Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2025
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Лабораторна робота №2
Основи комп‘ютерної графіки. Робота в просторовій системі координат
Мета: Ознайомлення з основами комп‘ютерної графіки в просторовій системі координат.
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ
2.1 Вступ
Для кращого сприйняття форми об'єкта необхідно мати його зображення в тривимірному просторі. У багатьох випадках наочне представлення про об'єкт можна одержати шляхом виконання операцій обертання і переносу, а також побудови проекцій. Введемо однорідні координати. Точка в тривимірному просторі задається чотиримірним вектором або ж . Перетворення з однорідних координат описується співвідношеннями
де T - деяка матриця перетворення.
Ця матриця може бути представлена у вигляді 4 окремих частин
Матриця 3x3 здійснює лінійне перетворення у виді зміни масштабу, зсуву й обертання. Матриця-рядок 1х3 робить перенос, а матриця-стовпець 3х1 - пере творення в перспективі. Останній скалярний елемент виконує загальну зміну масштабу. Повне перетворення, отримане шляхом впливу на вектор положення матрицею 4x4 і нормалізації перетвореного вектора, будемо називати білінійним перетворенням. Воно забезпечує виконання комплексу операцій зсуву, часткової зміни масштабу, обертання, відображення, переносу, а також зміни масштабу зображення в цілому.
2.2 Тривимірна зміна масштабу
Діагональні елементи основної матриці перетворення 4х4 здійснюють часткову і повну зміну масштабу. Розглянемо перетворення
,
яке робить часткову зміну масштабу. На мал.2.1 показане масштабне збільшення кубу в три рази. Загальна зміна масштабу:
.
Зменшення масштабу можна досагнути при рівних коефіцієнтах часткових змін масштабів. Зменшення масштабу представлене на мал. 2.2. У цьому випадку матриця перетворення повинна бути рівна
.
мал. 2.2
2.3 Перетворення трьохвимірні координати в двовимірні
Нехай в трьохвимірному середовищі точка задана координатами (x,y,z). При переході у двовимірне середовище маємо
x=x-z*sin()
y=y-z*sin(), де - це кут між осями x та z .
2.4 Тривимірний зсув
Недіагональні елементи верхньої лівої під матриці 3х3 від загальної матриці перетворення розміру 4х4 здійснюють зсуви в трьох вимірах, тобто .
Нехай матриця перетворення має такий вигляд:
мал. 2.3
2.5 Тривимірні обертання
Раніше було показано, що матриця 3х3 забезпечувала комбінацію операцій зміни масштабу і зсуву. Однак, якщо визначник матриці 3х3 дорівнює +1, то має місце чисте обертання навколо початку координат. Перед розглядом загального випадку тривимірного обертання навколо довільної осі дослідимо кілька окремих випадків. При обертанні навколо осі х розміри уздовж осі х не змінюються. Таким чином, матриця перетворень буде мати нулі в першому рядку і першому стовпці, за винятком одиниці на головній діагоналі. Це приводить до матриці перетворення, що відповідає повороту на кут навколо осі х і задається співвідношенням
Обертання вважається додатнім, тобто за годинниковою стрілкою, якщо дивитися з початку координат вздовж осі обертання. На мал.2.4 показаний поворот на 45° навколо осі x.
мал. 2.4
Для обертання на кут Ф навколо осі y - нулі ставлять у другому рядку і другому стовпці матриці перетворення, за винятком одиниці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразом
Приклад обертання навколо осі у на мал. 2.5
мал. 2.5
Аналогічно матриця перетворення для обертання на кут навколо осі z має вид
Приклад обертання навколо осі у на мал. 2.6
мал. 2.6
Аналіз визначників для матриць (4.6)-(4.8) показує, що для будь-якої матриці обертання детермінант дорівнює +1.
Тому що обертання описуються множенням матриць, то тривимірні обертання некомутативні, тобто порядок множення буде впливати на кінцевий результат. Для того щоб показати це, розглянемо обертання навколо осі х, за яким слідує обертання на такий же кут навколо осі y. Використовуючи рівняння (4.6) і (4.7) при = Ф, одержимо
Зворотна послідовність дій, тобто обертання навколо осі y і наступне за ним обертання на такий же кут навколо осі x при = Ф дає
2.6 Відображення в просторі
Іноді потрібно виконати дзеркальне відображення тривимірного зображення. У трьох вимірах найпростіше відображення здійснюється щодо площини. Для відображення без зміни масштабів необхідно, щоб визначник перетворення дорівнював -1,0. При відображенні щодо площини xy змінюється тільки знак координати z. Отже, матриця перетворення для відображення щодо площини xy має вигляд
Відображення одиничного куба щодо площини ху показане на мал.2.7. Для відображення щодо площини уz
мал. 2.7
а для відображення щодо площини xz
мал. 2.8
Відображення щодо інших площин можна одержати шляхом комбінації обертання і відображення.
2.7 Просторовий перенос
Тривимірний лінійний перенос зображення задається виразом
Після перемножування одержимо
приклад, просторового переносу (l=2;m=-2;n=0)
мал. 2.9
2.8 Тривимірне обертання навколо довільної осі
Метод двовимірного плоского обертання навколо довільної осі був розглянений раніше. Узагальненням цього методу є спосіб обертання навколо довільної осі в тривимірному просторі. Як і для плоского випадку, розглянена процедура полягає в переносі зображення і заданої осі обертання, що забезпечує обертання навколо осі, що проходить через початок координат. Метод триви мірного обертання полягає в лінійному переносі, обертанні навколо початку координат і зворотньому лінійному переносі у вихідне положення. Якщо вісь, навколо якої виконується обертання, проходить через точку А = , то матриця перетворення визначається наступним виразом:
де елементи матриці обертання R розміру 4х4 визначаються в загальному випадку співвідношенням
Результат добутку матриць:
мал. 2.10
Порядок роботи
ЗМІСТ ЗВІТУ
Звіт повинен містити:
1) назву роботи;
2) мету роботи;
3) короткий теоретичний вступ;
4) завдання до лабораторної роботи;
5) тексти розроблених і відлагоджених програм
6) малюнки з реалізацією програми
7) висновки
Контрольні запитання
Література
Приклад реалізації програми
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
PaintBox1: TPaintBox;
Panel1: TPanel;
Label1: TLabel;
Button1: TButton;
ComboBox1: TComboBox;
LabeledEdit1: TLabeledEdit;
LabeledEdit2: TLabeledEdit;
LabeledEdit3: TLabeledEdit;
LabeledEdit4: TLabeledEdit;
Button2: TButton;
LabeledEdit5: TLabeledEdit;
LabeledEdit6: TLabeledEdit;
LabeledEdit7: TLabeledEdit;
LabeledEdit8: TLabeledEdit;
LabeledEdit9: TLabeledEdit;
LabeledEdit10: TLabeledEdit;
LabeledEdit11: TLabeledEdit;
Button3: TButton;
procedure draw_axises();
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure draw_cube();
procedure draw_rib(a,b:integer);
procedure FormResize(Sender: TObject);
procedure matrix_mull(mode:integer);
procedure calc_R();
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure ComboBox1Change(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
xc,yc:integer;
alpha:double;
llength,wwidth:integer;
cc: Array [1..8,1..4] of double = ((0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,1),
(1,0,0,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1));
ic: Array [1..8,1..4] of double = ((0,0,0,1),(0,0,1,1),(0,1,0,1),(0,1,1,1),
(1,0,0,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1));
m:Array [1..4,1..4] of double = (
(1,0,0,0),
(0,1,0,0),
(0,0,1,0),
(0,0,0,1));
mconst:Array [1..4,1..4] of double = (
(1,0,0,0),
(0,1,0,0),
(0,0,1,0),
(0,0,0,1));
implementation
uses DateUtils;
{$R *.dfm}
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
xc:=PaintBox1.Width div 2;
yc:=PaintBox1.Height div 2;
alpha:=pi/6;
llength:=PaintBox1.Height div 6;
wwidth:=6;
end;
procedure TForm1.draw_axises();
var
x,y,z,i:integer;
begin
with PaintBox1.Canvas do
begin
PaintBox1.Refresh;
Pen.Color:=clBlack;
Pen.Width:=2;
MoveTo(xc,yc);
LineTo(PaintBox1.Width,yc);
MoveTo(xc,0);
LineTo(xc,round((PaintBox1.Height)/2));
z:=xc;
x:=-round(z*cos(alpha));
y:=-round(z*sin(alpha));
MoveTo(xc,yc);
LineTo(xc+x,yc-y);
x:=xc+llength;
while (x<PaintBox1.Width) do
begin
MoveTo(x,yc-wwidth);
LineTo(x,yc+wwidth);
x:=x+llength;
end;
y:=yc-llength;
while (y>0) do
begin
MoveTo(xc-wwidth,y);
LineTo(xc+wwidth,y);
y:=y-llength;
end;
z:=round(llength*sin(alpha));
while (z<xc) do
begin
x:=-round(z*cos(alpha));
y:=-round(z*sin(alpha));
x:=xc+x-wwidth;
y:=yc-y-wwidth;
MoveTo(x,y);
x:=x+2*wwidth;
y:=y+2*wwidth;
LineTo(x,y);
z:=z+round(llength*sin(alpha));
end;
TextOut(round(PaintBox1.Width*0.98),round(yc*1.1),'X');
TextOut(round(xc*1.05),round(PaintBox1.Height*0.02),'Y');
TextOut(x,y-50,'Z');
end;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
draw_axises();
draw_cube();
end;
procedure TForm1.draw_rib(a,b:integer);
begin
with PaintBox1.Canvas do
begin
Pen.Width:=2;
Pen.Color:=clBlue;
MoveTo(round((cc[a,1]-cc[a,3]*cos(alpha)*sin(alpha))*llength+xc),
round(yc-(cc[a,2]-cc[a,3]*sin(alpha)*sin(alpha))*llength));
LineTo(round((cc[b,1]-cc[b,3]*cos(alpha)*sin(alpha))*llength+xc),
round(yc-(cc[b,2]-cc[b,3]*sin(alpha)*sin(alpha))*llength));
end;
end;
procedure TForm1.draw_cube();
var
x,y:integer;
i:integer;
begin
draw_rib(1,2);
draw_rib(1,3);
draw_rib(2,4);
draw_rib(4,3);
draw_rib(1,5);
draw_rib(5,6);
draw_rib(2,6);
draw_rib(3,7);
draw_rib(5,7);
draw_rib(7,8);
draw_rib(4,8);
draw_rib(6,8);
end;
procedure TForm1.FormResize(Sender: TObject);
begin
FormCreate(Sender);
draw_axises();
draw_cube();
end;
procedure TForm1.matrix_mull(mode:integer);
var
i,j,k:integer;
buf: Array [1..8,1..4] of double;
begin
if mode=1 then
begin
for i:=1 to 8 do
for j:=1 to 4 do
cc[i,j]:=ic[i,1]*m[1,j]+ic[i,2]*m[2,j]+ic[i,3]*m[3,j]+ic[i,4]*m[4,j];
end
else
begin
for i:=1 to 8 do
for j:=1 to 4 do
buf[i,j]:=cc[i,1]*m[1,j]+cc[i,2]*m[2,j]+cc[i,3]*m[3,j]+cc[i,4]*m[4,j];
for i:=1 to 8 do
for j:=1 to 4 do
cc[i,j]:=buf[i,j];
end;
end;
procedure TForm1.calc_R();
var
i,j:integer;
ll,mm,nn,cosb,sinb:double;
beta:double;
begin
ll:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);
mm:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);
nn:=strtofloat(LabeledEdit4.Text);
beta:=strtofloat(LabeledEdit1.Text);
beta:=beta/180*pi;
cosb:=cos(beta);
sinb:=sin(beta);
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 4 do
m[i,j]:=mconst[i,j];
m[1,1]:=ll*ll+(1-ll*ll)*cosb;
m[1,2]:=ll*mm*(1-cosb)+nn*sinb;
m[1,3]:=ll*nn*(1-cosb)-mm*sinb;
m[2,1]:=ll*mm*(1-cosb)-nn*sinb;
m[2,2]:=mm*mm+(1-mm*mm)*cosb;
m[2,3]:=mm*nn*(1-cosb)+ll*sinb;
m[3,1]:=ll*nn*(1-cosb)+mm*sinb;
m[3,2]:=mm*nn*(1-cosb)-ll*sinb;
m[3,3]:=nn*nn+(1-nn*nn)*cosb;
end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
i,j:integer;
begin
for i:=1 to 8 do
for j:=1 to 4 do
cc[i,j]:=ic[i,j];
draw_axises();
draw_cube();
end;
procedure TForm1.ComboBox1Change(Sender: TObject);
var
ind:integer;
i,j:integer;
angle:double;
begin
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 4 do
m[i,j]:=mconst[i,j];
ind:=ComboBox1.ItemIndex;
angle:=strtofloat(LabeledEdit1.text);
angle:=angle*pi/180;
case ind of
0:begin
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 4 do
if i=j then
m[i,j]:=strtofloat(LabeledEdit5.Text);
matrix_mull(1);
end;
1:begin
m[1,2]:=strtofloat(LabeledEdit6.Text);
m[1,3]:=strtofloat(LabeledEdit7.Text);
m[2,3]:=strtofloat(LabeledEdit8.Text);
m[2,1]:=strtofloat(LabeledEdit9.Text);
m[3,1]:=strtofloat(LabeledEdit10.Text);
m[3,2]:=strtofloat(LabeledEdit11.Text);
matrix_mull(1);
end;
2:begin
m[2,2]:=cos(angle);
m[2,3]:=sin(angle);
m[3,2]:=-sin(angle);
m[3,3]:=cos(angle);
matrix_mull(1);
end;
3:begin
m[1,1]:=cos(angle);
m[1,3]:=-sin(angle);
m[3,1]:=sin(angle);
m[3,3]:=cos(angle);
matrix_mull(1);
end;
4:begin
m[1,1]:=cos(angle);
m[1,2]:=sin(angle);
m[2,1]:=-sin(angle);
m[2,2]:=cos(angle);
matrix_mull(1);
end;
5:begin
m[3,3]:=-1;
matrix_mull(1);
end;
6:begin
m[1,1]:=-1;
matrix_mull(1);
end;
7:begin
m[2,2]:=-1;
matrix_mull(1);
end;
8:begin
m[4,1]:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);
m[4,2]:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);
m[4,3]:=strtofloat(LabeledEdit4.Text);
matrix_mull(1);
end;
9:begin
m[4,1]:=-strtofloat(LabeledEdit2.Text);
m[4,2]:=-strtofloat(LabeledEdit3.Text);
m[4,3]:=-strtofloat(LabeledEdit4.Text);
matrix_mull(1);
calc_R();
matrix_mull(2);
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 4 do
if i=j then
m[i,j]:=mconst[i,j];
m[4,1]:=strtofloat(LabeledEdit2.Text);
m[4,2]:=strtofloat(LabeledEdit3.Text);
m[4,3]:=strtofloat(LabeledEdit4.Text);
matrix_mull(2);
end;
end;
draw_axises();
draw_cube();
end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
begin
Close
end;
end.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора