позначається , якщо
виконується .
.
.
Принцип математичної індукції
В багатьох випадках буває потрібно доводити істинність визначених на множині натуральних чисел висловлень для всіх значень аргументу . Досить часто це можна зробити за допомогою методу математичної індукції. Цей метод базується на принципі математичної індукції, який формулюється так.
Висловлення (твердження) є істинним для всіх натуральних значень , якщо виконуються такі умови:
(База індукції). Висловлення є істинним при .
(Крок індукції). З припущення, що є істинним при (де — довільне натуральне число), випливає істинність при .
Поняття відображення та функції
Нехай задані дві множини та . Будемо говорити, що на множині задане відображення , якщо поставлено у відповідність деяку множину .
Якщо множина містить лише один елемент, то будемо називати однозначним відображенням або функцією.
ОЗНАЧЕННЯ. Множина називається множиною визначення, а множина — множиною значень відображення (функції) . Для множини визначення ще використовують позначення .
ОЗНАЧЕННЯ. Для довільної множини множина називається образом множини при відображенні .
ОЗНАЧЕННЯ. Для довільної множини множина називається прообразом множини при відображенні .
Запис
означає, що відображення (функція) відображає множину у множину , а запис
значить, що відображає точку в точку .
ОЗНАЧЕННЯ. Відображення називається ін’єктивним, якщо з того, що , випливає, що . Це означає, що кожна точка з має рівно один прообраз.
ОЗНАЧЕННЯ. Відображення називається сюр’єктивним, якщо кожен елемент з множини значень має прообраз із множини визначення, тобто
.
ОЗНАЧЕННЯ. Відображення називається бієктивним (взаємно однозначним), якщо є ін’єктивним та сюр’єктивним.
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай — довільні множини, і та — відображення:
.
Якщо , то кожній точці можна поставити у відповідність точку . Так визначене відображення називається складним відображенням або композицією чи суперпозицією відображень та .
ОЗНАЧЕННЯ. Графіком відображення (функції) називається множина впорядкованих пар .
ОЗНАЧЕННЯ. Числова функція називається обмеженою зверху (знизу), якщо множина її значень обмежена зверху (знизу).
ОЗНАЧЕННЯ. Точною верхньою гранню числової функції на множині називається точна верхня грань образу множини :
.
Приклади
Для числової функції множиною визначення є , а множиною значень — . Ця функція не є ін’єктивною, бо точки та мають один і той же образ. ▲
Значеннями функції , яка діє так:
,
де — вектор з координатами , є не числа, а точки на площині. Точніше, множиною значень цієї функції є множина точок кола одиничного радіуса з центром у початку координат: .
Функція є ін’єктивною на всій множині визначення, але, очевидно, не є сюр’єктивною на (свої прообрази мають лише точки кола). ▲
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай функція , (де ), є ін’єктивною і . Якщо , то . Існування такого очевидне, а єдиність випливає з ін’єктивності. Таким чином, можна визначити функцію з областю визначення і множиною значень , як , де . Така функція називається оберненою до .
Обернена функція ін’єктивна. Це випливає з того, що є функцією (тобто однозначним відображенням).
Для оберненої функції справедливі рівності:
Приклад
Розглянемо функцію , задану на відрізку . Тоді функцією, оберненою до , є функція . ▲
ОЗНАЧЕННЯ. Розглянемо рівняння виду , і нехай — деяка підмножина : . Якщо для кожного існує таке, що , то називають неявно заданою функцією.
Приклад
Рівняння визначає неявно задану функцію з областю визначення та областю значень . ▲
Задачі
Перевірити, що . (Транзитивність включення).
Перевірити, що для довільних множин
Позначимо через множину всіх парних натуральних чисел:
.
Довести, що .
Довести рівності:
Нехай
,
,
.
З яких елементів складаються множини
;
;
;
;
?
Встановити взаємно однозначну відповідність між множинами та :
, .
.
.
.
.
Довести, що справедливі такі логічні тотожності:
.
.
.
Вправа 7 c) дає спосіб побудови заперечення для імплікацій, часто використовуваний для доведення теорем методом “від супротивного”.
До теореми Піфагора сформулювати обернену, протилежну та контрапозитивну теореми
Використовуючи правила побудови заперечень для висловлень, що містять квантори, сформулювати заперечення висловлень:
Не існує трикутника, всі кути якого є тупими.
В кожному місті України є вулиця, на якій є будинок, всі вікна якого виходять на південь.
Побудуйте контрприклади для висловлень:
Для кожного число є простим.
Кожен трикутник є прямокутним.
Якщо , то й .
Методом математичної індукції довести, що для будь якого справедливі рівності
.
.
.
.
Довести, що для довільного :
кратне .
ділиться на .
ділиться на 133.
Довести справедливість наступних нерівностей для всіх натуральних :
.
.
.
.
.
Довести, що для довільних натуральних справедлива нерівність:
.
Для яких натуральних значень виконуються нерівності:
;
;
?
Довести рівність .
Записати формулу бінома Ньютона для
.
.
.
.
Практичне заняття № 3 (2 год.)
Відображення, множина визначення, множина значень
Для відображень вказати у кожному випадку множину визначення та множину значень, якщо:
:
;
;
.
(де ціла частина числа ):
;
;
;
;
;
;
Знайти образ множини та прообраз множини для функції , якщо
:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Нехай – довільна функція. Тоді для довільних множин виконується
,
.
Довести.
Доведення. Візьмемо довільний елемент . Тоді
.
Отже, .
Нехай тепер . Тоді
.
Таким чином, .
Тепер доведемо включення . Нехай . Тоді
. ■
Вказати множину визначення та множину значень композиції , де
,
якщо:
;
;
;
;
;
;
.
Довести, що функції та є взаємно оберненими:
;
.
Довести, що графік функції є симетричним відносно прямої :
;
.
Чи є взаємно оберненими функції:
;
;
?
При яких та функція має обернену і співпадає з нею?
Для яких функція , співпадає зі своєю оберненою?
Практичне заняття № 4 (2 год.)
Обмежені та необмежені множини. Верхні та нижні грані множин
Довести, що в будь якому околі довільної раціональної точки є принаймні одне ірраціональне число.
Нехай — така множина точок дійсної прямої, що відстань між будь якими двома точками з є більшою за одиницю. Довести, що тоді множина є або скінченною, або зліченною.
Довести обмеженість послідовності :
;
;
;
;
;
;
.
Довести необмеженість послідовності :
;
;
;
;
;
;
.
Знайти точні верхні та нижні грані множин:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Довести, що множина правильних раціональних дробів виду , де , не має найбільшого та найменшого елементів. Знайти .
Нехай , і . Довести, що
;
.
Практичне заняття № 5 (2 год.)
Границі числових послідовностей. Властивості границь
Довести нерівності:
Нерівність Бернуллі
;
Узагальнена нерівність Бернуллі: якщо , і всі — одного знаку, то
.
Нехай . Довести, що .
Позначимо . Тоді , і за нерівністю Бернуллі , звідки . Значить, , а, отже,
. ▲
Довести, що .
Позначимо . Тоді , і з формули бінома Ньютона випливає, що при
.
Крім того, для виконується нерівність . Тому , звідки . Отже, , і, значить, . ▲
Виходячи з означення границі, довести, що
;
;
;
;
;
;
;
.
Довести, що число не є границею послідовності :
;
;
.
Довести, що послідовність є розбіжною:
;
;
;
;
;
.
Довести, що .
Знайти , якщо
;
;
;
.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора