МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІКТА Кафедра Захист інформації З В І Т До лабораторної роботи №6 з курсу: „ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ” на тему: „ Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь” Варіант 4 Львів – 2010 Мета роботи - ознайомлення з методами чисельного розв’язування диференціальних рівнянь. Короткі теоретичні відомості Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР)
-го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні до
-го порядку включно:
(1)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції. Диференціальне рівняння
-го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(2) Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної. Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші, а при
або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою. Значення залежної змінної та її похідних називаються додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку В методі Рунге-Кутта значення

функції
, як і в методі Ейлера, визначається за формулою
Якщо розкласти функцію
в ряд Тейлора і обмежитись членами до
включно, то приріст
можна записати у вигляді
(10) Замість того, щоб обчислювати члени ряду за формулою (10) в методі Рунге-Кутта використовують наступні формули.



Похибка на кожному кроці має порядок
. Таким чином метод Рунге-Кутта забезпечує значно вищу точність ніж метод Ейлера, однак вимагає більшого об’єму обчислень. Деколи зустрічається інша форма представлення методу Рунге-Кутта 4-го порядку точності.




Завдання Розв’язати методом Рунге-Кутта 4-го порядку звичайне диференціальне рівняння.
; y(0)=1; БЛОК-СХЕМА
Список індентифікаторів, змінних, функцій, використаних у блок-схемі алгоритму і програмі, та їх пояснення Math – клас, в якому визначено стандартні математичні функції; double – тип з плаваючою точкою подвійної точності; if-else - умовний оператор; Main() – головна функція; Pow(x,y)-математична функція обчислення хп; do while-оператор покрокового циклу; Текст програми #include <stdio.h> #include <math.h> void main() { double x,y,ynext,h,E,k1,k2,k3,k4; x=0; y=1.0; ynext=1.0; h=0.01; E=0.0001; do { y=ynext; k1=pow(y,2)+y*pow(x,3); k2=pow(y+(h/2)*k1,2)+(y+(h/2)*k1)*pow(x+h/2,3); k3=pow(y+(h/2)*k2,2)+(y+(h/2)*k2)*pow(x+h/2,3); k4=pow(y+(h/2)*k3,2)+(y+(h/2)*k3)*pow(x+h/2,3); ynext=y+(h/6)*(k1+k2+k3+k4); } while (fabs(ynext-y)>E); printf("y=%lf",y); } Виконання програми у=1.0000 y=1.0201 Висновок