Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Автоматизації теплових і хімічних процесів
Інформація про роботу
Рік:
2006
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
для самостійної підготовки та інструкція
до лабораторної роботи N 6
з дисципліни ‘ Теорія автоматичного керування ‘
для студентів базового напряму
6.0925 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”
Затверджено
на засіданні кафедри
автоматизації теплових
і хімічних процесів
Протокол N 14 від 30 березня 2006 р.
Львів - 2006
Дослідження стійкості лінійних систем автоматичного регулювання: Методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкція до лабораторної роботи N 6 з дисципліни ”Теорія автоматичного керування” для студентiв базового напряму 6.0925 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”/ Укладачі: Г.Б. Крих, Ф.Д. Матіко, Р.Я. Дубіль. - Львiв: Вид-во Національного ун-ту ‘Львiвська полiтехнiка’, 2006. - 32 с.
Укладачi: Крих Г.Б., канд.техн.наук, доцент
Матіко Ф.Д., канд.техн.наук, доцент
Дубіль Р.Я., канд.техн.наук, доцент
Вiдповiдальний за випуск Пiстун Є.П., д-р техн. наук, професор
Рецензенти: Ділай І.В., канд. техн.наук, доцент
Фединець В.О., канд.техн.наук, доцент
Мета роботи: дослідити стійкість систем автоматичного регулювання (САР) за допомогою критеріїв Гурвіца та Найквіста, проаналізувати фактори, що можуть викликати втрату стійкості САР, дослідити вплив зміни параметрів елементів САР на її стійкість.
Необхідна теоретична підготовка: поняття стійкості динамічних систем, критерії стійкості систем.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
1. Основи встановлення стійкості САР
Стійкість є однією з основних характеристик динамічних систем. Традиційно фізичну суть стійкості розглядають на прикладі кулі, розміщеної на поверхні (рис. 1). Під час дослідження стійкості такої системи її виводять із стану рівноваги і спостерігають за її поведінкою.
Припустимо, що куля розміщена у впадині увігнутої поверхні (рис. 1, а). Стан рівноваги кулі в цьому положенні є стійким, оскільки після відхилення вона обов’язково повернеться до свого початкового положення. Навпаки, куля, розміщена у верхній точці опуклої поверхні (див. рис. 1, б), знахо-диться в нестійкому положенні. Дійсно, достатньо найменшого відхилення кулі від початкового положення, як вона скотиться по поверхні і не повернеться у вихідне положення. Якщо куля знаходиться на горизонтальній поверхні (рис. 1, в), то після її переміщення з початкової точки в іншу, вона не буде ні віддалятись, ні наближатись до початкового стану, тобто буде знаходитись на границі стійкості. На рис. 1 показані також відповідні перехідні процеси в системі куля-поверхня. Вони можуть бути коливними (див рис. 1, а), аперіодичними (див. рис. 1, б). Для системи (куля – поверхня) стійкість – це властивість повертатись у початковий стан після виведення її з цього стану та припинення дії збурення.
Таким чином, під стійкістю розуміють властивість системи повертатись до стану рівноваги після ліквідації збурення, що порушило стан рівноваги. Залежно від своїх властивостей система може бути стійкою, нестійкою або знаходитися на границі стійкості.
В розглянутих прикладах стійкість і нестійкість не залежать від початкових відхилень кулі. Розглянемо кулю, яка знаходиться на хвилястій поверхні (рис. 2). В цій системі при малих відхиленнях куля повертається в початковий стан, а при великих – не повертається. Така система є стійкою у малому і нестійкою у великому, тобто її стійкість залежить від величини початкового відхилення.
Стійкість є однією з основних вимог, що висуваються до систем автоматичного регулювання (САР). Стійка САР забезпечує зменшення різниці між заданим та поточним значеннями регульованої величини. Якщо ця різниця не зменшується в часі, а зростає, то система є нестійкою. Особливістю САР як динамічних систем є те, що САР із стійкими елементами може виявитись нестійкою, і навпаки САР із нестійкими елементами, наприклад із нестійким об’єктом регулювання, – може бути стійкою. Іншою особливістю реальних САР є те, що можливі декілька станів рівноваги.
В більш широкому розумінні стійкість системи автоматичного регулювання, оцінюється як її здатність повертатись до початкового незбуреного руху після припинення дії збурення. Стан рівноваги можна розглядати як найпростіший частковий випадок руху.
Загалом перехідний процес в системі залежить від властивостей системи та від вигляду збурення, тому в перехідному процесі хвих(t) розрізняють дві складові:
вільний рух системи , викликаний ненульовими початковими умовами при відсутності задаючих і збурюючих дій;
вимушений рух , що залежить від вигляду збурюючої або задаючої дії.
Тобто
. (1)
Аналітичне формулювання стійкості записується у вигляді
. (2)
В стійкій САР відхилення регульованої величини від заданого значення з часом має стати менше деякого наперед заданого значення
,
де - допустима похибка регулювання.
Отже характер вільного руху САР визначає стійкість або нестійкість САР. Визначення стійкості САР – це є математична задача, для вирішення якої треба мати математичну модель системи (у вигляді диференціальних рівнянь, функції передачі, частотних характеристик тощо). Розглянемо, як математично можна встановити стійкість САР.
Нехай математична модель замкнутої САР задана у вигляді лінійного диференціального рівняння n-ого порядку з постійними коефіцієнтами
(3)
Для встановлення стійкості системи достатньо дослідити розв’язок однорідного рівняння
, (4)
характеристичне рівняння якого має вигляд
. (5)
У випадку, коли рівняння (5) має n некратних коренів , розв’язок однорідного рівняння (4) можна представити у вигляді суми
, (6)
де – і-й корінь характеристичного рівняння (5); – сталі інтегрування, що залежать від початкових умов. Згідно з умовою стійкості (2), САР буде стійкою, якщо буде задовольнятись умова
. (7)
Корені характеристичного рівняння (5) в загальному випадку можуть бути дійсними і комплексними спряженими . Розглянемо, як будуть змінюватись складові розв’язку рівняння (4) при залежно від значення і вигляду коренів. Дійсним кореням відповідають складові загального розв’язку , які при з часом зменшуються за експонентою, а при - збільшуються, і при нульовому корені складова розв’язку є постійною і дорівнює . Графіки відповідних процесів показані на рис. 3, а. Комплексним кореням відповідає пара складових, суму яких можна записати у вигляді
(, (8)
де - нові сталі. На рис. 3, б показаний графік заникаючого коливного процесу, який відповідає наявності комплексного кореня з від’ємним значенням дійсної частини . Якщо дійсна частина , то процес є розбіжним коливним (див. рис. 3, в), і при наявності пари уявних коренів () встановлюються незаникаючі коливання з постійною амплітудою і частотою (див. рис. 3, г).
Нехай характеристичне рівняння містить m дійсних і відповідно (n-m) комплексних коренів. Тоді розв’язок однорідного диференціального рівняння (4) можна записати у вигляді
. (9)
Якщо всі m коренів є дійсними і від’ємними, то , оскільки кожна із складових суми при з часом зменшується до нуля. Якщо дійсні частини всіх (n-m) комплексних коренів від’ємні, то , оскільки кожна із складових другої суми загального розв’язку (9) є заникаючим коливанням. Таким чином, для асимптотичної стійкості системи необхідно і достатньо, щоб всі дійсні корені і дійсні частини всіх комплексних коренів були від’ємними, тобто .
Рис. 3. Характер перехідного процесу для складових розв’язку з різними коренями характеристичного рівняння: а) дійсними (додатними, від’ємними, нульовим);
б) комплексними з від’ємною дійсною частиною; в) комплексними з додатною дійсною частиною; г) з уявними.
Якщо хоча б один дійсний корінь виявиться додатним або дійсна частина хоча б однієї пари комплексних коренів буде додатною >0, то відповідні їм складові розв’язку з часом будуть зростати і система в цілому буде нестійкою. Якщо в розв’язку один з дійсних коренів або є пара уявних коренів (), а решта коренів є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то система буде знаходитись на границі стійкості. За наявності нульового дійсного кореня ця границя називається аперіодичною, а за наявності комплексних коренів – коливною. За наявності кратних нульових коренів система буде нестійкою. Так, наприклад двом нульовим дійсним кореням відповідають такі складові розв’язку: . Тобто при процес є розбіжним і система в цілому також буде нестійкою.
Покажемо корені на комплексній площині (рис. 4). Щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння знаходилися зліва від уявної осі, тобто на лівій півплощині (рис. 4, а). Якщо хоча б один дійсний або хоча б одна пара комплексних коренів знаходяться на правій півплощині (рис. 4, б), то система буде нестійкою. Таким чином, стійкість системи визначається розміщенням коренів її характеристичного рівняння в комплексній площині. Отже, ліва півплощина є областю стійкості системи, а уявна вісь – границею стійкості.
Таким чином стійкість лінійних систем визначається стійкістю вільного руху системи і не залежить від вигляду і характеру зміни зовнішніх (збурюючих і задаючих) дій. Лінійна система, стійка при малих збуреннях, буде стійкою і при великих. Якщо динаміка системи точно описується диференціальним рівнянням (3), то стійкість в "малому" забезпечує необмежену стійкість системи. Нелінійні системи, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями, можуть бути стійкими при малих збуреннях і нестійкими при великих.
Висновки щодо стійкості, розглянуті вище, стосуються лише лінійних систем. Однак реальні системи майже ніколи не бувають лінійними. На практиці їх досліджують за допомогою лінеаризованих диференціальних рівнянь. Правильність висновків про стійкість реальних систем за лінеаризованими рівняннями доведена А.М. Ляпуновим. Перша теорема А.М. Ляпунова доводить, що 1) якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має лише від’ємні дійсні корені або комплексні з від’ємною дійсною частиною, то реальна система стійка. При цьому жодні відкинуті при лінеаризації члени з відхиленнями змінних у другому та вищих степенях не впливають на стійкість системи. 2) Якщо хоча б один дійсний корінь лінеаризованої системи є додатним або будь-яка пара комплексних коренів має додатну дійсну частину, то реальна система нестійка. 3) Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має хоча б один нульовий корінь або пару уявних коренів, то стійкість реальної системи не можна встановити за лінеаризованим рівнянням. В цьому випадку відкинуті члени з відхиленнями вихідної величини в степенях більших за одиницю докорінно змінюють опис динамічних процесів реальної системи.
2. Встановлення стійкості САР за допомогою критеріїв стійкості
Якщо відомі параметри математичних моделей елементів САР (коефіцієнти передачі, сталі часу), то задачі встановлення коефіцієнтів характеристичного рівняння системи і визначення його коренів вирішуються відносно легко за допомогою засобів обчислювальної техніки. Але в теорії автоматичного керування обґрунтовані методи аналізу стійкості систем за допомогою критеріїв стійкості. Критерій стійкості – це математичне формулювання умов, яким повинні задовольняти коефіцієнти характеристичного рівняння або деякі функції цих коефіцієнтів, щоб система була стійкою. Критерії стійкості дозволяють не визначаючи коренів характеристичного рівняння, сформулювати умову стійкості за коефіцієнтами характеристичного рівняння. Цінність застосування критеріїв стійкості полягає не стільки в тому, що усувається необхідність визначати корені характеристичного рівняння, а в тому, що вони дають можливість встановити, як той чи інший параметр системи, її структура впливає на стійкість, і як їх необхідно змінити, щоб система стала стійкою.
Розроблені критерії стійкості поділяють на дві групи – алгебраїчні та частотні. До алгебраїчних критеріїв стійкості належать критерії Гурвіца, Рауса, до частотних – критерії Найквіста, Михайлова.
2.1. Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Гурвіца
Необхідною (але недостатньою) умовою стійкості САР є те, що всі коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи повинні мати однаковий знак. В цьому випадку система може бути стійкою, але не виключена можливість її нестійкості. Тільки для систем першого і другого порядків необхідна умова стійкості є і достатньою. Якщо хоча б один коефіцієнт характеристичного рівняння відрізняється знаком від інших, то без жодних додаткових досліджень можна зробити висновок, що система є нестійкою.
Для систем порядку вищого за другий остаточний висновок про стійкість можна зробити, застосовуючи, наприклад, критерій Гурвіца.
Нехай досліджується система, модель якої задана у вигляді функції передачі
. (10)
Характеристичне рівняння може бути отримане із знаменника функції передачі заміною оператора Лапласа р на змінну .
Критерій Гурвіца формулює умови стійкості у вигляді визначників, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння (5) системи. Достатню умову формулюють за допомогою визначника, складеного з коефіцієнтів характеристичного рівняння . Гурвіц запропонував складати цей визначник у вигляді квадратної матриці розміром
. (11)
В головній діагоналі виписують коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з до . Стовпчики визначника вверх від головної діагоналі заповнюють коефіцієнтами із спадаючими індексами, а вниз від діагоналі – коефіцієнтами із наростаючими індексами. Всі місця коефіцієнтів з індексами меншими від 0 та з індексами більшими від n, а також відсутні коефіцієнти заповнюють нулями. Цей визначник називається головним, і з нього складають мінори
, , ,…,. (12)
Для стійкості системи достатньо, щоб головний визначник Гурвіца, а також всі його діагональні мінори були одного знаку з коефіцієнтом (якщо то і всі мінори мають бути додатними).
Умову перебування системи на границі стійкості отримують при нульовому значенні визначника Гурвіца, тобто . Це можливо при і при . Перша умова відповідає границі стійкості першого роду (аперіодична границя стійкості), а друга - границі стійкості другого роду (коливна границя стійкості).
Суттєвим недоліком критерію Гурвіца є те, що для рівнянь високих порядків (вище 4-ого) умови стійкості є достатньо громіздкими і тоді в кращому випадку можна сказати стійка система автоматичного регулювання чи нестійка. У випадку ж нестійкості системи критерій не дає відповіді на питання, як треба змінити параметри системи, щоб зробити її стійкою. Власне тому в інженерній практиці застосовують більш зручні критерії стійкості, зокрема частотний критерій Найквіста.
2.2. Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Найквіста
На відміну від критерію Гурвіца, що встановлює приналежність коренів до лівої півплощини для будь-якої системи з відомим характеристичним рівнянням, критерій Найквіста призначений для дослідження тільки замкнутих систем. Критерій Найквіста – це графоаналітичний критерій. Характерною особливістю його застосування є те, що висновок про стійкість замкнутої САР роблять на основі вигляду амплітудно-фазової характеристики (АФХ) або логарифмічних частотних характеристик розімкнутої САР. Крім дослідження стійкості за виглядом вказаних частотних характеристик можна оцінити якісні показники замкнутої САР, наприклад запас стійкості. Більш того, можна легко зорієнтуватись за рахунок чого нестійку замкнуту систему перетворити на стійку.
Функцію передачі замкнутої САР (рис. 5), що є зустрічно паралельним з’єднанням, елементів можна представити у вигляді
. (13)
Функцію передачі розімкнутої САР (відсутній зворотний зв’язок), що є послідовним з’єднанням об’єкта регулювання і автоматичного регулятора, запишемо у вигляді добутку відповідних їм функцій передачі
. (14)
З врахуванням рівняння (13) функцію передачі замкнутої САР запишемо у вигляді
. (15)
Функцію передачі розімкнутої системи також представимо у вигляді відношення поліномів
, (16)
де - характеристичний поліном розімкнутої системи. Степінь полінома чисельника не може бути більше степені полінома знаменника . Підставляючи (16) в (15), одержимо
,
де - характеристичний поліном замкнутої системи. Сформуємо нову функцію , як відношення характеристичних поліномів замкнутої та розімкнутої системи
. (17)
В загальному випадку і мають однакову степінь. У виразі поліноми чисельника і знаменника також мають однакову степінь, це означає, що чисельник і знаменник мають однакову кількість коренів. Корені полінома чисельника будь-якої функції передачі називаються нулями, а корені полінома знаменника - полюсами.
Запишемо в полюсно-нульовому представленні
(18)
де - нулі, - полюси; - коефіцієнт передачі розімкнутої системи (в полюсно-нульовому сенсі). В загальному випадку корені і можуть бути як дійсними так і комплексними.
При підстановці у вираз (18) одержимо частотну характеристику
. (19)
Кожний множник або у виразі (19) в комплексній площині можна розглядати як різницю векторів та або та (рис. 6). Початок вектора буде знаходитись в точці , а кінець на уявній осі. Якщо змінювати частоту від до , то кінець вектора буде ковзати вздовж уявної осі і повертатися на кут . Якщо корінь (дійсний або комплексний) розміщений зліва від уявної осі, то обертання здійснюється проти годинникової стрілки і кут вважається додатним. Якщо корінь розміщений справа, то обертання, наприклад, вектора здійснюється за годинниковою стрілкою, кут обертання є від’ємним і при зміні частоти від до дорівнює .
Рис. 6. Ілюстрація обертання векторів та в комплексній площині
при розміщенні нулів та полюсів зліва та справа від уявної осі.
Якщо кожне комплексне число чисельника і знаменника виразу (19) записати в показниковій формі, то одержимо
(20)
де модуль і-ого комплексного числа відповідно чисельника і знаменника; , - аргумент і-ого комплексного числа відповідно чисельника і знаменника; - модуль . Аргумент згідно (20) визначається як різниця між сумою кутів повороту всіх векторів чисельника і сумою кутів повороту всіх векторів знаменника, тобто
. (21)
Припустимо, що характеристичне рівняння замкнутої САР має l правих коренів, тоді лівих коренів є n-l, а характеристичне рівняння розімкнутої системи має k правих коренів і лівих коренів. Тоді згідно рівнянь (19) і (21) зміна аргументу при зміні частоти від до дорівнюватиме
. (22)
В стійкій замкнутій системі всі дійсні корені мають бути від’ємними, а комплексні мати від’ємну дійсну частину, тобто бути лівими, тоді і зміна аргументу , як видно з рівняння (22) буде такою
.
При зміні частоти від 0 до зміна аргументу буде вдвічі меншою
. (23)
Як видно з рівняння (19) є по суті амплітудно-фазовою характеристикою САР в розімкнутому стані, зміщеною на 1. Згідно з критерієм Найквіста для стійкості замкнутої системи автоматичного регулювання необхідно і достатньо, щоб при зміні частоти від нуля до нескінченості, вектор , початок якого знаходиться в точці (-1, і0) комплексної площини, а кінець на амплітудно-фазовій характеристиці розімкнутої системи, повернувся в додатному напрямі (проти годинникової стрілки) на кут , де k – кількість додатних (правих) коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи.
Інакше кажучи, зміна аргументу при зміні частоти від нуля до нескінченості в стійкій замкнутій системі дорівнюватиме .
Таким чином, якщо розімкнута система автоматичного регулювання є нестійкою, то це не означає що вона буде нестійкою в замкнутому стані. Вона може бути і стійкою, і нестійкою.
Розглянемо застосування критерію Найквіста для випадку, коли розімкнута система є стійкою. Якщо розімкнута система стійка (тобто додатні корені характеристичного рівняння відсутні і k=0), то для того, щоб система була стійкою в замкнутому стані, зміна аргументу при зміні частоти від 0 до + згідно (23) має дорівнювати нулю
. (24)
Для прикладу на рис. 7 показано напрям руху вектора для розімкнутої системи другого порядку з характеристичним рівнянням , дійсні корені якого є від’ємними. До точки В вектор при збільшенні частоти повертається за годинниковою стрілкою на кут і далі при зростанні частоти до нескінченності повертається проти годинникової стрілки на такий самий кут. Таким чином сумарний кут повороту цього вектора дорівнює нулю. Це означає, що в замкнутому стані система буде також стійкою.
Рис. 7. Пояснення руху вектора вздовж АФХ розімкнутої системи.
На практиці для складних АФХ розімкнутих систем кути повороту вектора , визначити важко, тому користуються іншим, більш простішим правилом. Виявляється, що якщо точка (-1,і0) знаходиться поза АФХ стійкої розімкнутої системи, то кут повороту вектора буде завжди дорівнювати нулю. Тому критерій Найквіста для цього випадку можна сформулювати так: якщо амплітудно-фазова характеристика стійкої розімкнутої системи не охоплює точку (-1,і0), то замкнута система буде стійкою. Користуючись цим формулюванням легко бачити, що стійка розімкнута система з АФХ, показаною на рис. 8,а) буде нестійкою в замкнутому стані, а система на рис.8,б) - стійкою.
Якщо АФХ розімкнутої системи в комплексній площині проходить через точку (-1,і0), то замкнута система буде знаходитися на границі стійкості. Аналітично ця умова записується у вигляді
, (25)
де - відповідно амплітудно-фазова, амплітудно-частотна та фазочастотна характеристики розімкнутої системи; - частота, при якій ФЧХ розімкнутої системи досягає значення .
Рис. 8. Амплітудно-фазові характеристики розімкнутих стійких систем (k=0).
Розглянемо застосування критерію Найквіста для випадку, коли розімкнута система є нестійкою, і її характеристичне рівняння містить k правих коренів. Для встановлення стійкості таких систем в замкнутому стані визначають кут повороту вектора , який згідно критерію Найквіста має дорівнювати , де k – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи
Однак на практиці зручніше користуватись іншим формулюванням критерію Найквіста. САР, нестійка в розімкнутому стані, буде стійкою в замкнутому, якщо при зміні частоти від 0 до + різниця між кількістю додатних і від’ємних переходів АФХ розімкнутої системи через відрізок дійсної осі рівна . Від’ємним (-1) вважається перехід, при якому АФХ перетинає вісь знизу вверх, і навпаки – додатним (+1), якщо АФХ перетинає вісь зверху вниз. Якщо при АФХ розімкнутої системи бере початок з відрізку то це відповідає 1/2 переходу з відповідним знаком. На рис. 9 показані АФХ нестійких розімкнутих систем, які при замиканні стають стійкими. На рис. 9, а АФХ розімкнутої нестійкої системи з одним правим коренем k=1 починається на відрізку дійсної осі та із зростанням частоти рухається зверху вниз і далі не перетинає вказаний відрізок, тобто кількість додатних переходів дорівнює 1/2, тому в замкнутому стані система буде стійкою. На рис. 9, б АФХ розімкнутої нестійкої системи з двома правими коренями (k=2) перетинає відрізок дійсної осі один раз: зверху вниз (+1), від’ємних переходів немає, і це означає, що в замкнутому стані система буде стійкою, оскільки за критерієм Найквіста різниця між додатними і від’ємними переходами в стійкій системі має дорівнювати одиниці (k/2=2/2=1).
Рис. 9. Амплітудно-фазові характеристики розімкнутих нестійких систем:
а) k=1; б) k=2.
3. Запас стійкості систем автоматичного регулювання
Реальні системи повинні бути не тільки стійкими, але й мати певний запас стійкості, тобто повинні знаходитися на деякій відстані від границі стійкості. В протилежному випадку незначні зміни параметрів системи можуть призвести до її нестійкості і непридатності для роботи. На практиці проектування САР здійснюють переважно, виходячи не тільки з умов стійкості, але й з умов забезпечення потрібної якості перехідного процесу. З цією метою розрахунок САР проводять з умови забезпечення запасу стійкості.
Запас стійкості – це кількісна оцінка відстані значень параметрів системи або її характеристик від зони, небезпечної з точки зору стійкості
Запас стійкості САР можна оцінити за критерієм Найквіста. Чим ближче наближається АФХ розімкнутої системи до точки (-1, і0), тим менше її запас стійкості в замкнутому стані. Кількісно запас стійкості оцінюють за амплітудою і фазою (див. рис. 10 ).
Запас стійкості по амплітуді дорівнює відстані від точки перетину дійсної осі амплітудно-фазовою характеристикою розімкнутої системи до точки
, (26)
де - частота, при якій зсув фаз розімкнутої системи досягає –π, і відповідно - це є значення амплітудно-частотної характеристики розімкнутої системи при .
Запас стійкості за фазою оцінюється за кутом між від’ємною частиною дійсної осі і лінією, проведеною через початок координат і точку перетину АФХ з колом одиничного радіуса
, (27)
де - частота зрізу, тобто частота, при якій амплітудно-частотна характеристика розімкнутої системи досягає одиниці ; - значення зсуву фаз між вихідним та вхідним сигналом розімкнутої системи при частоті зрізу.
Рис. 10. Визначення запасу стійкості системи за фазою і амплітудою.
Незалежно від прийнятої форми, запас стійкості є кількісною характеристикою і використання його при розрахунках САР є гарантією стійкості системи в реальних умовах.
Висновки. Стійкість є основною вимогою до роботи САР, і відповідно дослідження стійкості є одним з основних етапів синтезу системи автоматичного регулювання. За наявності математичної моделі САР оцінка стійкості САР, а також аналіз впливу параметрів системи на стійкість може успішно здійснюватись за допомогою одного з розглянутих критеріїв.
ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Змістом виконання роботи є дослідження стійкості заданої системи автоматичного регулювання. За допомогою критеріїв Гурвіца (частина 1) і Найквіста (частина 2) необхідно визначити критичні значення коефіцієнтів настроювання автоматичного регулятора, а також значення параметрів настроювання, що забезпечують заданий запас стійкості за амплітудою або за фазою. Далі в середовищі Matlab-Simulink складають структурну схему системи і в результаті моделювання отримують перехідні функції замкнутої системи. Вихідними даними для виконання лабораторної роботи є функція передачі об’єкту регулювання з конкретними числовими значеннями параметрів, та функція передачі автоматичного регулятора з невідомими параметрами настроювання.
В частині 1 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. Скласти характеристичне рівняння заданої САР, розрахувати числові значення його коефіцієнтів.
2. Скласти визначник Гурвіца та розрахувати критичні значення параметрів настроювання регулятор.
3. Скласти структурну схему замкнутої системи в Simulink, встановити задані та розраховані значення коефіцієнтів моделей.
4. Здійснити моделювання САР при одиничній стрибкоподібній зміні вхідної величини та отримати перехідну функцію САР.
5.Дослідити вплив зміни параметрів настроювання регулятора на перехідний процес в замкнутій системі. Порівняти перехідні функції, отримані принаймні при трьох значеннях параметрів настроювання регулятора (рівних, менших та більших за критичне значення), визначаючи кожний раз характер та вигляд перехідної функції, а також коефіцієнт заникання перехідного процесу, де А1, А3 – відповідно перша та третя амплітуди коливного процесу.
В частині 2 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. На основі критерію Найквіста, розрахувати критичні значення параметрів настроювання заданого регулятора.
2. Розрахувати значення параметрів настроювання регулятора на заданий викладачем запас стійкості по фазі або по амплітуді.
3. Побудувати в середовищі Matlab амплітудно-фазові характеристики розімкнутої САР при розрахованих значеннях параметрів настроювання регулятора та оцінити графічно запас стійкості системи за фазою та амплітудою.
4. Скласти структурну схему замкнутої САР в Simulink, встановити задані значення параметрів об’єкта регулювання та розраховані значення параметрів регулятора.
5. Здійснити моделювання САР при одиничній стрибкоподібній зміні вхідної величини та отримати перехідні функції САР для критичного значення параметру регулятора та для параметра регулятора, що забезпечує заданий запас стійкості.
6. Дослідити вплив зміни параметрів об’єкта регулювання (наприклад, збільшення запізнення, збільшення-зменшення сталих часу, збільшення-зменшення коефіцієнта передачі) на перехідний процес в САР. Для цього порівняти перехідні функції при різних значеннях параметрів системи, кожний раз визначаючи коефіцієнт заникання та запас стійкості САР за амплітудою і фазою.
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
а) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Гурвіца
Завдання: Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з П-регулятором, структурна схема якої показана на рис.11. Функція передачі об’єкту регулювання
,
де - коефіцієнт передачі об’єкту регулювання; сталі часу аперіодичних ланок.
Функція передачі автоматичного П-регулятора
,
де - коефіцієнт передачі регулятора.
Для дослідження стійкості системи автоматичного регулювання за критерієм Гурвіца необхідно отримати характе-ристичне рівняння замкнутої САР. Функція передачі заданої САР має вигляд
.
Характеристичне рівняння одержимо, прирівнявши знаменник отриманої функції передачі (характеристичний поліном системи) до нуля
.
Після розкриття дужок отримаємо
.
Загальний вигляд характеристичного рівняння третього порядку є таким
.
Тобто для досліджуваної системи ; ; ; . Як бачимо, всі коефіцієнти є одного знаку (додатними) при будь-яких значеннях коефіцієнта передачі П-регулятора, отже необхідна умова стійкості виконується.
Для визначення умов стійкості сформуємо головний визначник Гурвіца
та визначники діагональних мінорів нижчих порядків
,
.
Досліджувана система буде стійкою, якщо >0 і >0 і >0. Визначник є додатний, знак визначається тільки знаком , тому для того, щоб САР була стійкою достатньо щоб >0. Якщо , то САР буде на границі стійкості, при - нестійка.
Знайдемо критичне значення коефіцієнта передачі П-регулятора, при якому система буде знаходитися на границі стійкості з рівняння
.
Для забезпечення стійкості САР, значення коефіцієнта передачі П-регулятора повинно бути меншим від критичного . Якщо коефіцієнт передачі регулятора виявиться більшим за критичне значення , то система буде нестійкою.
Змоделюємо досліджувану САР в середовищі Simulink:
Рис 12. Структурна модель САР з П-регулятором.
Перехідна функція, отримана при критичному значенні =0,7778, показана на рис.13.
Рис. 13. Перехідна функція САР, отримана при =0,7778.
Перехідна функція є коливною із незаникаючими коливаннями. Усталені коливання здійснюються відносно значення вихідної величини 1,286. Амплітуда усталених коливань А=1,164, період коливань 42 с.
Змоделюємо перехідну функцію САР із значенням коефіцієнта передачі П-регулятора, меншим за критичне значення =0,7778, наприклад при =0,5 (рис. 14).
Усталене значення вихідної величини після завершення перехідного процесу (статична похибка регулювання) дорівнює 2. Період коливань становить 51 с, коефіцієнт заникання коливань 0,45.
Рис. 14. Перехідна функція САР, отримана при =0,5.
Далі змоделюємо перехідну функцію САР із значенням коефіцієнта передачі П-регулятора, більшим за критичне значення, наприклад при =1 (рис. 15). Отриманий перехідний процес в САР є коливним, розбіжним. Коливання здійснюються відносно значення регульованої величини, що дорівнює 1. Період коливань 38 с.
Рис. 15. Перехідна функція САР, отримана при =1.
Висновок: Таким чином, розраховане критичне значення параметра настроювання П-регулятора =0,7778 дійсно виводить систему на границю стійкості. Якщо =0,5, то САР є стійкою, при =1>0,7778 САР стає нестійкою. Отримані перехідні функції САР підтверджують правильність розрахунку критичного значення коефіцієнта передачі П-регулятора за критерієм Гурвіца. Перехідні процеси в САР є коливними, період коливань зменшується із збільшенням коефіцієнта передачі П-регулятора. Дослідження заданої САР показує, що із зменшенням коефіцієнта передачі П-регулятора статична похибка регулювання збільшується, що чітко обґрунтовується теоретично.
б) Дослідження стійкості САР за допомогою критерію Найквіста
Завдання: Об’єктом дослідження в другій частині лабораторної роботи є та сама САР, що і в першій частині.
Задане значення запасу стійкості САР: запас стійкості по фазі (=35о.
Задані зміни параметрів ОР: (збільшення коефіцієнта передачі ОР на 20%).
За допомогою критерію Найквіста розрахувати критичне значення параметра настроювання П-регулятора, а також таке його значення, що забезпечує заданий запас стійкості САР. Дослідити перехідну функцію САР із заданим запасом стійкості, а також дослідити вплив збільшення коефіцієнта передачі ОР.
Для того щоб спростити знаходження виразів частотних характеристик, функцію передачі об’єкта регулювання доцільно представити як добуток функцій передачі інтегруючої і двох аперіодичних ланок, тобто представити послідовним з’єднанням цих ланок, як показано на рис.16.
Рис. 16. Структурна схема досліджуваної САР.
Згідно з критерієм Найквіста амплітудно-фазова-характеристика (АФХ) САР, що знаходиться на границі стійкості проходить через точку (-1,і0), тобто виконується умова (25)
або
,
де - амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи; амплітудно-частотні характеристики об’єкта регулювання і автоматичного регулятора відповідно; фазочастотні характеристики відповідно об’єкта регулювання і автоматичного регулятора.
Визначимо необхідні амплітудно- і фазочастотні характеристики. Відомо, що АЧХ послідовного з’єднання елементів дорівнює добутку амплітудно-частотних характеристик елементів, що складають з’єднання, а ФЧХ – сумі їх фазочастотних характеристик. Відповідно АЧХ і ФЧХ об’єкту регулювання матимуть вигляд
,
АЧХ і ФЧХ П-регулятора -
.
Знайдені вирази характеристик підставимо в систему (25)
З врахуванням заданих значень параметрів моделей запишемо
З другого рівняння системи визначимо частоту а з першого - критичне значення коефіцієнта передачі П-регулятора
.
Друге рівняння системи, як бачимо, аналітично не розв’язується, тому значення знайдемо числовим методом із застосуванням функції fzero в Matlab.
Для розрахунку параметрів, при яких САР буде на границі стійкості, та побудови АФХ виконаємо наступну програму в Matlab:
%знаходження
wp0=1;
wpi=fzero('fff',wp0),
%розрахунок критичного значення кр
A1=0.4/sqrt(1+wpi^2*25);
A2=1/sqrt(1+wpi^2*81);
A3=1/wpi;
kr=1/A1/A2/A3,
%побудова АФХ розімкнутої САР на границі стійкості
w=[0:0.01:5];
A1=0.4./sqrt(1+w.^2*25);
A2=1./sqrt(1+w.^2*81);
A3=1./w;
A4=kr;
fi1=-atan(w*5);
fi2=-atan(w*9);
fi3=-pi/2;
fi4=0;
A=A1.*A2.*A3.*A4;
fi=fi1+fi2+fi3+fi4;
polar(fi,A), grid;
де
function y=fff(w);
y=-atan(w*5)-atan(w*9)-pi/2+pi;
В результаті виконання програми отримаємо розв’язок системи: , На рис. 17 показана амплітудно-фазова характеристики розімкнутої системи, яка підтверджує, що розрахунок критичного значення П-регулятора виконаний правильно, оскільки АФХ проходить через точку з радіусом 1 і кутом 1800, що відповідає точці (-1, і0) в декартових координатах.
Для розрахунку значення коефіцієнта , при якому забезпечується заданий запас стійкості системи по фазі , частоту зрізу розраховують з другого рівняння системи
,
а з першого визначають значення .
Рис. 17. АФХ розімкнутої САР (замкнута САР на границі стійкості).
Рис. 18. АФХ розімкнутої САР із заданим запасом стійкості по фазі (крива 1) та АФХ системи із коефіцієнтом передачі об’єкта регулювання (крива 2).
Для розрахунків скористаємося наведеною вище програмою, яка відрізнятиметься від неї лише виглядом допоміжної функції y, а саме
function y=fff(w);
ga=35*pi/180;
y=-atan(w*5)-atan(w*9)-pi/2+pi-ga;
В результаті виконання програми отримуємо значення частоти зрізу і коефіцієнта передачі П-регулятора k = 0,2449. На рис. 18 (крива 1) показана АФХ розімкнутої САР при розрахованому значенні параметра регулятора, з якої видно, що запас стійкості САР становить 350.
Побудуємо також перехідну функцію розрахованої САР.
Рис. 19. Перехідна функція САР із заданим запасом стійкості по фазі.
Статична похибка регулювання дорівнює 4,08, А1 = 5,55-4,08=1,47, А3 = 4,3-4,08=0,22 і коефіцієнт заникання коливань .
Далі оцінимо вплив збільшення коефіцієнта передачі ОР ( =0,48) на перехідну функцію. Як видно із рис. 20, для перехідної функції системи регулювання із статична похибка регулювання дорівнює 4,08, перша амплітуда , третя амплітуда , коефіцієнт заникання коливань . Для порівняння на рис. 20 пунктирною лінією показана також перехідна функція з рис. 19.
Рис. 20. Перехідні функції САР з коефіцієнтом передачі ОР k=0,4 (штрихова лінія) та коефіцієнтом передачі k=0,48 (суцільна лінія).
Порівнюючи ці два графіка, бачимо, що при збільшенні коефіцієнта передачі ОР статична похибка регулювання не змінилася, а запас стійкості САР зменшився, оскільки коефіцієнт заникання зменшився з 0,85 до 0,79. Зменшення запасу стійкості САР із збільшеним коефіцієнтом передачі ОР на 20% проілюстровано також за допомогою АФХ розімкнутої системи на рис.18 (крива 2), з якої видно, що запас стійкості по фазі зменшився до 300, а запас стійкості по амплітуді з 0,67 до 0,6.
Висновок: Знайдене критичне значення параметру П-регулятора за допомогою критерію Найквіста збігається з розрахованим за критерієм Гурвіца, що підтверджує правильність розрахунків. Застосування критерію Найквіста дозволяє розраховувати САР на заданий запас стійкості. Дослідження заданої САР показують, що із збільшенням коефіцієнта передачі ОР запас стійкості САР зменшується і по фазі, і по амплітуді.
ПЕРЕЛІК ЗАВДАНЬ
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та інтегральним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та пропорційним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання без самовирівнюванням та пропорційним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання без самовирівнюванням та пропорційно-інтегральним регулятором.
Дослідити стійкість системи автоматичного регулювання з об’єктом регулювання із самовирівнюванням та пропорційно-інтегральним регулятором.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 1)
Досліджується САР з функціями передачі об’єкта регулювання
= ____________________
та регулятора
= ____________________.
Розраховане критичне значення параметра настроювання регулятора ______________.
В звіт до лабораторної роботи необхідно додати:
- структурну схему досліджуваної САР;
- функцію передачі замкнутої САР та її характеристичне рівняння;
- формули та розрахунки критичних значень параметрів регулятора;
- перехідні функції САР при різних значеннях параметрів регулятора;
- визначені характеристики перехідних процесів;
- висновки.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 2)
Досліджується замкнута система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
= ____________________
і автоматичним регулятором з функцією передачі
= ____________________.
Задане значення запасу стійкості САР ______________________
Задані зміни параметрів ОР _______________________________
Розраховане критичне значення параметра настроювання регулятора _____________.
Значення параметра настроювання регулятора, при якому досягається заданий запас стійкості ___________________________________________ .
До протоколу лабораторної роботи необхідно додати:
- функції передачі замкнутої та розімкнутої системи автоматичного регулювання;
- формули та розрахунки критичних значень параметрів настроювання автоматичного регулятора та значень параметрів, що забезпечують заданий запас стійкості САР;
- амплітудно-фазові характеристики розімкнутої САР при розрахованих значеннях параметрів настроювання регулятора (на границі стійкості та із заданим запасом стійкості);
- структурну схему досліджуваної САР;
- перехідні функції САР при обчислених значеннях параметрів настроювання регулятора та визначені за ними характеристики перехідного процесу;
- перехідні функції САР ...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора