Комп’ютерні науки. Методичні вказівки з Чисельні методи в інформатиці. Робота № 516781

Комп’ютерні науки

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Львівська політехніка

Інститут:

Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій

Факультет:

Систем управління

Кафедра:

Кафедра автоматизованих систем управління

Інформація про роботу

Рік:

2012

Тип роботи:

Методичні вказівки

Предмет:

Чисельні методи в інформатиці

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій Кафедра автоматизованих систем управління МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ» для студентів IІІ курсу (VІ семестр) базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології Затверджено на засіданні кафедри автоматизованих систем управління Протокол № 9-08/09 від 12.01.2009 р. Львів – 2009 Методичні вказівки до лабораторної роботи № 5 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 7.0804 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. І.М. Дронюк, Я.П. Романчук. – Львів: Видавництво НУЛП, 2009. – 9 с. Укладачі: Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц., Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск: Шпак З.Я., к.т.н., доц.. Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф. Лабораторна робота № 5 Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона) Мета роботи: вивчити і засвоїти метод Ньютона. Порядок роботи: Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу. Отримання допуску до виконання лабораторної роботи. Опрацювання типового навчального завдання (прикладів). Створення проекту для виконання індивідуального завдання. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком: назва роботи; мета роботи; короткі теоретичні відомості; алгоритм розв’язування задачі; тексти відповідних модулів проекту; аналіз отриманих результатів та висновки. Захист лабораторної роботи. Короткі теоретичні відомості 1. Метод Ньютона для системи двох рівнянь. Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох нелінійних рівнянь F(x,y)=0 (1) G(x,y)=0 де F,G:Rn→Rn Послідовні наближення обчислюємо за формулами xn+1=xn- (2) n=0,1,2… Якобіан повинен бути відмінним від нуля. Початкове наближення x0,y0 визначають наближено (графічно). Але зауважимо, що метод ефективний лише при достатній близькості початкового наближення в (2) до розв’язку системи (1). 2. Метод простої ітерації для системи двох нелінійних рівнянь. Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь. F1(x,y)=0 (3) F2(x,y)=0 Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду: (4) де , – так звані інтегруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації (5) Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервнодиференційовні функції , (6) Оцінка похибки n-го наближення дається формулою (7) де M=max{q1,q2} Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М)<1. Побудуємо ітеруючі функції для системи (4) (8) Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи (9) За такого підбору параметрів α,β,γ,δ умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій , змінюється мало в околі точки Приклад.. Нехай маємо систему Записуємо еквівалентну систему В квадраті будуть виконуватися умови 0<φ1<1, 0<φ2<1 Тоді умови (6) матимуть вигляд 3. Метод Ньютона для системи n рівнянь. Нехай задано систему (10) Систему (10) можна записати в компактному вигляді (векторна форма запису) (11) де , . Для розв’язування (11) користуємося методом послідовних наближень Ньютона. Розв’язок системи представимо у вигляді p=0,1,2…. (12) Вводимо матрицю Якобі для системи функцій Якщо ця матриця не особлива, то Тоді поправку обчислюємо за формулою p=0,1,2… (13) де -обернена матриця Якобі. Отже, послідовні наближення знаходять за формулою p=0,1,2… (14) За нульове наближення можна взяти наближене значення вектор-кореня. Для отримання кожного наближення потрібно знаходити обернену матрицю . Умови збіжності методу Ньютона досліджені Л.В.Канторовичем та А.М.Островським. 4. Метод ітерацій для системи n рівнянь. Нехай (15) де дійсні, визначені в околі ω ізольованого кореня системи (15). Запишемо її в векторній формі де (16) Для знаходження вектор-кореня системи (16) можна використати метод ітерацій p=0,1,2… (17) Для цього систему n лінійних рівнянь загального вигляду (11) як і в (16) запишемо в еквівалентному вигляді де – ітеруюча вектор-функція, що має вигляд (18) При цьому матриця Λ у методі ітерацій вибирається так: (19) причому матриця має бути неособливою. Підставляючи з (18) в (16), отримуємо ітераційну формулу p=0,1,2… (20) яку використовуємо у методі ітерацій. Вона дещо простіша для обчислень, ніж ітераційна формула методу Ньютона (14). Завдання Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно. Номер завдання для кожного cтудента відповідає його порядковому номеру в списку групи. Контрольні запитання: Що таке Якобіан системи нелінійних рівнянь? Зведена еквівалентна система рівнянь. Що таке ітеруючі функції? Рекурентна формула методу простих ітерацій. Теорема про збіжність процесу простих ітерацій. Формула для оцінки п-го наближення. Формула методу послідовних нгаближень Ньютона. Список рекомендованої літератури Цегелик Г.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. – 408 с. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів: Бак, 2003. – 168 с. Анджейчак І.А., Федюк Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівська політехніка», 2000. – 100 с. Дудикевич А.Т., Левицька С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язування нелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім.. І.Франка, 2007. – 78 с. Паранчук Я.С. та ін. Алгоритмізація, програмування, числові та символьні обчислення в пакеті MathCAD. – Навч. посіб. / Я.С. Паранчук, А.В. Маляр, Р.Я. Паранчук, І.Р. Головач. – Львів: Вид-во Львівської політехніки, 2008. – 164 с.

Методичні вказівки Чисельні методи в інформатиці

savruksergiy

19.04.2012 14:11

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись