Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Комп’ютерні науки
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Факультет:
Систем управління
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ
ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ»
для студентів IІІ курсу (VІ семестр)
базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки»
для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології
Затверджено
на засіданні кафедри
автоматизованих систем управління
Протокол № 9-08/09 від 12.01.2009 р.
Львів – 2009
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 4 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. І.М. Дронюк, Я.П. Романчук. – Львів: Видавництво НУЛП, 2009. – 9 с.
Укладачі: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск: Шпак З.Я., к.т.н., доц..
Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф.
Лабораторна робота № 4.
Метод хорд і дотичних
Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.
Порядок роботи:
Створити проект для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
порядок роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм побудови розв’язку задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
Короткі теоретичні відомості.
Метод хорд.
Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку дугу кривої заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю ОХ.
Значення функції визначаються в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів , не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці
(1 )
Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків можна використати оцінку похибки
(2)
Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.
Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо − ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .
Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,. аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 − x2 ≤ ε , на другому – x1 − x3 ≤ ε , на третьому – x3 − x4 ≤ ε і т. д.
Похибка розв’язку оцінюється за формулою:
(3),
де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.
Рис. 2. Метод хорд.
Метод дотичних.
У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):
В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора
Члени, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .
Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.
Початкове наближення слід вибирати з умови
Похибка методу оцінюється як:
де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .
Рис. 3. Метод дотичних.
Метод січних.
Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку (рисунок 4.) Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким
де F′ () – наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою
чи
де h – деякий невеликий крок.
Алгоритм цього методу подібний до методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.
Рис. 4. Метод січних.
Завдання лабораторної роботи
Знайти один з коренів рівняння f(x)=0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення точності для кожного з методів.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Контрольні запитання
Чому метод хорд називають методом першого порядку?
Правило вибору нерухомого кінця проміжку в методі хорд.
Ітераційна формула методу хорд.
Оцінка похибки методу хорд.
Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2004. – 408 с.
Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.
Анджейчак І.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.
Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.
Шахно С.М. Чисельні методи лінійної алгебри: Навч. посібник. – Львів: ВЦ ЛНУ імені І.Франка, 2007. – 245 с.
19.04.2012 14:04-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора