РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Звіт до лабораторної роботи з Математичні методи обчислення. Робота № 516975

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Черкаський державний технологічній університет

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Радіотехніка

Кафедра:

Кафедра радіотехніки

Інформація про роботу

Рік:

2012

Тип роботи:

Звіт до лабораторної роботи

Предмет:

Математичні методи обчислення

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки молоді та спорту України Черкаський державний технологічній університет Кафедра радіотехніки Звіт з лабораторної роботи №1 з дисципліни «Математичні методи обчислення» Перевірив: РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Мета роботи: опанувати методи Гауса, простої ітерації та метод Зейделя для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Стислі теоретичні відомості Використовувані в даний час методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна розбити на дві групи: точні і приблизні. До точних методів можна віднести метод Гауса, який приводить до точних значень змінних. Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд: або в матричній формі: , де – матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих. Чисельне розв’язування СЛАР за методом Гауса побудоване на зве-денні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Існують різні схеми обчислень за методом Гауса. Розглянемо одну з них – схему єдиного ділення. Спочатку за допомогою першого рівняння вилучається невідома з усіх наступних рівнянь. Для цього перше рівняння ділиться на головний елемент (за умови ), а потім з останніх рівнянь системи віднімається це рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт при – . Отримується проміжна матриця А(1). Потім за допомогою другого рівняння вилучається невідома , отримується проміжна матриця А(2) і так далі, доки в останньому рівнянні не залишиться лише одна невідома . Таким чином отримується еквівалентна система: , або в матричній формі . Зведення системи (1.1) до еквівалентної (1.2) називається прямим ходом методу Гауса, а розв’язування системи (1.2), тобто послідовне визначення невідомих, – оберненим ходом методу Гауса. Метод простої ітерації. Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими (1.1). Допускаючи, що діагональні елементи , розв’яжемо перше рівняння системи (1.1) відносно , друге – відносно і т. д. Тоді отримаємо еквівалентну систему , …………………………….…………………. де Систему (1.3) можна записати і в матричній формі: . Тепер, задавшись початковим значенням вектора , можна будувати ітераційний процес: …………………. … . Якщо послідовність має границю , то ця границя є розв’язком системи (1.3). Запишемо формули наближень в розгорнутому вигляді Ітераційний процес продовжується доти, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності ( . . Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію методу простої ітерації. А саме при обчисленні (k+1)-го наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше . Формули методу Зейделя для (k+1) наближення можна представити в такому вигляді: Ітераційний процес закінчують при виконанні умови (1.5). Теорема збі-жності для методу простої ітерації залишається вірною й для ітерації по методу Зейделя. Хід роботи: Варіант №8: 1. Розв’язати СЛАР методом Гауса поділивши перше рівняння системи на а11=4,3 маємо: х1-2,8х2+5,4х3-3,3х4=3,6 Тому, b12=-2.8, b13=5,4, b14=-3,3, b15=3,6 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=2 маємо: а22=а22-а21*b12= -4,4-2.4*(-2.8)=2.32 а23=а23-а21*b13 = 3.5-2.4*5.4= - 9.46 а24=а24-а21*b14 =5.5-2.4*(-3.3)=13.42 а25=а25-а21*b15 =2.5-2.4*3.6= -6.14 Так само обчислюєм для i=3;4 Таким чином ми отримуєм систему з трьома невідомими 2,35х2-9,46х3+13,42х4=-6,14 23,5х2-36,5х3+5х4=-10,87 10,13х2-32,65х3+24,36х4=-10,6 2) Поділивши перше рівняння отриманої системи на а22=2,35 маємо: х2-4х3+5,68х4=-2,61 Тому, b23=-4, b24=5,68, b25=-2,61 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=3 маємо: а33=57,79 а34= -128,47 а35=50,54 Обчислення при i=4 ведуться аналогічно. Отримуєм систему з двома невідомими: 57,79х3-128,47х4=50,54 8х3-33,18х4=15,86 3) Поділивши перше рівняння отриманої системи на а33=57,79 маємо: х3-2,2х4=0,87 Тому, b34=5,68, b35=-2,61 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. а44= -15,37 а45=8,86 . Отримуєм систему з одним невідомим: -15,37х4=8,86 Еквівалентна схема має вигляд: х1-2,8х2+5,4х3-3,3х4=3,6 х2-4х3+5,68х4=-2,61 х3-2,2х4=0,87 -15,37х4=8,86 Послідовно із еквівалентної схеми знаходимо: x1 = 1.1737701437272 x2 = - 0.97122206262812 x3 = - 0.40615705338359 x4= - 0.57615922430299 Перевірка (за допомогою Mathcad): 2. Розв’язати СЛАР методом простої ітерації з точністю ε = 0.001. то процес ітерації збігається до єдиного розв’язку цієї системи В якості початкового вектора х(0) візьмем стовпчик вільних членів Обчислення будим проводити доки величини не будуть менше ε= ε = 0.001 Обчислюєм: при k=1 х1(1)=1,21+0,27*(-0,33)-0,22*(-0,48)-0,18*(-0,17)=1,257 х2(1)= -0,33-0,21*1,21-0,45*(-0,48)+0,18*(-0,17)= -0,399 х3(1)= -0,48+0,12*1,21+0,13*(-0,33)+0,18*(-0,17)= -0,408 х4(1)= -0,17+0,33*1,21-0,05*(-0,33)+0,06*(-0,48)=0,217 при k=2 х1(2)=1,153 х2(2)= -0,371 х3(2)= -0,342 х4(2)= 0,24 при k=3 х1(3)=1,142 х2(3)= -0,371 х3(3)= -0,347 х4(3)= 0,209 при k=4 х1(4)=1,149 х2(4)= -0,376 х3(4)= -0,354 х4(4)= 0,205 Так як всі вони більше заданого числа ε = 0.001 продовжуємо ітерацію: при k=5 х1(5)=1,149 х2(5)= -0,375 х3(5)= -0,354 х4(5)= 0,207 при k=6 х1(6)=1,149 х2(6)= -0,375 х3(6)= -0,354 х4(6)= 0,207 Ці значення менше заданого числа ε, тому в якості рішення візьмем: х1=1,149 х2= -0,375 х3= -0,354 х4= 0,207 3.Розв’язати СЛАР методом Зейделя з точністю ε = 0.001. Приведемо цю систему до вигляду, сручного для ітерації: х1=3,6+2,8х2-5,4х3+3,28х4 х2=-0,57+0,55х1+0,8х3+1,25х4 х3=-1,16+0,73х1+1,12х2-1,72х4 х4=3,27-1,7х1+2,05х2-0,36х3 В якості нульових наближень корнів візьмемо: Обчислюємо: при k=1 х1(1) =3.605 х2(1) =-0,57+0,55*3.6=1.398 х3(1)= -1,16+0,73*3.6+1,12*1.41=3.036 х4(1)= 3,27-1,7*3.6+2,05*1.41-0,36*3.05=-1.095 при k=2 х1(2)= -12.435 х2(2)= -6.305 х3(2)= -15.429 х4(2)= 17.08 при k=3 х1(3)= 125.112 х2(3)= 76.753 х3(3)= 146.91 х4(3)= -105.31 Далі обчислення приведем в таблиці: k x1 x2 x3 x4 1 3.605 1.398 3.036 -1.095 2 -12.435 -6.305 -15.429 17.08 3 125.112 76.753 146.91 -105.31 4 -918.366 -516.272 -1069.648 893.909 5 7253.155 4222.228 8493.281 -6749.957 6 -56073.036 -32267.287 -65526.625 52931.492 7 436310.012 252027.622 510224.966 -410008.782 8 -3388091.464 -1954700.651 -3961162.99 3188438.309 9 26326534.651 15194550.082 30781739.964 -24763812.661 10 -204523733.257 -118027690.434 -239129400.404 192411480.723 11 1588992771.975 917021104.638 1857866244.164 -1494820217.912 Висновок: при виконанні даної роботи я опанував методи Гауса, простої ітерації та метод Зейделя для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Свої знання застосував на практиці.

Звіт до лабораторної роботи Математичні методи обчислення

Vladik

06.05.2012 13:57

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

поділитись