Комп’ютерні науки. Методичні вказівки з Чисельні методи в інформатиці. Робота № 516780

Комп’ютерні науки

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій

Факультет:

Систем управління

Кафедра:

Кафедра автоматизованих систем управління

Інформація про роботу

Рік:

2012

Тип роботи:

Методичні вказівки

Предмет:

Чисельні методи в інформатиці

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ» для студентів IІІ курсу (VІ семестр) базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології Затверджено на засіданні кафедри автоматизованих систем управління Протокол № 9-08/09 від 12.01.2009 р. Львів – 2009 Методичні вказівки до лабораторної роботи № 4 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. І.М. Дронюк, Я.П. Романчук. – Львів: Видавництво НУЛП, 2009. – 9 с. Укладачі: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц., Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск: Шпак З.Я., к.т.н., доц.. Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф. Лабораторна робота № 4. Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Порядок роботи: Створити проект для виконання індивідуального завдання. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком: назва роботи; мета роботи; порядок роботи; короткі теоретичні відомості; алгоритм побудови розв’язку задачі; тексти відповідних модулів проекту; аналіз отриманих результатів та висновки. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку дугу кривої заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю ОХ. Значення функції визначаються в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів , не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці (1 ) Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків можна використати оцінку похибки (2) Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення. Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо − ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки . Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,. аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 − x2 ≤ ε , на другому – x1 − x3 ≤ ε , на третьому – x3 − x4 ≤ ε і т. д. Похибка розв’язку оцінюється за формулою: (3), де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку. Рис. 2. Метод хорд. Метод дотичних. У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3): В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора Члени, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки . Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним. Початкове наближення слід вибирати з умови Похибка методу оцінюється як: де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] . Рис. 3. Метод дотичних. Метод січних. Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку (рисунок 4.) Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким де F′ () – наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою чи де h – деякий невеликий крок. Алгоритм цього методу подібний до методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою. Рис. 4. Метод січних. Завдання лабораторної роботи Знайти один з коренів рівняння f(x)=0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення точності для кожного з методів. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Контрольні запитання Чому метод хорд називають методом першого порядку? Правило вибору нерухомого кінця проміжку в методі хорд. Ітераційна формула методу хорд. Оцінка похибки методу хорд. Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с. Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с. Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с. Шахно С.М. Чисельні методи лінійної алгебри: Навч. посібник. – Львів: ВЦ ЛНУ імені І.Франка, 2007. – 245 с.

Методичні вказівки Чисельні методи в інформатиці

savruksergiy

19.04.2012 14:11

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись