Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Правила структурних перетворень схем САУ. Приклади визначення функцій передачі замкнутих САУ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Лекція
Предмет:
Інші
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
ЛЕКЦІЯ №7
Тема: Правила структурних перетворень схем САУ. Приклади визначення функцій передачі замкнутих САУ.
Структурною схемою САУ називають таку схему, в якої кожній математичній операції перетворення сигналу відповідає визначена ланка. В залежності від повноти опису та від математичних операцій, які виконують різні ланки можуть бути складені різні структурні схеми.
Зобразимо найбільш типову структурну схему САУ, коли в зворотньому зв’язку присутня ланка з передаточною функцією .
Нехай кожна з ланок має наступну передатню функцію:
- нормовані поліноми від або (оператор Лапласа).
,
де ; .
характеризує власні динамічні властивості САУ, дозволяє визначити її стійкість, обрати корегуючі пристрої для покращення цих властивостей.
Використовують характеристичний поліном системи:
,
зручніше використовувати нормований поліном:
оскільки в поліномі є вільний член
(немає інтегруючої або ізодром. ланки).
і (якщо немає ).
Передатня функція замкнутої системи (або передавальна функція відносно задаючого впливу)
; ; ; .
характеризує передачу системою задаючого впливу , його відтворення регульованою величиною . Відтворення тим найкраще, чим ближче значення до ідеального .
Передатня функція замкнутої системи по похибці слідкування:
;
; ;
( )
характеризує також так звану відробку завдання, як і . Відтворення тим краще чим ближче значення (ідеального).
Широко використовують передавальну фунцію замкнутої системи за збуренням:
();
Показує вплив збурення на регульовану величину. Збурення відхиляє регульовану величину від заданого значення. Цей шкідливий вплив тим менший, чим ближче .
Передатні функції і дозволяють визначити складові зображення , які створюються збуренням та задаючим впливом:
(друга складова частіше зі знаком “-”)
Аналогічно .
З цих виразів можна зворотнім шляхом отримати диференційні рівняння системи, які пов’язують регульовану величину та похибку розузгодження з задаючим впливом. Це корисно, коли передавальні функції можна визначити експерементальним шляхом по перехідним характеристикам окремих елементів системи. В більшості випадків використовують передавальні функції для розрахунку часових, статичних та частотних характеристик.
В більшості випадків основна частина структурної схеми являє собою послідовне з’єднання типових динамічних ланок, а одна ділянка має складну будову. Таким участком є ОУ або сукупність ОУ та ВЕ.
Для визначення розгляд структурної схеми починають з вихідної величини основного зворотнього зв’язку при розмиканні її біля елемента порівняння та при рівності .
Для визначення схему розглядають починаючи з при . Такий прийом рівнозначний виключенню проміжних змінних з системи рівнянь, що описують динаміку її окремих елементів.
Розглянемо приклад. Визначити передавальні функції САР відносно задаючого впливу та збурення , скориставшись наступною структурною схемою:
Системи поділяють на одноконтурні (тільки основний зворотній зв’язок) та багатоконтурні – є також місцеві зворотні зв’язки. Наведену систему слід віднести до багатоконтурних.
Скористаємось способом виключення проміжних змінних, які входять в систему диференційних рівнянь, що описують динаміку системи автоматичного управління.
Структурні перетворення. Це більш універсальний спосіб перетворення складних структурних схем та зведення їх до одноконтурних. Отримана схема буде еквівалентною до даної, якщо залежності між величинами лишаються такими ж (регулююча величина, похибка, зворотній зв’язок).
Наведемо основні правила структурних перетворень.
Перенос точки розгалуження через ланку по напрямку проходження сигналу:
; x= (x.W1).1/W1.
Перенос суматора:
Перестановка вузлів розгалуження:
Перестановка суматорів:
5. Перестановка точки розгалуження через суматор: по напрямку проходження сигналу
та проти напрямку проходження сигналу
Згадаємо: Кожна АС складається з ряду елементів або функціональних блоків, які певним чином взаємодіють між собою.
Динамічні властивості САУ, як нам уже відомо, можна описати предатними функціями направленої дії.
Вивчення динаміки починають зі складання структурної схеми, яка на відміну від функціональної та принципової схем, є графічним умовним відображенням системи диференційних рівнянь лінійної стаціонарної САУ, що відображають динаміку і записаних в операційній формі по Лапласу при нульових початкових умовах.
Структурну схему можна отримати з функціональної, якщо відомі передаточні функції та параметри окремих елементів САУ.
Наведемо приклад узагальненої структурної схеми САУ з однією регульованою величиною.
Динамічні ланки направленої дії, всередині яких оператори перетворення сигналів.
Зв’язки з’єднання ланок-прямі та зворотні.
Суматори, вузли розузгодження.
Безпосередньо по структурній схемі можна отримати рівняння всієї системи, та навпаки.
Рівняння САУ можуть бути представлені в різній формі-операторній та звичайній диференційній за допомогою переходів.
Запишемо рівняння в оригіналах для даної САУ:
Виключенням змінних можна вирішити дану систему рівнянь відносно будь-якої функції (в тому числі відносно , або відносно ) та звовортнім переходом отримати:
Однак рішення поставленої задачі значно простіше якщо ми безпосередньо застосуємо правила створення передаточних функцій типових з’єднань динамічних ланок, тобто:
Як ми бачимо отриманий вираз значно зручніший в використанні. Це і є остаточна мета структурного аналізу САУ для наступного дослідження динаміки системи. В загальному випадку п.ф.раз САУ можна представити у вигляді відношення двох поліномів:
Причому для фізичної реалізації САУ завжди () мінімально-фазової системи.
- коефіцієнти характеристичного полінома замкнутої системи.
Для оцінки точності САУ в сталих режимах необхідно вміти записувати передаточну функцію похибки, яка встановлює зв’язок між похибкою та задаючим впливом.
Таким чином можна знайти зображення похибки:
Таким чином між всіма функціями існує прямий зв’язок.
Дуже часто САУ знаходяться під впливом збурень. При цьому припускають, що інші впливи відсутні (при склададнні передатних функцій відносно збурень).
Тоді реакція на виході системи є відхиленням регульованої величини від необхідного значення відносно збурення - похибкою впливу збурення. Зв’язок між збуренням і викликаною ним похибкою встановлюється за допомогою передаточної функції за збуренням, яка дорівнює:
-передатна функція частини системи між точкою прикладання збурення та виходом системи. Якщо збурення прикладати до іншої точки системи, то зміниться лише чисельник, який завжди є передатньою функцією з’єднання ланок між точкою прикладання збурюючої сили та виходом системи.
При дії на систему декількох збурень, які прикладені в різних точках, реакцію системи знаходять, як суму реакцій від кожного збурення.
2. Від характеру і точок прикладання збурюючих сил залежать похибки системи. По відношенню до одних з них вона може бути статичною, а по відношенню до інших астатичною.
ЛЕКЦІЯ № 8
Тема: Статичні і астатичні САУ. Статичний режим роботи САУ.
Розглянувши класифікацію і математичний опис САУ(характеристики – часові, частотні характеристики та передатні функції як окремих функціональних елементів САУ, так і їх з'єднань), перейдемо до дослідження основних режимів їх роботи.
Почнемо з найбільш простих режимів – сталих.
Як усяка динамічна система, САУ може знаходитися в одному з двох режимів – стаціонарному (сталому) і перехідному. Існує два види стаціонарних режимів САУ - статичні і динамічні.
Статичний режим (статика) – це режим, при якому система знаходиться в стані спокою внаслідок того, що всі зовнішні впливи та параметри самої системи не змінні в часі.
Динамічний стаціонарний режим роботи САУ виникає тоді, коли зовнішні впливи, які прикладені до системи, змінюються по деякому сталому закону, у результаті чого система приходить у режим сталого змушеного руху. Спочатку будуть розглянуті детерміновані динамічні режими при яких на систему діє детермінований (регулярний) стаціонарний вплив (гармонійний чи східинковий).
Статичні властивості САУ оцінюють по статичній характеристиці, якою називається залежність сталого значення управляємої величини від збурення.
Статичні властивості системи оцінюють декількома показниками.
1. Абсолютне значення статичної похибки.
,
Дамо визначення статизму і астатизму САУ по відношенню до задаючої дії (). Для оцінки точності САУ (САР) в сталих режимах зазвичай обирають три типи дій .
Система називається статичною, якщо при будь-якій постійній задаючій дії стала похибка . Відповідно астатичною- .
Астатичні системи можуть бути 1, 2-го та більш високих порядків.
Астатичні системи 1-го порядку не мають похибки по положенню (), однак мають постійну похибку по швидкості () та зростаючу похибку по прискоренню ( ).
Астатичні 2-го порядку - по положенню та швидкості = 0; по прискоренню- .
З точки зору структурних ознак статичні і астатичні САУ. Предаточну функцію будь-якої САУ можна представити у вигляді:
k-загальний коефіцієнт перед. розімкнутої системи
(-кількість інтегруючих ланок
- передаточна функція, яка не містить інтегруючих та диференціюючих ланок.
1. (=0. В прямому колі присутні тільки так звані статичні ланки: аперіодичні, форсуючі, коливні, запізнюючі, підсилюючі. Навіть при , вона не може працювати без сталої похибки ( ). При САУ має похибки в сталому режимі і по швидкості і по прискоренню.
2. (=1 , після закінчення перехідного процесу , а рівність досягається за рахунок властивості інтегратора, як запам. пристрою з нескінченною пам’ятю.
3. (=2 - управління по прискоренню . САУ точно відтворює в сталих процесах постійні та лінійні зростаючі дії, а дії з постійним прискоренням копіює з постійною похибкою по прискоренню.
В залежності від порядку астатизму коефіцієнт передачі різних САУ має свої індекси і називається по-різному: - коефіцієнт предачі статичної системи, - передачі астатичної системи 1-го порядку (добротність по швидкості (); -добротність по прискоренню ()).
Таким чином, порядок астатизму САУ по відношенню до задаючої дії легко визначити безпосередньо по структурній схемі. Для цього систему приводять до вигляду одноконтурної і визначають кількість ( – інтегруючих ланок між входом і виходом системи.
Визначимо порядок астатизму по відношенню до збурення .
Для цього перетворимо САУ таким чином, щоб її частина с.п.ф. по відношенню до збурення була колом з зворотнім зв’язком.
Приклад
ЛЕКЦІЯ №9
Класифікація автоматичних регуляторів. Закони регулювання.
Подібно САР в цілому, АР можуть також класифікуваться по різним ознакам.
1. В залежності від характера регулюємої величини: регулятори тиску, швидкості обуртів, напруги, температури і т.д.
2. В залежності від викор
истовуємого принципа регулювання – регулятори, що працюють по відхиленню (похибки), по збуренню та комбіновані.
3. Якщо взяти за основу класифікації наявність додаткових джерел енергії, то регулятори поділяють на регулятори прямої та непрямої дії (прямої дії – регулюючий орган працює безпосередньо підвпливом ЧЕ, непрямої дії – основна відміна в наявності сигнальної похибки підсилювання по потужності. Підсилювання досягається введенням в САР додаткових джерел енергії, які живлять підсилювальні та ВЕ САР. При цьому в залежності від вида використовуємої енергії АР поділяють на електричні, гідравлічні, пневматичні, електромеханічні, САР потужності, електрогідравлічні та інші.
Переваги електричних регуляторів – компактність, мала вага та габарити, можливість використання в їх схемах стандартних електро- та радіоелементів, великі можливості по підсиленню та перетворенню сигналів, можливість управління на великій відстані за допомогою передачи сигналів по проводним та радіотехнічним лініям звязку.
Основний недолік ЕАР: складність монтажа, наладки та обслуговування (особливо електроних оегуляторів), затрати на їх виготовлення більш за гідравлічні та пневматичні. АР аналогічного типа, громоздкість та складність ВЕ в тих випадках, коли необхідно, наприклад, отримати великий крутний момент при малій швидкості обертів та високій швидкодії.
Перевага гідравлічних АР – висока надійність, та динамічні властивості при великій швидкодії. Однак в випадку використання в якості робочої рідини мінеральних мастил гідравлічні виконавчі двигуни є пожежонебезпечними, а в випадку використання води спостерігається швидкий знос елементів від корозії.
Перевага пневматичних АР – пожежобезпечність, відсутність зливних трубопроводів, що спрощує САР. Недолік – сжимаємість повітря, що приносе додаткові похибки в роботі САР.
Таким чином, неможливо віддати перевагу тому чи іншому виду додаткового джерела енергії, він може бути поганим або добрим в залежності від умов використання САР. Всі ці АР розвиваються та існують в техніці автоматизації паралельно. Найбільше використання отримали САР змішаного типу, в яких вимірювальна частина ВЕ виконується електричним, а ВЕ обирається гідравлічним або пневматичним.
4. В залежності від наявності додаткових зв. звязків АР бувають без місцевих та з додатковими зв. звязками.
5. В залежності від кількості регульованих величин – АР поділяють на одно- та багатовимірні.
6. Якщо прийняти за основу класифікації характер модуляції, який використовують для передачи сигналів від одного елемента Ар до другого, тоді із всього різноманіття сучасних АР можна виділити неперервні, релейні, імпульсні та цифрові АР.
Як бачимо, АР класифікують по тим же основним напрямкам, що і САР в цілому.
З позиції ТА У найбільшу користь приносе класифікація АР в залежності від реалізованого в них закона регулювання.
Розглянемо це питання стосовно одновимірних АР неперервної дії, які працюють по принципу управління по відхиленню.
Як ми вже вказували основною задачею таких АР є можна віднести визначення похибки та формування регулюючого впливу , який забезпечує виконання рівності з певною степеню точності. В звязку з цим, однією з важливіших характеристик АР, які працюють за принципом управління за відхиленням слід рахувати рівняння, що повязує регулюючу дію з похибкою .
В більшості АР така залежність є складною та описується диференціальним рівнянням високого порядку (як правило нелінійним). З метою порівняння аналіза та класифікації зазвичай рівняння АР зпрощують, нехтуючи інерційністю його елементів.
Законом регулювання (управління) називають залежність між вхідною та вихідною величиною АР, яка складається без врахування інерційності його елементів. Цей термін застосовують не тільки к САР, но і к слідкуючим системам програмного управління та другим – закон управління.
В найбільш простому випадку (залежить тільки від похибки), якщо - лінійна, тоді .
- постійна величина, - коефіцієнт пропорційності.
Позначимо , тоді (далі ).
Такий закон називають пропорційним, а АР називають П-регулятором.
Переваги надзвичайна простота. Проміжні елементи таких АР не містять коректуючих пристроїв та виконують тільки функції підсилення сигнала похибки та перетворення фізичної природи. На жаль, точність регулювання, яку забезпечують такі АР невелика, особливо для ОУ, які володіють поганими динамічними властивостями. В багатьох випадках застосування П-регуляторів призводе до виникнення та збільшення статичної похибки.
Другий підхід до задачи регулювання полягає в тому, що в залежність від сигнала похибки ставиться не величина регулюючого впливу, а швидкість його зміни.
Тоді
Інтегральний закон регулювання, а регулятор І-регулятором. Реалізується такий закон введенням в склад регулятора пристроїв, які здійснюють інтегрування вхідного сигнала (в багатьох випадках це звичайні виконавчі двигуни) І-регулятори використовують в цілях підвищення точності САРв сталих режимах. Однак, поведінка таких САР в перехідних режимах є незадовільною та гіршою ніж в САР з П-регулюванням.
Це зрозуміло при співставленні відношень
В П-регуляторі регулююча дія миттєво змінюється при зміні похибки, тобто регулятор одразу ж приймає міри по її ліквідації в І-регуляторі при .
, тобто пройде визначений проміжок часу, поки регулюючий орган відреагує на зміну похибки та ліквідує її. Таке відставання процеса зміни регулюючої дії від може призвести до виникнення слабо згасаючих і навіть розбіжних коливних процесів відхилення регулюючої величини від сталого значення.
Такий недолік легко усунути обєднавши два рівняння
ПІ-закон регулювання, ПІ-регулятор.
Широко використовуються в САР загальнопромислового призначення. При вірному проектуванні, тобто подборі елементів, ПІ-регулятор володіє добрими властивостями в перехідних режимах за рахунок складової , то наявність інтегруючої складової дозволяє позбутися статичної похибки
Введення похідної в закон регулювання є потужним засобом покращення в перехідних режимах
ПД-регулятор реагує не тільки на зміну похибки, але і на зміну її тенденції похідної.
Коли похибка зростає , тобто регулююча дія стає більшою ніж в П-регуляторі. Такий характер роботи сприяє демпфуванню коливань в САР внаслідок інерційності окремих елементів. Більш того, ПД-регулятор вступає в дію уже тоді, коли , тоє швидкість її зміни (пасивні електричні кола, операційні підсилювачі).
Крім ПИ– та ПД–регуляторів, на практиці широко використовують ПИД–регулятори з пропорційно—інтегро-диференційним законом регулювання:
В даному законі складова, яка пропорційна інтегралу від похибки, забезпечує необхідну точність роботи САУ в усталених режимах, а складова,, що пропорційна швидкості зміни похибки призначена для поліпшення динамічних властивостей САУ.
Розглянуті закони регулювання відносяться до найбільш простих. В більш складних випадках в закон регулювання може бути введено декілька інтегралів від сигналу похибки. Можуть бути використані похідні не тільки першого, но також другого та більш високих порядків, і не тільки від сигналу похибки, но також віж регульованої величини або від будь яких проміжних координат системи. В регуляторах, які реалізують принципи комбінованого регулювання, закон регулювання містить складові, які залежать від збурення, що попередньо вимірюється, його похідних та інтегралів.
Пристрої, які використовують для введення похідних та інтегралів в закони регулювання, являють собою частковий випадок коректуючих пристроїв САУ. Теорію цих пристроїв та питання їх розрахунку будемо розглядати в подальшому.
ЛЕКЦІЯ №10
“Принцип аргументу. Частотні критерії стійкості САР”
В основі частотних критеріїв стійкості САР лежить відомий з теорії функцій комплексної змінної принцип аргументу.
Критерій Михайлова є першим з частотних критеріїв. Характеристичний поліном замкнутої системи має вигляд:
Являє собою алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами. Якщо - корені цього алгебраїчного рівняння, тоді:
Підклавши маємо:
Розглянемо геометричне представлення комплексних чисел () на комплексній площині. Початок таких чисел лежить в точках , а кінець на уявній вісі в точці .
Знайдемо аргумент комплексного числа ():
При зміні аргумент змінюється наступним чином:
Згідно цього вираз для підрахунку зміни аргумента необхідно підрахувати суму змін аргументів виразу (). Ця зміна залежить від того, в якій напівплощині лежить корінь алгебраїчного рівняння. Може бути два випадки:
Корінь лежить в лівій напівплощині:
При зміні кінець вектора () ковзає вздовж уявної вісі знизу вверх, обертаючись проти годинникової стрілки на і відповідно:
В протилежному випадку:
Припустимо, що вектор має коренів в правій та коренів в лівій напівплощині (). Тоді загальна зміна аргумента функції: . Це вираз, який обумовлює принцип аргументу, який формується наступним чином:
Зміна аргумента (при зміні ) дорівнює різниці між кількістю коренів в лівій площині та кількістю коренів , які розташовані в правій площині домноженої на .
Згадаємо критерій Михайлова: .
Найквіста: Критерій запропонований американським вченим Найквістом, доєволяє судити про стійкість замкнутої системи по АФЧХ . Критерій застосовують для мінімально-фазових систем (), при вірному математичному описі реальних САР ця умова виконується.
Наведемо дуже просте математичне застосування цього критерія. Як відомо регулятор та об’єкт регулювання з’єднуються в замкнутий контур. В ньому регулююча величина одночасно є вихідним сигналом регулятора і вхідним для об’єкта регулювання, а вихідний сигнал системи-як вхідний сигнал регулятора та регульована величина. Якщо задаюча (еталонна) дія є постійною, то регульована величина сама себе регулює через регулятор та ОК. Це повинно призвести до стійкого встановленого режиму роботи. Ціль синтезу в ТАУ полягає у вірному виборі регулятора, який забезпечує стійку роботу САР. Без нього в граничному випадку в системі можуть виникнути довготривалі незгасаючі коливання. Передумови для цього виникають в тому випадку, коли при розімкненні замкненого кола штучно створені коливання будуть призводити до виникнення в колі регулятора та ОК коливань з такою самою амплітудою та фазою при деякій частоті. Після замкення місця розриву виникле коливання може існувати довготривалий час без будь-якої зовнішньої підтримки. Необхідно розглядати можливість виникнення таких коливань при всіх значеннях частоти. Передаточна функція розімкнутого контура:
Критичний стан, коли виникає, коли:
при є безрозмірною величиною і дорівнює (підсилення).
З фізичної точки зору зрозуміло, що коли амплітуда вихода дорівнює вхідній, а фаза між виходом і входом дорівнює , то коливання будуть підтримуватись самі собою.
АФЧХ стійкої або нейтральної розімкнутої системи можна знайти експериментальним шляхом, що дозволяє запобігнути складання диференціальних рівнянь складних об’єктів, а точність більш високою.
Розрізняють три випадки використання критерію Найквіста.
1. Розімкнута система стійка: для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо щоб АФЧХ розімкнутої системи при зміні не охоплювала .
1 – абсолютно стійка система;
2 – умовно стійка (тобто стійка при зміні значення тільки в певних межах). Система з електроними підсилювачами;
3 – замкнута система знаходиться на коливній межі стійкості;
4 – замкнена система є нестійкою.
2. Розімкнена система на межі стійкості. Характеристичний поліном має або нульові або чисто уявні корені, у решта коренів відємні дійсні частини.
Якщо нульових коренів ( - інтегруючих ланки в системі), то АФЧХ при дугою нескінченого радіуса пересувається від додатньої дійсної півосі за годинниковою стрілкою на кут .
Якщо в знаменнику є множник , то АФЧХ розімкненої системи при частоті дугою нескінченого радіуса пересувається на кут за годинниковою стрілкою.
В двох випадках, для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої системи (), доповнена на дільниці розриву дугою нескінченно великого радіуса не охоплювала точку .
3. Розімкнена система нестійка. Характеристичний поліном системи має m-коренів с достатною дійсною частиною. В цьому випадку для стійкості замкнутої системи необхідно та достатньо, щоб при АФЧХ розімкненої системи охоплювала точку разів проти годинникової стрілки. Характеристичний поліном системи крім коренів з додатньою частиною може мати нульові або чисто мнимі корені (дуга нескінченого радіуса).
При складній формі АФЧХ розімкненої системи використовують інше формування критерію Найквіста: (так зване правило переходів). При збільшенні перехід АФЧХ через відрізок дійсної вісі від зверху вних рахують додатнім, а знизу вверх – відємним АФЧХ може починатися на даному відрізку при , або закінчив на ньому при . Це рахують за півперехода.
4. Система стійка, якщо різниця між кількістю додатніх та відємних переходів АФЧХ розімкненої системи через відрізок дорівнює (m – кількість коренів характеристичного полінома з додатньою дійсною частиною).
Використовуючи критерій Найквіста можна в передатній формі розімкненої системи члени знаменника (крім старшої степені) переносити в чисельник , тоді побудова значно спрощується, однак тоді прийнято будувати зворотню АФЧХ тобто годограф : замкнута система якщо різниця між відємними та додатніми переходами зворотнього АФЧХ відрізку від 0 до 1 дорівнює . Знаки переходів слід рахувати зворотного.
Стійкість згідно частотних критеріїв стійкості.
Критерій Найквіста дозволяє визначити стійкість САР ні по АФЧХ, а також по ЛАЧХ та ЛФЧХ. Цю можливість широко використовують внаслідок простоти побудови таких характеристик.
Якщо розімкнена система розімкнута або нейтральна, то для стійкості її в замкнутому стані необхідно та достатньо, щоб кількість переходів ЛФЧХ через лінію при додатніх значеннях ЛАЧХ було парним (в частковому випадку дорівнювало 0). Перетин ФЧХ лінії знизу вверх рахується додатнім, а зверху вниз відємним.
Для судження про стійкість спочатку будують асимптоту ЛАЧХ, роблять до неї поправки близько частот і злому додатніх відрізків (особливо тих, які відповідають коливним ланкам).
1 – абсолютно стійка;
2 – умовно стійка;
3 – на межі стійкості;
4 – нестійка.
ЛАФЧХ нейтральної розімкнутої системи при наближається до тому її доповнюють монотоним участком до при . Це відповідає доповненню АФЧХ дугою нескінченого радіуса.
Нехай розімкнутої системи має m-коренів з додатньою дійсною частиною. В такому самому загальному випадку. Для стійкості з.с. необхідно та достатньо, щоб при додатніх значеннях ЛАЧХ різниця між числом додатніх і відємних переходів АФЧХ через лінії , , ... дорівнювала (нульові корені – монотонне продовження).
Переходи ЛФЧХ через лінії (, , ) при високому порядку підроховують не тільки на першому, но і на всіх послідуючих участках.
Також можна переносити в чисельник.
Запаси стійкості.
Для нормального функціонування САР вона повинна мати достатній запас стійкості. Це обумовлено наступними причинами:
рівняння елементів САР, як правило, ідеалізовані, тобто при їх складанні не враховують другорозрядних факторів;
при лінеарізації рівнянь похибка наближень додатково збільшується;
параметри елементів визначаються також з деякою похибкою;
параметри однотипних елементів мають деякий розкид;
при експлуатації САР параметри елементів змінюються внаслідок старіння.
Тобто, стійка по розрахунках САР може бути на практиці нестійкою. В слідкуючих системах запас стійкості необхідний також для забезпечення якості регулювання.
Таким чином: Запас стійкості – це кількісна оцінка відстані значень параметрів системи або її характеристик від зони небезпечної з точки зору стійкості.
1. Про запас стійкості можливо судити по розташуванню коренів характеристичного рівняння, чим далі вони відстоять від уявної вісі (в лівій площині, тем більший запас стійкості).
2. Кожний з критеріїв дозволяє визначити запас стійкості САР.
Наприклад, при використанні алгебраїчних критеріїв стійкості, запас стійкості визначається тим кількісним запасом, з яким виконуються нерівності, складені згідно з даним критерієм для САР визначеного порядку.
3. Запас стійкості згідно критерія Михайлова дорівнює радіусу окружності, в яку не повинна заходити крива Михайлова. Центр координат – небезпечна точка (найбільше застосування на практиці).
4. Найквіста: Запас стійкості по амплітуді – відстань від точки перетину дійсної відємної вісі до точки . Запас по фазі – кут між дійсною відємною віссю та точкою перетину АФЧХ з клом одиничного радіуса.
В загальному випадку: Для будь-якої системи будь-якого порядку для того, щоб САР мала запаси стійкості по та необхідно та достатньо, щоб не заходила в сегмент наступного вигляду. Обмеженим лучами та дугами та містить у собі , де
При визначенні запасів стійкості по ЛАЧХ та ЛФЧХ:
Запас по ЛАЧХ: ордината ЛАЧХ при фазі, яка дорівнює (дб); Запас по фпзі: визначається при по ЛАФЧХ.
В загальному випадку:
.
Критерій стійкості Найквіста описаний нами для САР, опис яких обмежується раціональними передаточними функціями. Но він також може бути застосований і к САР, які описуються в розімкненому стані іраціональними, трансцендентними та показниковими передатніми функціями, які при розкладанні в ряд зводяться до дробово-раціональних функцій із степенями чисельника та знаменника, які прямують до нескінченності.
Розглянемо критерій Найквіста для систем з запізненням.
( перед. Системою)
ЛЕКЦІЯ №11
Тема:Якість процесів регулювання в автоматичних системах. Методи побудови перехідних процесів.
Стійкість САУ слід рахувати необхідною, але не зовсім достатною умовою ії практичної ціності та можливості оптимального використання. Якість САУ визначається насамперед точністю управління (регулювання), так як будь яка система, незалежно від свого призначення та особливостей конструкції, повинна здійснювати управління деяким об’єктом з визначеної при її розробці точністю. Тобто, якість процеса управління залежить від міттевого знічення величини похибки x(t), яка дорівнює різниці між задаючим g(t) та фактичним значеннями регульованої величини:
x(t) = g(t) – y(t). (1)
Похибка САУ, в свою чергу, визначається характером зміни вхідної та збурюючої сили. Зазвичай вхідна g(t) дія та збурення f(t) є випадковими функціями часу, які можуть бути задані лише ймовірнісними характеристиками, тому і оцінки якості управління САУ по міттєвим значенням похибки x(t) в таких випадках не використовують, застосовують ймовірнісні оцінки (розглядаються при вивченні роботи ЛСАУ при випадкових збуреннях).
Однак ймовірнісний підхід до проблеми якості САУ ні є єдиним. В ТАУ широко використовують методи, які дозволяють оцінити якість іправління систем по їх повідінці в так званих типових режимах, коли випадкові по своєї природі збурення апроксимуються заданими (типовими) функціями часу. В такому випадку оцінка якості повідінки САУ здійснюється по, так званим, критеріям або показникам якості – (i. В загальному випадку вони являють собою функціонали від похибки:
(i = Fi[g(t) – y(t)] = Fi(t), i =1,2,3,…,m, (2)
де Fi(t) – функціонали, які відповідають обраному критерію якості САУ (наприклад, оцінка її точністі по сталій або середньо квадратичній похибці), m – кількість критеріїв якості , що рзглядаються для досліджуваної САУ.
Всі критерії Якості САУ можна умовно поділити на чотири групи:
критерії точності;
критерії запаса стійкості;
критерії швидкодії;
комбіновані критерії якості.
Критерії точності – використовують для оцінки значення похибок, які виникають в різноманітних типових сталих режимах в тих випадеах коли вхідна g(t) та збурююча f(t) дії являють собою монотонні функції, що змінюються досить повільно в часі. До найбільш розповсюджених типових режимів САу слід віднести наступні:
g(t) = g0(t)*1(t) и f(t) = f0(t)*1(t), де g0(t) = const і f0(t) = const (рис 1.а)
для слідкуючих систем важливими слід рахувати наступні режими:
g(t) =(1t; g(t) = (1t2/2 ((1 = const, (1= const – відповідно швидкість та прискорення зміни вхідної величини при f(t) = f0(t)*1(t)) (рис 1.б);
g(t) = gmaxsin wgt (рис 1.в).
Рисунок 1 – Типові закони зміни задаючого та збурюючого впливів
Критерієм точності в даному випадку є значення похибки замкнутої САУ в сталому режимі xуст..
Критерії запаса стійкості – визначають віддаль системи від межі стійкості, використовують два підхода для оцінки якості САУ по цьому критерію.
Перший підхід зоснований на побудові та аналізі перехідних процесів САУ (може використовуватись вагова функція або аналізуватися розтошування нулів та полюсів передаточної функції замкнутої системи на комплексній площині). При цьому критеріями запаса стійкості є величини перерегулювання та кількість коливань перехідного процеса, його згасання та коливальність.
Другій підхід зоснований на використанні частотних та резонансних властивостей системи, а також на вивченні поведінки її частотних характеристик. В якості критеріїв якості в даному випадку застосовують запаси стійкості системи по амплітуді та фазі, показники коливальності, загальний виглід та параметри ДЧХ системи та др.
Ці два підходи можуть бути застосовані також при оцинці швідкодіх системи. Критерієм швидкодії системи при використанні часових характеристик в даному випадку є час згасаннс перехідного процеса системи, а вв випадку використання частотних характеристик – полоса пропускання АЧХ замкнутої системи.
В деяких випадках часові критерії якості називають прямими в тому розумінні, що за допомогою їх оцінюють безпосередньо процес управління, який виникає при цій чи іншій (частіше одиничній сходинковій) типовій задаючій дії. Частотні критерії якості, в свою чергу, називають побічними тому, що оцінку процеса управління здійснюють по відображенню цього процеса з часової області в частотну.
Жорсткий зв’язок між частотними та часовими характеристиками може бути отримагний лише для найбільш простих систем, які описуються д.р. другого порядка. Однак в богатьох практичних випадках можна обмежитись розглядом лише частотних критеріїв якості САУ. Розрахунки в частотнвй області зазвичай є більш простими, наочними та можуть бути отримані експериментальним шляхом, що робить частотні критерії ефективним засобом оцінки якості роботи САУ.
До комбінованих оцінок відносять узагальнені критерії, які характеризують одночасно точність, запас стійкості та швидкодію системи, до них відносяться, наприклад, інтегральні показники якості работи САУ.
Показниками якості САУ можуть бути також показники себевартості системи, економічна ефективність її управління, розхід споживаємої енергії, надійність, чутливість системи до зміни її параметрів. Однак на наш час строгі узагальнюючи оцінки названих показників якості знаходяться на етапі активних розробок. Відома тільки достатньо розроблена теорія функцій чутливості до зміни параметрів САУ (буде розглянута нами при вивченні теорії дослідження опатимальних систем).
Як ми бачили з попередніх тем лекційних, практичних та лабораторних занять система АР насамперед повинна бути стійкою. В такій системі перехідний процес згасає з зростанням часу. Однак, для практичного застосування САР важливо знати характер згасання перехідного процесу. Зрозуміло, що якщо перехідний процес згасає дуже повільно і система довго переходить в новий сталий стан, то вона володіє недостатньою швидкодією, його використання буде обмеженим. Тому стійкість САР є необхідною, але недостатньою умовою роботоздатності САР. Достатньою умовою роботоздатності САР є якість процесу регулювання, яку оцінюють:
якістю перехідних процесів;
похибками в сталих режимах.
Якість перехідних процесів зазвичай оцінюють по перехідній функції , яка являє собою (як ми пам’ятаємо) реакцію системи на дію типу одиничної сходинкової фунуції . Згадаємо, що для слідкуючих систем та систем керування розглядають перехідні процеси по відношенню до задаючої дії (), а для систем стабілізації по відношенню до збурення ().
Ознайомтеся на прикладі коливного перехідного процесу з основними показниками якості процесів регулювання в автоматичних системах.
САК (Слідкуючі) Стабілізуючі
Час регулювання визначається тривалістю перехідного процесу. Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго, однак, практично рахують, що він закінчується як тільки відхилення регульованої величини від нового усталеного значення не перебільшують припустимих меж (найбільш прийнятим рахують значення ). Часом регулювання визначають швидкодію САР. Деколи швидкодію характеризують часом досягнення перехідною функцією перший раз нового усталеного значення або часом досягнення .
Перерегулювання (або інакше вихід) являє собою максимальне відхилення регульованої величини від нового усталеного значення:
Час регулювання та відносне перерегулювання являють собою основні показники якості перехідного процесу і вони взаємопов’язані між собою.
На перший погляд, що перерегулювання не припустимо, так як воно збільшує час . Однак, з другого боку, перерегулювання виникає внаслідок того, що система наближається до нового усталеного стану з визначеною швидкістю, яку графічно ми можемо з вами зобразити кута нахилу дотичної в точці :
|
Чим більше значення тим з більшою швидкістю система наближається до нового сталого значення і тим більше система по інерції перейде в нове стале положення. Таким чином, для зменшення необхідно зменшити швидкість . Це в решті решт приводить до збільшення . Якщо система наближається до нового усталеного режиму з нульовою швидкістю, то , що значно збільшує .
характеризує швидкодію САР намагаються його (там де це необхідно) зменшити до мінімального, що приводить до збільшення , а так як процес є коливним будуть мати місце велике прискорення регульованої величини, що викликає появу неприпустимих динамічних навантажень на елементи САР та може їх зруйнувати. Тому задаються оптимальні . Числові значення (в основному) є вихідними даними при синтезі корегуючих пристроїв, тому що підбором та корекцією цих показників досягають зменшення небажаних коливань регульованої величини в перехідному режимі.
Однак, для деяких САР взагалі неприпустимо (САР хімічних процесів), тому наявність може призвести до браку отриманої продукції. Також відмітимо, що зменшення до неприпустимих меж приводить до небажаного збільшення потужності виконавчого пристрою.
Важливою характеристикою перехідних процесів рахують коливальність, вона визначається кількістю, яке дорівнює кількості мінімумів (для систем стабілізації), а для САР кількістю перерегулювань за час .
Дуже часто коливальність оцінюють відношенням або , ця величина називається коливальністю та виражається в %. Зрозуміло, що для САР на межі стійкості при незгасаючих коливаннях – коливальність=100%. Коливальність 0 при . Приємлемим значенням кількості коливань рахують 1-2 (деколи 3-4).
;
;
;
- корені Ми навчилися з вами оцінювати запас стійкості та швидкодію системи по кривій перехідного процесу за допомогою прямих показників якості – таких як перерегулювання, припустимого числа коливань та часу перехідного процеса. Відмітимо, що запас стійкості САУ, тобто степінь віддалі САУ від коливної межі стійкості, визначає перегулювання. Час перехідного процеса визначає швідкодію системи. Оцінки якості САУ по графіку перехідного процеса володіють достатньою наочністю і дозволяють досить просто визначати область їх оптимальності. Якщо б їснували способи отримання процесів управління без необхідності вирішувати д.р. дуже високих порядків, то для детермінованих впливів проблему оцінки якості САУ можна було б рахувати вірішеною. Однак задача побудови П.П. залишається досить складною, тому широкого застосування набули різні наближені та побічні оцінки якості процесів регулювання САУ.
ЛЕКЦІЯ № 12
Тема: Методи побудови перехідних процесів
Криву перехідного процеса можна отримати трьома способами: експериментально, за допомогою моделювання та розрахунковим шляхом. Розглянемо розрахункові методи побудови П.П. Вони, в свою чергу поділяються на методи безпосереднього рішення д.р. САУ та частотні методи побудови П.П.
Методи безпосереднього рішення д.р. поділяють на точні (класичний та опереційний) та наближені (чисельна та графічні).
При рішенні д.р. класичним методом виникають труднощі, які пов’язані з рішенням характеристичного рівняння системи для хнаходження його коренів та з вирішенням системи алгебраїчних рівнянь для визначення постійних інтегрування з початкових умов. Крім того, рішення д.р. значно ускладнюється, якщо початкові умови не нульові та права частина равняння системи містить похідні. Тому класичний спосіб знаходить в ТАУ обмежене застосування і деколи використовується для систем другого та третього порядків.
Рішення д.р. операційним методом зводиться до пошука орігінала функції по її відомому зображенню, тобто шляхом зворотнього перетворення Лапласа. Якщо нам необхідно знайти перехідну функцію САУ, то повинно бути ...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора