Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Питання
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Питання1. Збіжність послідовності
Лема1. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена
Нехай .Тоді, за означенням, , тобто числова послідовність обмежена. Тобто , що .
Лема2. Послідовність не може збігатися до двох різних точок.
Нехай . В силу нерівності трикутника для
правильна нерівність .
Оскільки , . при , то .
Лема3. Для того щоб послідовність точок простору Rn , де , збігаласть до границі необхідно і досить, щоб виконувались рівності , .
Нехай , тоді . Для всіх
при при І навпаки, якщо , то , при .
Лема4. Якщо послідовність метричного простору Х збігається, то вона фундаментальна.
Нехай , що і . В силу нерівності трикутника маємо:
=.
Питання2. Границя Функції
Означення1. Нехай функція f(x) визначена в проколотому околі (x) точки метричного простору Х. Кажуть, що число А є границею функції f(x) при , якщо такке, що , яке задовольняє нерівність виконується нерівність
Означення 2 Кажуть, що функція, яка визначена в має при границю А, якщо для довільної послідовності і такої, що , виконується рівність
Еквівалентність двох означень границі доводять так само, як для функції однієї змінної.
Отже, якщо число А – границя функції f(x) при , то пишуть =A
У випадку двох незалежних змінних, тобто якщо функція f(x,y) визначена в проколеному околі і число А – границя при , то пишуть
Число А називається подвійною границею.
Аналогічно для функції n змінних рівність =A записують ще так:
Лема1. Нехай функції f(x) і визначені в і в . Якщо то і .
Оскільки , то знайдеться куля , що для всіх виконується: . Тим більше, для всіх виконується нерівність , тобто .
Питання 3
Нехай функція f(x) неперервна в області і набуває в цій області значень А і В. Тоді функція f(x) набуває в області G всі значення, що містяться між А і В.
Оскількі область зв’язана множина, то будь-які дві точки можна з’єднати ламаною (чи кривою), яку можна параметризувати параметром t. Нехай f(a)=A, f(b)=B. З’єднаємо точки a і b неперервною кривою
. Оскільки f(x(t)) - неперервна функція, то вона, як функція однієї змінної набуває всіх значень між A і B.
Зауважимо, що з цієї теореми слідує, що якщо і , то функція обов’язково в деякій точці набуває нульового значення
Питання4
Л.3п.2.теорема3
Достатня умова диференційованості функції в точці
Якщо всі частинні похідні визначені в околі точки і неперервні в точці , то функція f(x) диференційована в точці .
Розглянемо випадок трьох змінних. Загальний випадок доводиться аналогічно. Нехай - визначені в деякій кулі і неперервні в точці . Запишемо приріст функції у вигляді
Кожна з трьох різниць правої частини є частинним приростом функції по одній змінній.
Застосовуємо формулу Лагранжа для першої різниці:
Оскільки - неперервна функції в точці , то
Аналогічно отримуємо
Де функції мають скінченні границі при
Отже
А функція записана в такому вигляді є диференційована.
Питання5.Л.3 п.4 Диференціал. Інваріантність форми першого диференціалу.
Нехай функція f(x) диференційована в точці . Тоді при можна записати
Покладемо за означенням
Якщо функція f(x) диференційована в точці , то лінійну частину відносно приростів незалежних змінних
(*)
називають диференціалом функції f(x) в точці .
Тоді при
Вираз (*) також називають першим диференціалом функції f(x) в точці .
Знайдемо диференціал складної функції. Нехай функції диференційовані в точці , а функція є диференційованою в точці . За відповідною теоремою складна функція є диференційованою в точці . Тоді можна записати
=
Отже
Якщо б були новими незалежними змінними, то диференціал мав би вигляд
Формально даний диференціал має такий самий вигляд як і попередній відносно змінних. Кажуть, що форма першого диференціалу інваріантна відносно заміни змінних.
Нехай функція f(x) диференційована в деякій області . Тоді в кожній точці можна записати диференціал
Цей диференціал є функцією 2n змінних
Правила диференціювання такі ж як і для функції однієї змінної
;
; 3),
Питання6. Похідна за напрямком градієнт.(л4,п1 теорема)
Нехай функція f(x,y,z) визначена в області і нехай точка P .Розглянемо промінь, що проходить через точку Р, і паралельний до вектора , де .Оскільки Р – внутрішня точка G, то можна знайти таке, що відрізок
лежить в області G.
Похідною функції f(x,y,z) в точці за напрямком називають
Теорема. Якщо функція f(x,y,z) диференційована в точці P , то похідну за напрямком в цій точці можна обчислити за формулою:
(1)
Доведення полягає у використанні правила знаходження похідної складної функції.
Важливим є вектор, який називають градієнтом функції в точці і позначають , і який визначають так:
(де - напрямні орти відповідних осей Ox,Oy,Oz )
Тоді рівність (1) можна записати:
(скалярний добуток векторів)
Зауважимо, що з рівності (2) слідує, що - це напрямок, це напрямок за яким похідна набуває найбільшого значення.
Якщо ввести символічний вектор(оператор Гамільтона)
=
І вважати, шо
То формулу(1) можна записати так:
Питання7.теорема про рівність мішаних похідних(л4.п2)
Якщо обидві змішані похідні , визначені в околі точки і неперервні в цій точці, то .
Нехай змішані похідні визначені в прямокутнику і неперервні в точці . Розглянемо в прямокутнику П функцію
При фіксованому розглянемо на інтервалі функцію
Тоді
Застосуємо формулу Лагранжа по x для правої частини цього виразу. Тоді
()=
Застосуємо ще раз формулу Лагранжа по змінній y :
(1)
Введемо допоміжну функцію для фіксованого .
Тоді міркуючи аналогічно, можемо записати
=
=
= (2)
З рівностей (1), (2) слідує, що
Перейшовши до границі при і врахувавши неперервність частинних похідних отримаємо, що (
Нехай f(x) - функція n - змінних, то
Можна довести, що якщо дана похідна і всі інші похідні m -го порядку, утворені при всіх можливих перестановках індексів визначені в околі т. і неперервні в т., то всі ці похідні рівні між собою в т..
Питання8. Теореми про неявні функції(формулювання ) (л5п1)
Теорема1 Нехай
а) функція F(x,y) має в околі точки неперервні частинні похідні ;
б) F()=0;
в) ;
Тоді існує прямокутник
в якому рівняння F(x,y)=0 визначає y як неявну функцію від x. Функція y=f(x) неперервно-диференційована на інтервалі - і
Теорема2. Нехай виконуються умови:
а) функції неперервно-диференційовані в клітковому околі точки
б)
в)
Тоді знайдуться кліткові околи такі, що в околі система рівнянь визначає змінні як неявні функції від змінних . Неявні функції є неперервно-диференційовані в околі і . При цьому похідні можуть буди знайдені із системи
.
Питання 9. Поняття регулярного відображення; Теорема про існування оберненого відображення (формулювання)(л5п2)
Неперервно-диференційовані відображення називають регулярним, якщо в області G, визначник, який називають якобіаном і позначають , відмінний від нуля, тобто . Якобіаном(від прізвища німецького математика Якобі) називають функціональний визначник
Теорема Нехай G - відкрита множина в , відображення є регулярним. Тоді в кожній точці для цього відображення, тобто знайдуться такі околи і , де , що відображення буде взаємно однозначним і його обернене відображення - буде регулярним.
Питання 10. Екстремум функції багатьох змінних; Необхідні умови екстремуму(л6 п1теорема1); Достатні умови екстремуму(л6 п2)
Нехай функція f(x) визначена в області . Точку називають точкою(локального) мінімуму функції f(x), якщо знайдеться така куля , що для всіх виконується нерівність . Точку зазивають точкою строгого мінімуму, якщо , що для всіх виконується нерівність . Аналогічно визначають - точку максимуму(строгого максимум) якщо виконується нерівність (). Точки мінімуму і максимуму називають точками екстремуму
Необхідні умови існування точок екстремуму сформульовані в наступній теоремі.
Теорема.(необхідні умови екстремуму) Якщо в точці екстремуму функції f(x) існує частинна похідна , то ця похідна дорівнює нулю.
Нехай, Наприклад, існує похідна .Розглянемо функцію однієї змінної . Оскільки - точка екстремуму(наприклад, мінімуму), то існує куля така, що нерівність для всіх точок цієї кулі. Зокрема, для повинна виконуватися нерівність
Отже функція однієї змінної має в точці мінімуму, тому , тобто
Теорема2 (Достатні умови екстремуму)
Нехай функція f(x) має в околі точки неперервні частинні похідні другого порядку і нехай .Тоді, якщо другий диференціал є додатно визначеною квадратичною формою, то точка - точка строгого мінімуму функції f(x); якщо - від’ємна визначена квадратична форма, то - точка строгого максимуму функції f(x); якщо - невизначена квадратична форма, то функція f(x) не має екстремуму в точці x0 .
Для функції f(x) запишемо формулу Тейлора, враховуючи, що . Отже
де (1)
Нехай
Є додатно визначеною формою. В силу Леми існує додатне число таке, що
Врахувавши цю нерівність, з формули(1) отримаємо
+=
(2)
Очевидно, що знайдеться куля я така, що виконується нерівність
Тоді з формули (2) слідує, що для виконується нерівність
а це означає, що x0 - точка строгого мінімуму функції f(x)
Аналогічно доводять, що тоді коли - від’ємна визначена форма, то x0 - точка строгого максимуму функції f(x) ☺
Питання 11 Умовний екстремум. Знаходження екстремуму методом множників Лагранжа(формулювання)(л6 п3,4)
Нехай на відкритій множині задані функції
І нехай E - множина точок таких, що задовольняють систему рівнянь
(1)
Рівняння (1) називають рівняннями зв’язку
Точка називається точкою умовного мінімуму функції f(x) при наявності умов (1), якщо знайдеться такий окіл , що для всіх точок виконується нерівність ,
(скажуть також, що функція f(x) в точці x0 має відносний локальний мінімум); при цьому кажуть, що точка x0 - точка строгого локального відносного мінімуму, якщо .
Аналогічно визначають точки відносних максимумів.
Розглянемо функцію n+m змінних де . Числа називають множниками Лагранжа, а - функцією Лагранжа
Теорема(Лагранжа) Нехай x0 - точка умовного екстремуму функції f(x) при наявності зв’язку (1) і нехай функція , є неперервно-диференційована в оклоі точки x0, причому в точці x0 ранг матриці Якобі
A=
дорівнює m . Тоді знайдуться такі множники Лагранжа , що точка буде стаціонарною точкою функції Лагранжа.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора