Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Черкаський державний технологічній університет
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Радіотехніка
Кафедра:
Кафедра радіотехніки
Інформація про роботу
Рік:
2011
Тип роботи:
Звіт до лабораторної роботи
Предмет:
Математичні методи обчислення
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки молоді та спорту України
Черкаський державний технологічній університет
Кафедра радіотехніки
Звіт
з лабораторної роботи №4
з дисципліни
«Математичні методи обчислення»
Перевірив:
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4
ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
Мета роботи: опанувати методи чисельного диференціювання, що ґрунтуються на першій і другій формулах Ньютона, формулі Стирлінга.
1. Стислі теоретичні відомості
При вирішенні практичних задач часто потрібно знайти похідні вказаних порядків від функції y = f(x), яка задана таблично. Можливо також, що в зв’язку з складністю аналітичного виразу функції f(x), безпосереднє диференціювання її ускладнене. В таких випадках, як правило, використовують наближене диференціювання.
Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію f(x) на потрібному відрізку [a; b] інтерполювальною функцією Р(х) (найчастіше поліномом), а потім вважають, що
f′ (x)= P′ (x), (5.1)
при а ≤ х ≤ b.
Аналогічні роблять при знаходженні похідних вищих порядків функцій f(x).
1. Розглянемо формули чисельного диференціювання, які ґрунтуються на першій і другій інтерполяційних формулах Ньютона. Нехай існує функція f(x), яка задана в рівновіддалених точках хі, ( ) відрізка [a; b] за допомогою значень yi = f(xi). Для знаходження на [a; b] похідних y′ = f′(x), y′′ = f′′ (x) і т.д. функцію y наближено замінимо першим поліномом Ньютона, побудованим для системи вузлів х0, х1, …, хk (k ≤ n). Отримаємо формулу чисельного диференціювання виду
(5.2)
де , .
Здійснюючи перемноження біномів, отримаємо
.
Оскільки , то
. (5.2)
Таким же способом можливо розрахувати і похідні будь-якого порядку.
Іноді необхідно знаходити похідні функції в фіксованих табличних точках xi. В цьому випадку формули чисельного диференціювання спрощуються. Оскільки кожне табличне значення можна вважати за початкове, то припустимо, що x = x0 (при цьому q = 0). Тоді на основі першої і другої інтерполяційних формул Ньютона будемо мати:
, (5.4)
та
(5.5)
Перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для початкових строк таблиці, друга інтерполяційна формула Ньютона – для останніх.
Виведені формули чисельного диференціювання на основі інтерполяційних поліномів Ньютона мають певний недолік, вони використовують лише однобічні значення функції при . Значно більшу точність мають симетричні формули диференціювання, які враховують значення даної функції у як при , так і при . Ці формули називаються центральними формулами диференціювання.
Розглянемо одну з них на прикладі формули Стирлінга. Нехай – система рівновіддалених точок з кроком і – відповідні значення даної функції . Вважаючи і замінюючи наближено функцію у інтерполяційним поліномом Стирлінга, будемо мати:
(5.6)
Ця формула використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях q, близьких до нуля . Враховуючи, що , шляхом диференціювання многочлена Стирлінга (5.6) отримуємо
Хід роботи:
Варіант №5
За допомогою інтерполяційних формул Ньютона і Стирлінга знайти значення першої і другої похідної в точці x = 2,4 + 0,1·n для функції, заданої таблично (табл. 1). Номер варіанту завдання n відповідає номеру студентів за списком у групі.
x = 2,4 + 0,1·n=2,4+0,5=2,9
x
y
Δyi
Δ2yi
Δ3yi
2.6
3.782
0.163
-0.065
0.028
2.8
3.945
0.098
-0.037
3.0
4.043
0.061
3.2
4.104
Всі необхідні дані маємо в таблиці і використаємо для наступних обчислень.
На основі інтерполяційних формул Ньютона і Стирлінга отримаємо:
2. Результати розрахунків перевірити за допомогою пакету MathСAD.
Приклад програми перевірки
Висновок: при виконанні даної лабораторної роботи я опанував методи чисельного диференціювання, що ґрунтуються на першій і другій формулах Ньютона, формулі Стирлінга. Свої знання закріпив практично при виконанні індивідуального завдання.
06.05.2012 13:05-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора