Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
РОЗРАХУНОК ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
для самостійної підготовки та інструкція
до лабораторної роботи № 7
з дисципліни “Теорія автоматичного керування”
для студентів базового напряму 6.0925 (050202)
“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”
Затверджено
на засiданнi кафедри
автоматизації теплових
i хiмiчних процесів
Протокол N 8 від 28.01.2008 р.
Львів - 2008
Розрахунок та дослідження лінійних систем автоматичного регулювання. Методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкція до лабораторної роботи № 7 з дисципліни “Теорія автоматичного керування” для студентів базового напрямку 6.0925 (050202) “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології” / Укл. Г.Б. Крих, Ф.Д. Матіко, Р.Я. Дубіль – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2008. – 42с.
Укладачі
Крих Г.Б., канд. техн. наук, доц.,
Матіко Ф.Д., канд.техн. наук, доц.,
Дубіль Р.Я., канд.техн. наук.
Відповідальний за випуск
Пістун Є.П., докт. техн. наук, проф.
Рецензенти
Мичуда Л.З., канд. техн. наук, доц.,
Лесовой Л.В., канд. техн. наук, доц.,
Мета роботи: засвоєння методики розрахунку параметрів настроювання П-, І-, ПІ-, ПІД-регуляторів з умови забезпечення заданого запасу стійкості системи; дослідження впливу параметрів настроювання регулятора і властивостей об’єкту регулювання на показники якості систем автоматичного регулювання (САР); порівняння показників якості САР з різними типами регуляторів.
Необхідна теоретична підготовка: знання типових законів регулювання, знання методу розрахунку параметрів настроювання регуляторів за розширеними частотними характеристиками на задану ступінь коливальності.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
1. Основи визначення якості САР
Стійкість є необхідною умовою роботи САР, але недостатньою. Крім стійкості важливою властивістю САР є її якість. Будь-яка система автоматичного регулювання повинна забезпечувати: 1) достатній запас стійкості, що гарантує неможливість втрати стійкості внаслідок зміни параметрів об`єкту регулювання; 2) найкращу якість процесу регулювання у межах запасу стійкості. Від якості роботи САР залежать економічність, надійність, термін експлуатації технологічного устаткування.
Поняття якості пов’язано з перехідними процесами в САР, які можуть бути викликані двома причинами: зміною збурення z та зміною заданого значення хзад регульованої величини.
Спрощена структурна схема САР показана на рис. 1. Звичайно якість САР аналізують за кривими розгону (перехідними функціями). На рис. 2 показані перехідні процеси САР для збурюючої та керуючої (задаючої) дій відповідно.
В прямих методах дослідження якість САР оцінюють за показниками якості та інтегральними оцінками, які визначають з кривих розгону.
Рис. 2. Перехідні процеси САР для а) збурюючої та б) керуючої дій
Основними показниками якості САР є:
1. Максимальне динамічне відхилення регульованої величини від заданого значення – це найбільше значення похибки регулювання за абсолютною величиною в процесі регулювання (рис. 3,а).
2. Статична похибка регулювання ст - це залишкове відхилення регульованої величини від заданого значення після завершення процесу регулювання.
3. Час регулювання tp - це час, протягом якого регульована величина досягає заданого значення з допустимою похибкою регулювання . Графічно час регулювання tp показаний на рис. 3,а.
4. Коефіцієнт заникання ψ
, (1)
де - перша та третя амплітуди коливного перехідного процесу (рис. 3,б).
а) б)
Рис. 3. Визначення параметрів якості за перехідним процесом: а) xmax та tр , б)
Коливальність перехідного процесу характеризується також іншими показниками: ступенем коливальності m, показником коливальності М, які взаємопов’язані між собою.
Ступінь коливальності системи m – це відношення дійсної та уявної частин комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння, найближчих до уявної осі в комплексній площині (рис. 4)
. (2)
Показником коливальності М САР є відношення максимуму амплітудно-частотної характеристики Аmax до її початкового значення А(0) при
. (3)
Для систем другого порядку характеристики коливальності пов’язані між собою такими залежностями
або (4)
, (5)
В якісних САР коефіцієнт заникання ψ, і відповідні йому ступінь коливальності m, показник коливальності М мають значення, наведені в таблиці 1.
Таблиця 1.
Взаємозв’язок між характеристиками коливальності
Коефіцієнт заникання ψ
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
0.998
Ступінь коливальності m
0.221
0.256
0.302
0.366
0.477
0.989
Показник коливальності М
2.376
2.080
1.807
1.548
1.287
1.000
Для систем порядку вищого від другого залежності (4) і (5) справедливі тільки в окремих випадках.
Перерегулювання - відношення другої амплітуди коливного перехідного процесу до першої (рис. 3,б)
(6)
де - перша та друга амплітуди коливного перехідного процесу.
6. Кількість коливань в якісних САР за час регулювання не повинна перевищувати одного-двох.
Розглянуті прямі показники якості зручно використовувати в тих випадках, коли графік перехідного процесу САР можна одержати експериментально або в результаті моделювання системи на комп’ютері. САР задовольняє вимоги до якості, якщо одночасно виконуються умови:
(7)
де - допустиме короткочасне динамічне відхилення; - допустимий час регулювання. Графічно вимоги до якості САР показані на рис. 5. Допустимі значення , , визначаються технологічним регламентом.
Кожний із розглянутих вище прямих показників якості характеризує лише одну з властивостей САР, лише одну ознаку перехідного процесу. Причому, всі показники пов'язані з параметрами настроювання регулятора складними залежностями, що мають, як правило, суперечливий характер: зміна параметрів приводить до поліпшення одних показників якості і погіршення інших. Це істотно утрудняє вибір параметрів регулятора. Тому в інженерній практиці широко використовуються інтегральні показники (оцінки) якості, які є узагальнюючими характеристиками якості САР.
Перша інтегральна оцінка розраховується за формулою
, на практиці , (8)
і чисельно дорівнює площі між кривою перехідного процесу та віссю часу або заданого усталеного значення регульованої величини (див. рис. 6). Оскільки площа, визначена за рівнянням (8), береться із врахуванням знаку (+) або (-) (рис. 6), то недоліком першої інтегральної оцінки є те, що її можна застосовувати лише для аперіодичних перехідних процесів. Тому для коливних процесів застосовують модифіковану першу оцінку, в якій підінтегральною функцією є модуль похибки регулювання
Рис.6. Перша інтегральна оцінка (заштрихована площа) перехідних процесів:
а) аперіодичного; б) коливного
, (9)
або другу інтегральну оцінку, що розраховується за формулою
. (10)
Значення інтегралів і не залежить від знаку похибки регулювання. Заштрихована площа на рис. 7,а відповідає першій інтегральній оцінці , а на рис. 7,б – другій . Інтегральні оцінки враховують як величину динамічного відхилення, так і тривалість їх існування. Тому чим менша оцінка, тим краще якість процесу управління.
Рис. 7. Геометричний зміст інтегральних оцінок якості і .
Пунктирна лінія - перехідний процес Δx(t) , суцільна лінія - а) , б)
Зручність інтегральних оцінок полягає в тому, що якість САР оцінюється за одним числовим значенням. Недоліком є те, що одному і тому ж значенню інтегральної оцінки можуть відповідати різні за виглядом та показниками якості перехідні процеси. Це означає, що розв’язок задачі розрахунку параметрів настроювання регулятора, що забезпечують мінімальне значення інтегральної оцінки, є неоднозначним. Щоб уникнути неоднозначності параметри регулятора розраховують з умови забезпечення заданого запасу стійкості при мінімальній інтегральній оцінці.
2. Теоретичні основи розрахунку САР за методом розширених частотних характеристик
Метод базується на амплітудно-фазовому критерії стійкості (критерій Найквіста), який можна інтерпретувати як критерій запасу стійкості, якщо замість звичайних частотних характеристик застосовуються розширені частотні характеристики.
Розширена частотна характеристика системи з відомою функцією передачі визначається заміною в ній оператора Лапласа виразом
(11)
де – ступінь коливальності, який характеризує запас стійкості; кругова частота.
Амплітудно-фазовий критерій стійкості, як критерій запасу стійкості за розширеними частотними характеристиками формулюється так: якщо розширена амплітудно-фазова характеристика (РАФХ) розімкнутої САР на частоті проходить через точку (–1, і0), не охоплюючи її на більш високих частотах, то корені характеристичного рівняння замкнутої системи будуть розташовані в лівій напівплощині на променях і всередині сектора, обмеженого цими променями (рис. 4).
Математично умова забезпечення заданого запасу стійкості формується на основі амплітудно-фазового критерію стійкості Найквіста, в якому застосовуються розширені частотні характеристики розімкнутої системи автоматичного регулювання
, (12)
де - РАФХ об’єкта регулювання; - РАФХ регулятора; , - розширені амплітудно-частотні характеристики об’єкта регулювання та регулятора; розширені фазочастотні характеристики об’єкту регулювання та регулятора. Рівняння розширених частотних характеристик типових ланок наведені у додатку.
Враховуючи те, що в розімкнутій САР об’єкт регулювання та автоматичний регулятор з’єднані послідовно та з виразу (12) отримуємо систему рівнянь у вигляді
. (13)
Якщо розширена амплітудно-фазова характеристика розімкнутої САР проходить через точку (-1, і0), то звичайна її АФХ не охоплює цю точку і система має запас стійкості, як за амплітудою , так і за фазою γ (рис. 8).
Для розрахунку параметрів регуляторів на заданий запас стійкості системи, перш за все задаються заданим значенням ступеня коливальності mзад.
а) розрахунок параметрів настроювання пропорційного регулятора.
Пропорційний регулятор (П-регулятор) реалізується за допомогою безінерційної ланки з функцією передачі
, (14)
де - коефіцієнт передачі. Регулююча дія в регуляторі пропорційна похибці регулювання
, (15)
де - відхилення регульованої величини від заданого значення.
Розширені частотні характеристики П-регулятора збігаються із його звичайними частотними характеристиками, тобто , . З врахуванням цього система рівнянь (13) запишеться у вигляді
. (16)
З другого рівняння системи (16) визначають частоту , при якій розширена фазо-частотна характеристика об’єкту регулювання досягає . Після цього з першого рівняння системи визначають параметр настроювання П-регулятора, який забезпечить задану ступінь коливальності mзад
. (17)
Переваги П-регулятора – простота і швидкодія, недоліки – обмежена точність (особливо для ОР з великою інерційністю і запізненням). При регулюванні статичних об’єктів П-регулятор дозволяє зменшити похибку регулювання в разів, але при будь-якому кінцевому значенні коефіцієнта передачі розімкнутої системи , буде існувати статична похибка регулювання.
б) розрахунок параметрів настроювання інтегрального регулятора.
Ідеальний інтегральний регулятор (І-регулятор) є інтегруючою ланкою з функцією передачі
, (18)
де час інтегрування. Регулююча дія в регуляторі пропорційна інтегралу від похибки регулювання
. (19)
Розширені частотні характеристики І-регулятора визначаються за такими формулами
(20)
Амплітудно-фазовий критерій для САР з І-регулятором має вигляд
(21)
Розв'язуючи друге рівняння , знаходять частоту , а з першого рівняння системи (21) визначають час інтегрування І-регулятора, при якому досягається заданий ступінь коливальності перехідного процесу
. (22)
І-регулятор забезпечує кращу (в порівнянні з П-регулятором) точність в усталених режимах, але одночасно знижує швидкодію. Зниження швидкодії пояснюється тим, що при появі відхилення регулююча дія на початку регулювання рівна нулю, а далі починає зростати, в той час як П-регулятор регулюючу дію формує миттєво. З другого рівняння системи (21) також видно, що коли ОР є астатичним, то модуль РФЧХ розімкнутої САР буде завжди більше . Це означає, що астатичний ОР з І-регулятором не може мати запасу стійкості, лише при САР може бути на границі стійкості.
в) розрахунок параметрів настроювання пропорційно- інтегрального регулятора.
Пропорційно-інтегральний регулятор (ПІ-регулятор) є паралельним з’єднанням пропорційної та інтегральної ланок, функція передачі якого має вигляд
, (23)
де kp – коефіцієнт передачі регулятора; час ізодрому. Регулююча дія в регуляторі пропорційна сумі похибки регулювання та інтегралу від похибки регулювання
. (24)
Розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора здійснюється в два етапи:
1) в площині параметрів настроювання регулятора знаходять границю області заданого запасу стійкості САР;
2) із знайденої границі області заданого запасу стійкості вибирають оптимальні значення параметрів настроювання регулятора. Під оптимальними розуміють такі значення параметрів настроювання, які при заданому запасі стійкості САР забезпечують мінімальне значення обраного критерію оптимальності. В практичних розрахунках звичайно критерієм оптимальності обирають інтегральну оцінку.
Згідно рівняння (12) для розрахунку параметрів настроювання ПІ-регулятора необхідно знати розширені частотні характеристики об’єкту регулювання і ПІ-регулятора
(25)
де дійсна та уявна розширені частотні характеристики об’єкту регулювання, які для спрощення надалі позначимо відповідно та .
РАФХ ПІ-регулятора записується у вигляді
. (26)
Підставляючи (25), (26) в (12), одержимо
.
Після нескладних перетворень маємо
,
звідки отримуємо систему двох рівнянь з двома невідомими і
Розв’яжемо отриману систему рівнянь відносно і
. (27)
Враховуючи, що дійсна і уявна частотні характеристики визначаються як , одержимо значення параметрів настроювання в іншому вигляді:
(28)
Змінюючи частоту в діапазоні (нагадаємо, що частоти, що відповідають параметрам настроювання відповідно І- та П-регуляторів) за рівняннями системи (28) розраховують значення параметрів настроювання ПІ-регулятора, що відповідають границі заданого запасу стійкості, яка графічно представлена на рис. 9. З рисунку видно, що точка при частоті відповідає параметру настроювання І-регулятора, а точка з частотою - П-регулятора. На цьому ж графіку показана границя області параметрів настроювання регулятора, при яких САР є на межі стійкості (m=0).
Для детермінованих та випадкових збурень мінімальній квадратичній оцінці відповідають параметри регулятора, розраховані при робочій частоті з інтервалу частот , де - частота, при якій значення для заданої границі області запасу стійкості є максимальним. Тому наближено оптимальні параметри настроювання ПІ-регулятора вибирають з лінії запасу стійкості, що знаходиться праворуч від максимального значення .
Завдяки наявності в законі регулювання інтегральної складової, ПІ-регулятор забезпечує високу точність в сталих режимах, і при певному співвідношенні коефіцієнтів і забезпечує якісні перехідні процеси. Тому він має найбільше поширення.
г) розрахунок параметрів настроювання пропорційно- інтегрально-диференціального регулятора.
Закон регулювання ідеального ПІД-регулятора описується таким рівнянням
(29)
з відповідною функцією передачі
(30)
де - коефіцієнт передачі регулятора; - час ізодрому; - час диференціювання;
В П-, ПІ-регуляторах вихідний сигнал виникає лише при наявності відхилення . Якщо ж ввести в закон регулювання похідну, то автоматичний регулятор починає діяти значно раніше, оскільки навіть при малому значенні похідна буде мати кінцеве значення. З рис. 10,а видно, що коли автоматичний регулятор сприймає лише , то і в момент часу і в момент часу його вихідний сигнал однаковий, і тоді коли збільшується, і тоді, коли зменшується. А бажано, щоб при зростанні відхилення вихідний сигнал регулятора збільшувався, а при зменшенні -
зменшувався. Це запобігатиме перерегулюванню.
Рис. 10. Графіки залежностей: а) відхилення регульованої величини від заданого значення; б) швидкості зміни регульованої величини в часі
Якщо застосовувати ПІД-регулятор, то як видно з рис 10,б, вихідний сигнал регулятора в момент часу збільшиться на значення, пропорційне похідній, а в момент часу навпаки зменшиться, оскільки похідна має від’ємне значення. Реагуючи на похідну, автоматичний регулятор ніби вловлює тенденції зміни . В результаті покращуються показники якості САР: зменшується максимальне динамічне відхилення, зменшується або усувається перерегулювання, зменшується час регулювання.
В загальному випадку границя заданого запасу стійкості САР з ПІД-регулятором є деякою поверхнею в тривимірному просторі його параметрів настроювання . Якщо один з параметрів зафіксувати, то розрахунок спрощується і зводиться до визначення двох інших параметрів настроювання. Наприклад, якщо задатись певним значенням часом диференціювання , то параметри розраховують за формулами
(31)
. Для заданих значень в площині параметрів будується границя області запасу стійкості. Оптимальні значення параметрів настроювання визначають з границі заданого запасу стійкості , аналогічно як і для ПІ-регулятора. Для деяких типів аналогових регуляторів розраховані оптимальні значення параметрів настроювання ПІД-регулятора повинні задовольняти умові
. (32)
Якщо остання умова не виконується, то необхідно зменшити час диференціювання і повторити розрахунок. На рис. 11 показані дві поверхні границі запасу стійкості САР, розраховані при різних значеннях ступеня коливальності (mзад = 0.221 і mзад = 0.4).
Рис. 11. Поверхні границі запасу стійкості САР з ПІД-регулятором, розраховані при різних значеннях ступеня коливальності (mзад=0.221 і mзад=0.4)
ПІД-регулятор – найбільш гнучкий закон регулювання Він поєднує в собі переваги простіших вище розглянутих законів.
ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Змістом виконання цієї лабораторної роботи є засвоєння методики розрахунку параметрів настроювання П-, І-, ПІ-, ПІД-регуляторів з умови забезпечення заданого запасу стійкості системи; дослідження впливу параметрів настроювання регулятора і властивостей об’єкту регулювання на показники якості систем автоматичного регулювання (САР); порівняння показників якості САР з різними типами регуляторів.
Завдання студент одержує у вигляді функцій передачі статичного об’єкту регулювання
,
або астатичного об’єкту регулювання
;,
із відомими параметрами.
До функцій передачі додаються задані значення запасу стійкості САР, величини зміни параметрів настроювання регуляторів для дослідження якості САР та допустимі похибки регулювання.
Лабораторна робота складається із трьох частин:
розрахунок та дослідження САР з П- та І- регулятором;
розрахунок та дослідження САР з ПІ-регулятором;
розрахунок та дослідження САР з ПІД-регулятором.
Для виконання частини 1 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. Для заданої функції передачі об`єкту регулювання отримати розширені фазо-частотну та амплітудно-частотну характеристики. Розрахувати параметри настроювання П-регулятора для статичного або астатичного об’єктів регулювання та І-регулятора для статичного ОР на заданий запас стійкості .
2. Для розрахованих САР з П- та І-регуляторами побудувати амплітудно-фазові характеристики розімкнутих систем і оцінити за ними запаси стійкості за амплітудою і за фазою.
3. В середовищі Simulink скласти структурні схеми заданих систем регулювання і отримати перехідні функції при розрахованих параметрах настроювання регуляторів. Дослідити якість перехідних процесів. Порівняти отримані коефіцієнти заникання перехідних процесів САР з П- та І-регуляторами із заданим. Порівняти показники якості процесів регулювання САР з П- та І-регуляторами.
4. Дослідити перехідні функції заданих систем автоматичного регулювання при змінених значеннях параметрів настроювання регуляторів та порівняти їх з показниками якості, одержаними при розрахованих значеннях параметрів настроювання регуляторів.
5. Згідно з вказівками викладача в деяких системах студент досліджує також вплив зміни параметрів об’єкту регулювання на процес регулювання і визначає значення його показників якості.
6. Згідно з вказівками викладача в деяких САР студент досліджує процес регулювання при зміні завдання регулятору та оцінює його показники якості.
Для виконання частини 2 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. Для заданої функції передачі об`єкту регулювання отримати формули розширених фазо-частотної та амплітудно-частотної характеристик. Побудувати їх графіки для заданого ступеня коливальності m.
2. Графічним або числовим способом визначити граничні частоти (* та (**.
3. Обчислити параметри настроювання ПІ-регулятора kp/Tіз та kp в межах частот (* та (**. Побудувати границю заданого запасу стійкості в координатах kp та kp/Tіз. Виділити на границі запасу стійкості три точки та визначити параметри настроювання що відповідають їм.
4. Побудувати в середовищі Simulink модель САР з ПІ-регулятором. Отримати перехідні функції САР в 3-ох точках границі заданого запасу стійкості. Порівняти показники якості одержаних перехідних процесів.
5. Згідно вказівки викладача в деяких системах, студент досліджує вплив зміни параметрів об`єкту регулювання на показники якості процесу регулювання.
Для виконання частини 3 лабораторної роботи студентові необхідно:
1. Для функції передачі об`єкту регулювання та ступеня коливальності m, заданих викладачем, знайти розширені фазо-частотну та амплітудно-частотну характеристики об’єкту регулювання. Побудувати їх графіки.
2. Зафіксувавши значення часу диференціювання Тд, розрахувати параметри kp/Tіз та kp в межах частот (* та (**. Побудувати границю заданого запасу стійкості в координатах kp та kp/Tіз. За вказівкою викладача виділити на границі запасу стійкості декілька точок та визначити параметри настроювання що відповідають їм.
3. Побудувати в середовищі Simulink модель САР з ПІД-регулятором. Отримати перехідні функції САР для вибраних точок границі заданого запасу стійкості. Порівняти показники якості одержаних перехідних процесів.
4. Дослідити якість перехідних функцій САР при змінених значеннях часу диференціювання регулятора Тд. Порівняти отримані показники якості із показниками якості, одержаними при початковому значенні Тд.
5. Згідно вказівки викладача в деяких системах, студент досліджує вплив зміни параметрів об`єкту регулювання на показники якості процесу регулювання.
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
Частина 1. Розрахунок параметрів настроювання П-, або І-регулятора.
Завдання: Розрахувати параметр настроювання І-регулятора та дослідити систему регулювання, структурна схема якої показана на рис.П1. Функція передачі об’єкту регулювання
,
де - коефіцієнт передачі об’єкту регулювання;=8 c, =85 c – сталі часу аперіодичних ланок.
Розрахунок часу інтегрування регулятора провести для ступеня коливальності m=0,221.
Дослідити якість системи регулювання при 20%-ому збільшенні часу інтегрування . Допустима похибка регулювання рівна (доп = 0,01.
Для розрахунку параметру настроювання І-регулятора на основі системи рівнянь (21) необхідно отримати розширені частотні характеристики об’єкта регулювання. Для цього доцільно представити об’єкт регулювання як послідовне з’єднання пропорційної ланки та чотирьох аперіодичних ланок першого порядку:
.
Тоді розширені частотні характеристики для досліджуваного об’єкту регулювання знаходять наступним чином:
;
.
Застосовуючи формули розширених частотних характеристик типових ланок (див. Додаток), які входять у послідовне з’єднання, отримуємо:
, ;
Розрахунок параметру настроювання І-регулятора (часу інтегрування ) виконаємо на основі системи рівнянь (21):
Оскільки друге рівняння цієї системи містить тільки одну невідому змінну – частоту (, то саме із другого рівняння зручно знайти її. Розв’язати це рівняння аналітичним шляхом можливо тільки у окремих часткових випадках, тому застосуємо числовий спосіб розв’язку, який реалізується функцією Matlab-у fzero. Рівняння, яке розв’язується, необхідно оформити у вигляді функції Matlab:
function y=Fi_PC(w)
% Функція для визначення частоти роботи регулятора
m=0.221;
K=0.5; T1=8; T2=85;
% Розширена ФЧХ OP
Fi1=-atan(T1*w/(1-T1*m*w));
if w > 1/(T1*m)
Fi1=-pi/2-atan((T1*m*w-1)/(T1*w));
end
Fi2=-atan(T2*w/(1-T2*m*w));
if w > 1/(T2*m)
Fi2=-pi/2-atan((T2*m*w-1)/(T2*w));
end
Fi_op=3*Fi1+Fi2;
% Розширена ФЧХ АР
Fi_ap=-pi/2-atan(m); % radian
y=Fi_op+Fi_ap+pi;
Тоді визначення частоти роботи регулятора виконується в середовищі Matlab наступним чином:
w0=0.05; % Початкове значення частоти
wr=fzero('Fi_PC',w0)
Отримане значення частоти (=0,0139 рад/с. Підставивши його у перше рівняння системи (22), отримаємо значення часу інтегрування :
=26.6006 с.
Для перевірки правильності розрахунку та для визначення запасу стійкості, який має система з І-регулятором побудуємо розширену та звичайну амплітудно-фазові характеристики розімкнутої системи. Для цього побудуємо та виконаємо в Matlab наступну програму:
% Побудова розширеної та звичайної АФХ розімкнутої системи
K=0.5; T1=8; T2=85;
Ті=26.6006;
m=0.221;
% Розширена ФЧХ PC
i=1; Fi1=[]; Fi2=[]; w=[];
for w1=0.012:0.001:0.5
Fi1(i)=-atan(T1*w1/(1-T1*m*w1));
if w1 > 1/(T1*m)
Fi1(i)=-pi/2-atan((T1*m*w1-1)/(T1*w1));
end
Fi2(i)=-atan(T2*w1/(1-T2*m*w1));
if w1 > 1/(T2*m)
Fi2(i)=-pi/2-atan((T2*m*w1-1)/(T2*w1));
end
w(i)=w1; i=i+1;
end
Fi_op=3*Fi1+Fi2;
Fi_ap=-pi/2-atan(m); % radian
Fi_pc = Fi_ap + Fi_op;
% Розширена AЧХ PC
A_ap=1./(Ti*w*sqrt(m^2+1));
A1=1./sqrt((1-T1*m*w).^2+T1^2*w.^2);
A2=1./sqrt((1-T2*m*w).^2+T2^2*w.^2);
A_op=K*A1.*A1.*A1.*A2;
A_pc=A_ap.*A_op;
% Звичайні частотні характеристики
A_ap1=1./(Ti*w);
A1=1./sqrt(1+T1^2*w.^2); A2=1./sqrt(1+T2^2*w.^2);
A_op1=K*A1.*A1.*A1.*A2;
A_pc1=A_ap1.*A_op1;
Fi_ap1=-pi/2; % radian
Fi1=-atan(T1*w); Fi2=-atan(T2*w);
Fi_op1=3*Fi1+Fi2;
Fi_pc1 = Fi_ap1 + Fi_op1;
figure(1), polar(Fi_pc,A_pc,'k'), hold on
polar(Fi_pc1, A_pc1,'k--'), hold off
В результаті виконання програми отримуємо графіки розширеної та звичайної АФХ, представлені на рис.П2,а. На рис.П2,б наведено збільшений фрагмент рисунку а), де чітко видно, що розширена АФХ проходить через точку (-1,0). Тобто розширена система із отриманим значенням є на границі стійкості, а отже система рівнянь (22) виконується. Із рис.П2,б можна візуально визначити наближені значення запасу стійкості за амплітудою ( та за фазою (, які відповідають заданому ступеню коливальності m. Уточнити ці значення можна переглядом векторів значень звичайних частотних характеристик , . Для отриманої системи (=0,6, (=25,8о.
а)
б)
Рис.П2. Розширена «-» та звичайна «- -» амплітудно-фазові характеристики розімкнутої системи: а – за результатами виконання програми, б – збільшений фрагмент.
Для того щоб отримати перехідну функцію САР з І-регулятором, побудуємо модель досліджуваної САР в середовищі Simulink.
Рис П3. Модель САР з І-регулятором в середовищі Simulink .
Перехідна функція САР, отримана при обчисленому значенні =26,6006с, показана на рис.П4.
Рис. П4. Перехідна функція САР, отримана при =26,6006 с.
Перевагою інтегрального регулятора є те, що він працює без статичної похибки. Це підтверджено отриманою перехідною функцією - відхилення вихідної величини від заданого значення після завершення перехідного процесу (статична похибка регулювання) дорівнює 0. Коефіцієнт заникання коливань 0,746 ( 0,75. Недоліком роботи І-регулятора є великий час регулювання (=1095 с при допустимій похибці регулювання ) та відносно велике динамічне відхилення (хmax = 0,276).
Згідно із завданням необхідно дослідити роботу САР при 20%-ому збільшенні часу інтегрування . Підставивши у функцію передачі І-регулятора значення = 26,6006 + 0,2(26,6006 = 31,92 с, отримаємо перехідну функцію САР, представлену на рис. П5. Для зручності порівняння на рис. П5 пунктирною лінією показана також перехідна функція з рис. П4.
Як видно із рис. П5, при збільшенні часу інтегрування регулятора зменшився час регулювання (=965 с при допустимій похибці регулювання ), також зменшилась коливальність процесу регулювання (коефіцієнт заникання коливань 0,826). Однак при цьому збільшилось максимальне динамічне відхилення (хmax = 0,287).
Рис. П5. Перехідні функції САР для =26,6006 с (штрихова лінія),
=31,92 с (суцільна лінія), =151,92 с (штрих-пунктирна лінія).
При подальшому збільшенні часу інтегрування регулятора можна досягти подальшого зменшення часу регулювання та коливальності. При =151,92 с отримуємо аперіодичний процес 3 ((=1) із часом регулювання близько 870 с. Однак при значеннях більших від час регулювання зростає, оскільки швидкість роботи інтегрального регулятора стає надто низькою.
Частина 2. Розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора.
Завдання: Розрахувати параметри настроювання ПІ-регулятора та дослідити систему регулювання із ПІ-регулятором та об’єктом регулювання за частиною 1. Розрахунок параметрів настроювання провести для ступеня коливальності m=0,221.
Провести дослідження перехідних функцій САР в 3-ох точках лінії заданого запасу стійкості. Порівняти показники якості одержаних перехідних процесів. Допустима похибка регулювання рівна (доп = 0,01.
Розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора kp та kp/Ti виконаємо за формулами (29), що отримані на основі критерію Найквіста та розширених частотних характеристик розімкнутої САР. Для застосування цих формул необхідно виділити робочий діапазон частот регулятора. Граничні частоти цього діапазону (* та (** знаходять числовим або графічним розв’язуванням рівнянь
,
.
Застосуємо простіший графічний спосіб визначення (* та (**. Для цього на основі формул Частини 1 цього прикладу побудуємо графік розширеної фазо-частотної характеристики об’єкту регулювання (див. рис.П6), за яким знайдемо граничні значення частоти (* та (**:
(* = 0,0139 рад/с ; (** = 0,0626 рад/с .
Середовище Matlab версії 5.3 і вище дозволяє збільшувати фрагменти отриманих рисунків і таким чином уточнювати координати окремих точок. Таким способом значення граничних частот уточнені до четвертого знаку після коми.
Рис.П6. Розширена фазо-частотна характеристика об’єкту регулювання.
В діапазоні частот від (* до (** проводимо розрахунок параметрів настроювання ПІ-регулятора за формулами (29). За результатами розрахунку будуємо границю області запасу стійкості САР з ПІ-регулятором (див. рис.П7).
Для аналізу якості роботи САР при виборі різних точок настроювання регулятора із лінії запасу стійкості, вибираємо три точки, одна із яких є точкою максимуму кривої, а дві інших розміщені по різні боки від неї (див. рис.П7).
Координати трьох вибраних точок наведені у наступній таблиці.
Таблиця П1
Координати точок на лінії запасу стійкості САР
Точка
kp
kp/Tiз
1
3.1830
0.1200
2
6.7500
0.1670
3
9.9150
0.1000
В Simulink (Matlab) будуємо модель системи регулювання із ПІ-регулятором (див. рис.П8). Почергово підставляючи в регулятор параметри настроювання за точками 1, 2, 3, отримуємо перехідні функції представлені на рис.П9.
Рис. П7. Границя області запасу стійкості САР з ПІ-регулятором
для m=0,221.
Рис П8. Модель САР з ПІ-регулятором в середовищі Simulink .
Рис. П9. Перехідні функції САР з ПІ-регулятором, що відповідають параметрам настроювання точок 1, 2, 3.
Необхідно нагадати, що (* - це частота роботи інтегрального регулятора, а (** - пропорційного регулятора. Тому значення параметру настроювання =0.0376 при умові правильного виконання розрахунку повинне бути рівне значенню , отриманому при розрахунку І-регулятора (див. частину 1 прикладу). Рух по кривій границі запасу стійкості зліва направо – це рух від інтегрального регулятора =0.0376 до пропорційного =11.312. Тобто в точці 1 переважаючою є дія інтегральної складової, а в точці 3 – пропорційної. Відповідно змінюється і якість перехідних процесів. Показники якості кожного із процесів наведені у таблиці П2.
Таблиця П2
Показники якості процесів регулювання.
Точка
kp
kp/Tiз
хмакс
tp, c
(
1
3.1830
0.1200
0,16
545*
0,755
2
6.7500
0.1670
0,123
370*
0,8
3
9.9150
0.1000
0,11
320*
0,7
* - при забезпеченні допустимої похибки регулювання 0,01.
Отже при рухові по кривій границі запасу стійкості зліва направо зменшується максимальне динамічне відхилення та час регулювання. Однак при виборі точки на ділянці від точки 3 до час регулювання може зрости внаслідок зменшення швидкості дії інтегральної складової. Однозначно оцінити зміну коливальності (коефіцієнта заникання) процесу регулювання складно, оскільки для процесів вигляду кривої 3 немає чіткої методики визначення амплітуд А1 та А3.
Частина 3. Розрахунок параметрів настроювання ПІД-регулятора.
Завдання: Розрахувати параметри настроювання ПІД-регулятора та дослідити якість системи регулювання із ПІД-регулятором та об’єктом регулювання за частиною 1. Розрахунок параметрів настроювання провести для ступеня коливальності m=0,221.
Провести дослідження якості САР при збільшенні часу диференціювання ПІД-регулятора на 50% . Порівняти показники якості одержаних перехідних процесів. Допустима похибка регулювання рівна (доп = 0,01.
Розрахунок параметрів настроювання ПІД-регулятора kp та kp/Tiз виконаємо за формулами (32), що отримані для фіксованого значення часу диференціювання Тд. Для того щоб забезпечити умову (33) виберемо значення часу диференціювання Тд = 25 с.
Для застосування формул (32) необхідно виділити робочий діапазон частот регулятора. Граничні частоти цього діапазону (* та (** для першої ітерації розрахунку можна прийняти рівними значенням, отриманим для ПІ-регулятора, після чого скоректувати верхню границю діапазону частот за виглядом лінії запасу стійкості. Для m=0,221, Тд = 25 с скоректовані значення граничних частот є такими:
(* = 0,0136 рад/с ; (** = 0,0679 рад/с.
Тоді границя області запасу стійкості має вигляд представлений на рис.П10.
Для порівняння роботи ПІД- та ПІ-регулятора визначимо параметри настроювання, які відповідають точці максимуму лінії запасу стійкості :
=8,16, =0,219.
Модель системи регулювання із ПІД-регулятором побудована в Simulink (Matlab) має вигляд представлений на рис.П11.
Рис. П10. Границя області запасу стійкості САР з ПІД-регулятором
для m=0,221, Тд = 25 с.
Рис П11. Модель САР з ПІД-регулятором в середовищі Simulink .
Перехідна функція САР, отримана при встановлених значеннях параметрів настроювання за точкою 1 та Тд = 25 с, представлена на рис.П12. Для того щоб показати різницю в якості процесу регулювання ПІ та ПІД-регулятора на рис.П12 показана також перехідна функція САР із ПІ-регулятором (штрихова лінія) із встановленими параметрами за точкою 2 (рис.П7).
Як видно із рис.П12, ПІД-регулятор забезпечує в досліджуваній САР менший час регулювання та менше максимальне динамічне відхилення в порівнянні з ПІ-регулятором.
Рис. П12. Перехідні функції САР: суцільна лінія – САР з ПІД-регулятором,
штрихова лінія – з ПІ-регулятором.
Щоб дослідити вплив часу диференціювання на якість САР, скористаємось моделлю в Simulink за рис.П11. Встановивши у блоці Gain1 нове значення Тд = 25 + 0,5(25 = 37,5 с отримаємо перехідну функцію САР, зображену на рис.П13 (штрихова лінія). На цьому рисунку показана також перехідна функція САР із встановленим значенням Тд = 25 с (суцільна лінія).
Параметри якості обох процесів представлених на рис.П13 наведені у таблиці П3.
Таблиця П3
Показники якості процесів регулювання.
Процес
kp
kp/Tiз
Тд, с
хмакс
tp, c
(
1
8,16
0,219
25
0,106
265*
0,802
2
8,16
0,219
37,5
0,103
220*
0,86
* - при забезпеченні допустимої похибки регулювання 0,01.
Рис. П13. Перехідні функції САР з ПІД-регулятором, що відповідають значенням Тд = 25 с – суцільна лінія, Тд = 37.5 с – штрихова лінія.
Як видно із рис.П13 та таблиці П3, із збільшенням часу диференціювання Тд зменшується час регулювання, максимальне динамічне відхилення та коливальність процесу (збільшується коефіцієнт заникання коливань). Тобто введення диференціальної складової у регулятор покращує якість процесу регулювання. Покращення якості є суттєвим для об’єктів із значною інерційністю, або запізненням.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 1)
1) Досліджується замкнена система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
,
і П-регулятором з функцією передачі
Значення параметра настроювання регулятора ______________________,
при якому досягається заданий ступінь коливальності m = ________________ .
Дослідити якість САР при зміні параметра настроювання регулятора ______________________________________.
Допустима похибка регулювання (доп = _____________________.
2) Досліджується замкнена система автоматичного регулювання із статичним об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
,
та І-регулятором з функцією передачі
Значення параметра настроювання регулятора ______________________,
при якому досягається заданий ступінь коливальності m = ________________ .
Дослідити якість САР при зміні параметра настроювання регулятора ______________________________________.
Допустима похибка регулювання (доп = _____________________.
До протоколу лабораторної роботи необхідно додати:
- формули розширених частотних характеристик об’єкту регулювання;
- формули та розрахунки значень параметрів настроювання регуляторів, що забезпечують заданий запас стійкості системи;
- графіки розширеної та звичайної АФХ; визначені за графіком звичайної АФХ значення запасу стійкості за амплітудою ( та за фазою (, які відповідають заданому ступеню коливальності m;
- структурні схеми досліджуваних САР;
- перехідні функції САР при розрахованих значеннях параметрів настроювання П- та І-регуляторів та при змінених згідно завдання параметрах настроювання; показники якості перехідних функцій САР;
- висновки.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 2)
Досліджується замкнена система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
,
та ПІ-регулятором із функцією передачі
Заданий ступінь коливальності m = ________________ .
Показники якості САР, отримані при дослідженні перехідних функцій САР для трьох пар параметрів настроювання із границі запасу стійкості:
№
kp
kp/Tiз
хмакс
tp, c
(
1
2
3
Допустима похибка регулювання (доп = _____________________.
До протоколу лабораторної роботи необхідно додати:
- формули та графіки розширених частотних характеристик об’єкту регулювання;
- граничні значення частоти (* та (**; розрахунки значень параметрів настроювання регулятора, що забезпечують заданий запас стійкості системи;
- границю заданого запасу стійкості в координатах kp та kp/Tіз із виділеними трьома точками настроювання регулятора;
- структурну схему досліджуваної САР;
- перехідні функції САР для вибраних точок настроювання ПІ-регулятора; показники якості перехідних функцій САР;
- висновки.
ПРОТОКОЛ
лабораторної роботи (частина 3)
Досліджується замкнена система автоматичного регулювання з об’єктом регулювання, функція передачі якого має вигляд
та ПІД-регулятором із функцією передачі
Заданий ступінь коливальності m = ________________ .
Показники якості САР, отримані при зміні часу диференціювання регулятора Тд:
№
Тд
kp
kp/Tiз
хмакс
tp, c
(
1
2
3
Допустима похибка регулювання (доп = _____________________.
До протоколу лабораторної роботи необхідно додати:
- формули та графіки розширених частотних характеристик об’єкту регулювання;
- граничні значення частоти (* та (**; розрахунки значень параметрів настроювання регулятора, що забезпечують заданий запас стійкості системи;
- границю заданого запасу стійкості в координатах kp та kp/Tіз із виділеною точкою настроювання регулятора;
- структурну схему досліджуваної САР;
- перехідні функції САР для вибраної точки настроювання ПІД-регулятора та при змінених значеннях часу диференц...
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора