7. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його. Нехай
проста поверхня, задана рівнянням
=
і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл
наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні
і позначають
. Отже за означенням
. Використавши формулу dS=

=
отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду:

. Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду

. Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл
де
-поверхня конуса z=x
+y
, 0≤z≤1,
13. Зведення потрійного інтегралу до повторного. Обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення повторного інтеграла як і у випадку з подвійними інтегралами.Нехій функція f(x,y,z) є неперервною в деякій замкненій області V
. А це означає, що існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області V. Розглянемо область у вигляді паралелепіпеда П={(x,y,z):a
}, який проектується на площину Ozy в прямокутник R={(y,z):
}. Аналогічно,як і для подвійного інтеграла,доводять наступну теорему: Якщо для функції f(x,y,z)існує протрійний інтеграл
і при кожному x
існує подвійний інтеграл
=
, то існує повторний інтеграл

і виконується рівність
=

. Перейшовши в подвійному інтегралі до повторного отримаємо
=
14. Зміна змінних у подвійному інтегралі;Перехід до полярних координат. //Розглянемо подвійний інтеграл
де D- область, обмежена простим кусково-гладким контуром L,a функція
є неперервною в обл. D x=x(
), y=y(
). Для того щоб змінити зміння перш за все потрібно розбит область D’ на n частинок (
), де D’ область на площині O
. потім розбивається область D на
Переглянемо перехід в подвійному інтегралі до полярних координат: x=
де праві частини є неперервно диференційованими функціями за змінними
і
. Якобіан І(
) =
=
=
Звідци ми отримуємо
, де
-улумент площі в полярних координатах,D-область інтегрування в декартовій системі координат, D
-область інтеграла в полярній системі 15. Обчислення площ та об’ємів за допомогою подвійного інтегралу. Обчислити площу плоскої фігури D обмеженими лініями: x=a, x=b, y=Y(x), y=Y
(x). На рис. D має вигляд: S=
Нехай тіло (V) обмежене поверхнями z=f
(x,y), z=f
(x,y), де функції f
(x,y), f
(x,y) визначені в області спільній D. Рис. f
(x,y)
Лего показати що об’єм V обчислюється за формулою: V=
5. Формула Гріна. Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду.
Розглянемо подвійний інтеграл
Запишемо його вигляді повторного інтеграла, а саме,
=

(*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом:
=
Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді
=
+
+
+
=
Аналогічно отримаємо формулу
(*) Віднімаючи почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо
8.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення. Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли
і
, то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так:
. Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій (АВ). Нехай на кривій (АВ) задана функція f(x,y,z). Будуємо аналогічно міркуючи отримаємо.
Обчислення : У випадку просторової кривої яка задана параметричними рівняннями x=
, y=
z=
де
, де
,

- неперервно диференційовані функції на відрізку[
], криволінійний інтеграла обчислюється за фоммулою
dt Випадок коли плоска крива АВ задана явним рівнянням y=
, де
= неперервнодиференційовна функція на проміжку [a,b]. Тоді взявши за параметр x=t формула криврл. Інтегралу набуде вигляду
, якщо рівняння кривої задано x=
, с
то
9.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру. Теорема: Нехай в однозв’язній області G
, функції P(x,y), Q(x,y) визначені і неперервні зі своїми похідними
. Для того щоб виконувалася рівність
(*) де L-простий заикнутий контур в області G виконувалася рівність
(**). Необхідність. Нехай виконується рівність (*) тоді за формулою Гріна
(***)де D
G. Припустимо що рівність (*) виконується а умова (**) не виконкється хоч би в одній точці тобто

в точці М
(x
,y
)
D. Нехай
>0 в точці М
. оскільки
є неперервною функцією в області G,то це означає що вираз
буде додатнім в деякому достатньому малому околі
точки М
. Тобі
, що суперечить умові (***) . наше припущення не правильне. Отже

Достатність. Дано
. Довести що
Візьмемо довільний контур L, що обмежує область D
G. За формулою Гріна
!!!!!!10.Звязок криволінійного інтегралу 2 роду з повним диференціалом функції(відновлення функції F(x,y)). Для того щоб вираз Pdx + Qdy був повним диференціалом деякої функції F(x,y), необхідно і досить виконання рівності
. Дано: вираз Pdx+Qdy є поданим диференціалом функції F(x,y). Доведемо що
оскільки
повний диференціал функції F(x,y), то
і

оскільки
- неперервні функції, то за теоремою пропро рівність мішаних похідних
=
, а це означає що
.