Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ЕЛЕМЕНТІВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
З ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ КРИВИХ РОЗГОНУ
методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкція
до лабораторної роботи N 1
з дисципліни ‘Теорія автоматичного керування‘
для студентiв базового напрямку
6.0925 - “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології”
Затверджено
на засiданнi кафедри
автоматизацiї теплових
i хiмiчних процесiв
Протокол N ___ вiд ______ 2003 р.
Львів - 2003
Знаходження параметрів математичних моделей елементів систем автоматичного регулювання з експериментальних кривих розгону. Методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкція до лабораторної роботи N 1 з дисципліни “Теорія автоматичного керування” для студентів базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології”. / Укл. В.К. Савицький, Г.Б. Крих, Ф.Д. Матіко, Львiв: Вид-во Національного ун-ту „Львiвська полiтехнiка”, 2003. - 13 с.
Укладачi: Савицький В.К., канд.техн.наук, доц.
Крих Г.Б., канд.техн.наук, доц.
Матіко Ф.Д., канд.техн.наук, доц.
Вiдповiдальний за випуск Пiстун Є.П., д-р.техн.наук, проф.
Рецензенти: Ділай І.В., канд.техн.наук, доц.
Фединець В.О., канд.техн.наук, доц.
Мета роботи: набути навичок зняття експериментальних кривих розгону фізичних об’єктів та засвоїти графо-аналітичні методи знаходження параметрів їх математичних моделей.
Необхідна підготовка: знання математичних моделей типових ланок, їх перехідних функцій, знання методів знаходження параметрів моделей з кривих розгону.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Елемент системи автоматичного регулювання (САР) – це її складова частина, призначена для виконання деякої функції. Прикладами таких елементів є термопара (первинний вимірювальний перетворювач температури), підсилювач, виконавчий механізм, регулюючий клапан тощо. Об’єкт регулювання теж є одним з елементів САР. Всі елементи в САР з’єднані між собою певним чином. За напрямом проходження сигналів розрізняють вхідні і вихідні сигнали елементу. Елемент САР може мати декілька вхідних xвх і декілька вихідних величин xвих (рис. 1). В САР для з’єднання з іншими елементами звичайно застосовуються одна вхідна і одна вихідна величини елементу. Для аналітичного дослідження процесів в елементах і в цілій САР необхідно мати певні рівняння, які б зв’язували їх вихідні величини із вхідними та описували їх властивості і в статиці, і в динаміці. Такі рівняння називаються математичними моделями елементів САР. Тому однією із задач теорії автоматичного керування є знаходження математичної моделі елементу САР. Процес знаходження моделі полягає в отриманні структури рівняння, його вигляду і визначенні його коефіцієнтів. Для побудови математичної моделі елементу застосовують аналітичні та експериментальні методи. Аналітичні методи базуються на основних законах фізики: збереження маси, енергії, кількості руху.
Суть експериментального методу знаходження моделі полягає в дослідженні реакції елементу на зміну вхідної величини елементу САР. Зміна вхідної величини повинна бути здійснена за певним законом – стрибкоподібна, імпульсна, синусоїдна. Інакше кажучи на вхід елементу повинен бути поданий регулярний (детермінований) вхідний сигнал. В результаті дії такого сигналу вихідна величина елементу буде змінюватись в часі певним чином. За виглядом такого перехідного процесу обирають структуру і вигляд рівняння, що описує елемент, і відомими методами визначають коефіцієнти цього рівняння. Для лінійних елементів найчастіше застосовують моделі у вигляді лінійних диференціальних рівнянь, функцій передачі, частотних характеристик.
До регулярних сигналів належать: одиничний стрибкоподібний сигнал 1(t), одиничний імпульсний сигнал та гармонічний сигнал (рис. 2)
Реакція лінійного незбудженого елементу на одиничний стрибкоподібний вхідний сигнал 1(t) називається перехідною функцією. Ця реакція являє собою зміну вихідної величини елементу в часі внаслідок одиничної стрибкоподібної зміни вхідної величини. Якщо стрибкоподібна зміна вхідної величини має довільне (не одиничне) значення, то реакція елементу на цей сигнал називається кривою розгону.
Реакція лінійної незбудженої системи на одиничний імпульсний вхідний сигнал називається імпульсною перехідною функцією.
Гармонічний вхідний сигнал застосовується для дослідження частотних характеристик елементів.
При дослідженні перехідних процесів у САР функціональне призначення окремих її елементів, їх фізична природа, конструкція не має принципового значення. Важливим є тільки те, як елементи САР реагують на зміни вхідних величин, тобто як вони перетворюють вхідні сигнали на вихідні. Різні елементи САР можуть мати одну й ту саму математичну модель. Наприклад, термопара і газова ємність, незважаючи на їх різну фізичну природу, мають подібні перехідні процеси і, отже їх можна описати однаковими диференціальними рівняннями. Для спрощення дослідження динамічних процесів в елементах та автоматичних системах в цілому вводять поняття ланки. Ланка – це складова частина системи, що описується подібними математичними моделями. Одна ланка може охоплювати декілька елементів системи, але звичайно, навпаки – один елемент може бути представлений з’єднанням декількох ланок. Ланка є основою для побудови моделей САР будь-якої складності.
Ланки, що є найбільш поширеними в системах, називаються типовими і кожній з них присвоюється своя назва. В залежності від вигляду рівняння вони називаються так: пропорційна, аперіодична ланка першого порядку, інтегруюча ланка, аперіодична ланка другого порядку, коливна ланка, ідеальна та реальна диференціюючі ланки, ланка запізнення тощо.
За кривими розгону (перехідними функціями) елементів САР можна повністю визначити їх властивості. За виглядом кривої розгону визначають можливу структуру математичної моделі і відомими для обраної моделі методами знаходять її параметри.
КРИВІ РОЗГОНУ ТИПОВИХ ЛАНОК
Аперіодична ланка першого порядку.
Диференціальне рівняння ланки має вигляд:
(1)
де Т – стала часу; k – коефіцієнт передачі; , - відхилення вхідної та вихідної величини від номінальних значень.
Розв’язок цього рівняння для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const при нульових початкових умовах являє собою рівняння кривої розгону і має вигляд
(2)
Таким чином, крива розгону аперіодичної ланки першого порядку (див. рис. 3). – це експоненціальна крива, яка з часом t асимптотично прямує до значення .
Чим менше значення сталої часу Т, тим швидше вихідна величина досягає нового усталеного значення. З рівняння (2) видно, що для t=4T
,
тобто вихідна величина за час t=4T досягає кінцевого усталеного значення з похибкою менше, ніж 2%, а за час t=3T перехідний процес можна вважати практично закінченим з похибкою 5%.
Якщо експериментальна крива розгону елемента має вигляд, подібний до показаного на рис. 3, це означає, що даний елемент можна представити аперіодичною ланкою першого порядку. Коефіцієнт передачі цієї ланки знайдемо, розділивши значення відхилення вихідної величини xвих() в стані рівноваги на значення стрибкоподібної зміни вхідної величини
. (3)
Для знаходження сталої часу Т можна застосувати різні способи.
1) Проводимо горизонтальну лінію на висоті до перетину з експериментальною кривою розгону. Абсциса цієї точки перетину – це і є стала часу Т .
Дійсно, для t=T з рівняння (2) одержуємо:
.
2) Проводимо дотичну до експериментальної кривої в точці t=0. Ця дотична відтинає на горизонтальній асимптоті xвих() відрізок Т.
Дійсно, диференціюючи рівняння (2), одержуємо:
. (4)
Для моменту t=0 будемо мати
З іншої сторони, за геометричним змістом похідна це є тангенс кута ( нахилу дотичної до кривої розгону в нульовий момент часу (див. рис. 3)
.
Таким чином, відрізок часу, що відтинається цією дотичною на асимптоті і визначає сталу часу Т.
3) Через довільну точку А на експериментальній кривій розгону проводимо вертикальну лінію і дотичну до кривої, які на горизонтальній асимптоті xвих() відтинають відрізок Т.
Дійсно, з диференціального рівняння (1), одержуємо значення похідної в момент часу для t=tA
. (5)
З показаного на рис. 3 прямокутного трикутника з вершиною в точці А знаходимо
. (6)
Таким чином підтверджується справедливість даного способу знаходження сталої часу Т.
Це значення сталої часу Т, а також знайдене за формулою (3) значення коефіцієнта передачі k вважають параметрами лінійної моделі досліджуваного елемента. Побудована за рівнянням (2) крива розгону із знайденими значеннями k і Т повинна досить точно збігатися з експериментальною кривою розгону.
2. Інтегруюча ланка.
Диференціальне рівняння цієї ланки має вигляд:
(7)
де vі – швидкість розгону.
Аналітичний вираз кривої розгону інтегруючої ланки знаходимо, інтегруючи рівняння (7) для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const при нульових початкових умовах xвих(0)=0
, (8)
де - стала часу розгону. Графічне представлення рівняння (8)– це пряма лінія, нахилена під кутом, тангенс якого дорівнює (див. рис. 4).
Маючи подібну експериментальну криву, неважко по ній визначити параметр апроксимуючої інтегруючої ланки. Для довільної точки А на експериментальній прямій знаходять її абсцису tA і ординату xвих(tA), після чого вираховують швидкість розгону
(9)
3. Ланки другого порядку
Диференціальне рівняння ланок другого порядку має вигляд
, (10)
де Т1, Т2 – сталі часу; k – коефіцієнт передачі.
Інтегрування рівняння (10) для =const дає рівняння кривої розгону у загальному вигляді
де сталі інтегрування, що визначаються з нульових початкових умов ; (1 і (2 – корені характеристичного рівняння, які вираховуємо за формулами
Якщо T1(2T2, ланка називається коливною, а якщо T1(2T2, то - аперіодичною ланкою другого порядку.
При умові T1(2T2 корені характеристичного рівняння можна представити у вигляді . Тоді отримуємо наступне рівняння кривої розгону коливної ланки
(11)
де – ступінь стійкості, що характеризує заникання перехідного процесу; –кругова частота коливань.
Представляючи рівняння (11) графічно, одержуємо криву коливального характеру з поступово зменшуваними амплітудами, вісь коливань знаходиться на лінії (рис.5).
Якщо експериментальна крива розгону має вигляд, подібний до вказаного на рис. 5, це значить, що досліджуваний елемент можна представити коливною ланкою. Для знаходження її параметрів спочатку визначають величини ( і за формулами
(12)
де tП – період коливань; A1, A3 – дві сусідні амплітуди перехідного процесу одного знаку.
Маючи ( і , за формулами (13) знаходимо сталі часу Т1 і Т2
(13)
Коефіцієнт передачі k коливної ланки знаходять за формулою (3), аналогічно як для аперіодичної ланки першого порядку за формулою (3).
Інтегрування рівняння (10) для випадку T1>2T2 дає аналітичне рівняння кривої розгону аперіодичної ланки у такому вигляді
(14)
Графічне представлення залежності (14) –це певна крива з точкою перегину, ординати цієї кривої при зростанні часу t прямують до значення (рис.6). Якщо експериментальна крива розгону має подібний вигляд і ордината точки перегину приблизно рівна 0,26, то досліджуваний елемент можна представити аперіодичною ланкою другого порядку. Параметри цієї ланки знаходять так.
Рис.6. Крива розгону аперіодичної ланки другого порядку
Через точку перегину М проводять вертикальну лінію і дотичну до експериментальної кривої розгону до перетину її з асимптотою . Відрізок між точками перетину цих ліній з асимптотою – це стала часу Т1 (рис.6). Дійсно, для точки перегину маємо і, підставляючи в рівняння (10) t=tM , одержуємо
З прямокутного трикутника з вершиною в точці М (див. рис. 6) одержуємо ідентичну залежність
що доводить описаний метод знаходження параметра Т1.
Для знаходження сталої часу Т2 інтегруємо рівняння (10) в межах від t=0 до t=tM.
Підставляючи границі інтегрування і враховуючи початкові умови, одержуємо
де S – площа над кривою розгону в інтервалі часу [0, tМ], обмежена горизонтальною асимптотою xвих() (див. рис. 6).
З останнього рівняння знаходимо
Отже, для знаходження Т2 на основі експериментальної кривої розгону потрібно, крім відомих Т1 і xвих(tM) знайти і площу S (див. рис.6).
Коефіцієнт передачі знаходять, як і для аперіодичної ланки першого порядку за формулою (3).
4. Реальна диференціююча ланка.
Диференціальне рівняння цієї ланки має вигляд
(15)
де ТД– час диференціювання; k – коефіцієнт передачі.
Розв’язок рівняння (15) для стрибкоподібної зміни вхідної величини =const і нульових початкових умовах дає аналітичне рівняння кривої розгону у вигляді
(16)
Графічно – це експоненціальна функція, яка для t=0 має значення xвих(0)=k(xвх, а при зростанні часу прямує асимптотично до нуля (рис.7). На основі експериментальної кривої подібного вигляду знаходимо коефіцієнт передачі цієї ланки за формулою
(17)
Для знаходження значення часу диференціювання ТД можна використати всі описані вище способи знаходження сталої Т для аперіодичної ланки першого порядку, суть яких проілюстрована на рис. 7.
ЗМІСТ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Частина № 1
Досліджується аперіодична ланка першого порядку та інтегруюча ланка. Об’єктами дослідження можуть бути:
- термоелектричний перетворювач (перетворювач температури в термоелектрорушійну силу) – аперіодична ланка першого порядку;
- реверсивний електродвигун автоматичного компенсаційного приладу (перетворювач напруги на керуючій обмотці в переміщення вказівника) – інтегруюча ланка;
Частина № 2
Досліджується аперіодична ланка другого порядку та реальна диференціююча ланка. Об’єктами дослідження можуть бути:
- електрична піч разом з термопарою – аперіодична ланка другого порядку;
- елемент зворотного зв’язку пневматичного ПІ-регулятора (так званий ізодром – перетворювач тиску в переміщення) – реальна диференціююча ланка;
- з’єднання двох термопар з однаковими номінальними статичними характеристиками – реальна диференціююча ланка.
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Ознайомившись з лабораторними стендами студенти складають план експериментального зняття кривих розгону для кожного з досліджуваних елементів. При цьому рекомендується діяти в такій послідовності:
Уточнити, які саме фізичні величини треба вважати вхідними, які вихідними величинами досліджуваного елементу, як задавати стрибкоподібну зміну вхідної величини.
Ознайомитись з характеристиками приладів для вимірювання та реєстрації вхідних та вихідних величин: їх діапазонами вимірювання, швидкістю переміщення діаграмної стрічки, класами точності тощо.
Увімкнути стенд і після встановлення стану рівноваги в елементі стрибкоподібно змінити вхідну величину, реєструючи при цьому вихідну величину.
Заповнити протокол лабораторної роботи.
За отриманою кривою розгону знайти параметри досліджуваного елементу. Записати диференціальне рівняння, яке описує елемент та аналітичний вираз кривої розгону.
За аналітичним виразом кривої розгону отримати її розрахункові значення. Накласти графік розрахункової кривої розгону на експериментальну. Знайти максимальне відхилення між двома кривими розгону.
ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ
Звіт про виконання лабораторної роботи повинен містити:
протокол лабораторної роботи;
принципову схему експериментальної установки;
таблиці спостережень або графіки зміни вихідної величини в часі;
формули та розрахунки параметрів ланки на основі експериментальної кривої розгону;
аналітичні вирази функції передачі , диференціального рівняння та рівняння перехідної функції ланки, якою представляємо досліджуваний елемент (в загальній формі і з конкретними цифровим значеннями параметрів);
таблицю розрахункових значень кривої розгону отриманих за її аналітичним виразом при такій же зміні вхідної величини, що і в експерименті;
графічне зображення теоретичної та експериментальної кривих розгону досліджуваного елементу;
висновки.
Відповідно оформлений протокол лабораторної роботи студенти здають викладачу – керівнику роботи, який після перевірки засвоєння студентами матеріалу роботи зараховує її.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи
Досліджується ланка на прикладі об’єкту
.
Вхідна величина вимірюється вторинним приладом типу № із шкалою від до , класу точності .
Вихідна величина вимірюється і записується вторинним приладом типу № із шкалою від до , класу точності . Швидкість руху діаграмної стрічки .
Початкове значення вхідної величини .
Кінцеве значення вхідної величини .
Величина стрибкоподібної зміни вхідної величини .
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ.
Що таке перехідна функція, крива розгону?
Що таке імпульсна перехідна функція?
Перехідна функція аперіодичної ланки першого порядку.
Перехідна функція інтегруючої ланки.
Перехідна функція коливної ланки.
Перехідна функція диференціюючої ланки.
7. Покажіть, який вигляд мають перехідні функції двох аперіодичних ланок першого порядку з різними сталими часу і однаковими коефіцієнтами передачі.
8.Покажіть, який вигляд мають криві розгону двох інтегруючих ланок з різними швидкостями розгону.
9.Покажіть, який вигляд мають перехідні функції двох реальних диференціюючих ланок з різними сталими часу диференціювання і однаковими коефіцієнтами передачі.
10.Покажіть, який вигляд мають перехідні функції двох реальних диференціюючих ланок першого порядку з різними коефіцієнтами передачі і однаковими сталими часу.
11.Покажіть, який вигляд мають перехідні функції двох аперіодичних ланок першого порядку з різними коефіцієнтами передачі і однаковими сталими часу.
12.Від чого залежить період коливань вихідної величини коливної ланки ?
13.Чим визначається час перехідного процесу при експериментальному знаходженні кривої розгону ланок першого порядку ?
Як за кривою розгону аперіодичної ланки першого порядку знайти її параметри ?
Як за кривою розгону аперіодичної ланки другого порядку знайти її параметри ?
Як на основі кривої розгону інтегруючої ланки знайти її параметр?
Як на основі експериментальної кривої розгону коливної ланки знайти її параметри?
Як на основі експериментальної кривої розгону реальної диференціюючої ланки знайти її параметри?
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Теория автоматического управления: Учебник под ред. А.В. Нетушила – М.:Высшая школа, 1983. – 432 с.
2. Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування: Підручник. – Київ: Либідь, 1997. – 544 с.
3. Воронов А.А., Титов В.К., Новогренов Б.Н. Основы автоматического регулирования и управления. Учебное пособие. – М.:Высшая школа, 1977.- 519 с.
4. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Ч.1, Ч.2, М.:В1986.
5. Куропаткин В. Теория автоматического управления – М.:Высшая школа, 1973. – 528 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ЕЛЕМЕНТІВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
З ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ КРИВИХ РОЗГОНУ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ ПІДГОТОВКИ
ТА ІНСТРУКЦІЯ
до лабораторної роботи № 1
з дисципліни «Теорія автоматичного керування» для студентiв базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології”
Укладачі Савицький Володимир Костянтинович
Крих Ганна Бориславівна,
Матіко Федір Дмитрович
Редактор О. Чернигевич
Видавництво Національного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф. Колеси, 2
Підписано до друку 00.00.00.
Формат 60(84 1/16. Папір офсетний.
Друк на різнографі. Умовн. друк. арк. 0,00. Умовн. фарбо-відб. 0,00.
Тираж 15 прим. Зам.000.
Тиражування здійснене на кафедрі АТХП.
Відповідальний за тиражування зав. кафедри АТХП проф. Пістун Є.П.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора