Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2004
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Проектування комп’ютерних засобів обробки сигналів та зображень
Група:
СКС-5
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Предмет: Проектування комп’ютерних засобів обробки сигналів та зображень.
(2003/2004 н.р., Х семестр, гр. СКС-5, КСМ-5)
Лабораторні роботи (до модуля №1)
Максимальна кількість балів - 20 (ЛР№1 – 7 балів, ЛР№3 – 6 балів, ЛР№4 – 7балів).
Термін здачі ЛР:
ЛР№1: 16.02 - 21.02;
ЛР№3: 01.03 – 06.03;
ЛР№4: 15.03 – 20.03
Лабораторна робота № 1
Аналіз обчислювальної похибки при виконанні базових операцій алгоритмів ЦОСЗ.
Обчислення математичних функцій.
Мета роботи: Дослідити шляхи виникнення обчислювальної похибки та її вплив на точність обчисленнь. Проаналізувати величину похибки при обчисленні деяких математичних функцій.
Загальні відомості.
При реалізації обчислень на ЕОМ/спеціалізованому пристрої необхідно враховувати ефекти, які викликані кінцевою розрядністю використовуваних регістрів. До таких ефектів відносяться:
а) шум аналогово-цифрового перетворення;
б) некорельований шум заокруглення;
в) похибки, які викликані квантуванням коефіцієнтів.
Враховуючи методи представлення чисел, способи квантування, які використовуються для скорочення розрядності чисел до необхідної величини, а також особливості структурної схеми обчислень, в кожному конкретному випадку можна оцінити, як перераховані ефекти впливають на результат обчислень.
Квантування в цифрових пристроях.
При квантуванні використовують два стандартних способи: відкидання і заокруглення. Розглянемо їх особливості стосовно різних систем числення і похибки, які виникають при цьому. Припускається, що всі значення чисел по модулю менші від 1.0 (|X| < 1.0).
Відкидання. Відкидуються всі молодші розряди, що стоять після найменшого розряду, який зберігається. Тоді значення похибки для додаткового коду задовільняє нерівність:
-2 -b ( Xвдк - X ( 0,
де b - число розрядів, що зберігаються; Xвдк - відкинуте значення X.
Для чисел, які представлені в прямому і оберненому кодах для від’ємних значень справедлива нерівність:
0 ( Xвдк - X < 2-b , X < 0.
Hайважливіше, що похибка відкидання лежить між значеннями нуля і числа, що пропорційне (2-b .
Заокруглення. При заокругленні вихідне число X заміняється найближчим до нього b-розрядним числом. Тоді похибка заокруглення задовільняє нерівність:
-2-b / 2 ( Xок - X ( 2-b / 2
для всіх трьох методів представлення чисел (додаткового, прямого і оберненого коду).
Шум аналогово-цифрового перетворення.
В залежності від методу квантування вхідної послідовності шум квантування може мати різний амплітудний розподіл.
При найменшому кроці квантування Q похибка квантування e(n) лежить в границях:
-Q/2 ( e(n) ( Q/2 - для випадку заокруглення;
0 ( e(n) ( Q - для випадку відкидання;
а розподіл сигналу похибки є рівномірним. При цьому середнє значення похибки дорівнюватиме нулю при заокругленні і Q/2 при відкиданні, а її дисперсія в обидвох випадках дорівнюватиме Q 2/12. Як аналогію аналогово-цифрового перетворення в нашому випадку необхідно розглядати представлення вхідного (тестового) масиву чисел в заданій розрядній сітці b, тоді Q дорівнюватиме b.
Hекорельований шум заокруглення.
В цифровій обробці використовуються операції множення, додавання і зсуву. Їх виконання приводить до необхідності розширення розрядної сітки. Hаприклад, перемноження двох b-розрядних чисел приводить до 2b-розрядного результату, подальше перемноження може привести до безкінцевого збільшення розрядної сітки. Для подолання ефекту застосовують квантування результатів множення до вихідної b-розрядної сітки з заокругленням або відкиданням молодших розрядів. При цьому виникає шум заокруглення.
При додаванні в загальному випадку розширення розрядної сітки не виникає, але в деяких випадках може виникнути переповнення. Для подолання цього ефекту застосовують зсув результатів вправо і його квантування. Для квантування результатів множення і додавання застосовують заокруглення або відкидання, в залежності від вимог реалізації. Похибки, що виникають при цьому будуть мати випадковий характер.
Квантування коефіцієнтів.
Постійні коефіцієнти, які використовуються при обчисленні базових операцій алгоритмів ЦОСЗ також представляються у фіксованому розрядному просторі. Загального підходу до їх квантування нема, тому застосовується така оптимизація, щоб максимум взваженої різниці ідеальних і реальних обчисленнь був мінімальним. При цьому необхідно розглянути схему обчисленнь стосовно чутливості до розрядності коефіцієнтів. Для цього, необхідно, змінюючи спосіб квантування коефіцієнтів (відкидання, заокруглення), добитися найменшого розходження між ідеальною і розрахованою функцією.
Базові операціїі алгоритмів ЦОСЗ.
До основних базових операцій, які застосовуються в ЦОСЗ відносяться: множення, додавання і зсув. Оскільки, при виконанні цих операцій необхідно залишитися в заданій розрядній сітці розглянемо прийоми їх моделювання на мові Pascal.
Розрядна сітка: b = 8.
Множення.
x, k, y - 8-ми розрядні слова зі знаком;
work - 16-ти розрядне словo зі знаком;
work := k * x; { множення }
work := work + $80; {моделювання заокруглення }
y := work shr 8; { квантування до 8-ми розрядів }
Додавання.
x, k, y - 8-ми розрядні слова зі знаком;
work - 16-ти розрядне словo зі знаком;
work := k + x; {сумування}
work := work + 1; { моделювання заокруглення }
y := work shr 1; { квантування до 8-ми розрядів }
Порядок виконання роботи.
1. Записати в аналітичному вигляді формулу математичної функції, що є оптимальною за складністю обчислень.
2. Розробити схему обчисленнь, блок схемуалгоритму, для режиму з фіксованою комою, враховуючи спосіб реалізації (універсальна ЕОМ, ПОС).
3. Проаналізувати можливі шляхи виникнення похибок обчислень, методи їх подолання.
4. Створити тестову послідовність для досліджуваної функції і провести розрахунок еталонного зразку в режимі з плаваючою комою.
5. Провести обчислення математичної функції в режимі з фіксованою комою в бітовому просторі 8, 16 біт.
6. Провести порівняння результатів отриманих в п.4 і п.5 і пояснити причину їх розбіжності.
Висновки
Література
1. Е.Шрюфер. Обробка сигналів. Цифрова обробка дискретизованих сигналів.-К.:Либідь, 1992.-296 с.
2. Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.:Мир, 1978.-848 с.
3. Попов Б.А., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ.- К.: Наукова думка, 1984 –600 с.
4. Бондарев В.Н., Трестер Г., Чернега В.С. Цифровая обработка сигналов: методы и средства. Учебное пособие для вузов. 2-е изд. – Х.: Конус, 2001.- 398 с.
(варіанти завдань)
Вар.
Функція
Формула розкладу
Додаткові дані
Примітка
1
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 1/4
2
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
m = 1/4
3
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 1/2
4
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.04
m = 1/2
5
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.025
m = 1/3
6
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 1/3
7
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
m = 3/2
8
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 3/2
9
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 5/2
10
(1 ± x)m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 5/2
11
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 1/2
12
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 1/2
13
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 1/3
14
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 1/4
15
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 1/4
16
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.1
m = 1
17
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.025
m = 1
18
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 3/2
19
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 3/2
20
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 2
21
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
m = 2
22
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
m = 5/2
23
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 5/2
24
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 3
25
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
m = 3
26
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
m = 4
27
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
m = 4
28
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
m = 5
29
(1 ± x)- m
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 2
m = 5
30
sin x
(| x | ( ()
x ( ]0., (/2[
(x = 0.01
31
sin x
(| x | ( ()
x ( ]0., (/2[
(x = 0.02
32
cos x
(| x | ( ()
x ( ]0., (/2[
(x = 0.02
33
cos x
(| x | ( ()
x ( ]0., (/2[
(x = 0. 1
34
ex
(| x | ( ()
x ( ]0., 1.[
(x = 0.01
35
ex
(| x | ( ()
x ( ]0., 1.[
(x = 0.02
36
ax
(| x | ( ()
x ( ]0., 1.[
(x = 0.02
a = 3
37
ax
(| x | ( ()
x ( ]0., 1.[
(x = 0. 1
a = 3
38
ln x
(x > 0)
x ( ]0., 10.[
(x = 0.1
39
ln x
(x > 0)
x ( ]0., 10.[
(x = 0.4
40
ln x
(0 ( x ( 2)
41
ln x
(0 ( x ( 2)
42
ln x
(x > 1/2)
43
ln x
(x > 1/2)
44
ln(1+x)
(-1 ( x ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
45
ln(1+x)
(-1 ( x ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
46
ln(1-x)
(-1 ( x ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
47
ln(1-x)
(-1 ( x ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.05
48
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
49
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.025
50
arcsin x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
51
arcsin x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
52
arccos x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
53
arccos x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
54
arctg x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.01
55
arctg x
(| x | ( 1)
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.025
56
arctg x
(| x | ( 1)
«+» при x ( 1, «-» при x ( -1
x ( ]-1., 1.[
(x = 0. 1
57
arctg x
(| x | ( 1)
«+» при x ( 1, «-» при x ( -1
x ( ]-1., 1.[
(x = 0.02
58
sh x
(| x | ( ()
59
sh x
(| x | ( ()
60
ch x
(| x | ( ()
61
ch x
(| x | ( ()
62
Arsh x
(| x | ( 1)
63
Arsh x
(| x | ( 1)
64
Arch x
(| x | >1)
65
Arch x
(| x | >1)
66
Arth x
(| x | ( 1)
67
Arth x
(| x | ( 1)
68
Arth x
(| x | >1)
Лабораторна робота ( 3
Швидкі алгоритми обчислення дискретних тригонометричних перетворень
Мета роботи. Дослідити швидкі алгоритми дискретних тригонометричних перетворень і порівняти їх з алгоритмами безпосереднього обчислення тpигонометpних перетворень.
Теоретичні відомості
Алгоритми швидкого перетворення Фур’є (ШПФ) можуть бути отримані за допомогою послідовного застосування операції розкладу одномірного масиву вхідних відліків сигналу на двохмірний. Ця операція здійснена тільки у випадку, коли N (довжина послідовності) є складним числом (N = N1 ( N2 ( ... ( Nj). Якщо N просте, його неможливо розкласти на прості співмножники; для такої послідовності алгоритмів ШПФ не існує. В більшості практичних випадків вхідну послідовність штучно продовжують додаванням нульових відліків до отримання N як складного числа.
Для характеристики розкладу використовують поняття “основа”, якщо всі співмножники однакові (N1 = N2 = ... = Nj) і “рощеплена основа”, якщо співмножники неоднакові.
Приклад. N = 64 = 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 - основа 2.
N = 64 = 4 ( 4 ( 4 - основа 4.
N = 128 = 2 ( 4 ( 4 ( 4 - рощеплена основа 2-4.
Дискретне перетворення Фур’є
Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ) кінцевої послідовності {x(n)}, 0 ( n ( N-1 визначається як
, k = 0, 1, ..., N-1 (1)
де .
Суть алгоритмів ШПФ в тому, що якщо N складне число і є степенем двійки (N=2m), то вихідна послідовність розбивається на дві коротші послідовності, ДПФ яких можуть бути скомбіновані таким чином, щоб утворилось ДПФ вихідної послідовності.
Методика побудови алгоритмів ШПФ наступна. Введемо дві (N/2) - точкові послідовності {x1(n)} і {x2(n)} з парних і непарних членів x(n) відповідно, x1(n) = x(2n) і x2(n) = x(2n + 1), n = 0, 1, ..., N/2-1. Тоді формулу розкладу можна записати так:
де X1(k) і X2(k) є N/2 - точкові ДПФ парних і непарних відліків вихідної послідовності.
Застосовуючи цю формулу розкладу X1(k) і X2(k) до пори, поки X1(k) і X2(k) не стануть двохточковим ДПФ, отримаємо алгоритм ШПФ з прорідженням в часі.
Для отримання іншої розповсюдженої форми алгоритмів ШПФ вихідну послідовність розбивають на дві (N/2) - точкові послідовності таким чином: перша складається з перших N/2 відліків, а друга з решти, x1(n) = x(n) і x2(n) = x(n + N/2), n = 0, 1, ..., N/2-1.
При такому розбитті N - точкове ДПФ можна записати так
де X1(k) і X2(k) є N/2 - точкові ДПФ першої та другої половини відліків вихідної послідовності.
Алгоритми ШПФ, що отримані з застосуванням цієї методики називаються алгоритмами з прорідженням по частоті.
Дискретне перетворення Хартлі
Дискретне перетворення Хартлі (ДПХ) кінцевої N-точкової послідовності x(n), n=0,1,...,N-1, N=2m m=1,2,3,..., т.е. - H(k) = ДПХN{x(n)}, визначається як
k = 0,1,...,N-1,
де , .
Алгоритм БПХ2 з прорідженням в часі. Позначимо через H1(k) і H2(k) ДПХ парних і непарних членів послідовності x(n): H1(k) = ДПХN/2{x(2n)} і H2(k) = ДПХN/2{x(2n+1)}.
Застосовуючи методику аналогічну як і при побудові алгоритмів ШПФ і виконавши відповідні перетворення отримаємо процедуру для розкладу алгоритмів БПХ.
H(k) = H1(k) + a; H(k+N/2) = H1(k) - a;
H(N/2-k) = H1(N/2-k) + b; H(N-k) = H1(N/2-k) - b;
; .
де k = 0,1,...,N/4-1;
Розклад необхідно проводити до тих пір поки H1(k) і H2(k) не будуть двухточковими ДПХ.
Алгоритм ШПХ2 з прорідженням по частоті. Загальна формула розкладу алгоритму з прорідженням по частоті задається виразами:
H(2k) = H1(k); H(2k+1) = H2(k), k=0,...,N/2-1
де H1(k), H2(k) - N/2-точкові ДПХ послідовностів x1(n), x2(n); x1(n) = x(n) +x(n+N/2), , n = 0,1,...,N/2-1.
На основі цього запишемо процедуру переходу до перетворень меншої розмірності в N-точковому алгоритмі ШПХ2:
a = x(n) - x(n+N/2); b = x(N/2-n) - x(N-n);
x1(n) = x(n) + x(n+N/2); x1(N/2-n)= x(N/2-n) + x(N-n);
,
n = 1, 2, ...,N/4-1.
Продовжуючи на основі цієї процедури розбиття отриманих послідовностей менших розмірностів до двохточкових, синтезуємо алгоритм ШПХ2 з прорідженням по частоті.
Комбінуючи формули розкладу алгоритмів БПХ за основою два і чотири з прорідженням в часі, отримаємо формули розкладу алгоритму за “рощепленою основою” 2-4 (БПХ24)
,
де H0(k) = ДПХN/2{x(2n)}, Hl(k) = ДПХN/4{xl(n)}, xl(n) = x(4n+l), l=1,3.
При переході до перетворень меншої розмірності використаємо процедуру:
a13 = H1(0) + H3(0); a31 = H1(0) - H3(0);
d1 = .H1(N/8); d3 = .H3(N/8);
H(0) = H0(0) + a13; H(N/4) = H0(N/4) + a31;
H(N/2) = H0(0) - a13; H(3N/4) = H0(N/4) - a31;
H(N/8) = H0(N/8) + d1; H(3N/8) = H0(3N/8) + d3;
H(5N/8) = H0(N/8) - d1; H(7N/8) = H0(3N/8) - d3;
;
; l=1,3;
a13 = a1 + a3; a31 = a1 - a3; b13 = b1 + b3; b31 = b3- b1;
H(k) = H0(k) + a13; H(N/4-k) = H0(N/4-k) + a31;
H(k+N/4) = H0(k+N/4) + b31; H(N/2-k) = H0(N/2-k) + b13;
H(k+N/2) = H0(k) - a13; H(3N/4-k) = H0(N/4-k) - a31;
H(k+3N/4) = H0(k+N/4) - b31; H(N-k) = H0(N/2-k) - b13,
k=1,2...,N/8-1.
Продовжуючи процес розбиття до двох і чотирьохточкових перетворень, синтезуємо необхідний алгоритм ШПХ24.
Порядок виконання роботи
1. Застосовуючи методики розкладу, отримати алгоритм обчислення заданого перетворення за певними “основою” і розмірністю.
2. Скласти процедуру на мові високого рівня для безпосереднього (прямого) обчислення тригонометричного перетворення.
3. Скласти процедуру на мові високого рівня для обчислення швидкого перетворення по алгоритму отриманому в п.1.
4. Виміряти часи виконання процедур п.2 і п.3.
5. Порівняти часи виконання процедур п.2 і п.3, і пояснити отримані результати.
Література
1. Е.Шрюфер. Обробка сигналів. Цифрова обробка дискретизованих сигналів.-К.:Либідь, 1992.-296 с.
2. И.З.Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы.-М.:Радио и связь, 1986.- 512с.
3. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Учебное пособие для вузов/Под ред. И.З.Гоноровского.-М.:Радио и связь, 1989.-248 с.
Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.:Мир, 1978.-848 з.
+5. Бондарев В.Н., Трестер Г., Чернега В.С. Цифровая обработка сигналов: методы и средства. Учебное пособие для вузов. 2-е изд. – Х.: Конус, 2001.- 398 с.
Варіанти завдань до лабораторної роботи № 3.
Nп/п
ЗАВДАННЯ
Прізвище
Прим.
1
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк2 (швидке переотворення Фурье за основою 2) з прорідженням за часом.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
2
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк2 (швидке переотворення Фурье за основою 2) з прорідженням за частотою.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
3
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк4 (швидке переотворення Фурье за основою 4) з прорідженням за часом.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1
4
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк4 (швидке переотворення Фурье за основою 4) з прорідженням за чатотою.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N
5
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк24 (швидке переотворення Фурье за розщепленою основою 2-4) з прорідженням за часом.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
6
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПФк24 (швидке переотворення Фурье за розщепленою основою 2-4) з прорідженням за частотою.
N = 256
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
7
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПХ2 (швидке переотворення Хартлі заосновою 2) з прорідженням за часом.
N = 512
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
8
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПХ2 (швидке переотворення Хартлі заосновою 2) з прорідженням за частотою.
N = 512
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
9
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПХ24 (швидке переотворення Хартлі за розщепленою основою 2-4) з прорідженням за часом.
N = 512.
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
10
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ШПХ24 (швидке переотворення Хартлі за розщепленою основою 2-4) з прорідженням за частотою.
N = 512
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
11
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ПШКП2 (пряме швидке косинусне переотворення за основою 2) з прорідженням за часом.
N = 512.
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
12
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ПШКП2 (пряме швидке косинусне переотворення за основою 2) з прорідженням за частотою.
N = 512.
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
13
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ОШКП2 (обернене швидке косинусне переотворення за основою 2) з прорідженням за часом.
N = 512.
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
14
Розробити процедуру дискретного тригонометричного перетворення вхідної послідовності x(n), розмірності N використовуючи алгоритм Algorithm. Формулу розкладу отримати за методом Кулі-Тьюкі.
Algorithm : ОШКП2 (обернене швидке косинусне переотворення за основою 2) з прорідженням за частотою.
N = 512.
X(N) = ; N = 0, 1, ..., N-1.
Лабораторна робота ( 4
Діагностика роботи цифрових фільтрів шляхом аналізу їх амплітудно-частотної характеристики
Мета роботи. Дослідити параметри амплітудно-частотної характеристики та вплив віконної обробки при спектральному аналізі сигналів.
Теоретичні відомості
Для адекватного відтворення вхідного сигналу, що використовується в системах обробки, які розв’язують задачі спектрального аналізу сигналів, опис вхідного діагностичного сигналу представляється у формалізованому вигляді. Зазначені задачі розв’язуються цифровими методами, на основі швидких дискретних ортогональних перетворень, що представляються узагальненим класом швидких перетворень Фур'є з різними системами базисних функцій. Дані перетворення відносяться до класу лінійних ортогональних перетворень, зв'язаних з обчисленням виразів виду
,
де Х = [Х(0), Х(1), ... , Х(L-1)]Т , х = [х(0), х(1), ... , х(L-1)]Т - вектори, відповідно, вихідних гармонік і початкових відліків, А - відтворююча ортогональна матриця розміром L x L, L- кількість початкових відліків.
Системи, які реалізують ці алгоритми відносяться до стаціонарних систем з частотним коефіцієнтом передачі K(j():
де h(t) - імпульсна характеристика, що має таку інтерпретацію: якщо на вхід системи поступає гармонійний сигнал з відомою частотою ( і комплексною амплітудою , то комплексна амплітуда вихідного сигналу буде рівною:
(1)
Представлення частотного коефіцієнта передачі (див. формулу 1) в показниковій формі має вигляд :
,
де - амплітудно-частотна характеристика (АЧХ). Оскільки для фільтрів з скінченою імпульсною характеристикою АЧХ є однією з визначальних характеристик, на основі її аналізу визначається достовірність побудови фільтра. Розглянемо варіант перевірки фільтра методом аналізу його АЧХ на прикладі системи опрацювання інформації когерентно-імпульсної РЛС з n каналами погоджених фільтрів. Для процесора, що виконує N-точкове амплітудне дискретне перетворення Фур’є згідно з формулою (2)
, (2)
де N визначає розмір перетворення, n-номер елемента віддалі, l – номер гармоніки, i-номер періоду повторення в межах інтервалу обчислення ДПФ, W(i) вагова функція, вхідний сигнал представимо у вигляді:
, (3)
де А - амплітуда сигналу, S - кількість частотних діапазонів між сусідніми l, Q – визначає смугу перевірки АЧХ (, де m, p - кількість гармонік, в діапазоні яких (відносно l) перевіряється АЧХ, , , si – біжуче значення частотного діапазону між сусідніми l).
Процедура діагностики відбувається таким чином. Для процесора задається значення гармоніки lj. На інформаційні входи поступає вхідний сигнал . Зміна значень (синфазна і квадратурна складові) на вході процесора відбувається на кожному періоді повторення (по і). Одне значення визначається сумуванням по і (див.формулу 2). Після того змінюється частота поступлення , зміна задається значенням , і вираховується наступне значення . Повна АЧХ, для заданого lj, отримується після поступлення на вхід S*N значень вхідного сигналу. На практиці обмежуються перевіркою АЧХ для (3l, відносно lj. Після перевірки амплітудно-частотних характеристик для всіх гармонік і елементів віддалі процес діагностики завершується. В ідеальному випадку характеристики всіх АЧХ повинні бути ідентичними.
Тобто, при використанні такого підходу процес перевірки розбивається на три етапи:
- задання значень для отримання числової послідовності вхідних сигналів;
- визначення значень Y(n,l) реальної АЧХ;
- порівняння значень ідеальної і реальної АЧХ в кожній точці виміру.
Застосування підходу дозволяє:
- виявити помилки в роботі з точністю до функціонального вузла, наприклад помилки в заданні вагової функції, при сумуванні, в ОЗП проміжних результатів, при пересиланні інформації між процесорами, конструктивні та технологічні помилки при проектуванні цифрових вузлів і т.п.;
- проводити діагностику в режимі реального часу;
- перевірити правильність функціювання і рівень шумів зовнішніх пристроїв, наприклад, приймача проміжної частоти;
- оцінити вплив різних типів вагових функцій на значення вихідного сигналу;
- перевірити в РРЧ значення інформації, що поступає на вхід системи опрацювання шляхом її запису в ОЗП;
- перевірити точностні параметри роботи процесорів;
- перевірити реакцію фільтра на поступлення збійної інформації.
Найвживаніші вагові функції, що використовуються при обробці наведені в таблиці 1.
Таблиця 1
Номер функції
Назва
Тип функції
Діапазон зміни n
1
Рімана
–N/2 ( n ( N/2 – 1
2
Валле-Пусена
0 ( (n( ( N/4
N/4 ( (n( ( N/2
3
Тюкі
0 ( (n( ( a N/2
a N/2 ( (n( ( N/2
a = 0,25
a = 0,5
a = 0,75
4
Бомана
0 ( (n( ( N/2
5
Пуасона
0 ( (n( ( N/2
5-1 a = 2,0
5-2 a = 3,0
5-3 a = 4,0
6
Хеннінга-Пуасона
0 ( (n( ( N/2
6-1 a = 0,5
6-2 a = 1,0
6-3 a = 2,0
7
Коші
0 ( (n( ( N/2
7-1 a = 3,0
7-2 a = 4,0
7-3 a = 5,0
8
Трикутне
0 ( (n( ( N/2
9
Ханна (косинус квадрат)
0 ( (n( ( N/2
10
Хеммінга
0 ( (n( ( N/2
а = 0,54
11
Блекмана
0 ( (n( ( N/2
12
Гауса
0 ( (n( ( N/2
а = 2,5
13
Cosa
0 ( (n( ( N/2
13-1 a = 1,0
13-2 a = 3,0
13-3 a = 4,0
14
Рісса
0 ( (n( ( N/2
15
w(n) = 0.25 + 0,75 cos [ ((n-16)/32]
16
w(n) = 0.4 + 0,6 cos [((n-15,5)/31].
Примітка: Значення w(n) таблиці 1 відповідає значенню W(i) (див. формулу 2).
Алгоритм формування вхідних даних для формування АЧХ полягають у видачі на кожному етапі обчислень синусоїдальної і косинусоїдальної складової комплексного сигналу, фаза яких відрізняється на значення Q на двох сусідніх періодах, на кожному з яких обчислюється одне значення U (i)
Порядок виконання роботи
Налаштувати фільтр на виконання заданого варіанту - сформувати масив синусоїдальної і косинусоїдальної складової згідно з виразом:
Сформувати вхідний масив (синусоїдальна і косинусоїдальна складові) згідно з формулою 3.
Сформувати масив вагової функції
Скласти процедуру на мові високого рівня для обчислення АЧХ згідно з формулою 2.
Скласти процедуру графічного виводу значень АЧХ: без вагової функції та з ваговою функцією.
Порівняти значення АЧХ, пояснити отримані результати.
Примітка: Передбачити можливість зміни в програмі всіх вхідних параметрів і констант.
Вимоги до оформлення звіту до лабораторної роботи
Завдання на лабораторну роботу.
Теоретичний матеріал.
Лістінг підпрограми і результати формування вхідного масиву (таблиця або графік).
Лістінг підпрограми і результати формування масиву вагової функції (таблиця або графік).
Лістінг програми і результати формування АЧХ (таблиця і графік) для двох випадків: без вагової функції та з ваговою функцією.
Висновки.
Примітка: Варіанти таблиці результатів і графіка формування АЧХ наведені в Додатку.
Література
1. Е.Шрюфер. Обробка сигналів. Цифрова обробка дискретизованих сигналів.-К.:Либідь, 1992.-296 с.
2. И.З.Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы.-М.:Радио и связь, 1986.- 512с.
Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Учебное пособие для вузов/Под ред. И.З.Гоноровского.-М.:Радио и связь, 1989.-248 с.
Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.:Мир, 1978.-848 з.
Бондарев В.Н., Трестер Г., Чернега В.С. Цифровая обработка сигналов: методы и средства. Учебное пособие для вузов. 2-е изд. – Х.: Конус, 2001.- 398 с.
ДОДАТОК
Результати діагностики ЦФ
Розрахункові значення АЧХ
Вихідні дані для розрахунків:
A= 7.0000000000E+00
N:=32
l:=16
Sn:=-48
Sv:=48
Вид вагової функції:
W(i)=0.25+0.75*Cos( Pi*(i-16)/32)
Результати обчислень
S
Y
S
Y
S
Y
-48
2.0786282043E-10
-15
1.4858532902E+01
18
2.4303487404E+01
-47
4.8016739203E+00
-14
3.1222237077E+01
19
3.3433952933E+01
-46
9.6179341307E+00
-13
4.8806132570E+01
20
4.0435586686E+01
-45
1.4265176052E+01
-12
6.7284399256E+01
21
4.5294730406E+01
-44
1.8558345372E+01
-12
8.6298176674E+01
22
4.8054114139E+01
-43
2.2317555828E+01
-10
1.0546443369E+02
23
4.8809774638E+01
-42
2.5374766995E+01
-9
1.2438566119E+02
24
4.7706517859E+01
-41
2.7580295654E+01
-8
1.4266011373E+02
25
4.4932090543E+01
-40
2.8808934139E+01
-7
1.5989230707E+02
25
4.0710262577E+01
-39
2.8965456559E+01
-6
1.7570346825E+02
27
3.5293051692E+01
-38
2.7989308731E+01
-5
1.8974163429E+02
28
2.8952344316E+01
-37
2.5858299916E+01
-4
2.0169110376E+02
29
2.1971180247E+01
-36
2.2591143093E+01
-3
2.1128096360E+02
30
1.4634974139E+01
-35
1.8248725039E+01
-2
2.1829243932E+02
31
7.2229433695E+00
-34
1.2934026492E+01
-1
2.2256485123E+02
32
1.1263422684E-10
-33
6.7906552983E+00
0
2.2400000000E+02
33
6.7906552986E+00
-32
3.7122538983E-11
1
2.2256485123E+02
34
1.2934026492E+01
-31
7.2229433697E+00
2
2.1829243932E+02
35
1.8248725039E+01
-30
1.4634974139E+01
3
2.1128096360E+02
36
2.2591143093E+01
-29
2.1971180247E+01
4
2.0169110376E+02
37
2.5858299916E+01
-28
2.8952344316E+01
5
1.8974163429E+02
38
2.7989308732E+01
-27
3.5293051692E+01
6
1.7570346825E+02
39
2.8965456559E+01
-26
4.0710262577E+01
7
1.5989230707E+02
40
2.8808934139E+01
-25
4.4932090543E+01
8
1.4266011373E+02
41
2.7580295654E+01
-24
4.7706517859E+01
9
1.2438566119E+02
42
2.5374766995E+01
-23
4.8809774638E+01
10
1.0546443369E+02
43
2.2317555828E+01
-22
4.8054114139E+01
11
8.6298176674E+01
44
1.8558345372E+01
-21
4.5294730406E+01
12
6.7284399256E+01
45
1.4265176052E+01
-20
4.0435586686E+01
13
4.8806132570E+01
46
9.6179341302E+00
-19
3.3433952933E+01
14
3.1222237077E+01
47
4.8016739201E+00
-18
2.4303487403E+01
15
1.4858532902E+01
48
1.8029571185E-10
-17
1.3115739768E+01
16
1.6772488531E-10
-16
8.7074618538E-11
17
1.3115739768E+01
Вихідні дані для розрахунків:
A= 9.0000000000E+00
N:=32
l:=16
Sn:=-48
Sv:=48
Вид вагової функції:
W(i)=0.4+0.6*Cos( Pi*(i-15.5)/31)
Результати обчислень
S
Y
S
-48
3.1994246243E+00
-15
5.2163426929E+01
18
1.4875534579E+01
-47
5.5552233780E+00
-14
6.6614029823E+01
19
4.9884346674E+00
-46
7.7895589466E+00
-13
8.1735556933E+01
20
3.4559050434E+00
-45
9.8050475526E+00
-12
9.7284919000E+01
21
1.0410641907E+01
-44
1.1507783867E+01
-12
1.1299992782E+02
22
1.5866368490E+01
-43
1.2811072456E+01
-10
1.2860522281E+02
23
1.9849770961E+01
-42
1.3639087332E+01
-9
1.4381866226E+02
24
2.2421353002E+01
-41
1.3930331756E+01
-8
1.5835800870E+02
25
2.3672313913E+01
-40
1.3640772937E+01
-7
1.7194772719E+02
25
2.3720692537E+01
-39
1.2746533025E+01
-6
1.8432571052E+02
27
2.2706907862E+01
-38
1.1246028654E+01
-5
1.9524974538E+02
28
2.0788842033E+01
-37
9.1614660697E+00
-4
2.0450353976E+02
29
1.8136621721E+01
-36
6.5396170731E+00
-3
2.1190214272E+02
30
1.4927259002E+01
-35
3.4518222041E+00
-2
2.1729660452E+02
31
1.1339313134E+01
-34
6.8089724029E-03
-1
2.2057774544E+02
32
7.5477298781E+00
-33
3.7190055149E+00
0
2.2167892675E+02
33
3.7190055147E+00
-32
7.5477298780E+00
1
2.2057774544E+02
34
6.8089721254E-03
-31
1.1339313135E+01
2
2.1729660452E+02
35
3.4518222043E+00
-30
1.4927259002E+01
3
2.1190214272E+02
36
6.5396170731E+00
-29
1.8136621721E+01
4
2.0450353976E+02
37
9.1614660698E+00
-28
2.0788842033E+01
5
1.9524974538E+02
38
1.1246028655E+01
-27
2.2706907862E+01
6
1.8432571052E+02
39
1.2746533025E+01
-26
2.3720692537E+01
7
1.7194772719E+02
40
1.3640772937E+01
-25
2.3672313913E+01
8
1.5835800870E+02
41
1.3930331756E+01
-24
2.2421353002E+01
9
1.4381866226E+02
42
1.3639087332E+01
-23
1.9849770961E+01
10
1.2860522281E+02
43
1.2811072456E+01
-22
1.5866368490E+01
11
1.1299992782E+02
44
1.1507783867E+01
-21
1.0410641907E+01
12
9.7284919000E+01
45
9.8050475525E+00
-20
3.4559050434E+00
13
8.1735556933E+01
46
7.7895589463E+00
-19
4.9884346675E+00
14
6.6614029823E+01
47
5.5552233778E+00
-18
1.4875534579E+01
15
5.2163426929E+01
48
3.1994246242E+00
-17
2.6120772246E+01
16
3.8602432008E+01
-16
3.8602432008E+01
17
2.6120772246E+01
Варіанти завдань до лабораторної роботи № 4
№ вар
N
l
Sm
Sp
S
A
№ вагової функції
Примітка
1
16
0; 5
-32
32
16
1
15
2
16
0; 8
-24
24
16
2
16
3
16
7
-48
48
16
3
14
4
16
9
-64
16
16
4
13-1
5
16
4
-16
16
8
5
13-2
6
16
10
-20
16
8
6
13-3
7
16
0; 15
-22
16
8
7
12
8
16
5
-26
16
8
8
11
9
16
0; 7
-28
16
16
9
10
10
16
0; 11
-34
16
16
10
9
11
16
8
-36
16
16
11
8
12
16
6
-38
16
16
12
7-1
13
16
3
-40
16
8
13
7-2
14
16
2
-42
16
8
14
7-3
15
16
0; 12
-44
16
8
15
6-1
16
32
14
-32
32
8
1
6-2
17
32
0; 31
-48
32
24
2
6-3
18
32
0; 15
-48
48
24
3
5-1
19
32
3
-32
48
24
4
5-2
20
32
5
-48
64
24
5
5-3
21
32
7
-48
50
8
6
4
22
32
9
-64
32
8
7
3-3
23
32
11
-64
40
8
8
3-2
24
32
13
-64
42
8
9
3-3
25
32
17
-34
44
16
10
2
26
32
19
-36
44
16
11
1
27
32
21
-38
46
16
12
15
28
32
23
-54
48
16
13
16
29
32
25
-56
60
24
14
14
30
32
27
-58
32
24
15
13-1
31
64
29
-32
16
24
1
13-2
32
64
16; 15
-24
16
24
2
13-3
33
64
19
-48
32
8
3
12
34
64
0; 63
-64
32
8
4
11
35
64
0; 32
-16
48
8
5
10
36
64
4
-20
48
8
6
9
37
64
6
-22
64
16
7
8
38
64
8
-26
50
16
8
7-1
39
64
10
-28
32
16
9
7-2
40
64
12
-34
40
16
10
7-3
41
64
14
-36
42
24
11
6-1
42
64
16
-38
44
24
12
6-2
43
64
20
-40
44
24
13
6-3
44
64
24
-42
46
24
14
5-1
45
64
28
-44
48
8
15
5-2
46
128
34
-32
60
8
1
5-3
47
128
33
-48
32
8
2
4
48
128
35
-48
16
8
3
3-3
49
128
38
-32
32
16
4
3-2
50
128
77
-48
32
16
5
3-3
51
128
88
-48
48
16
6
2
52
128
96
-64
48
16
7
1
53
128
0; 63
-64
64
24
8
15
54
128
0; 32
-64
50
24
9
16
55
128
67
-34
32
24
10
14
56
128
69
-36
32
24
11
13-1
57
128
83
-38
40
8
12
13-2
58
128
100
-44
42
8
13
13-3
59
128
124
-32
44
8
14
15
60.
128
125
-48
44
8
15
16
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора