РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Звіт до лабораторної роботи з Математичні методи обчислення. Робота № 516975

Перехід до торгівельного партнера Binance

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Черкаський державний технологічній університет

Інститут:

Не вказано

Факультет:

Радіотехніка

Кафедра:

Кафедра радіотехніки

Інформація про роботу

Рік:

2011

Тип роботи:

Звіт до лабораторної роботи

Предмет:

Математичні методи обчислення

Завантажити

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

Міністерство освіти і науки молоді та спорту України Черкаський державний технологічній університет Кафедра радіотехніки Звіт з лабораторної роботи №1 з дисципліни «Математичні методи обчислення» Перевірив: РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Мета роботи: опанувати методи Гауса, простої ітерації та метод Зейделя для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Стислі теоретичні відомості Використовувані в даний час методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна розбити на дві групи: точні і приблизні. До точних методів можна віднести метод Гауса, який приводить до точних значень змінних. Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд: або в матричній формі: , де – матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих. Чисельне розв’язування СЛАР за методом Гауса побудоване на зве-денні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Існують різні схеми обчислень за методом Гауса. Розглянемо одну з них – схему єдиного ділення. Спочатку за допомогою першого рівняння вилучається невідома з усіх наступних рівнянь. Для цього перше рівняння ділиться на головний елемент (за умови ), а потім з останніх рівнянь системи віднімається це рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт при – . Отримується проміжна матриця А(1). Потім за допомогою другого рівняння вилучається невідома , отримується проміжна матриця А(2) і так далі, доки в останньому рівнянні не залишиться лише одна невідома . Таким чином отримується еквівалентна система: , або в матричній формі . Зведення системи (1.1) до еквівалентної (1.2) називається прямим ходом методу Гауса, а розв’язування системи (1.2), тобто послідовне визначення невідомих, – оберненим ходом методу Гауса. Метод простої ітерації. Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими (1.1). Допускаючи, що діагональні елементи , розв’яжемо перше рівняння системи (1.1) відносно , друге – відносно і т. д. Тоді отримаємо еквівалентну систему , …………………………….…………………. де Систему (1.3) можна записати і в матричній формі: . Тепер, задавшись початковим значенням вектора , можна будувати ітераційний процес: …………………. … . Якщо послідовність має границю , то ця границя є розв’язком системи (1.3). Запишемо формули наближень в розгорнутому вигляді Ітераційний процес продовжується доти, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності ( . . Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію методу простої ітерації. А саме при обчисленні (k+1)-го наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше . Формули методу Зейделя для (k+1) наближення можна представити в такому вигляді: Ітераційний процес закінчують при виконанні умови (1.5). Теорема збі-жності для методу простої ітерації залишається вірною й для ітерації по методу Зейделя. Хід роботи: Варіант №8: 1. Розв’язати СЛАР методом Гауса поділивши перше рівняння системи на а11=4,3 маємо: х1-2,8х2+5,4х3-3,3х4=3,6 Тому, b12=-2.8, b13=5,4, b14=-3,3, b15=3,6 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=2 маємо: а22=а22-а21*b12= -4,4-2.4*(-2.8)=2.32 а23=а23-а21*b13 = 3.5-2.4*5.4= - 9.46 а24=а24-а21*b14 =5.5-2.4*(-3.3)=13.42 а25=а25-а21*b15 =2.5-2.4*3.6= -6.14 Так само обчислюєм для i=3;4 Таким чином ми отримуєм систему з трьома невідомими 2,35х2-9,46х3+13,42х4=-6,14 23,5х2-36,5х3+5х4=-10,87 10,13х2-32,65х3+24,36х4=-10,6 2) Поділивши перше рівняння отриманої системи на а22=2,35 маємо: х2-4х3+5,68х4=-2,61 Тому, b23=-4, b24=5,68, b25=-2,61 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. Так, при i=3 маємо: а33=57,79 а34= -128,47 а35=50,54 Обчислення при i=4 ведуться аналогічно. Отримуєм систему з двома невідомими: 57,79х3-128,47х4=50,54 8х3-33,18х4=15,86 3) Поділивши перше рівняння отриманої системи на а33=57,79 маємо: х3-2,2х4=0,87 Тому, b34=5,68, b35=-2,61 Обчислюєм коефіцієнти aij і складаєм систему. а44= -15,37 а45=8,86 . Отримуєм систему з одним невідомим: -15,37х4=8,86 Еквівалентна схема має вигляд: х1-2,8х2+5,4х3-3,3х4=3,6 х2-4х3+5,68х4=-2,61 х3-2,2х4=0,87 -15,37х4=8,86 Послідовно із еквівалентної схеми знаходимо: x1 = 1.1737701437272 x2 = - 0.97122206262812 x3 = - 0.40615705338359 x4= - 0.57615922430299 Перевірка (за допомогою Mathcad): 2. Розв’язати СЛАР методом простої ітерації з точністю ε = 0.001. то процес ітерації збігається до єдиного розв’язку цієї системи В якості початкового вектора х(0) візьмем стовпчик вільних членів Обчислення будим проводити доки величини не будуть менше ε= ε = 0.001 Обчислюєм: при k=1 х1(1)=1,21+0,27*(-0,33)-0,22*(-0,48)-0,18*(-0,17)=1,257 х2(1)= -0,33-0,21*1,21-0,45*(-0,48)+0,18*(-0,17)= -0,399 х3(1)= -0,48+0,12*1,21+0,13*(-0,33)+0,18*(-0,17)= -0,408 х4(1)= -0,17+0,33*1,21-0,05*(-0,33)+0,06*(-0,48)=0,217 при k=2 х1(2)=1,153 х2(2)= -0,371 х3(2)= -0,342 х4(2)= 0,24 при k=3 х1(3)=1,142 х2(3)= -0,371 х3(3)= -0,347 х4(3)= 0,209 при k=4 х1(4)=1,149 х2(4)= -0,376 х3(4)= -0,354 х4(4)= 0,205 Так як всі вони більше заданого числа ε = 0.001 продовжуємо ітерацію: при k=5 х1(5)=1,149 х2(5)= -0,375 х3(5)= -0,354 х4(5)= 0,207 при k=6 х1(6)=1,149 х2(6)= -0,375 х3(6)= -0,354 х4(6)= 0,207 Ці значення менше заданого числа ε, тому в якості рішення візьмем: х1=1,149 х2= -0,375 х3= -0,354 х4= 0,207 3.Розв’язати СЛАР методом Зейделя з точністю ε = 0.001. Приведемо цю систему до вигляду, сручного для ітерації: х1=3,6+2,8х2-5,4х3+3,28х4 х2=-0,57+0,55х1+0,8х3+1,25х4 х3=-1,16+0,73х1+1,12х2-1,72х4 х4=3,27-1,7х1+2,05х2-0,36х3 В якості нульових наближень корнів візьмемо: Обчислюємо: при k=1 х1(1) =3.605 х2(1) =-0,57+0,55*3.6=1.398 х3(1)= -1,16+0,73*3.6+1,12*1.41=3.036 х4(1)= 3,27-1,7*3.6+2,05*1.41-0,36*3.05=-1.095 при k=2 х1(2)= -12.435 х2(2)= -6.305 х3(2)= -15.429 х4(2)= 17.08 при k=3 х1(3)= 125.112 х2(3)= 76.753 х3(3)= 146.91 х4(3)= -105.31 Далі обчислення приведем в таблиці: k x1 x2 x3 x4 1 3.605 1.398 3.036 -1.095 2 -12.435 -6.305 -15.429 17.08 3 125.112 76.753 146.91 -105.31 4 -918.366 -516.272 -1069.648 893.909 5 7253.155 4222.228 8493.281 -6749.957 6 -56073.036 -32267.287 -65526.625 52931.492 7 436310.012 252027.622 510224.966 -410008.782 8 -3388091.464 -1954700.651 -3961162.99 3188438.309 9 26326534.651 15194550.082 30781739.964 -24763812.661 10 -204523733.257 -118027690.434 -239129400.404 192411480.723 11 1588992771.975 917021104.638 1857866244.164 -1494820217.912 Висновок: при виконанні даної роботи я опанував методи Гауса, простої ітерації та метод Зейделя для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Свої знання застосував на практиці.

Звіт до лабораторної роботи Математичні методи обчислення

Vladik

06.05.2012 13:05-

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, або зареєструйтесь.

Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!

Маєш корисні навчальні матеріали, які припадають пилом на твоєму комп'ютері? Розрахункові, лабораторні, практичні чи контрольні роботи — завантажуй їх прямо зараз і одразу отримуй бали на свій рахунок! Заархівуй всі файли в один .zip (до 100 МБ) або завантажуй кожен файл окремо. Внесок у спільноту – це легкий спосіб допомогти іншим та отримати додаткові можливості на сайті. Твої старі роботи можуть приносити тобі нові нагороди!

поділитись