Міністерство освіти і науки молоді та спорту України Черкаський державний технологічній університет Кафедра радіотехніки Звіт з лабораторної роботи №3 з дисципліни «Математичні методи обчислення» Перевірив: ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3 ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ Мета роботи: опанувати чисельні методи інтерполяції функцій поліномами Лагранжа й Ньютона. 1. Стислі теоретичні відомості Інтерполяцію функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x:
і потрібно визначити значення
для проміжних значень аргументу
-
. В цьому разі будують функцію
(достатньо просту для обчислень), яка в точках
набуває значення
. В інших точках
наближено становить функцію
з тією чи іншою точністю (рис. 4.1).
Рисунок 4.1 Точки
називають вузлами інтерполяції, функцію
- інтерполювальною функцією, а задачу побудови
- задачею інтерполяції. Зазначені вище властивості інтерполювальної функції має поліном Лагранжа:
. (4.1) Поліном Лагранжа незручний у використанні тим, що при зміні кількості вузлів інтерполяції n, його треба будувати знову. Однак поліном Лагранжа використовується в загальному випадку для довільно заданих вузлів інтерполяції. Інтерполяційний поліном Ньютона не має цього недоліку. При зміні степеня n необхідно лише тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків:
(4.2) Тут
- розділена різниця першого порядку;
- розділена різниця другого порядку;
- розділена різниця n-го порядку. Часто інтерполювання необхідно проводити для функції, що задана у рівновіддалених вузлах, тобто
. (4.3) Для таких таблиць інтерполяційні формули значно спрощуються: а) перша інтерполяційна формула Ньютона
(4.4) де

- скінчена різниця першого порядку,
- скінчена різниця другого порядку,
- скінчена різниця n-го порядку. Ця формула використовується для інтерполювання на початку відрізка інтерполяції, коли q мале за модулем. Коли значення аргументу знаходиться ближче до кінця відрізку інтерполяції, використовується формула для інтерполювання назад – б) друга інтерполяційна формула Ньютона
(4.5) де
. Хід роботи: 1. Використовуючи інтерполяційні поліноми Лагранжа й Ньютона, знайти наближене значення функції у точці
. Функція задана таблично. Вузли інтерполяції не рівновіддалені. Варіант 5: 5. x 3,2 3,6 5,8 5,9 6,2 x = 4,0   y 5,3 6,0 2,4 -1,0 -3,2    Використовуємо для розрахунку формулу :

Підставимо наближене значення функції у точці
=4,0
2. Використовуючи першу або другу інтерполяційні формули Ньютона, знайти наближене значення функції у точках
. Функція задана таблично 5. х 2,7 2,75 2,8 2,85 2,9 2,95 x1= 2,72; x2= 2,93   y 1,58 1,49 1,37 1,24 1,08 0,91    Використаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона:
де
x y Δyi Δ2yi Δ3yi  2.7 1.58 -0.09 -0.03 0.02  2.75 1.49 -0.12 -0.01 -0.02  2.8 1.37 -0.13 -0.03 0.02  2.85 1.24 -0.16 -0.01   2.9 1.08 -0.17    2.95 0.91     Всі потрібні дані для першої інтерполяційної формули одержані, далі розраховуємо:
Приклад програми перевірки Знайти наближене значення функції у точці
. 5. x 3,2 3,6 5,8 5,9 6,2 x = 4,0   y 5,3 6,0 2,4 -1,0 -3,2    Розв'язування