Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2010
Тип роботи:
Методичні вказівки
Предмет:
Програмування
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет “ Львівська політехніка ”
НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт № 13-14
з курсу “Прикладна інформатика ч.1 ”
для студентів
базового напрямку № 6.030201- “Міжнародні відносини”
спеціальності № 7.030404 - “Міжнародна інформація”
Затверджено
на засіданні кафедри
обчислювальної математики
та програмування
Протокол №10 від 31.03.2010 р.
Львів – 2010
Наближені методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до виконання лабораторнb[ робsт № 13-14 для студентів базового напряму № 6.030201 - “Міжнародні відносини” / Укл.: Білущак Г.І., Гнатів Л.Б., Кутень А.С., Ментинський С.М., Токар О.Є.,2010.– 18 с.
Укладачі: Білущак Г.І., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Гнатів Л.Б., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Кутень А.С., асистент
Ментинський С.М., ст.викладач
Токар О.Є., асистент
Відповідальна за випуск Білущак Г.І.,канд.фіз.-мат.наук, доц.
Рецензент доктор фіз.-мат. наук, проф. Кутнів М.В.
Передмова
У методичних вказівках розглянуто основні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь - метод Ейлера та метод Рунге-Кутта в OpenOffice.
Методичні вказівки містять типове навчальне завдання, а також індивідуальне завдання для самостійної роботи студентів.
Методичні вказівки призначені для студентів для студентів базового напрямку № 6.030201- “Міжнародні відносини”, спеціальності № 7.030404 - “Міжнародна інформація” і укладені відповідно до робочої програми курсу “Прикладна інформатика, ч.1”.
Тема
Наближені методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
Мета
Уміти розв’язувати задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера та методом Рунге-Кутта.
Теоретичні відомості
У цій роботі розглядатимемо чисельні методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
(1)
з початковою умовою
y(x0)=y0 (2)
Метод Ейлера
Один з підходів до розв’язання задачі Коші (1)-(2) – метод Ейлера. Основна ідея цього методу полягає в застосуванні рядів для обчислення наближених значень розв’язку.
Для обчислення розв’язку в точці , де (), застосуємо рекурентну формулу:
, (3)
Щоб методом Ейлера обчислити розв’язок задачі Коші на з точністю необхідно прийняти .
2. Метод Рунге-Кутта
Розв’яжемо задачу Коші (1)-(2) методом Рунге-Кутта. Для обчислення розв’язку в точках деякого фіксованого відрізку [a,b], де (i=1, 2,…, n), – крок методу, x0=a, xn=b застосуємо рекурентну формулу:
(i = 0, 1, 2…, n) (4)
де
;
Щоб методом Рунге-Кутта обчислити розв’язок задачі Коші на з точністю необхідно прийняти .
Хід роботи
Лабораторна робота № 13
Типове навчальне завдання.
1. Метод Ейлера
Реалізація методу за допомогою калькулятора
Застосуємо метод Ейлера для знаходження наближеного розв’язку диференціального рівняння
якщо з кроком на проміжку з точністю .
1. Розбиваємо відрізок на 10 відрізків точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Крок .
2. Для кожної з точок знаходимо значення функції за допомогою рекурентної формули (3) та заносимо його в таблицю з відповідною точністю.
Результати обчислень з заданою точністю:
0
1
0,1
1
0,2
1,010
0,3
1,029
0,4
1,056
0,5
1,089
0,6
1,127
0,7
1,168
0,8
1,212
0,9
1,258
1
1,306
Реалізація методу засобами OpenOffice
1. Запускаємо програму OpenOffice, переходимо на вільний робочий лист. Створюємо і заповнюємо заголовки таблиці, в якій будемо виконувати обчислення
Формули для обчислень:
Рис. 1
2. Заповнюємо комірки значеннями у стовпці B. У комірку B3 вводимо початкове значення – 0, в комірку B4 – крок 0,1. Наводимо вказівник миші на маркер автозаповнення і протягуємо вниз вказівник миші із натиснутою лівою клавішою доки в останній заповненій комірці не отримаємо число 1.
3. Заповнюємо комірки з формулами для обчислень (див. рис. 1 ). Для копіювання формул на відповідні діапазони використовуємо автозаповнення.
Результати обчислень подаємо з вказаною точністю (див. рис 2)
Результати обчислень:
Рис. 2
Лабораторна робота № 14
Типове навчальне завдання.
2. Метод Рунге-Кутта
Реалізація методу за допомогою калькулятора
Застосуємо метод Рунге-Кутта для знаходження наближеного розв’язку диференціального рівняння
якщо з кроком на проміжку з точністю .
1. Розбиваємо відрізок на 10 відрізків точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Крок .
2. Для кожної точки (i = 0, 1, 2…, n) знаходимо значення функції за допомогою рекурентної формули (4), попередньо обчиcливши значення коефіцієнтів , , , , і приросту та заносимо його в таблицю з відповідною точністю.
1)
Тоді
.
2)
Тоді
3)
Тоді
Аналогічно заходимо значення розв’язку в точках .
Результати обчислень подано в таблиці:
0
1
0,1
1,005
0,2
1,019
0,3
1,042
0,4
1,072
0,5
1,107
0,6
1,147
0,7
1,189
0,8
1,233
0,9
1,280
1
1,328
Реалізація методу засобами OpenOffice
1. Запускаємо програму OpenOffice, переходимо на вільний робочий лист. Створюємо і заповнюємо заголовки таблиці, в якій будемо виконувати обчислення
2. Заповнюємо комірки з початковими умовами та формулами для обчислень. У комірку C3 вводимо початкове значення – 0, в D3 – значення розв’язку в точці – 1, в комірку B3 – крок методу – 0,1.
Формули для обчислень
Рис. 3
3. Заповнюємо комірки з формулами для обчислень (див. рис. 3 ). В комірки D5:D8 вводимо формули для обчислення коефіцієнтів , , , , в комірку E9 – приросту функції, у комірку B10 – приросту аргументу, у C10 – шукане значення розв’язку у заданій точці. Для заповнення комірок D10:D13 достатньо скопіювати формули з діапазону D5:D8, у комірку E14 копіюємо формулу E9, у В15 – формулу B10, а в C15 – C10. Цей процес продовжуємо доти, поки не досягнемо кінця проміжку і значення розв’язку в цій точці.
Результати обчислень подаємо з вказаною точністю (див. Рис. 4)
Результати обчислень:
Індивідуальне завдання: виконати відповідне варіанту завдання.
Методами Ейлера та Рунге-Кутта знайти наближений розв’язок диференціального рівняння з вказаною початковою умовою на заданому проміжку. Точність.
1. , y(0)=1, [0; 1]
2. , y(0)=0, [0; 0,3]
3. , y(0)=0,27, [0; 1]
4. , y(0)=0,1, [0; 1]
5. , y(0)=0, [0; 1]
6. , y(0)=0, [0; 0,1]
7. , y(0)=1, [0; 2]
8. , y(0)=0, [0; 0,1]
9. , y(0)=1, [0; 1]
10. , y(1)=0, [1; 2]
11. , y(0)=1, [0; 1]
12. , y(0)=0, [0; 1]
13. , y(1)=1, [1; 2]
14. , y(0)=1,5, [0; 1]
15. , y(-1)=0, [-1; 0]
16. , y(0,3)=1,42, [0,3; 0,6]
17. , y(1)=1, [1; 2]
18. , y(0)=0,5, [0; 1]
19. , y(1)=2, [1; 2]
20. , y(1)=-1, [1; 2]
21. , y(0)=0, [0; 0,5]
22. , y(0)=0, [0; 0,4]
23. , y(0)=0, [0; 0,5]
24. , y(0)=0, [0; 0,5]
25. , y(1)=1, [1; 4]
26. , y(0)=0, [0; 1]
27. , y(0)=1, [0; 1]
28. , y(2)=0,75, [2; 3]
29. , y(1,4)=2,2, [1,4;2,4]
30. , y(0)=1, [0; 3]
Оформити звіт.
Контрольні питання.
Яка основна ідея методу Ейлера?
Яка основна ідея методу Рунге-Кутта ?
Як потрібно вибрати крок h, щоб забезпечити задану точність для кожного з методів?
Література
Анджейчак І.А., Федюк Є.М., Анохін В.Є., Будз І.С., Коваленко Т.Г. Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Навчальний посібник. Ч 1. – Львів: В-во Національного університету “Львівська політехніка”, 2001. -100 с.
Фролов Г. Ц., Кузнєцов Е. І. Елементи інформатики. - М. :Вища школа,1989.-304с.
Основи комп’ютерної грамотності /Є. І. Машбіц, Л. П. Бабенко, Л.В.Верник та ін.;під ред. А. А. Стогнія. -К. :Вища школа, 1988. - 215с.
Дайбегов Д. М., Черноусов Є. А. Основи алгоритмізації і алгоритмічні мови. - М. Статистика, 1979 р. -376с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ
ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторних робіт № 13-14
з курсу “Прикладна інформатика ч.1 ”
для студентів
базового напрямку № 6.030201 - “Міжнародні відносини”
спеціальності № 7.030404 - “Міжнародна інформація”
Укладачі: Білущак Г.І., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Гнатів Л.Б., канд. фіз.-мат. наук, доц.
Кутень А.С., асистент
Ментинський С.М., ст.викладач
Токар О.Є., асистент
Комп’ютерне складання: Білущак Г.І.
03.10.2012 15:10-
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора