Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” ІКТА ,кафедра «Захист інформації» Звіт З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 3 З КУРСУ “ КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТА СИСТЕМ ” НА ТЕМУ: “ ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ“ Варіант 21 Львів-2007 Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Короткі теоретичні відомості: Метод простої ітерації. Нехай дано лінійну систему
(1) Розглянемо матриці


Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння
(2) Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти
(і = 1, 2,…, n). Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно
, друге відносно
і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему
(3) де

, при
;
, при
;
;
;
Іноді кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду. Введемо матриці ( та (

Систему (3) запишемо у вигляді
(4) Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів
. Далі послідовно будуємо матриці-стовпці:
– перше наближення
– друге наближення і т.д. Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
, (k = 0, 1, 2, …) (5) В розгорнутому вигляді
. Якщо послідовність наближень
має границю
, (6) то ця границя є розв’язком системи (3). На практиці ітераційний процес припиняють, коли
, де ( – гранична абсолютна похибка. Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:
. Зведемо систему до нормального вигляду
(7) або в матричній формі
(8) За нульові наближення коренів системи приймаємо
. Підставляємо ці значення в праві частини рівняння (7). Одержимо перші наближення коренів
Далі знаходимо другі і треті наближення коренів

. Таблиця ідентифікаторів констант, змінних, функцій, використаних у програмі, та їх пояснення: f() Функція, що передає задане рівняння  writeln() Функція виведення даних  readln() Функція введення даних  abs() Функція для знаходження азначення типу real  a Змінна, початкове значення відрізку  b Змінна, кінцеве значення відрізку  e Змінна, гранична абсолютна похибка  x Змінна, розв’язок рівняння   Текст програми мовою Паскаль: Program prit(input,output); const n=4; e=0.0001; var m,i,k,kk:integer; d:real; a:array[1..n,1..n]of real; b,x,xx:array [1..n] of real; begin for i:=1 to n do begin for k:=1 to n do begin write('a[',i,',',k,']='); read(a[i,k]); end; write('b[',i,']='); read(b[i]); x[i]:=b[i]; end; m:=0; repeat kk:=0; m:=m+1; for i:=1 to n do begin xx[i]:=-b[i]; for k:=1 to n do xx[i]:=xx[i]+a[i,k]*x[k]; d:=x[i]/a[i,i]; if abs (d)>e then kk:=1; xx[i]:=x[i]-d; end; for i:=1 to n do x[i]:=xx[i]; until kk=0; writeln('m=',m); for i:=1 to n do writeln(x[i]); readln; end. Результат роботи програми: a[1.1]= 3.3 a[1.2]=12.62+ a[1.3]=4.1 a[1.4]=1.9 a[2.1]=3.92 a[2.2]=8.45 a[2.3]=1.78- a[2.4]=1.4 a[3.3]=3.77 a[3.3]=1.21+ a[3.3]=8.04 a[3.4]=0.28 a[4.1]=2.21 a[4.2]=3.65- a[4.3]=1.69 a[4.4]=9.99 x1=-4.5452515786E-04 x2=6.6081765921E-04 x3=4.7985303229E-04 x4=-4.9176646964E-05 m=78 b[1]=-10.55+b b[2]=12.21 b[3]=15.45-b b[4]=-8.35 Висновок: Виконав[ім’я автора приховано]