Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп'ютерні науки
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
1999
Тип роботи:
Інші
Предмет:
Системи автоматизованого проектування ЗВТ
Група:
К
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 5
з курсу " Чисельні методи в інформатиці "
для студентів базового напрямку 6.0804
"Комп'ютерні науки"
Затверджено
на засіданні кафедри
"Системи автоматизованого
проектування"
Протокол N 14 від 03.04.1997 р.
Львів 1999
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи № 5 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 12 с.
Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц.
Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц.
Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц.
Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц.
Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи - ознайомлення з чисельними методами розв'язку трансцендентних рівнянь та їх практичним застосуванням.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Розв'язування нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. З ними пов'язана побудова різноманітних моделей пристроїв і систем автоматики та інформаційно-вимірювальної техніки.
Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші нелінійні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну.
Існує ряд методів чисельного розв'язування трансцендентних рівнянь, доцільність використання кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю.
2.2. Методи бісекції розв'язку трансцендентних рівнянь.
2.2.1. Метод половинного ділення.
В цьому методі спочатку обчислюються значення функції в точках, розміщених через рівні інтервали на осі x. Коли і мають протилежні знаки, то знаходять
та
Якщо знак співпадає із знаком , то в дальшому замість використовується . Якщо ж має знак, протилежний знаку , тобто співпадає зі знаком , то на заміняється це значення.
Якщо достатньо близьке до 0, то процес обчислення закінчується.
Як умову припинення ітераційного процесу часто найбільш доцільно використовувати умову:
(1)
де - задана похибка знаходження кореня.
Cтруктура алгоритму представлена на рис.1.
Даний метод має малу швидкість збіжності. У порівнянні з початково знайденим інтервалом, в якому знаходиться корінь, його ширина після N ітерацій зменшується в 2N раз:
(2)
Похибка знайденого рішення знаходиться в межах
(3)
Ефективність даного методу:
(4)
де n - кількість обчислень функції.
2.2.2. Метод золотого перерізу
Алгоритм даного методу подібний до методу половинного ділен-ня, тільки поділ відрізка здійснюється виходячи із співвідношення золотого січення:
(5)
Ефективність даного методу є більшою, ніж методу половинного ділення і оцінюється співвідношенням:
(6)
2.3. Метод хорд
В основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує більшу збіжність, ніж попередні. Структура алгоритму представлена на рис.2. Визначаються значення функції в точках, розміщених на осі x через рівні інтервали. Це здійснюється до цього часу, поки і не будуть мати різних знаків.
Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь x при значенні:
(7)
Далі визначають і порівнюють його з і . В подальшому користуються замість того значення, з яким воно співпадає по знаку. Якщо дуже відрізняється від 0, то вся процедура повторюється спочатку.
При можна вважати, що . Це справедливо при вузькому інтервалі і коли похідна змінюється плавно (менше ніж у два рази).
Похибка розв'язку оцінюється по формулі:
(8)
де M1 і m1 - відповідно найбільше і найменше значення модуля похідної на відрізку .
2.4. Метод Ньютона (дотичних)
Метод Ньютона дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність пояснюється тим, що, на відміну від двох попередніх методів, для визначення інтервалу, в якому знаходиться корінь, не потрібно знаходити значення функції з протилежними знаками. Замість інтерполяції (наближення) по двох значеннях функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція (передбачення) за допомогою дотичної до кривої в даній точці.
Структура алгоритму представлена на рис. 3.
В основі методу лежить розклад функції в ряд Тейлора:
(9)
члени, які містять h у другій і більших степенях відкидаються.
Використовується співвідношення: . Допускається, що перехід від xn до xn+1 наближує значення функції до нуля.
Тоді:
(10)
Це значення відповідає точці, в якій дотична до кривої перетинає вісь x. Після чого процедура повторюється, причому замість xn використовується xn+1. Обчислення припиняється при досягненні достатньо малого значення .
Швидкість збіжності у великій мірі залежить від вдалого вибору початкової точки.
Початкове наближення x0 вибирається із умови:
(11)
Похибка методу визначається порядком відкинутих членів при розкладі в ряд Тейлора і оцінюється як
(12)
де M2 - найбільше значення модуля другої похідної на відрізку .
2.5. Метод січних
Один із недоліків методу Ньютона - необхідність знаходження похідної . Якщо знаходження утруднене, то можна використати деяке наближення, що складає основу методу січних. Замінивши в методі Ньютона в рівнянні (10) на:
(13)
Одержимо
(14)
Структура алгоритму має цей же самий вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі). Метод січних представляє собою комбінацію методів інтерполяції і екстраполяції. В інтерполяцій-ній частині він еквівалентний методу хорд, а в екстраполяційній - методу Ньютона. Як і в методі Ньютона, обчислення закінчуються при досягненні необхідної точності послідовних значень x або коли близьке до 0.
2.6. Метод простої ітерації
Для використання даного методу рівняння представляється у вигляді:
(15)
Відповідна ітераційна формула має вигляд:
(16)
Структура алгоритму даного методу має також такий же вигляд, що і для методу Ньютона (при іншій ітераційній формулі).
Цей метод простий, але не завжди забезпечує збіжність. Тому для програми, яка використовує цей алгоритм необхідний контроль збіжності і припинення обчислень, якщо збіжність не забезпечується.
Похибка методу:
(17)
де q - максимальне значення першої похідної функції на відрізку ,
якщо q<1, то ітераційний процес збігається незалежно від вибору початкового значення .
3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Що таке трансцендентне рівняння?
Які чисельні методи використовуються для розв'язання трансцендентних рівнянь?
Які методи відносяться до методів бісекції?
Як побудований алгоритм методу половинного ділення?
Як оцінюється точність методу половинного ділення?
Чим відрізняється і які особливості методу золотого січення у порівнянні з методом половинного ділення?
Як побудований алгоритм методу хорд?
Як оцінюється похибка методу хорд?
Як працює метод Ньютона?
Як побудований алгоритм методу простої ітерації?
4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
Ознайомитись із методами чисельного розв'язування трасцендентних рівнянь.
Одержати індивідуальне завдання.
Знайти розв'язки заданого рівняння методом бісекції, хорд, Ньютона і простої ітерації для заданої точності .
Порівняти ефективність і точність даних методів.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ
Мета роботи.
Порівняльна характеристика чисельних методів розв'язування трансцендентних рівнянь.
Результати обчислень по кожному із методів.
Аналіз результатів, висновки.
6. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Бахвалов И.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.:Наука,1987 - 600 с.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.-М.: Наука, 1970.- 664 с.
Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Чисельні методи математики. К.: Рад. шк., 1984.- 206 с.
Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы в инженерных исследованиях.- К.: Вища школа, 1986.- 263 с.
Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ.- К.: Вища школа.- 1989.- 216 с.
Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ.- М.: Мир, 1982.- 235 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
І Н С Т Р У К Ц І Я
до лабораторної роботи № 5
з курсу “ Чисельні методи в інформатиці”
для базового напрямку 6.0804
“Комп’ютерні науки”
Укладачі Ігор Іванович Мотика
Володимир Іванович Каркульовський
Редактор О.М.Губарєва
Видавництво Державного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф.Колесси, 2
Формат 60х84 1/16. Папір офсетний.
Умовн.-друк.арк. 0,93. Умовн.фарбо-відб. 0,56.
Тираж 15 прим. Зам.365.
Тиражування здійснене на кафедрі САПР.
Відповідальний за тиражування
доц. Каркульовський Володимир Іванович.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора