Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ФУНКЦІЙ ТА ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНИХ З’ЄДНАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2003
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Теорія автоматичного керування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ФУНКЦІЙ ТА ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНИХ З’ЄДНАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ
методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкцiя
до лабораторної роботи N 3
з дисципліни ‘ Теорія автоматичного керування ‘
для студентiв базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-
інтегровані технології”
Затверджено
на засiданнi кафедри
автоматизацiї теплових
i хiмiчних процесiв
Протокол № 6 вiд 5 грудня 2002 р.
Львів, 2003
Дослідження перехідних функцій та частотних характеристик основних з’єднань елементів: Методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкцiя до лабораторної роботи № 3 з дисципліни ”Теорія автоматичного керування” для студентiв базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології” / Укл. Г.Б. Крих, Ф.Д. Матіко, Р.Я. Дубіль. Львiв: Видавництво Національного університету “Львiвська полiтехнiка”, 2003. - 14 с.
Укладачi: Крих Г.Б., канд.техн.наук, доц.
Матіко Ф.Д., канд.техн.наук, доц.
Дубіль Р.Я., канд.техн.наук, доц.
Вiдповiдальний за випуск Пiстун Є.П., д-р.техн.наук, проф.
Рецензенти: Ділай І.В., канд.техн.наук, доц.
Фединець В.О., канд.техн.наук, доц.
Мета роботи: засвоїти методику побудови перехідних функцій і частотних характеристик типових з’єднань елементів в середовищі Мatlab.
Необхідна теоретична підготовка: аналітичні методи отримання перехідних функцій та частотних характеристик типових ланок та їх з’єднань.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Складні динамічні системи складаються з елементів, які певним чином з’єднані між собою. Однак, якою б не була складність структури системи, її можна звести до типових простих з’єднань елементів. До таких з’єднань належать послідовне, паралельне та зустрічно-паралельне.
При послідовному з’єднанні елементів вихідна величина попереднього елементу є вхідною для наступного (рис. 1). Функція передачі такого з’єднання дорівнює добутку функцій передачі елементів, що входять в з’єднання
,
де - функція передачі k-ого елементу; n – кількість елементів в з’єднанні.
Рис.1. Структурна схема послідовного з’єднання ланок
Амплітудно-фазова характеристика (АФХ) послідовного з’єднання елементів (див. рис.2) визначається добутком частотних характеристик елементів, що складають з’єднання
. (1)
Якщо частотну характеристику k-ої ланки представити в експоненціальній формі
,
де амплітудно- та фазочастотна характеристики, і підставити її в рівняння (1), то одержимо
, (2)
де амплітудно- і фазочастотні характеристики цілого з’єднання елементів.
З останнього рівняння видно, що амплітудно-частотна характеристика послідовного з’єднання елементів дорівнює добутку амплітудно-частотних характеристик елементів, що складають з’єднання,
,
а фазочастотна характеристика - визначається сумою їх фазочастотних характеристик (рис.2)
.
При паралельному з’єднанні на вхід всіх елементів подається один і той самий вхідний сигнал, а вихідний сигнал є сумою вихідних сигналів елементів, які повинні мати однакову розмірність (рис.3а). Функція передачі паралельного з’єднання дорівнює алгебраїчній сумі функцій передачі кожного елементу такого з’єднання
. (3)
Відповідно і частотна характеристика паралельного з’єднання визначається як сума частотних характеристик елементів
.
Ця частотна характеристика паралельного з’єднання в експоненціальній формі має вигляд
.
Для знаходження амплітудно-фазової характеристики паралельного з’єднання графічним способом необхідно для кожного значення частоти знайти суму векторів частотних характеристик всіх елементів з’єднання. Довжина кожного з цих векторів є значенням АЧХ, а кут їх повороту є значенням ФЧХ при цій частоті. На рис. 3б показано побудову АФХ паралельного з’єднання двох аперіодичних ланок першого порядку з різними значеннями коефіцієнтів передачі і сталих часу.
Рис.3. Паралельне з’єднання ланок: а) структурна схема з’єднання; б) побудова АФХ паралельного з’єднання двох аперіодичних ланок першого порядку
В зустрічно-паралельному з’єднанні (див. рис.4 ) на вхід елементу з функцією передачі , крім вхідного сигналу, подається сигнал зворотного зв’язку з виходу цієї ланки. Передача сигналу в зворотному зв’язку може здійснюватись через інший елемент з функцією передачі .
Функція передачі такого з’єднання має вигляд
, (4)
де знак “+” в знаменнику відповідає від’ємному зворотному зв’язку, а “-“ – додатному. Аналітичний вираз частотної характеристики такого з’єднання можна знайти із функції передачі після підстановки в ній р=іω.
Аналітичний вираз перехідної функції f(t) системи можна визначити як зворотне перетворення Лапласа від відношення функції передачі цієї системи до оператора Лапласа р:
. (5)
Дійсно, за означенням функція передачі системи – це відношення зображення вихідної величини системи до зображення її вхідної величини.
.
Звідси і, відповідно оригінал вихідного сигналу
. (6)
За умови знаходження перехідної функції , а , отже вираз (6) набуває вигляду (5).
Знаходити перехідні функції, частотні характеристики типових з’єднань можна не тільки за допомогою аналітичних методів, але й чисельними методами.
Моделювання та дослідження типових з’єднань елементів і, відповідно, складних динамічних систем зручно виконувати за допомогою інструментарію Control System Toolbox (CST) програмного середовища Matlab. Він орієнтований для роботи з лінійними системами з постійними параметрами (linear time invariant system) – lti-системами. CST дозволяє досліджувати одновимірні lti-системи з одним входом та одним виходом (SISO-системи – single input single output systems) та багатовимірні з багатьма входами та багатьма виходами (MIMO-системи - multiple input multiple output systems). Модель lti-системи може бути задана в CST [4]:
в просторі станів чотирма матрицями A, B, C, D, які описують систему лінійних диференціальних рівнянь в явній формі Коші – ss-форма (state space form);
(3)
у вигляді функції передачі двома одномірними масивами (векторами), що задають коефіцієнти поліномів чисельника та знаменника функції передачі системи – tf-форма (transfer function form)
, ; (4)
у вигляді функції передачі в полюсно-нульовому представленні двома одномірними масивами (векторами), які задають нулі [z1, … , zm] та полюси [p1, … , pn] і узагальненим коефіцієнтом передачі K системи – zpk-форма (zero-pole form)
, . (5)
CST дозволяє виконувати над lti-моделями такі базисні алгебраїчні операції як додавання, множення, об’єднання входів, об’єднання виходів, інвертування. Додавання lti-моделей відповідає їх паралельному з’єднанню, множення – послідовному.
Серед засобів CST, які дозволяють створювати об’єкти різних форм, перетворювати їх в будь-яку з трьох представлених форм, здійснювати з’єднання lti-моделей, можна виділити такі функції:
set
Встановлення властивостей об’єкту
get
Повернення інформації про властивості об’єкту
ss
Створення ss-моделі системи, перетворення моделей в ss-форму
tf
Створення tf-моделі системи у вигляді функції передачі, перетворення моделей в tf -форму
zpk
Створення zpk-моделі системи, перетворення моделей в zpk-форму
parallel
Паралельне з’єднання lti-моделей
series
Послідовне з’єднання lti-моделей
feedback
Зустрічно-паралельне з’єднання lti-моделей
Розглянемо формати деяких функцій CST, які застосовуються для створення моделей у вигляді функцій передачі та їх з’єднань.
Функція TF
1. Створення моделі у вигляді функції передачі.
Формат застосування функції:
sys=tf(num, den, Ts, ‘Property1’, ‘Value1’, …, ‘PropertyN’, ‘ValueN’).
Всі вхідні параметри функції є необов’язковими і можуть бути опущені. При виконанні команди sys=tf буде створена порожня tf-модель. Для створення функції передачі неперервної системи необхідно задати вектор коефіцієнтів чисельника num (numerator) та вектор коефіцієнтів знаменника den (denominator). Значення інтервалу дискретизації Ts потрібно задати у випадку створення моделі дискретної системи. Property, Value дозволяють змінити значення властивостей моделі. Перелік властивостей моделі та їх значень можна переглянути за допомогою команди get(sys), де sys – дескриптор моделі.
Наприклад, створимо tf-модель реальної диференціюючої ланки із коефіцієнтом передачі К=2 та сталою часу диференціювання ТД=5 с.
» num=[2*5 0]; den=[5 1];
» s1=tf(num,den)
Transfer function:
10 s
---------
5 s + 1
2. Перетворення моделі до tf-форми.
Формат застосування:
tfsys=tf(sys).
sys – довільна lti-модель, tfsys – модель у вигляді функції передачі.
Функція Parallel
Для паралельного з’єднання одновходових моделей (SISO-моделей) формат застосування функції:
sys=parallel(sys1, sys2).
Моделі sys1, sys2 повинні бути неперервними або дискретними з однаковими інтервалами дискретизації. Наприклад, для з’єднання двох моделей, що описуються функціями передачі
, потрібно виконати в Matlab команду
n1=
» [num,den]=parallel(2,[6 1],0.5,[1 0])
num =
0 5.0000 0.5000
den =
6 1 0
Отримуємо вектор коефіцієнтів чисельника num та вектор коефіцієнтів знаменника den результуючої функції передачі паралельного з’єднання.
Інший варіант з’єднання полягає в тому, щоб перед виконанням parallel за допомогою функції tf були створені tf-об’єкти моделей. Наприклад, для з’єднання моделей W1(s), W2(s) виконаємо наступну послідовність команд:
Враховуючи, що CST допускає виконання операції додавання lti-моделей, останню команду можна виконати як
» s=s1+s2
Transfer function:
5 s + 0.5
---------
6 s^2 + s
Функція Series
Для послідовного з’єднання SISO-моделей формат застосування функції:
sys=series(sys1, sys2).
Моделі sys1, sys2 повинні бути неперервними або дискретними з однаковими інтервалами дискретизації. Як і для функції parallel моделі sys1, sys2 можуть бути задані в явному вигляді (наприклад за допомогою векторів коефіцієнтів чисельника та знаменника функції передачі), або за допомогою дескрипторів s1, s2, які посилаються на одну з форм lti-моделей.
Для створених в попередньому прикладі tf-моделей s1, s2 одинакові результати будуть отримані в результаті виконання команд
» s=series(s1,s2)
» s=s1*s2
Функція Feedback
Виконує зустрічно-паралельне з’єднання моделей. Формат застосування функції для з’єднання SISO-моделей:
sys=feedback(sys1, sys2, sign),
sys1 – модель елементів прямого зв’язку, sys2 – модель елементів зворотного зв’язку системи, sign – знак зворотного зв’язку (додатний чи від’ємний).
Моделі sys1, sys2 повинні бути неперервними або дискретними з однаковими інтервалами дискретизації. Як і для функцій parallel та series моделі sys1, sys2 можуть бути задані в явному вигляді, або за допомогою дескрипторів, які посилаються на одну з форм lti-моделей.
При виконанні команди sys=feedback(sys1, sys2) створюється система із від’ємним зворотним зв’язком (по замовчуванню sign=-1). Для створення системи із додатним зворотним зв’язком потрібно виконати команду
sys=feedback(sys1, sys2, +1).
Для дослідження перехідних процесів та частотних характеристик lti-моделей в CST можна застосувати функції
step
Побудова перехідної функції
impulse
Побудова імпульсної перехідної функції
lsim
Побудова реакції на довільний вхідний сигнал
bode
Побудова логарифмічних частотних характеристик
freqresp
Обчислення звичайних частотних характеристик
Формати застосування функцій step, impulse, розглянуто в [5, 6]. Розглянемо формат застосування функції freqresp, яка може бути застосована в даній роботі для дослідження частотних характерстик.
Функція Freqresp
Функція freqresp обчислює значення амплітудно-фазової характеристики (АФХ) для значень частоти, які задані у векторі частоти w. Формат застосування функції:
H=freqresp(sys,w),
sys – lti-модель системи, яка повинна бути представлена в одному з виглядів: ss, tf, або zpk.
H – тривимірний масив розміру Nвх(Nвих(Nw, де Nвх – кількість входів системи, Nвих – кількість виходів системи, Nw – кількість значень у векторі частоти.
Маючи масив комплексних значення АФХ можна знайти значення АЧХ, як модуль значень H(j() за допомогою функції Matlab-у abs та значення ФЧХ за допомогою функції phase (див. приклад виконання завдання).
Побудову частотних характеристик можна здійснити в Matlab не тільки з допомогою вбудованих функцій (freqresp, bode), а також застосовуючи класичну методику їх знаходження. Для цього потрібно у виразі функції передачі зробити заміну і таким чином отримати АФХ . Далі, застосовуючи функції Matlab real, image знаходять дійсну та уявну частотні характеристики, з яких визначають АЧХ та ФЧХ за відомими рівняннями.
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Нарисувати структурну схему з’єднання ланок, заданого викладачем, та аналітично знайти його функцію передачі.
2. Знайти операторним методом аналітичний вираз перехідної функції. Знайти аналітичні вирази частотних характеристик з’єднання ланок.
3. За отриманими аналітичними виразами в середовищі Маtlab скласти програму розрахунку та побудови графіків перехідної функції, амплітудно-частотної, фазочастотної та амплітудно-фазової характеристик.
4. Побудувати перехідну функцію, амплітудно-частотну, фазочастотну та амплітудно-фазову характеристики за допомогою засобів Control System Toolbox. Порівняти отримані характеристики із результатами п.3.
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
Завдання: Побудувати перехідну функцію та частотні характеристики паралельного з’єднання пропорційної та інтегруючої ланок: k=2, Ti=5.
Знайдемо функцію передачі з’єднання
.
Аналітичний вираз перехідної функції отримаємо за допомогою зворотного перетворення Лапласа:
Аналітичні вирази частотних характеристик отримаємо підстановкою p=i( у вираз W(p):
;
; .
Маючи аналітичні вирази перехідної функції та частотних характеристик, побудуємо їх графіки. Для перевірки правильності отриманих аналітичних залежностей побудуємо ці ж характеристики засобами Control System Toolbox та накладемо їх на графіки аналітичних досліджень (див. рис.5). Графіки отримані за допомогою функцій CST побудовані символами „о”. Повне накладання графіків отриманих двома способами свідчить про те, що аналітичні вирази перехідної функції та частотних характеристик отримані правильно.
Рис.5. а) перехідна функція; б) амплітудно-частотна характеристика; в) фазо-частотна-характеристика; г)амплітудно-фазова характеристика.
Побудову перехідних функцій і частотних характеристик з’єднання ланок та їх порівняння виконано за допомогою програми Matlab, роздрук якої наведено нижче.
k=2; T=5; % Параметри моделей
t=[0:20]; % Створення вектора часу, сек
Xout=k+t/T; % Обчислення перехідної функції (ПФ)
% за аналітичним виразом
w=[0.02:0.02:1]; % Створення вектора частоти, рад/сек
A=1./(T*w).*sqrt(1+(k*T*w).^2); % Обчислення АЧХ за аналітичним виразом
Fi=-atan(1./(k*T*w)); % Обчислення ФЧХ за аналітичним виразом
s1=tf(k), s2=tf(1,[T 0]), s=s1+s2 % Побудова tf-форми моделі
y=step(s,t); % Обчислення ПФ числовим способом
plot(t,Xout,t,y,'o'),grid % Порівняння перехідних функцій
Hj=freqresp(s,w); % Розрахунок значень АФХ
H=[];
for i=1:size(Hj,3), H(i)=Hj(1,1,i); end
A1=abs(H); Fi1=phase(H); % Розрахунок АЧХ та ФЧХ
figure(2), plot(w,A,w,A1,'o');grid % Порівняння АЧХ
figure(3), plot(w,Fi,w,Fi1,'o');grid % Порівняння ФЧХ
figure(4), polar(Fi,A),grid % Побудова АФХ
pause, close all
ПЕРЕЛІК ЗАВДАНЬ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ
Побудувати перехідну функцію та частотні характеристики таких з’єднань ланок:
Послідовне з’єднання двох аперіодичних ланок і ланки запізнення.
Паралельне з’єднання реальної диференціюючої ланки та аперіодичної ланки (сума):
а) для k > 1; б) для k <1;
Послідовне з’єднання аперіодичної та інтегруючої ланок.
Паралельне з’єднання пропорційної, аперіодичної та реальної диференціюючої ланок (сума).
Паралельне з’єднання двох ланок: 1) пропорційної та 2) аперіодичної ланок з однаковими коефіцієнтами передачі (див. рис. 6)
Рис. 6. Структурна схема з’єднання ланок
Паралельне з’єднання 1) інтегруючої та 2) аперіодичної ланок (див. рис.6).
Паралельне з’єднання аперіодичної ланки з та реальної диференціюючої ланки з (див. рис. 6)
Зустрічно-паралельне з’єднання з інтегруючою ланкою в прямому і пропорційною ланкою в зворотному зв’язку.
Зустрічно-паралельне з’єднання з інтегруючою ланкою в прямому і реальною диференціюючою ланкою в зворотному зв’язку.
Зустрічно-паралельне з’єднання з пропорційною ланкою в прямому і реальною диференціюючою ланкою в зворотному зв’язку.
Зустрічно-паралельне з’єднання з пропорційною ланкою в прямому і інтегруючою ланкою в зворотному зв’язку.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1. Як знайти функцію передачі послідовного з’єднання ланок?
2. Як знайти функцію передачі паралельного з’єднання ланок?
3. Як знайти функцію передачі зустрічно-паралельного з’єднання ланок?
4. Як знайти АЧХ, ФЧХ, АФХ послідовного з’єднання ланок?
5.. Як знайти АЧХ, ФЧХ, АФХ паралельного з’єднання ланок?
6. Як знайти частотні характеристики зустрічно-паралельного з’єднання.
7. Які функції Matlab можна застосувати для знаходження перехідних функцій динамічних систем?
8. Які функції Matlab можна застосувати для знаходження моделей з’єднань елементів?
9. Які функції Matlab можна застосувати для знаходження частотних характеристик динамічних систем?
ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Теория автоматического управления: Учебник под ред. А.В. Нетушила – М.:Высшая школа, 1983. – 432 с.
2. Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування: Підручник. – Київ: Либідь, 1997. – 544 с.
3. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Ч.1, Ч.2, - М.: Высшая школа, 1986.
4. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. Matlab 5 для студентов. – М.: Диалог-МИФИ, 1999. – 287 с.
5. Дослідження нелінійних об’єктів шляхом лінеаризації. Інструкція до лабораторної роботи N 5 з курсу ‘Математичне моделювання на ЕОМ‘. / Укл. С.Б. Онисик, Ф.Д.Матiко, Львiв: Вид-во Національного ун-ту ‘Львiвська полiтехнiка’, 1997. - 19 с.
6. Дослідження лінійних моделей класичними методами. Iнструкцiя до лабораторної роботи N6 з курсу ‘Математичне моделювання на ЕОМ‘. / Укл.С.Б. Онисик, Ф.Д.Матiко, Львiв: Вид-во Національного ун-ту ‘Львiвська полiтехнiка’, 1997. - 12 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ФУНКЦІЙ ТА
ЧАСТОТНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНИХ З’ЄДНАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ ПІДГОТОВКИ
ТА ІНСТРУКЦІЯ
до лабораторної роботи № 3
з дисципліни «Теорія автоматичного керування» для студентiв базового напрямку “Автоматизація і комп’ютерно-інтегровані технології”
Укладачі Крих Ганна Бориславівна,
Матіко Федір Дмитрович,
Дубіль Роман Ярославович
Редактор
Видавництво Національного університету "Львівська політехніка"
Львів, вул. Ф. Колеси, 2
Підписано до друку 00.00.00.
Формат 60(84 1/16. Папір офсетний.
Друк на різнографі. Умовн. друк. арк. 0,00. Умовн. фарбо-відб. 0,00.
Тираж 15 прим. Зам.000.
Тиражування здійснене на кафедрі АТХП.
Відповідальний за тиражування зав. кафедри АТХП проф. Пістун Є.П.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора