Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Інші
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2024
Тип роботи:
Конспект лекцій
Предмет:
Цифрова обробка сигналів та зображень
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
А.О.МЕЛЬНИК, М.М.ЯЦИМІРСЬКИЙ
ЦИФРОВА ОБРОБКА СИГНАЛІВ ТА ЗОБРАЖЕНЬ
Конспект лекцій з курсу
"Комп'ютерні засоби обробки сигналів та зображень"
для студентів спеціальності 7.091501
"Комп'ютерні та інтелектуальні системи і мережі"
Затверджено
на засіданні кафедри
електронно-обчислювальних машин
Протокол N від . .96р.
Львів ДУ «ЛП».
УДК 621.372.542
Цифрова обробка сигналів та зображень. Конспект лекцій з курсу "Комп'ютерні засоби обробки сигналів та зображень" для студентів спеціальності 7.091501 "Комп'ютерні та інтелектуальні системи і мережі"/А.О.Мельник, М.М.Яцимірський.-Львів:ДУ "ЛП", 1996. с.
У конспекті лекцій висвітлено...
Призначено для студентів спеціальності "Комп'ютерні та інтелектуальні системи і мережі", а також для спеціалістів в галузі розробки та застосування засобів обробки сигналів та зображень.
Рецензенти
Відповідальний за випуск А.О.Мельник,
доктор технічних наук
Державний університет
"Львівська політехніка"
1996 .
Вступ до цифрової обробки сигналів
Цифрова обробка сигналів як область науки сформувалася порівняно недавно, в 50-60 роках ХХ століття. В даний час вона ще далека від завершення і інтенсивно розвивається. Методи і і алгоритми цифрової обробки сигналів (ЦОС) ґрунтуються на відомому математичному апараті, отриманому в XYII-XYIII століттях. Класичні формули методів наближеного обчислення, наприклад, інтерполяції, інтегрування чи диференціювання, безумовно належать до методів ЦОС. При цифровій обробці сигнали подаються як послідовність чисел чи символів. Суть обробки полягає у вирішенні двох основних задач: 1) оцінці характеристик чи параметрів сигналів; 2) перетворенні сигналу до зручнішого чи нагляднішого виду.
Виділення ЦОС як окремої області науки обумовила поява швидкодіючих цифрових обчислювальних машин (ЦОМ), а також зростаюча потреба застосування її методів в багатьох галузях техніки і при наукових дослідженнях. В даний час ЦОС застосовується в біомедицині, акустиці, звуковій локації, радіолокації, сейсмології, системах передачі даних, технічній і медичній діагностиці, ядерних технологіях, робототехніці тощо. Наприклад, при аналізі електроенцефалограм і електрокардіограм, а також при розпізнаванні мовних сигналів чи образів виникає потреба у виділенні деяких характерних параметрів сигналу (перша задача ЦОС). Іноді ж, наприклад, на приймальній стороні системи зв'язку, потрібно перетворити сигнал так, щоби компенсувати різного роду завади, що вносяться при проходженні сигналу її лініями (друга задача ЦОС).
У багатьох випадках виникає потреба в обробці багатовимірних сигналів. Зокрема, при покращенні рентгенівських зображень, аналізіаерознімків і фотографій з метерологічних супутників, реставрації старих фотографій і кінофільмів використовуються методи цифрової обробки двовимірних сигналів, котрі отримали окрему назву методів цифрової обробки зображень. Аналогічні методи обробки трьохвимірних сигналів широко застосовуються в технічній і медичній томографії.
Коротко розглянемо історичну ретроспективу цифрової обробки сигналів. До появи ЦОМ обробка сигналів здійснювалася за допомогою аналогових пристроїв. Перші застосування ЦОМ в обробці сигналів зводилися до моделювання аналогових пристроїв обробки сигналів. При цьому завдяки гнучкості та універсальності ЦОМ методи і алгоритми можна було дослідити ще до технічної реалізації системи обробки сигналів. Зокрема, саме так відбувалися вибір та регулювання характеристик аналогових фільтрів вокодера. Отже, спочатку ЦОМ і, відповідно, методи ЦОС апроксимували неперевні моделі пристроїв аналогової обробки сигналів.
Одночасно ЦОМ забезпечували впровадження у практику обробки сигналів цілого класу методів і алгоритмів, реалізація котрих на аналогових пристроях неможлива через їх складність. Типовим прикладом цього можуть бути алгоритми обчислення кепстру і гомоморфної фільтрації. На ЦОМ було встановлено, що їх доцільно використовувати при обробці мовних сигналів та зображень, зокрема, при подавленні ехо-сигналів в телефонії і покращенні якості зображень. Але вимоги по точності і роздільчій здатності до знаходження логарифму перетворення Фур'є значно перевищували можливості аналогових спектроаналізаторів. З іншого боку, існуючі ЦОМ, як правило, не забезпечували потрібної швидкодії обробки сигналів. Це дало поштовх розвитку ЦОС у двох напрямках.
По-перше, інтенсивно проводилися дослідження, направлені на розробку способів синтезу швидких обчислювальних алгоритмів, котрі би забезпечували суттєве скорочення кількості арифметичних операцій у математичних методах ЦОС. Кардинально важливе значення тут набув алгоритм швидкого перетворення Фур'є, отриманий в 1965 Кулі і Тьюкі. Він прискорював обчислення перетворення Фур'є N-точкової послідовності в N/log2 N раз. Крім того, алгоритму швидкого перетворення Фур'є природньо відповідає концепція дискретного часу - дискретної функції (послідовності), що полягає в наявності цілого ряду математичних операцій над ними. Сформувалися чіткі співвідношення для послідовностей, що дало теоретичне підґрунтя подальшому розвитку методів і алгоритмів ЦОС.
По-друге, постійно вдосконалювалися архітектури ЦОМ з орієнтацією на ЦОС, в результаті чого сформувався окремий напрямок обчислювальної техніки - засоби ЦОС. Цьому в значній мірі сприяв розвиток технології великих інтегральних схем. Появилася можливість реалізації невеликих фільтрів, основних елементарних операцій і перетворень у вигляді спеціалізованих інтегральних схем. На їх основі створювалися спеціалізовані швидкодіючі пристрої ЦОС, включаючи обчислювальні середовища та супер-електронно-обчислювальні машини з часовим і просторовим розпаралеленням, котрі в десятки-сотні раз прискорювали обробку у порівнянні із універсальними ЦОМ. Крім того, в рамках засобів ЦОС розроблялися ЦОМ спеціального призначення, що отримали назву програмованих процесорів обробки сигналів (ППОС), з адаптованою під задачі і алгоритми ЦОС архітектурою і системою команд.
Характерна особливість ЦОС полягає в її стуктурованості. По-перше, незважаючи на різноманітні сфери застосування, кожна з котрих вносить свої специфічні вимоги до ЦОС, методи ЦОС можна подати у вигляді скінченного набору узагальнених алгоритмів верхнього рівня - базових процедур ЦОС. Наприклад, процедури фільтрації, спектрального аналізу, інтерполяції, апроксимації є базовими. По-друге, базові процедури, як правило, зводяться до порівняно невеликого набору алгоритмів, що реалізують їх окремі частини - базових алгоритмів ЦОС. Наприклад, алгоритми обчислення згортки, швидкого перетворення Фур'є, сортування даних, виконання арифметичних операцій та математичних перетворень над векторними і матричними даними є базовими. По-третє, базові алгоритми, в свою чергу, можуть бути подані обмеженого набору базових операцій-алгоритмів нижнього рівня, називатемо їх базовими операціями. Це, в першу чергу, базові операції алгоритмів швидкого перетворення Фур'є, арифметичні і математичні операції на скалярними величинами. І, нарешті, останнє - чи не найголовніше, при ЦОС маємо справу зі структурованими у вигляді векторів, матриць чи багатовимірних масивів даними. Тут над інтенсиним потоком однотипних даних виконується певний, достатньо обмежений набір у загальному випадку арифметичних і логічних операцій, що дає змогу будувати ефективні алгоритми і засоби їх реалізації.
Подальший прогрес мікроелектроніки, отримані нові результати в теорії побудови ефективних алгоритмів та засобів ЦОС значно розширили області застосування ЦОС. Зокрема, сучасні системи мультимедіа є прямим результатом розвитку ЦОС. В багатьох випадках ЦОС суттєво змінила і самі принципи конструювання технічних систем різного призначення. Все частіше, власне, засоби ЦОС становлять вирішальну складову цих систем. Це в жодній мірі не применшує значимості аналогових засобів обробки. Для систем, що працюють у високочастотному діапазоні, наприклад, радіолокаторів, високочастотних аналізаторів сигналів, ще і тепер швидкодії сучасних засобів ЦОС не вистарчає, щоби повністю виключити аналогову обробку сигналів. Як правило, попередня обробка сигналу - перенос спектра сигналу на відеочастоту і попередня фільтрація здійснюється аналоговими засобами. Проте, зважаючи на постійний розвиток технічних систем у напрямку їх інтелектуалізації, слід відзначити зростаючу роль методів та засобів ЦОС.
Питання для самоперевірки
1. Назвіть дві основні задачі цифрової обробки сигналів. Наведіть кілька прикладів їх застосування.
2. В чому полягають переваги і недоліки цифрової обробки сигналів (у порівнянні з аналоговою)?
3. Назвіть основні складові цифрової обробки сигналів.
4. Які тенденції спостерігаються в розвитку цифрової обробки сигналів.
5. Яке теоретичне і приктичне значення для цифрової обробки сигналів набула розробка алгоритму швидкого перетворення Фур'є.
РОЗДІЛ 1. Дискретні сигнали і системи
1.1. Класифікація сигналів
Сигнал може бути визначений як функція, що переносить інформацію про стан чи поведінку фізичної системи. Сигнал може описувати процес, що залежить від часу чи просторових координат. Математично сигнали подаються у вигляді функції одної чи багатьох незалежних змінних. Наприклад, мовний сигнал це - функція часу, а зображення - функція двох змінних, що описує залежність яскравості від двох просторових координат.
Сигнали поділяють на аналогові і дискретні. Аналоговий сигнал описується неперевною чи кусочно-неперевною функцією xa(t), причому і аргумент t, і сама функція xa(t) можуть приймати довільні значення з деяких інтервалів: t1tt2; axa(t)b. На рис.1.1,а показаний графік аналогового сигналу xa(t)= Usin(wt): де w=2pf - кругова частота, f = 1 Гц - лінійна частота, U=1 B - амплітуда сигналу. До аналогових відносятся, наприклад, мовні і телевізійні сигнали.
Дискретний сигнал описується решітчастою функцією x(nT), котра може довільне значення з деякого інтервалу c x(nT) d, але незалежна змінна n приймає тільки дискретні значення: n=0,1,2,...; Т - інтервал (величина кроку) дискретизації; fд = 1/Т - частота дискретизації. На рис.1.1,б показаний графік дискретного сигналу x(nT)= Usin(wnT): де w =2pf, f = 1/(2p) Гц, U=1 B, T=p/4c.
Зауважимо, що неправильно вважати, що для нецілих n дискретний сигнал рівний нулю, просто сигнал не визначений для нецілих n. Дискретні сигнали інакше ще називають послідовністю або часовим рядом. При цьому
застосовують позначення x(n), xn для нормованого чи постійного інтервалу дискретизації Т. Окремі значення решітчастої функції називають відліками дискретного сигналу. Аналоговий чи дискретний сигнали можуть бути дійсними чи комплексними.
Операція дискретизації полягає в тому, що заданому аналоговому сигналу xa(t)ставиться у відповідність дискретний сигнал x(nT) за аналогією з табуляцією функції. Зрозуміло, що така операція є коректною тільки при накладанні певних умов на частоту дискретизації, котрі ми розглянемо пізніше. Зворотня до дискретизації операція відтворення полягає в тому, що на основі заданого дискретного сигналу x(nT) будується аналоговий сигнал xa(t).
Цифровий сигнал описується квантованою решітчастою функцією (квантованою послідовністю, квантованим часовим рядом) xц(nT). Тут решітчаста функція приймає лише скінченну кількість дискретних значень: h1, h2,..., hK. Цю кількість (К) називають числом рівнів квантування. На рис.1.1,в показаний графік цифрового сигналу xц(nT)=ОК(Usin(wnT)), (w=2pf; f = 1/(2p) Гц; U = 1 B; T = p/4c; hl = -1+ 0.25 (l - 1)), де l=1,2, ..., K; K = 9 a нелінійна функція ОК(p) визначена наступним чином
ОК(p) = (1.1)
Кожний з рівнів квантування кодується набором двійкових чисел. Число рівнів квантування K і число s двійкових розрядів зв'язані залежністю sint(log2 K), де int(q) означає цілу чистину числа q. Операція квантування, котру ще називають кодуванням сигналу, полягає в аналого-цифровому перетворенні (АЦП) відліків сигналу. Для заданого дискретного сигналу x(nT) за допомогою функції ОК(p) будується цифровий кодований сигнал xц(nT), при цьому ці сигнали співпадають лише наближено x(nT)xц(nT), n=0,1,.... Зворотня до неї операція цифро-аналогового перетворення (ЦАП) полягає в переході від цифрового до аналогового сигналу.
Надалі дискретні сигнали будемо називати скорочено - послідовностями. На рис.1.2 приведені деякі приклади послідовностей, що відіграють важливу роль в теорії дискретних систем.
Показаний на рис.1.2.а одиничний імпульс d(n) визначається як послідовність зі значеннями
d(n) =
В теорії дискретних сигналів і систем він відіграє туж роль, що дельта-функція в теорії аналогових систем. Часто одиничний імпульс називають скорочено імпульсом. На відміну від дельта-функції, одиничний імпульс визначається точно і просто.
Рис.1.2.
Одинична ступінчаста послідовність u(n) має значення
u(n)=
Одинична ступінчаста послідовність і одиничний імпульс зв’язані співвідношеннями: u(n) =, d (n) = u(n)-u(n-1).
Дійсна експоненціальна послідовність x(n) приймає значення an, де а - дійсне число, тобто x(n)=an , n = 0,1,... .
Синусоїдальна і комплексна експоненціальна послідовністі відповідно мають вигляд: x(n)=A cos(w0n + f ); x(n)= exp((s +j w0)n), де j = , параметр w0 задає частоту.
Періодична послідовність. За означенням послідовність x(n) називається періодичною з періодом N, N>0, якщо для довільних n має місце рівність x(n)=x(n+N).
Парна та непарна послідовності. Будь-яку дійсну послідовність x(n), що має скінченну кількість елементів N, можна подати у вигляді суми її парної xп(n) і непарної xн(n) складових: x(n) = xп(n) + xн(n), xп(n) = (x(n) + .x(N-n))/2, xн(n) = (x(n) - x(N-n))/2, n = 0,1,..., N-1.
Парна і непарна послідовності задовільняють властивостям симетрії: xп(n) = xп(N-n), xн(n)= - xн(N-n), n = 0,1,...,N-1, причому: xп(0)= x(0); xп(N/2)= x(N/2); xн(0)= xн(N/2) = 0. Якщо послідовність x(n) є періодичною з періодом N, то її парна і непарна складові також періодичні з цим самим періодом.
Синусоїдальна і комплексна експоненціальна послідовністі при s = 0 є періодичними тільки тоді, коли число 2p/w0 раціональне, тобто подається у вигляді дробу двох цілих чисел. Якщо 2p/w0 нераціональне, то ці послідовності не є періодичними.
Енергію E послідовності x(n) обчислюють за виразом E =.
Над послідовностями виконуються арифметичні операції за аналогією з векторними величинами. Зокрема добуток і сума двох послідовностей x i y відповідно рівні добутку і сумі їх елементів: xy={x(n)y(n)}, x+y={x(n)+y(n)}. Множення послідовності x(n) на число a визначається так: x a = { a x(n)}.
Кажуть, що послідовність y(n) є затриманою або зсунутою послідовністю x(n), коли y(n) має значення y(n)= x(n-n0), де n0 - ціле число. Довільну послідовність x(n) можна подати у вигляді суми зважених і затриманих одиничних імпульсів
x(n ) =. (1.2)
Приклад. Нехай x(0) = 3, x(1) = 2.5, x(2) = - 4.1 і x(n) = 0 при n>2. Тоді послідовність х можна записати так: {х(n)} = 3 d (n)+ 2.5 d (n-1)- 4.1 d (n-2).
Питання для самоперевірки
1. Яке співвідношення є між аналоговими, дискретними і цифровими сигналами? В чому полягає суть операції дискретизації і відтворення аналогового сигналу?
2. В чому полягає суть операції квантування і цифроаналогового перетворення сигналів? Для коротких (з числом відліків 3-4) сигналів наведіть конкретні приклади цих операцій.
3. Дайте означення елементарних дискретних сигналів: одиничного імпульсу, одиничної ступінчастої послідовністі, синусоїдальної і експоненціальної послідовностей.
4. Які дискретні сигнали називають періодичними? Наведіть приклади періодичних сигналів з невеликим періодом і неперіодичного синусоїдального сигналу.
5. Які дискретні сигнали називають парними і непарними. Доведіть, що енергія дискретного сигналу х(n) рівна сумі енергій його парної та непарної складових.
6. Що таке зсув сигналу? Дайте означення і наведіть короткі приклади операцій додавання і множення дискретних сигналів.
7. Наведіть приклади подання дискретних сигналів через суму одиничних імпульсів.
1.2. Лінійні інваріантні до зсуву системи
Математично система визначається як однозначне перетворення або оператор P, що відображає вхідну послідовність x(n) (вхід) у вихідну y(n) (вихід): y(n) = P[x(n)]. Послідовність y(n) ще називають відгуком системи P[] на x(n). На рис.1.3 приведене найчастіше вживане графічне відображення оператора.
Рис.1.3.Графічне зображення оператора P[ ],
що перетворює вхідну послідовність x(n) у
вихідну послідовність y(n)
Лінійні дискретні системи. Класи дискретних систем одержуються накладанням додаткових умов на оператор P[]. Серед дискретних систем особливо важливу роль в ЦОС відіграють лінійні інваріантні до зсуву системи. Лінійні системи визначаються за принципом суперпозиції. Якщо y1(n) i y2(n) - відгуки системи відповідно на x1(n)i x2(n), то система лінійна тоді і тільки тоді (необхідна і достатня умова), коли
P[a x1(n) + b x2(n)] = a P[x1(n)] + b P[x2(n)] = a y1(n) + b y2(n), (1.3)
для довільних постійних чисел a i b. З можливості подання довільного сигналу сумою затриманих імпульсів (1.2) і принципу суперпозиції (1.3) випливає, що лінійна система повністю описується відгуком на одиничний імпульс, тобто імпульсною характеристикою.
Насправді, нехай hk(k) - відгук системи на одиничний імпульс d(n-k) в момент n = k. Тоді з врахування (1.2) і (1.3) можна записати
y(n) = P[x(n)] =
= (1.4)
Якщо накладати тільки умову лінійності, то в (1.4) hk(n) буде залежати як від k, так і від n. Для практичних обчислень це незручно, бо для кожного n треба мати окрему імпульсну характеристику. Корисливіший результат отримується накладанням додаткової умови інваріантності системи до зсуву.
Клас інваріантних до зсуву систем характеризується так: якщо y(n) - відгук системи на x(n), то y(n-k) буде відгуком системи на x(n-k), де k - довільне ціле число. В цьому випадку маємо: якщо h(n) - відгук системи на d(n), то відгуком на d(n-k) буде h(n-k). Тоді (1.4) набуває вигляду
y(n) = . (1.5)
Підкреслимо, що будь-яка інваріантна до зсуву лінійна система повністю характеризується імпульсною характеристикою, заданою у вигляді послідовності h(n).
Вираз (1.5) називають згорткою і скорочено позначають так: y(n)=x(n)*h(n) - послідовність y(n) рівна згортці послідовностей x(n) і h(n). Заміняючи змінну в (1.5), пересвідчуємось, що в згортці можна міняти місцями послідовності
y(n) = x(n)*h(n) = = h(n)*x(n). (1.6)
Математично вираз згортки у вигляді суми аналогічний інтегралу згортки, що використовується в теорії лінійних аналогових систем. Проте слід підкреслити, що дискретна згортка має не тільки теоретичне значення за аналогією з інтегралом згортки а і безпосередньо застосовується при реалізації дискретних систем. Тому важливо глибше зрозуміти властивості згортки і набути досвід у використанні дискретної зготки для обчислень.
Приклад. Розглянемо систему з імпульсною характеристикою h(n) = an u(n), інакше кажучи h(n)=an при n0 і h(n)=0 при n<0. Знайдемо реакції системи на вхідний сигнал x(n)=u(n)-u(N-n). За виразом (1.5) для отримання n-того значення вихідної послідовності y(n) необхідно сформувати добутки x(k)h(n-k) і просумувати їх. При n<0 послідовності h(n-k) i x(n) не мають ненульових відліків, що перекриваються. Інакше кажучи, тут або h(n-k)=0, або x(n)=0. Тому y(n)=0 для n<0. При 0 n<N послідовності h(n-k) i x(n) мають ненульові відліки, що перекриваються на відрізку від k=0 до k=n, тому тут
y(n) = = an = an [(1-a-(n+1))/(1-a -1 )], 0n<N.
При n>N послідовності h(n-k) i x(n) мають ненульові відліки, що перекриваються на відрізку від k=0 до k= N-1, тому тут
y(n) = = an = an [(1-a-N)/(1-a -1 )], Nn.
Вхідний сигнал x(n), значення h(n-k) при деяких n і реакція y(n) показані на рис.1.4.
Рис.1.4.
Стійкість і фізична реалізованість дискретних систем. Розглянемо важливий для практики ЦОС підклас лінійних інваріантних до зсуву систем, що додатково володіють властивостями стійкості і фізичної реалізованості.
Систему назвемо стійкою, якщо довільний обмежений вхідний сигнал створює обмежений вихідний сигнал. Лінійна інваріантна до зсуву система стійка тоді і тільки тоді, коли її імпульсна характеристика сумована, тобто
S = < . (1.7)
Покажемо достатність цієї умови. Якщо рівність (1.7) справедлива і |x(n)|<M для довільних n, то з (1.6) випливає, що система має обмежений вихід
|y(n)| = .
Щоб довести необхідність умови (1.7) потрібно показати, що при S = існує обмежений вхідний сигнал, що створює на виході системи необмежений вихідний сигнал. Таким входом є послідовність x(n),
x(n) =
де h*(n) - комлексно-спряжена до h(n) величина. Обмеженість x(n) випливає з того, що h*(-n) = h(-n) . Нагадаємо, що якщо z комплексне число, тобто z = Re(z)+j Im(z), то z* = Re(z)-j Im(z), |z| ={Re2(z)+Im2(z)}1/2 . Цей обмежений вхідний сигнал породжує необмежений вихідний сигнал. Зокрема, при n=0 значення на виході рівне
y(0) = S .
Тому при S = вихідна послідовність не є обмеженою і необхідність умови (1.7) для забезпечення стійкості системи доведено.
Фізично реалізована система - це система, у котрої зміни на виході не випереджують змін на вході, тобто, якщо x1(n)= x2(n), n<n 0, то y1(n) = y2(n), n<n 0. Лінійна інваріантна до зсуву система фізично реалізована тоді і тільки тоді, коли її імпульсна характеристика рівна нулю при n<0. Часто послідовність, що рівна нулю при n<0, називають фізично реалізованою, розуміючи при цьому, що вона може бути імпульсною характеристикою фізично реалізованої системи.
Приклад. Визначимо фізичну реалізованість і стійкість системи, що описується імпульсною характеристикою h(n)=a n u(n). Оскільки ця імпульсна характеристика рівна нулю при n<0, то система фізично реалізована. Для визначення стійкості порахуємо суму S = При |a|< 1, нескінченна геометрична прогресія має суму S= 1/(1- a ). Але при |a|1 - ряд розбігається. Отже, система з імпульсною характеристикою h(n)=a n u(n) є фізично реалізованою і стійкою тільки при |a| < 1.
Питання для самоперевірки
1. Які системи називають лінійними? Що означає інваріантність лінійної системи до зсуву?
2. Чи будь-яку лінійну систему можна визначити імпульсною характеристикою?
3. Дайте означення дискретної згортки. Покажіть, що в згортці можна поміняти місцями послідовності. Якi відмінністі є між інтегралом згортки і дискретною згорткою?
4. Нехай лінійна система утворена шляхом послідовного підключення двох лінійних інваріантних до зсуву систем. Покажіть, що її імпульсна характеристика рівна згортці імпульсних характеристик складових систем.
5. Наведіть приклад обчислення згортки двох коротких послідовностей.
6. Які системи називають стійкими, а які фізично реалізованими? Доведіть відповідні умови стійкості і фізичної реалізованості.
7. Наведіть приклад стійкої і фізично реалізованої системи.
1.3. Частотне подання дискретних сигналів і систем
Дискретні сигнали можуть бути подані різними способами, причому, як і для аналогових сигналів і систем, особливо важливу роль відіграють синусоїдальні і комплексні експоненціальні послідовності. Це пояснюється тим, що основна властивість лінійних інваріантних до зсуву систем полягає у тому, що відгук на синусоїдальний вхідний сигнал є синусоїдою тієї ж частоти з ампітудою і фазою, що визначається системою.
Частотні характеристики дискретних систем. Нехай вхідна послідовність є комплексною експонентою кругової частоти w, x(n) = exp(jwn) для -<n<.
На основі (1.6) запишемо вихідний сигнал
y(n) = =
Якщо ввести
H(e j w )= , (1.7)
то можна записати y(n) = H(e j w) exp(jwn) = H(ej w) х(n). Звідти видно, що комплексна величина H(ejw) описує зміну комплексної амплітуди комплексної експоненти як функцію частоти .
Величину H(ejw) називають частотною характеристикою системи з імпульсною характеристикою h(n). У загальному випадку H(e j w ) - комплексна величини, що виражається через свої дійсну та уявну частини H(ejw) = Re{H(ejw)} + jIm{H(ejw)} або через модуль і фазу H(ejw)=|H(ejw)| exp(arg(H(ejw))). Функції |H(ejw)| і arg(H(ejw)) називають амплітудною і фазовою характеристиками системи.
Частотна характеристика H(e j w ) є неперевною і періодичною з періодом 2p функцією частоти. Періодичність H(e jw) безпосередньо випливає з означення (1.7) і періодичності функції exp(-jwk).
Приклад. Розглянемо систему з імпульсною характеристикою
u(n) =
Частотна, амплітудна і фазова характеристики системи відповідно рівні:
H(ejw)= =(1 - e-j w N) / [1- e-j w ]= [sin(wN/2)/sin(w/2)] e-j(N-1) w /2;
H(ejw) = [Re 2{H(ejw)} + Im2{H(ejw)}]1/2 = |sin(wN/2)/sin(w/2)|;
arg(H(ejw)) = arctg[Im{H(ejw)}/Re{H(ejw)}]=arctg(e-j(N-1)w/2)=arctg[-tg((N-1)w/2)].
На рис.1.5. приведені отримані амплітудна і фазова характеристики системи.
Дискретно-неперевне подання сигналів. Фактично (1.7) є подання періодичної функції H(ejw) у вигляді ряду Фур'є, де коефіцієнтами ряду є відліки імпульсної характеристики h(n), тобто
h(n) = (1/2p) , (1.8)
де
H(e j w )= . (1.9)
Рівність (1.8) можна трактувати і як подання дискретної послідовності h(n) у вигляді суперпозиції (інтегралу) експоненціальних сигналів, комплексні амплітуди котрих визначаються виразом (1.9). Оскільки формально замість h(n) можна покласти довільну дискретну послідовність x(n), то пара перетворень (1.8), (1.9) визначає дискретно-неперевне подання сигналів, коли в часовій області сигнал задається дискретною послідовністю, а в частотній - неперевною функцією. Виходячи з цього для довільної послідовності x(n) запишемо пряме
X(ejw) = (1.10)
і обернене
h(n) = (1/2p) (1.11)
перетворення Фур'є.
Ряд виду (1.9) збігається не завжди. Наприклад, для одиничних ступінчастих послідовностей чи комплексної ексоненціальної послідовності він розбігається, тобто приймає необмежені значення. Якщо x(n) абсолютно сумована послідовність, тобто , то ряд (1.10) збігається рівномірно до неперевної функції від w. Тому частотна характеристика стійкої системи буде завжди обмеженою.
Якщо послідовність абсолютно сумована, то вона завжді має скінченну енергію. Це випливає з нерівності . Але не кожна послідовність зі скінченною енергією є абсолютно сумованою. Наприклад, послідовні
Якщо послідовність не є абсолютно збіжною, але має скінченну енергію, то використовують поняття збіжності в середньому.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора