МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ІКТА кафедра «Захист інформації»
Звіт про виконання лабораторної роботи №1 з курсу: "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Львів – 2007 Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. Метод Ньютона Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Цей метод відомий своєю швидкою збіжністю (квадратичною збіжністю). Нехай корінь рівняння
відокремлений на відрізку
, причому
і
неперервні і зберігають сталі знаки на всьому відрізку
. Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої
замінюється дотичною до цієї кривої. Візьмемо деяку точку x0 відрізка [а, b] і проведемо в точці [x0, f(x0)] дотичну до цього графіку.
Рис. 3 Її рівняння має вигляд:
. Візьмемо за перше наближення кореня точку перетину дотичної з віссю ОХ, одержимо, що
(8) Наступне наближення знаходимо відповідно за формулою
Ітераційна формула методу Ньютона має вигляд
(9) Зазначимо, що початкове наближення
доцільно вибирати так, щоб виконувалась умова
(10) В протилежному випадку збіжність методу Ньютона не гарантується. Найчастіше
або
, в залежності від того, для якої із цих точок виконується умова (10). Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля і похідної
біля кореня достатньо велике, тобто графік функції
в околі даного кореня має велику крутизну. ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Знайти корінь рівняння з граничною абсолютною похибкою Е = 10–4, відокремлений на відрізку [a, b]. Варіант Рівняння Відрізок  18 x3 – 3x – 1 = 0 [–2;–1]   Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення. а – початок відрізка; b – кінець відрізка; Е – похибка; х – корінь рівняння; х0 – початкове значення х; main() – головна функція; f() – функція, що обчислює значення заданого рівняння; fpoh1() – функція, яка обчислює значення першої похідної заданого рівняння; fpoh2() – функція, яка обчислює значення другої похідної заданого рівняння; Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням мовою С #include <stdio.h> #include <math.h> double f(double x) { return (x*x*x-3*x-1); } double fpoh1(double x) { return (3*x*x-3); } double fpoh2(double x) { return (6*x); } void main(void) { double E,a,b,x,x0; printf("Vvedit pochatok, kinets promizhku i pohybku\n"); scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&E); x0=a; if (f(x0)*fpoh2(x0)<=0) x0=b; zzz: x=x0-f(x0)/fpoh1(x0); if (fabs(x-x0)>E) { x0=x; goto zzz; } printf("x=%4.4lf",x); } Результати виконання програми Vvedit pochatok, kinets promizhku i pohybku -2 -1 0.0001 х=-1,5321 Висновок: на цій лабораторній роботі я ознайомився з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим.