Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Комп’ютерні науки
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Факультет:
Систем управління
Кафедра:
Кафедра автоматизованих систем управління
Інформація про роботу
Рік:
2009
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедра автоматизованих систем управління
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ
ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ»
для студентів IІІ курсу (VІ семестр)
базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки»
для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології
Затверджено
на засіданні кафедри
автоматизованих систем управління
Протокол № 9-08/09 від 12.01.2009 р.
Львів – 2009
Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. І.М. Дронюк, Я.П. Романчук. – Львів: Видавництво НУЛП, 2009. – 9 с.
Укладачі: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.,
Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск: Шпак З.Я., к.т.н., доц..
Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф.
Лабораторна робота № 5
Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)
Мета роботи: вивчити і засвоїти метод Ньютона.
Порядок роботи:
Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.
Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.
Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).
Створення проекту для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:
назва роботи;
мета роботи;
короткі теоретичні відомості;
алгоритм розв’язування задачі;
тексти відповідних модулів проекту;
аналіз отриманих результатів та висновки.
Захист лабораторної роботи.
Короткі теоретичні відомості
1. Метод Ньютона для системи двох рівнянь.
Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох нелінійних рівнянь
F(x,y)=0
(1)
G(x,y)=0
де F,G:Rn→Rn
Послідовні наближення обчислюємо за формулами
xn+1=xn-
(2)
n=0,1,2…
Якобіан
повинен бути відмінним від нуля. Початкове наближення x0,y0 визначають наближено (графічно). Але зауважимо, що метод ефективний лише при достатній близькості початкового наближення в (2) до розв’язку системи (1).
2. Метод простої ітерації для системи двох нелінійних рівнянь.
Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.
F1(x,y)=0
(3)
F2(x,y)=0
Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:
(4)
де , – так звані інтегруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації
(5)
Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервнодиференційовні функції ,
(6)
Оцінка похибки n-го наближення дається формулою
(7)
де M=max{q1,q2}
Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М)<1.
Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)
(8)
Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи
(9)
За такого підбору параметрів α,β,γ,δ умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій , змінюється мало в околі точки
Приклад.. Нехай маємо систему
Записуємо еквівалентну систему
В квадраті будуть виконуватися умови
0<φ1<1, 0<φ2<1
Тоді умови (6) матимуть вигляд
3. Метод Ньютона для системи n рівнянь.
Нехай задано систему
(10)
Систему (10) можна записати в компактному вигляді (векторна форма запису)
(11)
де , .
Для розв’язування (11) користуємося методом послідовних наближень Ньютона. Розв’язок системи представимо у вигляді
p=0,1,2…. (12)
Вводимо матрицю Якобі для системи функцій
Якщо ця матриця не особлива, то Тоді поправку обчислюємо за формулою
p=0,1,2… (13) де -обернена матриця Якобі.
Отже, послідовні наближення знаходять за формулою
p=0,1,2… (14)
За нульове наближення можна взяти наближене значення вектор-кореня. Для отримання кожного наближення потрібно знаходити обернену матрицю .
Умови збіжності методу Ньютона досліджені Л.В.Канторовичем та А.М.Островським.
4. Метод ітерацій для системи n рівнянь.
Нехай
(15)
де дійсні, визначені в околі ω ізольованого кореня системи (15). Запишемо її в векторній формі
де (16)
Для знаходження вектор-кореня системи (16) можна використати метод ітерацій
p=0,1,2… (17)
Для цього систему n лінійних рівнянь загального вигляду (11) як і в (16) запишемо в еквівалентному вигляді
де – ітеруюча вектор-функція, що має вигляд
(18)
При цьому матриця Λ у методі ітерацій вибирається так:
(19)
причому матриця має бути неособливою.
Підставляючи з (18) в (16), отримуємо ітераційну формулу
p=0,1,2… (20)
яку використовуємо у методі ітерацій. Вона дещо простіша для обчислень, ніж ітераційна формула методу Ньютона (14).
Завдання
Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно.
Номер завдання для кожного cтудента відповідає його порядковому номеру в списку групи.
Контрольні запитання:
Що таке Якобіан системи нелінійних рівнянь?
Зведена еквівалентна система рівнянь.
Що таке ітеруючі функції?
Рекурентна формула методу простих ітерацій.
Теорема про збіжність процесу простих ітерацій.
Формула для оцінки п-го наближення.
Формула методу послідовних нгаближень Ньютона.
Список рекомендованої літератури
Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. – 408 с.
Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.
Анджейчак І.А., Федюк Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с.
Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с.
Паранчук Я.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення в пакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р. Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.
19.04.2012 14:04-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора