Формули з Інші. Робота № 514799

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Інші

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Не вказано

Кафедра:

Не вказано

Інформація про роботу

Рік:

2015

Тип роботи:

Формули

Предмет:

Інші

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

15. Формула Гріна. Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду. Розглянемо подвійний інтеграл Запишемо його вигляді повторного інтеграла, а саме, = (*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом: = Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді =+++= Аналогічно отримаємо формулу (*) Віднімаючи почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо 17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його. Нехай проста поверхня, задана рівнянням = і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні і позначають . Отже за означенням . Використавши формулу dS= = отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду: . Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду . Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл де -поверхня конуса z=x+y, 0≤z≤1, 18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення. Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли і , то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так: . Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій (АВ). Нехай на кривій (АВ) задана функція f(x,y,z). Будуємо аналогічно міркуючи отримаємо. Обчислення : У випадку просторової кривої яка задана параметричними рівняннями x=, y= z= де , де ,- неперервно диференційовані функції на відрізку[], криволінійний інтеграла обчислюється за фоммулою dt Випадок коли плоска крива АВ задана явним рівнянням y=, де = неперервнодиференційовна функція на проміжку [a,b]. Тоді взявши за параметр x=t формула криврл. Інтегралу набуде вигляду , якщо рівняння кривої задано x=, с то 19.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру. Теорема: Нехай в однозв’язній області G, функції P(x,y), Q(x,y) визначені і неперервні зі своїми похідними . Для того щоб виконувалася рівність (*) де L-простий заикнутий контур в області G виконувалася рівність (**). Необхідність. Нехай виконується рівність (*) тоді за формулою Гріна (***)де DG. Припустимо що рівність (*) виконується а умова (**) не виконкється хоч би в одній точці тобто в точці М(x,y)D. Нехай >0 в точці М. оскільки є неперервною функцією в області G,то це означає що вираз буде додатнім в деякому достатньому малому околі точки М. Тобі , що суперечить умові (***) . наше припущення не правильне. Отже Достатність. Дано . Довести що Візьмемо довільний контур L, що обмежує область DG. За формулою Гріна 20.Звязок криволінійного інтегралу 2 роду з повним диференціалом функції(відновлення функції F(x,y)). Для того щоб вираз Pdx + Qdy був повним диференціалом деякої функції F(x,y), необхідно і досить виконання рівності . Дано: вираз Pdx+Qdy є поданим диференціалом функції F(x,y). Доведемо що оскільки повний диференціал функції F(x,y), то і оскільки - неперервні функції, то за теоремою пропро рівність мішаних похідних =, а це означає що . 21. Зведення потрійного інтегралу до повторного. Обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення повторного інтеграла як і у випадку з подвійними інтегралами.Нехій функція f(x,y,z) є неперервною в деякій замкненій області V. А це означає, що існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області V. Розглянемо область у вигляді паралелепіпеда П={(x,y,z):a}, який проектується на площину Ozy в прямокутник R={(y,z): }. Аналогічно,як і для подвійного інтеграла,доводять наступну теорему: Якщо для функції f(x,y,z)існує протрійний інтеграл і при кожному x існує подвійний інтеграл =, то існує повторний інтеграл і виконується рівність = . Перейшовши в подвійному інтегралі до повторного отримаємо = 22. Зміна змінних у подвійному інтегралі;Перехід до полярних координат. //Розглянемо подвійний інтеграл де D- область, обмежена простим кусково-гладким контуром L,a функція є неперервною в обл. D x=x(), y=y(). Для того щоб змінити зміння перш за все потрібно розбит область D’ на n частинок (), де D’ область на площині O. потім розбивається область D на Переглянемо перехід в подвійному інтегралі до полярних координат: x= де праві частини є неперервно диференційованими функціями за змінними і . Якобіан І() === Звідци ми отримуємо , де -улумент площі в полярних координатах,D-область інтегрування в декартовій системі координат, D-область інтеграла в полярній системі 23. Обчислення площ та об’ємів за допомогою подвійного інтегралу. Обчислити площу плоскої фігури D обмеженими лініями: x=a, x=b, y=Y(x), y=Y(x). На рис. D має вигляд: S= Нехай тіло (V) обмежене поверхнями z=f(x,y), z=f(x,y), де функції f(x,y), f(x,y) визначені в області спільній D. Рис. f(x,y) Лего показати що об’єм V обчислюється за формулою: V= 24.Зведення подвійного інтегралу до повторного на елементарній області(л8п6) Теорема.6. нехай - елементарна відносно осі Oy область, функція f(x,y) інтегрована в області і для кожного існує інтеграл Тоді має місце формула ￮ Нехай c= Очевидно, що область лежить в прямокутнику . Побудуємо функцію F(x,y) таким чином: (2) Оскільки функція F(x,y) інтегрована на множині і на , то існує подвійний інтеграл Існують для кожного інтеграли Отже виконуються всі умови теореми про зведення подвійного інтегралу до повторного. Тому Підставивши(2) в останню формулу отримаємо рівність (1). Наслідок. Для функції f(x,y) неперервної в області виконується формула (1) 25. Подвійний інтеграл та його властивості.(л8п3,4) Розглянемо тіло V, яке зверху обмежене поверхнею , визначена на деякій області G ); з боку тіло обмежене циліндричною поверхнею; в основі маємо плоску область G: Щоб обчислити об’єм тіла V використаємо традиційний в інтегральному численні спосіб. А саме: Робиваємо шукану величину на елементарні частини Наближено обчислюємо ці елементарні частини і сумуємо їх Переходимо до границі суми В даному випадку розбиває сіткою кривих область G на частинки . Позначимо площі цих частинок . Розглянемо циліндричні стовпчики , які мають основи і в сукупності складають тіло V. Для обчислення об’єму циліндричного стовпчика візьмемо в кожній частині точку і побудуємо циліндр з основою , площа якої і висота .Об’єм такого елементарного циліндра дорівнює добутку і приблизно дорівнює об’ємові , тобто . Тоді об’єм тіла V наближано обчислюється за формулою (1) Права частина рівності 1 є інтегральною сумою для функції , обмеженої в області G . Позначивша через - найбільший з діаметрів областей і перейшовши при до границі(якщо вона існує) отримаємо подвійний інтеграл , який позначають . Властивості подвійного інт. є аналогічними до властивостей кратного: 1.Правильна рівність Справді для довільного розбиття Т виконується рівність 2. Якщо і – інтегрована на вимірна за Жорданом множині G функція, то 3.Якщо - інтегровані на множині G функції, а і - довільні дійсні числа, то і функція є інтегрованою на G причому 4. якщо і - інтегровані на множині G функції і при , то 5.Якщо функція f(x) неперервна на зв’язному вимірному компакті G, то знайдеться точка така, що 6. Якщо є розбиття множини G , то функція є інтегрованою на множині G тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована на кожній із множин , причому 7.Добуток інтегрованих на вимірній множині G функцій є інтегрована на множині G функція. 8. Якщо функція інтегрована на вимірній множині G , то функція також інтегрована і 26. Циліндричні координати Положення точки M(x,y,z) в координатні системі Oxyz однозначно визначається трьома числами ρ,φ,z – криволінійними координатами, де ρ – довжина радіус-вектора проекції точки М на площину Оху, φ – кут, що утворює цей радіус-вектор з віссю Ох, ξ – апліката точки М. Числа ρ,φ,z (або ρ,φ, ξ) називаються циліндричними координатами точки М. Циліндричні координати пов'язані з декартовими координатами співвідношеннями: x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = ξ, (1) при чому ρ≥0, 0≤φ<2 π , -∞< ξ <+∞. Відображення, яке задано рівностями (1) є неперервно диференційованим і якобіан цього відображення: I = = = ρ. Запишем формулу: = , де ρdρdφdz – елемент об'єму в циліндричних координатах. 27. Сферичні координати Положення точки M(x,y,z) можна однозначно задати числами ρ,θ,φ, де ρ – довжина радіус-вектора точки М, φ – кут, який утворює з віссю Ох проекція радіус-вектора точки М на площину Оху, θ – кут , який утворює радіус-вектор точки М з віссю Оz. Числа ρ,θ,φ називаються сферичними координатами точки М. Сферичні координати ρ,θ,φ зв'язані з декартовими координатами такими співвідношеннями: x = ρsinθcosφ, y = ρsinθsinφ, z = ρcosθ, при чому 0≤ ρ<+∞, 0≤ θ <π, 0≤ φ<2 π. Обчислимо якобіан: ∂ I(ρ,θ,φ)= = = = ρ²sinθcos²θ + ρ²sin³θ = ρ²sinθ. Використовуючи отримане, запишем формулу: = = , де ρ²sinθdρdθdφ – елемент об'єму в сферичних координатах. 28. Криволінійний інтеграл. Маса кривої наближено рівна m = . Ця сума називається інтегральною сумою для функції f(x,y) на дузі (АВ). Якщо існує границя цієї інтегральної суми при прямуванні λ = max∆Si до 0, то ця границя називається криволінійним інтегралом 1-го роду від ф-ї f(x,y) по кривій L і позначається символом або . Отже =. Поняття криволінійного інтеграла 1 роду по просторовій L: = . Обчислення: інтегральна сума криволінійного інтеграла: . Цей вираз є інтегральною сумою для визначеного інтеграла: . Одже = (R) . Зробивши заміну змінної в правій частині цієї рівності отримаємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду: = (1). Якщо крива L задана рівнянням у = ψ(х), а≤х≤b, φ(х) – неперервно диференційована функція на відрізку [а,b], то взявши х за параметр, формула(1) буде виглядати: = . Якщо L-просторова крива: x=x(t), y=y(t), z=z(t), λ≤t≤β, де x(t), y(t), z(t) – неперервно диференційовані функції на відрізку [λ,β]. f(x,y,z) – неперервна на кривій L, то = . 29. Означення Кратного інтегралу Рімана Нехай Функція f(x) визначена на вимірній за Жорданом множині G, а T - розбиття множини . візьмемо на кожній множині точку . Вираз Називають інтегральною сумою Рімана для функції f(x) на множині G , що відповідає розбиттю T і вибірці точок . Означення. Число I називається границею інтегральної суми при дрібності , якщо таке, що для довільного розбиття T з дрібністю і довільної вибірки виконується нерівність При цьму пишуть Число I називають кратним інтегралом Рімана від функції f(x) на множині G, а функцію – інтегрованою на множині G. Для кратного інтеграла Рімана використовують позначення При n=1 маємо визначений інтеграл. При n=2 інтеграл називають подвійним інтегралом, при n=3 - потрійним інтегралом. Відповідно позначають ці інтеграли Де D - область на пл.Oxy. V - деяка обмежена замкнена множина в прямокутній сист. координат Oxyz. 30. Поверхневий інтеграл II роду і його обчислення Нехай задана проста поверхня : x=, y= z= , і нехай в деякому околі поверхні задано неперервне векторне поле, тобто визначена вектор-функція (x,y,z) =P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Функції P,Q,R є неперервними в деякій області, що містить поверхню . Орієнтуємо поверхню одиничними нормалями =, =[,] (1) Протилежна орієнтація поверхні виникає при зміні в формулі (1) вектора на вектор (-). Зауважимо, що для простої поверхні 0 Спроектуємо в кожній точці поверхні вектор на нормальний вектор. Тоді на поверхні буде визначена неперервна функція F(x,y,z)=(,), знак якої залежить від орієнтації поверхні. Потоком вектор-функції (x,y,z) через орієнтовану поверхню називають поверхневий інтеграл першого роду (3) Перейдемо до інших форм запису інтеграла (3).Нагадаємо, що =(x, y, z)=() (10) Елемент поверхні ds проектується на dxdy елемент площини (Рис.2) Для достатньо малих ds можна записати =dxdy. Аналогічно можемо записати ds= dzdx, ds= dydz = або = (4) Зауважимо, що часто праву частину формули (4) визначають як поверхневий інтеграл ІІ роду. Знайдемо формули обчислення криволінійного інтеграла 4: =,)(,)dudv= ,)dudv Теорема про неперервність інтеграла, залежного від параметра. Теорема 2. Якщо функція визначена і неперервна як функція від двох змінних в прямокутнику , то інтеграл є неперервною функцією від параметра . ○ За теоремою Кантора функція , неперервна на компакті, є рівномірно неперервною на цьому компакті, тобто для , що із нерівностей , слідує нерівність . Покладемо , . Тоді при для будь-якого маємо , а це означає, що при (прямує) рівномірно відносно . Відповідно за теоремою 1 отримуємо , тобто , а це означає, що функція є неперервною на відрізку , оскільки – довільна точка цього проміжку. ● Оскільки функція є неперервною на проміжку , то ця функція є інтегрованою на . Теорема 2. Якщо функція є неперервною в прямокутнику , то . ○ Кожен з повторних інтегралів у цій формулі дорівнює подвійному інтегралу від функції на прямокутнику П.● 32. Диференціювання по параметру інтеграла, межі якого залежать від параметра. Розглянемо інтеграл (1). Теорема 5. Нехай функція визначена і неперервна в області , де , – неперервні функції. Тоді інтеграл (1) є неперервною функцією від на проміжку . ○ Інтеграл (1) можна записати у вигляді (2). Перший інтеграл, в якого межі сталі, при прямує до інтеграла за теоремою 2. Два інші інтеграли (2) допускають оцінки , (3), де . В силу неперервності функцій , при інтеграли (3) прямують до нуля. Отже, ● Теорема 6. Якщо при умовах теореми 5 функція має неперервну похідну , також існують похідні , , то інтеграл (1) має похідну по параметру, яка обчислюється за формулою: (4). ○ Використаємо рівність (2). За теоремою 4 перший інтеграл в точці має похідну (5). Для другого інтеграла рівності (2) значення якого при є нуль, за теоремою про середнє отримаємо , де міститься між і . Звідси похідна другого інтеграла при дорівнює (6). Аналогічно для похідної третього інтеграла рівності (2)отримаємо вираз (7). Сумуючи вирази (5), (6), (7) отримаємо формулу (4). ● 33. Формула Стокса. Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом і криволінійним інтегралом ІІ роду по кривій, що оточує цю поверхню. Нехай задана гладка поверхня . Позначимо символом межу цієї поверхні. Виберемо додатну орієнтацію поверхні, тобто якщо дивитися з кінця нормалі, то обхід вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки. Нормаль з віссю в кожній точці поверхні утворює гострий кут. Нехай – рівняння простої поверхні , і на цій поверхні задана неперервно диференційовна функція . Оскільки і координати контура задовольняють рівняння , то значення функції на контурі дорівнюють значенням функції на контурі – проекції на площину контура . Отже, (1). До правої частини рівності (1) застосуємо формулу Гріна: (2). За формулою диференціювання складної функції отримаємо: (3). Підставимо праву частину рівності (3) в формулу (2). Тоді (4). Врахувавши, що , перетворимо в рівності (4) подвійний інтеграл на поверхневий: ; . Для поверхні, заданої рівнянням , напрямні косинуси нормалі обчислюються за формулами: ; ; , де , , звідки ми отримуємо (6). Використавши (5), (6), з рівності (4) отримаємо (7). Аналогічно можна отримати формули: (8), (9), де , – неперервно диференційовні функції на поверхні , заданій рівнянням . За формулами (7), (8), (9)можемо записати: Цю формулу (10) називають формулою Стокса. Позначивши вектор , врахувавши означення циркуляції і потоку векторного поля, суть формули (10) можемо сформулювати в наступній теоремі. Теорема (Стокса). Циркуляція векторного поля по контуру дорівнює потоку (вихора) вектора через поверхню , натягнуту на контур , тобто (11) (формула Стокса у векторній формі). Також, врахувавши рівності , , , формулу (10) можна записати у вигляді: . Зауважимо, що з формули (12) отримаємо формулу Гріна, якщо за поверхню взяти плоску область на площині . Справді, поклавши , з формули (12) отримуємо . 34. Формула Гаусса-Остроградського. Формула Гаусса-Остроградського встановлює зв'язок поверхневого інтегралу ІІ роду по замкненій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, яка обмежена цією поверхнею. Теорема. Нехай – обмежена область, межа якої – кусково-гладка поверхня, орієнтована зовнішніми нормалями. В області задано неперервно диференційовне поле . Тоді потік векторного поля через межу області дорівнює потрійному інтегралу від по області , тобто (1) або (2). Формулу (1) або (2) називають формулою Гаусса-Остроградського; відповідно у векторній формі (1) і координатній (2). ○ Розглянемо область , яка є правильною (елементарною) відносно осі і обмежена поверхнями , . Область проектується на площину в правильну область , в якій функції , є неперервними. Поверхня є об’єднанням поверхонь . При заданих умовах існує потрійний інтеграл і його можна записати у вигляді повторного інтеграла: (3) В цій формулі дописали третій доданок, оскільки . Рівність (3) можна записати так: (4). Можна показати, що формула (4) є правильною для області, обмеженої довільними кусково-гладкими поверхнями (розбиваючи їх на елементарні частини). Аналогічно можна отримати рівності (5), де область – правильна відносно осі ; (6), де – правильна область відносно осі . Тепер, нехай область є правильною відносно трьох осей одночасно. Тоді, додавши відповідно праві і ліві частини рівностей (4), (5), (6) отримаємо формулу Гаусса-Остроградського (2). ● Зауваження. Якщо покласти , то за формулою (2) можна обчислити об’єм області : , де – поверхня, що обмежує область . Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то об’єм області , обмежений поверхнею можна обчислити за формулою: .

Формули Інші

2015

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись

Інформація про навчальний заклад

Інформація про роботу

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Коментарі

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Оголошення від адміністратора

Admin

Вхід на сайт

Поскаржитися на роботу