МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Кафедра автоматики і телемеханіки Курсова робота з курсу: «Чисельні методи аналізу автоматичних систем» на тему: «Сельсинна слідкуюча система». Тема 5, варіант 3. Зміст. Зміст. 1 1. Завдання. 2 2. Виведення системи диференціальних рівнянь. 3 3. Опис методів Рунге-Кутта-Фельберга та Ейлера. 4 4. Блок-схеми алгоритмів. 5 4.1. Блок-схема алгоритму методу Рунге-Кутта-Фельберга. 5 4.2. Блок-схема алгоритму методу Ейлера. 5 5. Таблиця ідентифікаторів. 6 6. Програма методу Рунге-Кутта-Фельберга з постійним кроком інтегрування. 7 7. Програма методу Ейлера зі змінним кроком інтегрування. 8 8. Результати виконання програми методу Рунге-Кутта-Фельберга. 8 9. Результати виконання програми методу Ейлера 11 10. Графіки одержаних результатів. 12 Список використаної літератури. 13 Завдання. Задана структурна схема сельсинної слідкуючої системи.
Рівняння ланок: а) вимірювальна схема u1=S(((вх - (вих) (1) b) електронний підсилювач (u=u1'–u2'=Kеп(u1 (2) с) обмотка збудження ЕМП (електромашинного підсилювача)
(3) d) двигун
(4) e) редуктор (=i((вих (5) f) короткозамкнута обмотка ЕМП
(6) Дослідити реакцію сельсинної слідкуючої системи на одиничний стрибкоподібний сигнал на вході системи методами Ейлера зі змінним кроком інтегрування та Рунге-Кутта-Фельберга з постійним кроком інтегрування, якщо параметри схеми: Tm (c) = 0,05; Tk (c) = 0,01; T1 (c) = 0,003; C (рад/в(с) = 20; i = 300; KI = 2; KII = 2; Kеп = 10; S (в/рад) = 60. Виведення системи диференціальних рівнянь. Підставляємо (1) в (2), а потім одержане (u в (3). Одержуємо:
(7) Виражаємо uk з (6) і підставляємо в (7):
(8) Виражаємо up з (4) і, з врахуванням (5), підставляємо в (8):
(9) Введемо заміни:
(10)
(11)
(12) A4=1 (13)
(14)
(15) Враховуючи, що (вх=1, маємо:
(16) Нехай:
, (17)
, (18)
. (19)
. (20)
(21) Розв’язуємо систему диференціальних рівнянь (21) за нульових початкових умов методами Рунге-Кутта-Фельберга з постійним кроком інтегрування та Ейлера зі змінним кроком інтегрування. 3. Опис методів Рунге-Кутта-Фельберга та Ейлера. Алгоритм реалізації методу Рунге-Кутта-Фельберга такий:
(22) де
Похибка
(23) Метод Ейлера описується так:
. (24) Похибку методу Ейлера можна знайти за допомогою "подвійного перерахунку": знаходять значення
з кроком h, а потім визначають
завдяки подвійному перерахунку з кроком h/2. Різниця між
та
буде похибкою методу. При розв'язуванні систем диференціальних рівнянь із змінним кроком інтегрування необхідно ввести автоматичну зміну кроку інтегрування залежно від заданої похибки. Для вдосконаленого методу Ейлера це здійснюється наступним чином. Знайшовши похибку відповідного методу на кроці
, порівнюють її із заданою
. Якщо задана похибка є меншою, то крок зменшують у два рази і проводять обчислення з цим кроком. Потім знову визначають похибку і перевіряють умову
>
. Крок ділять доти, доки ця умова не виконається, після чого наступне обчислення проводиться з останнім кроком. Якщо знайдена перший раз похибка методу є меншою від заданої, то одержане значення виводять на друк, а крок подвоюють. Так роблять доти, доки не виконається умова
<
; тоді крок знову починають ділити. 4. Блок-схеми алгоритмів. 4.1. Блок-схема алгоритму методу Рунге-Кутта-Фельберга.
4.2. Блок-схема алгоритму методу Ейлера.
5. Таблиця ідентифікаторів. N - кількість диференціальних рівнянь; T1, Tk, Tm, C, ii, S, KI, KII, Kp - параметри схеми; i - лічильник циклу; y[N] - початкове наближення; y1[N] - наступне наближення з кроком h; y2[N] - наступне наближення з кроком h/2; a,b - початок та кінець проміжку інтегрування; p - прапорець; x - змінна інтегрування; h - крок інтегрування; e - похибка методу (обчислена); e1 - задана похибка. 6. Програма методу Рунге-Кутта-Фельберга з постійним кроком інтегрування. #include<stdio.h> #include<math.h> #define N 4 #define h 0.001 double A1,A2,A3,A4,A5,A6; FILE *fp; double F(int i,double *y,double x) { switch (i) { case 0:return *(y+1); case 1:return *(y+2); case 2:return *(y+3); case 3:return ((-A2*(*(y+3))-A3*(*(y+2))-A4*(*(y+1))-A5*(*y)-A6)/A1); } } double runge_felb(int i,double *y,double x,double *y2) { double k[6],t[N]; int j; for(j=0;j<N;t[j]=y[j],j++); k[0] = h*F(i,y,x); t[i] = y[i] + 2*k[0]/9.; k[1] = h*F(i,t,x+2*h/9.); t[i] = y[i] + (k[0]/12.+k[1]/4.); k[2] = h* F(i,t,x+h/3.); t[i] = y[i] + 69*k[0]/128.-143*k[1]/128.+135*k[2]/64.; k[3]= h*F(i,t,x+3*h/4.); t[i] = y[i]-17*k[0]/12.+27*k[1]/4.-27*k[2]/5.+16*k[3]/15.; k[4]= h*F(i,t,x+h); t[i] = y[i] + 65*k[0]/432.-5*k[1]/16.+13*k[2]/16.+4*k[3]/27.+5*k[4]/144.; k[5] = h*F(i,t,x+5*h/6.); y[i]+=(k[0]/9.+9*k[2]/20.+16*k[3]/45.+k[4]/12.); y2[i]=y[i]; return (k[0]/150.-3*k[2]/100.+16*k[3]/75.+k[4]/20.-6*k[5]/25.); } void main() { double y1[N],y[N],a=0,b=5.,x,e, Tm=.05, Tk=.01, T1=.003, C=20., ii=300.,KI=2.,KII=2.,Kp=5.,S=60.; int i; if ((fp=fopen("c:\\temp\\Run_f_p.dat","w"))==NULL) exit(-1); A1=T1*Tk*Tm; A2=T1*Tk+T1*Tm+Tk*Tm; A3=T1+Tk+Tm; A4=1; A5=KI*KII*Kp*C*S/ii; A6=-KI*KII*Kp*C*S/ii; for(i=0;i<N;y[i]=0,i++); for (x=a;x<b+h;x+=h) { for(i=0;i<N;y1[i]=y[i],i++); for(i=0;i<N;i++) e = runge_felb(i,y,x,y1); printf("%lf\t%lf\t%lf\n",x,y1[0],e); fprintf(fp,"%lf\t%lf\t%lf\n",x,y1[0],e); for(i=0;i<N;y[i]=y1[i],i++); } fclose(fp); } 7. Програма методу Ейлера зі змінним кроком інтегрування. #include<stdio.h> #include<math.h> #define N 4 double A1,A2,A3,A4,A5,A6; FILE *fp; double F(int i,double *y,double x) { switch (i) { case 0:return *(y+1); case 1:return *(y+2); case 2:return *(y+3); case 3:return ((-A2*(*(y+3))-A3*(*(y+2))-A4*(*(y+1))-A5*(*y)-A6)/A1); } } void eyler(int i,double *y,double x,double h) { y[i]+=h*F(i,y,x); } main() { double y1[N],y2[N],y[N],a=0,b=5,x,e=.001,h=.01, Tm=.05, Tk=.01, T1=.003, C=20., ii=300.,KI=2.,KII=2.,Kp=5.,S=60.;; int i,j,p,c=0; A1=T1*Tk*Tm; A2=T1*Tk+T1*Tm+Tk*Tm; A3=T1+Tk+Tm; A4=1; A5=KI*KII*Kp*C*S/ii; A6=-KI*KII*Kp*C*S/ii; y[0]=0;y[1]=0;y[2]=0;y[3]=0; if ((fp=fopen("c:\\temp\\eyler.dat","w"))==NULL) exit(-1); for(x=a;x<b+h;x+=h) { p=0; for(i=0;i<N;y1[i]=y[i],y2[i]=y[i],i++); for(i=0;i<N;i++) { eyler(i,y1,x,h); for(j=0;j<=1;j++) { eyler(i,y2,x,h/2.); x+=h/2.; } x-=h; if (fabs(y1[i]-y2[i])>e) p=1; } if (p) h/=2; else { printf("x=%lf y=%lf h=%lf\n",x,y1[0],h); c++; if (c == 100) { c=0; fprintf(fp,"%lf\t%lf\n",x,y[0]); } for(i=0;i<N;y[i]=y1[i],i++); } } fclose(fp); } 8. Результати виконання програми методу Рунге-Кутта-Фельберга. Таблиця 1. t, c (вих(t), рад (, рад  0.019900 0.084529 3.103648  0.039900 0.519027 0.741572  0.059900 1.172900 -0.324889  0.079900 1.720097 -1.048129  0.099900 1.889141 -1.210045  0.119900 1.605896 -0.757245  0.139900 1.025886 0.063714  t, c (вих(t), рад (, рад  0.159900 0.449503 0.829049  0.179900 0.166686 1.155222  0.199900 0.311326 0.890705  0.219900 0.798364 0.185566  0.239900 1.372885 -0.592707  0.259900 1.743270 -1.050376  0.279900 1.728996 -0.966340  t, c (вих(t), рад (, рад  0.299900 1.348290 -0.398440  0.319900 0.803250 0.353656  0.339900 0.372865 0.906195  0.359900 0.270421 0.986858  0.379900 0.538053 0.568604  0.399900 1.030460 -0.123772  0.419900 1.493402 -0.733985  0.439900 1.694764 -0.957327  0.459900 1.540730 -0.692514  0.479900 1.119015 -0.086821  0.499900 0.649517 0.545172  0.519900 0.369867 0.884681  0.539900 0.415339 0.769258  0.559900 0.753715 0.270046  0.579900 1.206311 -0.350724  0.599900 1.542093 -0.777182  0.619900 1.595446 -0.800306  0.639900 1.347629 -0.420040  0.659900 0.931995 0.160678  0.679900 0.562515 0.643868  0.699900 0.423793 0.789181  0.719900 0.579009 0.533194  0.739900 0.941618 0.016246  0.759900 1.323195 -0.494036  0.779900 1.531180 -0.741061  0.799900 1.465896 -0.608081  0.819900 1.168040 -0.172922  0.839900 0.794176 0.336759  0.859900 0.534619 0.662345  0.879900 0.516701 0.645281  0.899900 0.742501 0.303992  0.919900 1.091395 -0.180472  0.939900 1.384281 -0.560210  0.959900 1.475382 -0.647140  0.979900 1.324648 -0.405923  0.999900 1.014874 0.032635  1.019900 0.706509 0.442179  1.039900 0.554686 0.617454  1.059900 0.631312 0.476984  1.079900 0.891266 0.100522  1.099900 1.198474 -0.315716  1.119900 1.396986 -0.561130  1.139900 1.390030 -0.517129  1.159900 1.187004 -0.214164  1.179900 0.895704 0.187873  1.199900 0.665251 0.483827  1.219900 0.609865 0.527815  1.239900 0.752391 0.304935  1.259900 1.015426 -0.064993  1.279900 1.263146 -0.391595  1.299900 1.371335 -0.511764  1.319900 1.289556 -0.370955  1.339900 1.064417 -0.047519  1.359900 0.813325 0.290544  1.379900 0.663380 0.472694  1.399900 0.687133 0.411748  1.419900 0.867643 0.145354  1.439900 1.109574 -0.186536  1.459900 1.289420 -0.415030  t, c (вих(t), рад (, рад  1.479900 1.318462 -0.428114  1.499900 1.186415 -0.225389  1.519900 0.964353 0.084935  1.539900 0.766604 0.343608  1.559900 0.691981 0.421946  1.579900 0.774500 0.285705  1.599900 0.968126 0.009605  1.619900 1.172231 -0.263402  1.639900 1.283808 -0.396023  1.659900 1.249364 -0.325551  1.679900 1.090426 -0.093280  1.699900 0.890547 0.179262  1.719900 0.751485 0.353772  1.739900 0.741472 0.345248  1.759900 0.861842 0.163235  1.779900 1.048279 -0.095694  1.799900 1.205068 -0.299035  1.819900 1.254163 -0.346059  1.839900 1.173949 -0.217590  1.859900 1.008505 0.016684  1.879900 0.843530 0.235837  1.899900 0.762031 0.330021  1.919900 0.802621 0.255429  1.939900 0.941369 0.054443  1.959900 1.105639 -0.168169  1.979900 1.212032 -0.299765  1.999900 1.208674 -0.276736  2.019900 1.100404 -0.115111  2.039900 0.944718 0.099800  2.059900 0.821320 0.258319  2.079900 0.791380 0.282297  2.099900 0.867280 0.163531  2.119900 1.007788 -0.034117  2.139900 1.140342 -0.208922  2.159900 1.198469 -0.273575  2.179900 1.155054 -0.198705  2.199900 1.034860 -0.025993  2.219900 0.900575 0.154840  2.239900 0.820177 0.252564  2.259900 0.832578 0.220388  2.279900 0.928871 0.078233  2.299900 1.058193 -0.099208  2.319900 1.154519 -0.221632  2.339900 1.170322 -0.229013  2.359900 1.099963 -0.120939  2.379900 0.981321 0.044891  2.399900 0.875485 0.183369  2.419900 0.835345 0.225598  2.439900 0.879215 0.153090  2.459900 0.982605 0.005626  2.479900 1.091781 -0.140435  2.499900 1.151637 -0.211633  2.519900 1.133468 -0.174291  2.539900 1.048658 -0.050314  2.559900 0.941797 0.095421  2.579900 0.867293 0.188955  2.599900 0.861708 0.184719  2.619900 0.925874 0.087651  2.639900 1.025499 -0.050738  t, c (вих(t), рад (, рад  2.659900 1.109432 -0.159621  2.679900 1.135887 -0.185054  2.699900 1.093202 -0.116635  2.719900 1.004842 0.008512  2.739900 0.916582 0.125783  2.759900 0.872833 0.176391  2.779900 0.894333 0.136783  2.799900 0.968388 0.029482  2.819900 1.056225 -0.089575  2.839900 1.113247 -0.160138  2.859900 1.111644 -0.148091  2.879900 1.053906 -0.061868  2.899900 0.970700 0.053012  2.919900 0.904626 0.137918  2.939900 0.888444 0.150983  2.959900 0.928862 0.087697  2.979900 1.003918 -0.017903  2.999900 1.074847 -0.111462  3.019900 1.106076 -0.146245  3.039900 1.083029 -0.106437  3.059900 1.018862 -0.014211  3.079900 0.947046 0.082518  3.099900 0.903939 0.134946  3.119900 0.910409 0.117962  3.139900 0.961777 0.042105  3.159900 1.030904 -0.052762  3.179900 1.082496 -0.118354  3.199900 1.091093 -0.122506  3.219900 1.053604 -0.064892  3.239900 0.990217 0.023723  3.259900 0.933573 0.097856  3.279900 0.911983 0.120618  3.299900 0.935304 0.082029  3.319900 0.990511 0.003271  3.339900 1.048909 -0.074873  3.359900 1.081018 -0.113095  3.379900 1.071436 -0.093309  3.399900 1.026181 -0.027137  3.419900 0.969051 0.050792  3.439900 0.929135 0.100924  3.459900 0.926025 0.098830  3.479900 0.960230 0.047064  3.499900 1.013466 -0.026900  3.519900 1.058397 -0.085203  3.539900 1.072651 -0.098957  3.559900 1.049938 -0.062519  3.579900 1.002747 0.004333  3.599900 0.955528 0.067085  3.619900 0.932045 0.094278  3.639900 0.943431 0.073248  3.659900 0.982957 0.015962  3.679900 1.029925 -0.047711  3.699900 1.060485 -0.085547  3.719900 1.059731 -0.079248  3.739900 1.028941 -0.033251  3.759900 0.984472 0.028158  3.779900 0.949093 0.073634  3.799900 0.940347 0.080751  3.819900 0.961871 0.047029  t, c (вих(t), рад (, рад  3.839900 1.001964 -0.009391  3.859900 1.039917 -0.059466  3.879900 1.056694 -0.078178  3.899900 1.044460 -0.057013  3.919900 1.010204 -0.007766  3.939900 0.971797 0.043975  3.959900 0.948685 0.072102  3.979900 0.952058 0.063138  3.999900 0.979460 0.022660  4.019900 1.016411 -0.028059  4.039900 1.044043 -0.063202  4.059900 1.048718 -0.065532  4.079900 1.028744 -0.034818  4.099900 0.994878 0.012535  4.119900 0.964562 0.052221  4.139900 0.952950 0.064489  4.159900 0.965347 0.043953  4.179900 0.994826 0.001889  4.199900 1.026063 -0.039918  4.219900 1.043287 -0.060437  4.239900 1.038234 -0.049954  4.259900 1.014087 -0.014635  4.279900 0.983544 0.027035  4.299900 0.962159 0.053904  4.319900 0.960430 0.052877  4.339900 0.978663 0.025270  4.359900 1.007110 -0.014260  4.379900 1.031162 -0.045480  4.399900 1.038842 -0.052917  4.419900 1.026756 -0.033512  4.439900 1.001553 0.002200  4.459900 0.976292 0.035779  4.479900 0.963686 0.050389  4.499900 0.969716 0.039224  4.519900 0.990812 0.008641  4.539900 1.015926 -0.025412  4.559900 1.032305 -0.045700  4.579900 1.031957 -0.042408  4.599900 1.015538 -0.017870  4.619900 0.991771 0.014956  4.639900 0.972828 0.039313  4.659900 0.968102 0.043188  4.679900 0.979563 0.025219  4.699900 1.000980 -0.004925  4.719900 1.021288 -0.031725  4.739900 1.030301 -0.041791  4.759900 1.023807 -0.030539  4.779900 1.005520 -0.004242  4.799900 0.984980 0.023435  4.819900 0.972588 0.038524  4.839900 0.974346 0.033794  4.859900 0.988963 0.012194  4.879900 1.008715 -0.014922  4.899900 1.023514 -0.033750  4.919900 1.026055 -0.035055  4.939900 1.015413 -0.018682  4.959900 0.997320 0.006622  4.979900 0.981095 0.027867  4.999900 0.974849 0.034479  9. Результати виконання програми методу Ейлера  Таблиця 2. t, c (вих(t), рад  0.014576 0.000011  0.027672 0.001636  0.038807 0.008802  0.047963 0.021609  0.060854 0.053266  0.079165 0.129304  0.097476 0.242522  0.118960 0.418092  0.158193 0.821772  0.211626 1.401069  0.248247 1.707164  0.274568 1.841155  0.292878 1.883468  0.311189 1.881825  0.334449 1.817371  0.371071 1.590320  0.410311 1.226584  0.467186 0.647932  0.503807 0.354827  0.540428 0.192371  0.569696 0.176956  0.606317 0.301413  0.642938 0.558856  0.703566 1.130149  0.740695 1.456839  0.777316 1.683995  0.813937 1.774245  0.850558 1.712729  0.887179 1.514279  0.929489 1.169292  0.986715 0.664423  1.023336 0.417890  1.059957 0.288890  1.096578 0.300167  1.133199 0.446843  1.169821 0.697895  1.234625 1.236068  1.271246 1.489751  1.307867 1.643660  1.344489 1.669885  1.381110 1.565795  1.417731 1.354062  1.484586 0.839803  1.521207 0.587895  1.557828 0.420680  1.594449 0.368936  1.631071 0.440474  1.667692 0.619065  1.729850 1.057193  1.773380 1.351780  1.810001 1.522984  1.846622 1.589557  1.883243 1.540607  1.919865 1.387837  1.977147 1.020650  t, c (вих(t), рад  2.027926 0.690607  2.064547 0.522732  2.101168 0.450565  2.137789 0.486254  2.174410 0.620813  2.224186 0.909762  2.285057 1.284402  2.321678 1.443038  2.358300 1.512777  2.394921 1.481811  2.431542 1.358073  2.484108 1.072719  2.544972 0.724926  2.581593 0.580530  2.618214 0.520191  2.654835 0.553988  2.691456 0.673565  2.757196 1.017346  2.807911 1.278945  2.844532 1.404389  2.881154 1.449061  2.917775 1.405857  2.954396 1.284833  3.028676 0.913528  3.074139 0.707446  3.110760 0.605824  3.147382 0.582537  3.184003 0.640593  3.221735 0.771856  3.307018 1.174309  3.343949 1.311092  3.380570 1.383653  3.417191 1.380476  3.453812 1.303630  3.506742 1.098030  3.581056 0.775694  3.617677 0.672092  3.654298 0.634021  3.690919 0.667600  3.727540 0.764949  3.813715 1.115738  3.859091 1.269236  3.895712 1.334015  3.932333 1.332825  3.968954 1.267161  4.033590 1.042372  4.105272 0.779722  4.141893 0.701063  4.178514 0.681842  4.215135 0.724643  4.267772 0.873491  4.356764 1.187764  4.393385 1.269994  4.430006 1.298326  4.466627 1.268305  t, c (вих(t), рад  4.517887 1.143415  4.608092 0.843042  4.650875 0.748534  4.687496 0.721313  4.724117 0.748618  4.780717 0.880345  4.872123 1.162242  4.915228 1.242922  4.951849 1.259522  4.988470 1.225514  5.064408 1.035884  5.150912 0.805180  5.187667 0.761239  5.224288 0.764640  5.280067 0.854164  5.374154 1.108890  5.433527 1.214202  5.470148 1.225888  5.524359 1.164205  5.619940 0.927613  5.693182 0.798502  5.730414 0.789681  5.803544 0.888426  5.900721 1.116918  5.973964 1.198106  6.047206 1.131567  6.146097 0.915416  6.219340 0.818293  6.292582 0.857528  6.393319 1.057739  6.466561 1.163866  6.539803 1.146321  6.642059 0.963979  6.715804 0.853355  6.789047 0.854944  6.884930 1.005287  6.967201 1.131405  7.040443 1.140414  7.123861 1.028888  7.220897 0.881084  7.294139 0.866283  7.375419 0.962503  7.477098 1.109500  7.550341 1.125818  7.632147 1.036955  7.735995 0.896951  7.809237 0.882856  7.894471 0.971584  7.997806 1.099118  8.071049 1.107689  8.172928 0.998959  8.262782 0.903067  8.336024 0.902940  8.449515 1.024123  8.531229 1.095369  t, c (вих(t), рад  8.604471 1.084523  8.730199 0.952994  8.803441 0.907142  8.876683 0.930830  9.006586 1.059895  9.079828 1.087424  9.162118 1.041997  9.287513 0.929590  9.360756 0.923216  9.485746 1.022263  9.573510 1.075119  9.646752 1.058816  9.791947 0.944338  9.865189 0.930130  9.991249 1.010899   t, c (вих(t), рад  10.090087 1.065673  10.171732 1.046440  10.322528 0.945191  10.395770 0.942297  10.552885 1.038943  10.637279 1.057283  10.788695 0.975995  10.890756 0.945978  11.052235 1.025517  11.198719 1.037571  11.370135 0.954630  11.543368 1.009482  11.689852 1.040245  11.864960 0.964957  12.014393 0.986517   t, c (вих(t), рад  12.188632 1.037833  12.368046 0.972882  12.514530 0.981951  12.696317 1.033669  12.880741 0.977198  13.027225 0.983149  13.214432 1.029303  13.404657 0.978303  13.559862 0.990204  13.744677 1.024526  13.941815 0.977808  14.137596 1.008622  14.289335 1.017674  14.494706 0.978848  14.704882 1.016897  14.905116 0.994367  10. Графіки одержаних результатів.

рис.1. Графік результатів
методу Рунге-Кутта-Фельберга. Список використаної літератури. рис.2. Графік результатів
методу Ейлера. Лященко М. Я., Головань М. С. Чисельні методи. - К.: Либідь, 1996. 2. Микрокалькуляторы в курсе высшей математики: Практикум / Барановская Г.Г., Любченко И.Н.- К. : Вища шк. Головное изд-во, 1987 - 288 с. 3. Прикладные программы и лабораторный практикум для персонального компьютера: Учебное пособие / Гаврилюк М.А., Галамай Т.Г., Коссак О.М.и др. - Киев: УМК ВО, 1988. - 205 c. 4. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1987.- 240 с.