Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Формули
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
15. Формула Гріна.
Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду.
Розглянемо подвійний інтеграл Запишемо його вигляді повторного інтеграла, а саме, = (*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом:
= Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді =+++=
Аналогічно отримаємо формулу (*)
Віднімаючи почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо
17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його.
Нехай проста поверхня, задана рівнянням = і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні і позначають . Отже за означенням . Використавши формулу dS= = отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду:
. Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду .
Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл де -поверхня конуса z=x+y, 0≤z≤1,
18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення.
Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли і , то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так: . Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій (АВ). Нехай на кривій (АВ) задана функція f(x,y,z). Будуємо аналогічно міркуючи отримаємо.
Обчислення :
У випадку просторової кривої яка задана параметричними рівняннями x=, y= z= де , де ,- неперервно диференційовані функції на відрізку[], криволінійний інтеграла обчислюється за фоммулою dt
Випадок коли плоска крива АВ задана явним рівнянням y=, де = неперервнодиференційовна функція на проміжку [a,b]. Тоді взявши за параметр x=t формула криврл. Інтегралу набуде вигляду , якщо рівняння кривої задано x=, с то
19.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру.
Теорема: Нехай в однозв’язній області G, функції P(x,y), Q(x,y) визначені і неперервні зі своїми похідними . Для того щоб виконувалася рівність (*) де L-простий заикнутий контур в області G виконувалася рівність (**).
Необхідність. Нехай виконується рівність (*) тоді за формулою Гріна (***)де DG.
Припустимо що рівність (*) виконується а умова (**) не виконкється хоч би в одній точці тобто в точці М(x,y)D. Нехай >0 в точці М. оскільки є неперервною функцією в області G,то це означає що вираз буде додатнім в деякому достатньому малому околі точки М. Тобі , що суперечить умові (***) . наше припущення не правильне. Отже
Достатність. Дано . Довести що Візьмемо довільний контур L, що обмежує область DG. За формулою Гріна 20.Звязок криволінійного інтегралу 2 роду з повним диференціалом функції(відновлення функції F(x,y)).
Для того щоб вираз Pdx + Qdy був повним диференціалом деякої функції F(x,y), необхідно і досить виконання рівності .
Дано: вираз Pdx+Qdy є поданим диференціалом функції F(x,y). Доведемо що оскільки повний диференціал функції F(x,y), то і оскільки - неперервні функції, то за теоремою пропро рівність мішаних похідних =, а це означає що .
21. Зведення потрійного інтегралу до повторного.
Обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення повторного інтеграла як і у випадку з подвійними інтегралами.Нехій функція f(x,y,z) є неперервною в деякій замкненій області V. А це означає, що існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області V. Розглянемо область у вигляді паралелепіпеда
П={(x,y,z):a}, який проектується на площину Ozy в прямокутник R={(y,z): }. Аналогічно,як і для подвійного інтеграла,доводять наступну теорему: Якщо для функції f(x,y,z)існує протрійний інтеграл і при кожному x існує подвійний інтеграл =, то існує повторний інтеграл і виконується рівність = .
Перейшовши в подвійному інтегралі до повторного отримаємо =
22. Зміна змінних у подвійному інтегралі;Перехід до полярних координат.
//Розглянемо подвійний інтеграл де D- область, обмежена простим кусково-гладким контуром L,a функція є неперервною в обл. D x=x(), y=y(). Для того щоб змінити зміння перш за все потрібно розбит область D’ на n частинок (), де D’ область на площині O. потім розбивається область D на
Переглянемо перехід в подвійному інтегралі до полярних координат: x= де праві частини є неперервно диференційованими функціями за змінними і . Якобіан
І() ===
Звідци ми отримуємо , де -улумент площі в полярних координатах,D-область інтегрування в декартовій системі координат, D-область інтеграла в полярній системі
23. Обчислення площ та об’ємів за допомогою подвійного інтегралу.
Обчислити площу плоскої фігури D обмеженими лініями: x=a, x=b, y=Y(x), y=Y(x).
На рис. D має вигляд: S=
Нехай тіло (V) обмежене поверхнями z=f(x,y), z=f(x,y), де функції f(x,y), f(x,y) визначені в області спільній D. Рис.
f(x,y)
Лего показати що об’єм V обчислюється за формулою: V=
24.Зведення подвійного інтегралу до повторного на елементарній області(л8п6)
Теорема.6. нехай - елементарна відносно осі Oy область, функція f(x,y) інтегрована в області і для кожного існує інтеграл
Тоді має місце формула
￮ Нехай c=
Очевидно, що область лежить в прямокутнику .
Побудуємо функцію F(x,y) таким чином:
(2)
Оскільки функція F(x,y) інтегрована на множині і на , то існує подвійний інтеграл Існують для кожного інтеграли
Отже виконуються всі умови теореми про зведення подвійного інтегралу до повторного. Тому
Підставивши(2) в останню формулу отримаємо рівність (1).
Наслідок. Для функції f(x,y) неперервної в області виконується формула (1)
25. Подвійний інтеграл та його властивості.(л8п3,4)
Розглянемо тіло V, яке зверху обмежене поверхнею , визначена на деякій області G ); з боку тіло обмежене циліндричною поверхнею; в основі маємо плоску область G:
Щоб обчислити об’єм тіла V використаємо традиційний в інтегральному численні спосіб. А саме:
Робиваємо шукану величину на елементарні частини
Наближено обчислюємо ці елементарні частини і сумуємо їх
Переходимо до границі суми
В даному випадку розбиває сіткою кривих область G на частинки . Позначимо площі цих частинок . Розглянемо циліндричні стовпчики , які мають основи і в сукупності складають тіло V.
Для обчислення об’єму циліндричного стовпчика візьмемо в кожній частині точку і побудуємо циліндр з основою , площа якої і висота .Об’єм такого елементарного циліндра дорівнює добутку і приблизно дорівнює об’ємові , тобто .
Тоді об’єм тіла V наближано обчислюється за формулою
(1)
Права частина рівності 1 є інтегральною сумою для функції , обмеженої в області G . Позначивша через - найбільший з діаметрів областей і перейшовши при до границі(якщо вона існує) отримаємо подвійний інтеграл
, який позначають .
Властивості подвійного інт. є аналогічними до властивостей кратного:
1.Правильна рівність
Справді для довільного розбиття Т виконується рівність
2. Якщо і – інтегрована на вимірна за Жорданом множині G функція, то
3.Якщо - інтегровані на множині G функції, а і - довільні дійсні числа, то і функція є інтегрованою на G причому
4. якщо і - інтегровані на множині G функції і при , то
5.Якщо функція f(x) неперервна на зв’язному вимірному компакті G, то знайдеться точка така, що
6. Якщо є розбиття множини G , то функція є інтегрованою на множині G тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована на кожній із множин , причому
7.Добуток інтегрованих на вимірній множині G функцій є інтегрована на множині G функція.
8. Якщо функція інтегрована на вимірній множині G , то функція також інтегрована і
26. Циліндричні координати
Положення точки M(x,y,z) в координатні системі Oxyz однозначно визначається трьома числами ρ,φ,z – криволінійними координатами, де ρ – довжина радіус-вектора проекції точки М на площину Оху, φ – кут, що утворює цей радіус-вектор з віссю Ох, ξ – апліката точки М. Числа ρ,φ,z (або ρ,φ, ξ) називаються циліндричними координатами точки М. Циліндричні координати пов'язані з декартовими координатами співвідношеннями:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = ξ, (1) при чому ρ≥0, 0≤φ<2 π , -∞< ξ <+∞. Відображення, яке задано рівностями (1) є неперервно диференційованим і якобіан цього відображення:
I = = = ρ.
Запишем формулу:
= , де ρdρdφdz – елемент об'єму в циліндричних координатах.
27. Сферичні координати
Положення точки M(x,y,z) можна однозначно задати числами ρ,θ,φ, де ρ – довжина радіус-вектора точки М, φ – кут, який утворює з віссю Ох проекція радіус-вектора точки М на площину Оху, θ – кут , який утворює радіус-вектор точки М з віссю Оz. Числа ρ,θ,φ називаються сферичними координатами точки М. Сферичні координати ρ,θ,φ зв'язані з декартовими координатами такими співвідношеннями: x = ρsinθcosφ, y = ρsinθsinφ,
z = ρcosθ, при чому 0≤ ρ<+∞, 0≤ θ <π, 0≤ φ<2 π.
Обчислимо якобіан: ∂
I(ρ,θ,φ)= = =
= ρ²sinθcos²θ + ρ²sin³θ = ρ²sinθ.
Використовуючи отримане, запишем формулу: =
= , де ρ²sinθdρdθdφ – елемент об'єму в сферичних координатах.
28. Криволінійний інтеграл. Маса кривої наближено рівна m = . Ця сума називається інтегральною сумою для функції f(x,y) на дузі (АВ). Якщо існує границя цієї інтегральної суми при прямуванні λ = max∆Si до 0, то ця границя називається криволінійним інтегралом 1-го роду від ф-ї f(x,y) по кривій L і позначається символом або .
Отже =. Поняття криволінійного інтеграла 1 роду по просторовій L: = . Обчислення: інтегральна сума криволінійного інтеграла: . Цей вираз є інтегральною сумою для визначеного інтеграла: . Одже = (R) . Зробивши заміну змінної в правій частині цієї рівності отримаємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду: = (1). Якщо крива L задана рівнянням у = ψ(х), а≤х≤b, φ(х) – неперервно диференційована функція на відрізку [а,b], то взявши х за параметр, формула(1) буде виглядати: = . Якщо L-просторова крива: x=x(t), y=y(t), z=z(t), λ≤t≤β, де x(t), y(t), z(t) – неперервно диференційовані функції на відрізку [λ,β]. f(x,y,z) – неперервна на кривій L, то
= .
29. Означення Кратного інтегралу Рімана
Нехай Функція f(x) визначена на вимірній за Жорданом множині G, а T - розбиття множини . візьмемо на кожній множині точку . Вираз
Називають інтегральною сумою Рімана для функції f(x) на множині G , що відповідає розбиттю T і вибірці точок .
Означення. Число I називається границею інтегральної суми при дрібності , якщо таке, що для довільного розбиття T з дрібністю і довільної вибірки виконується нерівність
При цьму пишуть
Число I називають кратним інтегралом Рімана від функції f(x) на множині G, а функцію – інтегрованою на множині G.
Для кратного інтеграла Рімана використовують позначення
При n=1 маємо визначений інтеграл.
При n=2 інтеграл називають подвійним інтегралом, при n=3 - потрійним інтегралом. Відповідно позначають ці інтеграли
Де D - область на пл.Oxy.
V - деяка обмежена замкнена множина в прямокутній сист. координат Oxyz.
30. Поверхневий інтеграл II роду і його обчислення
Нехай задана проста поверхня :
x=, y= z= , і нехай в деякому околі поверхні задано неперервне векторне поле, тобто визначена вектор-функція
(x,y,z) =P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z).
Функції P,Q,R є неперервними в деякій області, що містить поверхню . Орієнтуємо поверхню одиничними нормалями
=, =[,] (1)
Протилежна орієнтація поверхні виникає при зміні в формулі (1) вектора на вектор (-).
Зауважимо, що для простої поверхні 0
Спроектуємо в кожній точці поверхні вектор на нормальний вектор. Тоді на поверхні буде визначена неперервна функція F(x,y,z)=(,), знак якої залежить від орієнтації поверхні. Потоком вектор-функції (x,y,z) через орієнтовану поверхню називають поверхневий інтеграл першого роду
(3)
Перейдемо до інших форм запису інтеграла (3).Нагадаємо, що
=(x, y, z)=() (10)
Елемент поверхні ds проектується на dxdy елемент площини (Рис.2)
Для достатньо малих ds можна записати =dxdy.
Аналогічно можемо записати ds= dzdx, ds= dydz
= або
= (4)
Зауважимо, що часто праву частину формули (4) визначають як поверхневий інтеграл ІІ роду.
Знайдемо формули обчислення криволінійного інтеграла 4:
=,)(,)dudv= ,)dudv
Теорема про неперервність інтеграла, залежного від параметра.
Теорема 2.
Якщо функція визначена і неперервна як функція від двох змінних в прямокутнику , то інтеграл є неперервною функцією від параметра .
○ За теоремою Кантора функція , неперервна на компакті, є рівномірно неперервною на цьому компакті, тобто для , що із нерівностей , слідує нерівність . Покладемо , . Тоді при для будь-якого маємо , а це означає, що при (прямує) рівномірно відносно . Відповідно за теоремою 1 отримуємо , тобто , а це означає, що функція є неперервною на відрізку , оскільки – довільна точка цього проміжку. ●
Оскільки функція є неперервною на проміжку , то ця функція є інтегрованою на .
Теорема 2.
Якщо функція є неперервною в прямокутнику , то .
○ Кожен з повторних інтегралів у цій формулі дорівнює подвійному інтегралу від функції на прямокутнику П.● 32. Диференціювання по параметру інтеграла, межі якого залежать від параметра.
Розглянемо інтеграл (1).
Теорема 5.
Нехай функція визначена і неперервна в області , де , – неперервні функції. Тоді інтеграл (1) є неперервною функцією від на проміжку .
○ Інтеграл (1) можна записати у вигляді (2).
Перший інтеграл, в якого межі сталі, при прямує до інтеграла за теоремою 2. Два інші інтеграли (2) допускають оцінки , (3), де . В силу неперервності функцій , при інтеграли (3) прямують до нуля. Отже, ●
Теорема 6.
Якщо при умовах теореми 5 функція має неперервну похідну , також існують похідні , , то інтеграл (1) має похідну по параметру, яка обчислюється за формулою: (4).
○ Використаємо рівність (2). За теоремою 4 перший інтеграл в точці має похідну (5). Для другого інтеграла рівності (2) значення якого при є нуль, за теоремою про середнє отримаємо , де міститься між і . Звідси похідна другого інтеграла при дорівнює (6). Аналогічно для похідної третього інтеграла рівності (2)отримаємо вираз (7). Сумуючи вирази (5), (6), (7) отримаємо формулу (4). ●
33. Формула Стокса.
Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом і криволінійним інтегралом ІІ роду по кривій, що оточує цю поверхню. Нехай задана гладка поверхня . Позначимо символом межу цієї поверхні. Виберемо додатну орієнтацію поверхні, тобто якщо дивитися з кінця нормалі, то обхід вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки. Нормаль з віссю в кожній точці поверхні утворює гострий кут. Нехай – рівняння простої поверхні , і на цій поверхні задана неперервно диференційовна функція . Оскільки і координати контура задовольняють рівняння , то значення функції на контурі дорівнюють значенням функції на контурі – проекції на площину контура . Отже, (1). До правої частини рівності (1) застосуємо формулу Гріна: (2). За формулою диференціювання складної функції отримаємо: (3). Підставимо праву частину рівності (3) в формулу (2). Тоді (4). Врахувавши, що , перетворимо в рівності (4) подвійний інтеграл на поверхневий: ; . Для поверхні, заданої рівнянням , напрямні косинуси нормалі обчислюються за формулами: ; ; , де , , звідки ми отримуємо (6). Використавши (5), (6), з рівності (4) отримаємо (7). Аналогічно можна отримати формули: (8), (9), де , – неперервно диференційовні функції на поверхні , заданій рівнянням . За формулами (7), (8), (9)можемо записати: Цю формулу (10) називають формулою Стокса. Позначивши вектор , врахувавши означення циркуляції і потоку векторного поля, суть формули (10) можемо сформулювати в наступній теоремі. Теорема (Стокса). Циркуляція векторного поля по контуру дорівнює потоку (вихора) вектора через поверхню , натягнуту на контур , тобто (11) (формула Стокса у векторній формі). Також, врахувавши рівності , , , формулу (10) можна записати у вигляді: . Зауважимо, що з формули (12) отримаємо формулу Гріна, якщо за поверхню взяти плоску область на площині . Справді, поклавши , з формули (12) отримуємо .
34. Формула Гаусса-Остроградського.
Формула Гаусса-Остроградського встановлює зв'язок поверхневого інтегралу ІІ роду по замкненій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, яка обмежена цією поверхнею.
Теорема.
Нехай – обмежена область, межа якої – кусково-гладка поверхня, орієнтована зовнішніми нормалями. В області задано неперервно диференційовне поле . Тоді потік векторного поля через межу області дорівнює потрійному інтегралу від по області , тобто (1) або (2). Формулу (1) або (2) називають формулою Гаусса-Остроградського; відповідно у векторній формі (1) і координатній (2).
○ Розглянемо область , яка є правильною (елементарною) відносно осі і обмежена поверхнями , . Область проектується на площину в правильну область , в якій функції , є неперервними. Поверхня є об’єднанням поверхонь . При заданих умовах існує потрійний інтеграл і його можна записати у вигляді повторного інтеграла: (3)
В цій формулі дописали третій доданок, оскільки . Рівність (3) можна записати так: (4). Можна показати, що формула (4) є правильною для області, обмеженої довільними кусково-гладкими поверхнями (розбиваючи їх на елементарні частини). Аналогічно можна отримати рівності (5), де область – правильна відносно осі ; (6), де – правильна область відносно осі . Тепер, нехай область є правильною відносно трьох осей одночасно. Тоді, додавши відповідно праві і ліві частини рівностей (4), (5), (6) отримаємо формулу Гаусса-Остроградського (2). ●
Зауваження. Якщо покласти , то за формулою (2) можна обчислити об’єм області : , де – поверхня, що обмежує область . Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то об’єм області , обмежений поверхнею можна обчислити за формулою: .
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора